第十一讲数论综合（二）
教学目标：
掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；
重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想
例题精讲：
板块一质数合数
有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．
抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31．
三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．
设这三个质数分别是、、，满足，则可知、、中必有一个为11，不妨记为，那么，整理得()()，又，对应的、或、或、(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．
用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？
要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．
有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？
两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了．把九个三位数分解：、、、、、、、、．把两个因数相加，只有()和()的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18．
板块二余数问题
(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之，则被除，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个．
有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．
(法1)，，，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，所以这个数是．
(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，，所得到的个余数之和是，那，，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，，，所以除数不是58．
，，，，所以除数是
(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除，，得到的三个余数之和为，那么10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？
这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是的约数，这个自然数只能是17或者是34如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件如果这个数是17，那么他去除90、16、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17603，939，393除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？
根据题意，这三个数除以都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
由于，，要消去余数，，，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．
这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．
于是我们可以得到下面的式子：
这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被整除．
，，．
51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以等于17．
(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是，，，，，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为，所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．
除以7的余数是多少？
除以7的余数为1，，所以，其除以7的余数为：；2008除以7的余数为6，则除以7的余数等于除以7的余数，为1；所以除以7的余数为：．
(2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有个是5的倍数
由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……
可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．
由于，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．
1、1、2、3、5、8、13、212008个数除以3所得的余数为多少？
斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．依次写到第个数字，组成一个位的余数是共有9个数字，共有90个两位数，共有数字：(个)，共900个三位数，共有数字：(个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：(组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为．
有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．
本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，
即
所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360
设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，那么？
由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以与、、、除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则除以9的余数与除以9的余数相同，而除以9的余数为1，所以除以9的余数为除以9的余数，即为5．
另一方面，由于，所以的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过，即；那么的各位数字之和，的各位数字之和，小于18且除以9的余数为5，那么为5或14，的各位数字之和为5，即．
板块三完全平方数
从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
完全平方数，其所有质因数必定成对出现．
而，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，
由于，所以、、……、都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．
一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
设这个数减去为，减去为，则，
可知，且，所以，，这样这个数为
能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？假设能找到，设这两个完全平方数分别为、，那么这两个完全平方数的差为
，由于和的奇偶性质相同，所以不是的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数所以不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的
有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．
设中间数是x，则它们的和为，中间三数的和为．是平方数，设，则，是立方数，所以至少含有3和5的质因数各2个，即至少是225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．
板块四位值原理
(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？
设原来的两位数为，交换后的新的两位数为，根据题意，
，，原两位数最大时，十位数字至多为9，即，，原来的两位数中最大的是94．
将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．
设原数为，则新数为，
．
根据题意，有，．
推知，，得到，，，，原数为1099．
(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
设这六个不同的三位数为，
因为，，……，它们的和是：，所以，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而，所以最大的数最大为4；又，所以最大的数大于，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．
(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．
设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：
所以，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位
数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为，所以所
有这样的6个三位数中最小的三位数为．
a，b，c分别是中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？
由，，组成的六个数的和是．因为，所以．
若，则所求数为，但，不合题意．
若，则所求数为，但，不合题意．
若，则所求数为，，符合题意．
若，则所求数为，但，不合题意．
若，则所求数，但所求数为三位数，不合题意．
所以，只有时符合题意，所求的三位数为652．
板块五进制问题
在几进制中有利用尾数分析来解这个问题：
，由于式中为100，尾数为0也就是说已经将12全部进到上一位．
所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2．
但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．
，因，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道不能是12．
所以，只能是6．算式是几进制数的乘法？
，但是现在为4，说明进走，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．
因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．
在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？
(abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．
①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9进制，不可以有一个数字为16．
②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod7后，3+2c≡0．所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc)6=(552)6=5×62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．
课后练习：
三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
设这三个质数分别是、、，满足，则可知、、中必有一个为7，不妨记为，那么，整理得，又，对应的2、9(舍去)或3、5，所以这三个质数可能是3，5，7
有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数．
这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，的约数有，所以这个数可能为．
将1至2008这2008个自然数，1234567891011121320072008，9的余数．19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于被9除的余数，但是由于1999与被9除的余数相同，2000与被9除的余数相同，所以19992000就与被9除的余数相同．
由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．
根据等差数列求和公式，这个和为：，它被9除的余数为1．
另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．
因此，此数被9除的余数为1．
在7进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？
首先还原为十进制：；．
于是；得到，即．
因为是8的倍数，也是8的倍数，所以也应该是8的倍数，于是或8．
但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是，，则．
所以为5的倍数，为3的倍数．
所以，或5，但是，首位不可以是0，于是，；
所以．
于是，这个三位数在十进制中为248．
月测备选：
【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．
有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47．
【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余，被除数、除数、商数、余数四数之和等于，则被与整数的乘积是一个完全平方数，则最小值是，由于是一个完全平方数，所以至少为，故a最小为．
【备选4】在几进制中有？
注意，因为，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以．
再注意尾数分析，，而16324的末位为4，于是进到上一位．
所以说进位制为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．
因为出现了6，所以只能是7．
|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页
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