第四讲平面几何部分
教学目标：
熟练掌握五大面积模型
2.掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；
反之，如果，则可知直线平行于．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在中，分别是上的点如图⑴(或在的延长线上，在上)，
则
图⑴图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①或者②
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①
②；
③的对应份数为．
四、相似模型
(一)金字塔模型(二)沙漏模型
①；
②．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、燕尾定理
在三角形中，，，相交于同一点，那么．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
如图，正方形ABCD的边长为6，5，2长方形EFGH的面积为
连接DE，DFEFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
,所以长方形EFGH面积为33．
【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？
本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在正方形中，边上的高，
∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
同理，．
∴正方形与长方形面积相等．长方形的宽(厘米)．
长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一？
解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：
可得：、、，而
即；
而，．
所以阴影部分的面积是：
解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，
那么图形就可变成右图：
这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：
．
【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求部分面积．
（法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．
（法2）连接、．
由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．
如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为．
利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．
由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；
又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．
另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．
【巩固】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为．
如图，连接．
根据蝴蝶定理，，所以；
，所以．
又，，所以阴影部分面积为：．
已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)
因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有，
即，所以．
又，所以．
如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是．
连接，．
根据题意可知，；；
所以，，，，，
于是：；；
可得．故三角形的面积是40．
如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．
连接，，
，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？
连接．
∵
∴
又∵
∴，∴．
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
连接．
∵，
∴，
又∵，
∴，∴，．
如图在中，在的延长线上，在上，且，
，平方厘米，求的面积．
连接，，
所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．
连接、．根据共角定理
∵在和中，与互补，
∴．
又，所以．
同理可得，，．
所以．
所以．
如图所示的四边形的面积等于多少？
题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)
如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．
如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．
由于，，所以．而，
所以，那么、、三点在一条直线上．
由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为．
根据面积比例模型，的面积为．
如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．
如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．
那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，
所以梯形的面积为：
()．
又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以()．
那么()，
所以()．
如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？
如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．
如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于．
方法一：连接，根据燕尾定理，，,
设份，则份，份，份，如图所标
所以
方法二：连接，由题目条件可得到，
，所以，
，
而．所以则四边形的面积等于．
【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?
设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.
四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．
在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵，∴，∴．
解法二：作于，于．
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形的面积；⑵？
⑴根据蝴蝶定理，，那么；
⑵根据蝴蝶定理，．
如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、46．求：⑴求的面积；⑵求的面积．
⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；
⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，
根据蝴蝶定理，，所以，
那么．
如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．
连接，．
因为，，所以．
因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．
如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．
因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道
，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．
【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米．
连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．
已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．
连接．
由于是平行四边形，，所以，
根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．
【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．
连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．
根据蝴蝶定理，，故，
所以(平方厘米)．
【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．
连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．
根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．
另解：在平行四边形中，(平方厘米)，
所以(平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．
如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8的面积为___________平方厘米．
连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．
如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？
由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．
由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．
那么的面积为．
下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于．
左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．
左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．
如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．
可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形的面积为，梯形的面积为．
在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为．
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，
那么．
如图，中，，，互相平行，，
则．
设份，根据面积比等于相似比的平方，
所以，，
因此份，份，
进而有份，份，所以
【巩固】如图，平行，且，，，求的长．
由金字塔模型得，所以
【巩固】如图，中，，，，，互相平行，
，则
．
设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．
所以有
如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求
方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以．
方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以．
如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点，交于，求的面积．
解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，
所以，
并得、是的三等分点，所以，所以
，所以，；
又因为，所以．
解法二：延长交于，如右图，
可得，，从而可以确定的点的位置，
，，(鸟头定理)，
可得
如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？
(法)由，有，所以，又，所以
，所以，所以占的，
所以．
(法)如图，连结，则(，
而，所以，()．
而()，因为，
所以，则()，阴影部分面积等于
()．
如右图，三角形中，，，求．
根据燕尾定理得
（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形中，，，求.
根据燕尾定理得
（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
【巩固】如右图，三角形中，，，求.
根据燕尾定理得
（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为______，三角形的面积为________，三角形的面积为______．
连接、、．
由于，所以，故；
根据燕尾定理，，，所以
，则，；
那么；
同样分析可得，则，，所以，同样分析可得，
所以，．
【巩固】如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积．
连接BG，份
根据燕尾定理，，
得(份)，(份)，则(份)，因此,
同理连接AI、CH得,,所以
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19
【巩固】如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的倍．
如图，连接．
根据燕尾定理，，，
所以，，那么，．
同理可知和的面积也都等于面积的，所以阴影三角形的面积等于面积的，所以的面积是阴影三角形面积的7倍．
【巩固】如图在中，,求的值．
连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?
设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．
根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以
同理可得，,,而，所以，．
同理，,所以，,,
【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么的面积是多少？
连接、、．
根据燕尾定理，，，
所以，那么，．
类似分析可得．
又，，可得．
那么，．
根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为，所以四边形的面积为．
右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？
连接、．
根据燕尾定理，，，所以；
再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．
根据题意，有，可得(平方厘米)
如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.
三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求：在中，根据燕尾定理，
设(份)，则(份),(份),(份),
所以，所以,,
所以,
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的
⑵求：在中，根据燕尾定理,
所以,同理
在中，根据燕尾定理,
所以，所以
同理另外两个五边形面积是面积的，所以
如图，面积为的三角形ABC中，DE、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点
设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR
在中根据燕尾定理，,
所以,同理,
所以，同理
根据容斥原理，和上题结果
课后练习：
已知的面积为平方厘米，，求的面积．
，
设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米
如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．
连接．由共角定理得，即
同理，即
所以
连接，同理可以得到
所以平方米
正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是平方厘米．
欲求四边形的面积须求出和的面积．
由题意可得到：，所以可得：
将、延长交于点，可得：
，
而，得，
而，所以
．
本题也可以用蝴蝶定理来做，连接，确定的位置(也就是)，同样也能解出．
如图，已知，，，，则．
将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然，，，所以是正方形．三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系：
；；．
平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是_____平方厘米．
连接,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份，份，因此份，，所以(平方厘米).
如图，中，点是边的中点，点、是边的三等分点，若的面积为1，那么四边形的面积是_________．
由于点是边的中点，点、是边的三等分点，如果能求出、、三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形的面积．
连接、．
根据燕尾定理，，而，所以，那么，即．
那么，．
另解：得出后，可得，
则．
如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求角形的面积．
连接BG，12份
根据燕尾定理，，
得(份)，(份)，则(份)，因此,
同理连接AI、CH得,,所以
三角形ABC的面积是,所以三角形GHI的面积是
月测备选
按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积．
如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：
如图所示，矩形的面积为36平方厘米，四边形的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．
因为三角形面积为矩形的面积的一半，即18平方厘米，三角形面积为矩形的面积的，即9平方厘米，又四边形的面积为3平方厘米，所以三角形与三角形的面积之和是平方厘米．
又三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为(平方厘米)．
如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占面积的几分之几？
连接,设份，则其他部分的面积如图所示，所以份，所以四部分按从小到大各占面积的
如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？
∵在和中，与互补，
∴．
又，所以．
同理可得，．
所以
如图，,,则
根据燕尾定理有,,所以
如图在中，,求的值．
连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,
所以
小学六年级奥数
|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页
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