第十二讲计数综合
教学目标
1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；
2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；
3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；
4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨：
一、排列
一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．
根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：
步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；
步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；
……
步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；
由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。
二、组合
一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作。
一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：
第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；
第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．
根据乘法原理，得到．因此，组合数．
这个公式就是组合数公式．
例题精讲：
排列组合的应用
小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？
（1）七个人排成一排；
（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.
（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.
（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.
（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.
（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.
（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。
（1）（种）。
（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．（种）.
（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×=1440(种)．
（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．(种)．
（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）.
（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．（种）.
（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3××2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。
用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？
个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知，，根据排列数公式，一共可以组成(个)符合题意的三位数。
用1、2、3、4、5这五个数字可组成多大且百位数字不是的3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有(种)放法，对应24个不同的五位数；
⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有种选择．由乘法原理，可以组成(个)不同的五位数。
由加法原理，可以组成(个)不同的五位数。
用0到9十个数字组成没有重复数字；若将这些四位数按从小到5687是第几个数3的倍数？
按位数来分类考虑：
⑴一位数只有个；
⑵两位数：由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的两位数，共可组成(个)不同的两位数；
⑶三位数：由，与；，与；，与；，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的三位数，共可组成(个)不同的三位数；
⑷四位数：可由，，，这四个数字组成，有(个)不同的四位数；
⑸五位数：可由，，，，组成，共有(个)不同的五位数．
由加法原理，一共有(个)能被整除的数，即的倍数．
用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次数码组，那么确保9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。
第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑的位置就可以了，可以任意选择个位置中的一个，其余位置放，共有种选择；
第二种中，先考虑放，有种选择，再考虑的位置，可以有种选择，剩下的位置放，共有(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有种选择．最后一种，与第一种的情形相似，的位置有种选择，其余位置放，共有种选择．
综上所述，由加法原理，一共可以组成(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试次．
两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?
设A:BC是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，所以共有×=1260种选法。
从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。
一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?
设这个六位数为，则有、的差为0或11的倍数．且a、b、c、d、e、f均不为0，任何一个数作为首位都是一个六位数。
先考虑a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有×=36种顺序；
再考虑形如这种奇数位与偶数位的组间调换，也有×=36种顺序。
所以，用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72个能被11整除的数(包含原来的)。
所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数。
已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第5人的名次排列共有多少种不？名男生，名女生，全体排成一行，问甲不在中间也不在两端；甲、男、女生分男女相间．5×4×3×2×1=120（种）。
如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（种）。
因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48(种)；
贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）。
一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：
⑴当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
⑵当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？
⑴先将个舞蹈节目看成个节目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排列的问题，有(种)方法．第二步再排个舞蹈节目，也就是个舞蹈节目全排列的问题，有(种)方法．
根据乘法原理，一共有(种)方法．
⑵首先将个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是个元素全排列的问题，一共有(种)方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从个“×”中选个来排，一共有(种)方法．
根据乘法原理，一共有(种)方法。
由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？
先排独唱节目，四个节目随意排，是个元素全排列的问题，有种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有(种)排法；再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法．由乘法原理，一共有(种)不同的编排方法．
【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘，得出最后的答案。
⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）
⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？
⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？
⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？
⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？
⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？
⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有种．
⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有种．
⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有种．
⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有种．
⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有种．
⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有种。
现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：(1)共有多少种选法?(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?1）从3个男同学中选出2人，有=3种选法。从4个女同学中选出2人，有=6种选法。在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法。
3×6×24=432，所以共有432种选法。
（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法。
3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种。
（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法。
3×3×3×2×1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种。
（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法。
3×2×3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种。
某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第阶48名选手分成8个小组，每组6人，分别8个小组产生的前2名共16人个小组，每组人，分别进行单循环赛；第阶段：4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确至名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？由数字12，3组成五位数，要求这五位数中12，3至少各出现一2007年“迎春杯”高年级组决赛)
这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求，，至少各出现一次，没有确定，，出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由组成的五位数中，去掉仅有个或个数字组成的五位数即可．
(法1)分两类：⑴，，中恰有一个数字出现次，这样的数有(个)；⑵，，中有两个数字各出现次，这样的数有(个)．符合题意的五位数共有(个)．
(法2)从反面想，由，，组成的五位数共有个，由，，中的某个数字组成的五位数共有个，由，，中的某个数字组成的五位数共有个，所以符合题意的五位数共有(个)。
个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？
(法1)乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有种选择，总共就有种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是()(种)．
(法2)排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为，而被选的两个人相邻的情况有种，所以共有(种)。
8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?
我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分。
我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，
如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：
○○○○|○○○|○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．
不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法。
小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？
分三种情况来考虑：
⑴当小红最多一天吃块时，其余各每天吃块，吃块的这天可以是这七天里的任何一天，有种吃法；
⑵当小红最多一天吃块时，必有一天吃块，其余五天每天吃块，先选吃块的那天，有种选择，再选吃块的那天，有种选择，由乘法原理，有种吃法；
⑶当小红最多一天吃块时，必有三天每天吃块，其四天每天吃块，从天中选天，有(种)吃法。
根据加法原理，小红一共有(种)不同的吃法．
还可以用挡板法来解这道题，块糖有个空，选个空放挡板，有(种)不同的吃法。
把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？
(法1)先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有种分法．
(法2)也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。
有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有种方法．
某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？
由于有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，所以儿童不能乘坐船．
⑴若这人都不乘坐船，则恰好坐满两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在两船上，则船上有个儿童和个成人，个儿童有种选择，个成人有种选择，所以有种方法．故人都不乘坐船有种安全方法；
⑵若这人中有人乘坐船，这个人必定是个成人，有种选择．其余的个成人与个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法，所以此时有种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么船上有个儿童和个成人，此时个儿童和个成人均有种选择，所以此种情况下有种方法；故人中有人乘坐船有种安全方法．所以，共有种安全乘法．
从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？⑴恰有名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。
⑴恰有名女生入选，说明男生有人入选，应为种；
⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：
；
⑶人必须入选，则从剩下的人中再选出另外人，有种；
⑷从所有的选法种中减去这个人同时入选的种：
．
⑸分三类情况：人无人入选；人仅有人入选；人中有人入选，共：
。
在6名内科医生和4名外科医生中，内5人医疗小组送医下乡，按照下列条？有3名内2名外科医生；既有内科⑶至少有一既有主任，又有外10名学生中，有5人会装电脑，有32人既会安人组成的安装小组，组内安装电人，安装音响设备要人，共有？11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语人，使他们人翻译英文，另人翻译日文，？下图中共有个正方形
每个正方形中有：边长为1的正方形有个；边长为2的正方形有个；边长为3的正方形有个；边长为4的正方形有个；总共有(个)正方形．现有5个的正方形，它们重叠部分是4个的正方形．因此，图中正方形的个数是。
在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?
①一共有(个)长方形；
②所求的和是
(平方厘米)。
由20个边长为1的小正方形拼成一个长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是。(第六届走美决赛试题)
☆
含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种)
☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
☆ ☆
含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)
☆
☆ ☆ ☆ ☆ ☆
所以总共长方形有个，面积总和为。
图中共有多少个三角形？
显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类(
（1）最大的三角形1个(即△ABC)，
（2）第二大的三角形有3个
（3）第三大的三角形有6个
（4）第四大的三角形有10个
（5）第五大的三角形有15个
（6）最小的三角形有24个
所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）
图中共有三角形2×59=118（个）。
一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?
我们采用递推的方法．
I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．
Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个
点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这
时有可能的连法。
Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：
①A1所在三角形的一个边所对的弧上；
②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．
在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．
如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；
如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．
共有12种连法．
Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：
①9个点都在同一段弧上：
②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；
③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．
共有12×3+3×6+1＝55种．
所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。
课后练习：
用排成四位数：
（1）共有多少个四位数？
（2）无重复数字的四位数有多少个？
（3）无重复数字的四位偶数有多少个？
（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？
（5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？
（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？
⑴条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如等．
依分步计数乘法原理共有（个）
⑵（个）
⑶个位上只能是或，有（个）
⑷所有四位数中，在的左边或在的右边的数各占一半，共有（个）
⑸在千位上，只有种方法，此后只能在另外的个位置上排列，有（个）
⑹法一：不在十位、个位上，所以只能在千位上或百位上，有（个）
法二：从中减去不合要求的（在十位上、个位上），有（个）。
如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和。
利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个，所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+
18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664。
有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？
初看本题似乎觉得很好入手，比如可以按天数进行分类枚举：
1天吃完的有1种方法，这天吃10块；2天吃完的有9种方法，10=1+9=2+8=……=9+1；
当枚举到3天吃完的时，情况就有点错综复杂了，叫人无所适从……所以我们必须换一种角度来思考．
不妨从具体的例子入手来分析，比如这10块糖分4天吃完：
第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．
我们可以将10个“○”代表10粒糖，把10个“○”排成一排，“○”之间共有9个空位，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线(如下图)．
○○|○○○|○|○○○○
比如上图就表示“第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．”
这样一来，每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个‘|’的方法”，要求有多少个不同的吃法，就是要求在这9个空位中插入若干个“|”的方法数。
由于每个空位都有画‘|’与“不画‘|’两种可能：
根据乘法原理，在这9个空位中画若干个“|”的方法数有：，这也就说明吃完10颗糖共有512种不同的吃法。
用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?
把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：
最上一层只用了3根火柴；
从上向下数第二层用了3×2=6根；
从上向下数第二层用了3×3=9根；
……
从上向下数第二层用了3×20=60根；所以总共要用火柴3×（1+2+3+……+20）=630。
月测备选
【备选1】书架上有本故事书，本作文选和如果同类的书可以分开，一2】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？
人的环状排列与线状排列的不同之处在于：、、、…、在线状排列里是个不同的排列，而在环状排列中是相同的排列．所以，个不同的元素的环状排列数为．
甲、乙两人必须相邻，可把他们看作是1人（当然，他们之间还有顺序），总排列数为．从中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻（注意，这和甲、乙、丙三人相邻是不同的．如甲在乙、丙之间合于后者，但不合于前者）的情况种．所以，符合题意的排法有（种）．
【备选3】一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少
种不同的串法？
⑴把盏灯都串起来，其中紫灯不排在串起其盏灯，紫灯不排在第一位，也不4】在中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同？5】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组
成，那么一共需用多少根火柴棍?
横放需1996×4根，竖放需1997×3根
共需1996×4+1997×3=13975根。
|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页
每个空位都有画“|”与不画“|”两种可能
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