五年级下期
第一讲对称、平移和旋转
例1一条1m长的纸条，在距离一端0.618m的地方有一个红点，把纸条对折起来，在对准红点的地方涂一个黄点，然后打开纸条从红点的地方剪断，再把有黄点的一段对折起来，对准黄点的地方剪一刀，使纸条断成三段。问：四段纸条中最短的一段长度是多少米？(第一届华杯赛决赛题)
解：画出示意图：
黄红
第一次对折..
第二次对折..
黄
第二次剪断处
第一次对折的折痕，是红点与黄点的对称轴，第一次剪下的纸条长度是
1－0.618＝0.382(m)。红点到黄点的距离是1－0.382×2＝0.236(m)。第二次对折的折痕是黄点与第二次剪断处的对称轴，黄点与第二次剪断处的距离是0.618－0.236×2＝0.146(m)。所以，四段纸条的长度分别是0.382m、0.236m、0.236m、0.146m，最短的一段长度是0.146m。
例2如下页左图，一个斜边为49㎝的红色直角三角形纸片AFD，一个斜边为29㎝的蓝色直角三角形纸片BDE，—张黄色的正方形纸片CFDE，拼成一个直角三角形ABC。问：红、蓝两个三角形纸片面积之和是多少平方厘米？
解：把直角三角形BDE绕点D逆时针旋转90°(如右上图)。由于DE＝DF，结果点E与点F重合，点B落在FC上的点G处，所以DG＝DB＝29。而∠ADG＝∠ADF＋∠FDG＝∠ADF＋∠EDB＝180°－∠FDE＝180°－90°＝90°，于是ADG是直角三角形，并且它的面积等于红、蓝两个直角三角形面积之和，是AD×DG÷2＝49×29÷2＝710.5(㎝2)。
练习一
1．长方形有()条对称轴；正方形有()条对称轴；菱形有()条对称轴；等腰三角形有()条对称轴；等边三角形有()条对称轴；等腰梯形有()条对称轴；圆有()条对称轴。
2．求下图的周长。（单位：cm）
83
10
3．在一正方形里有一个最大的圆，在圆里有一个最大的正方形(如图)，已知大正方形的面积是81cm2，小正方形的面积是多少平方厘米？
4．左下图，梯形ABCD的高AH是8cm，面积是192cm2，EF是两腰中点的连线(叫做梯形的中位线)，那么，EF的长度是多少厘米？
AD
EF
BHC
5.如图，两个正方形边长都是2㎝，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上。这两个正方形重叠部分的面积是多少平方厘米？
6.把边长为8㎝的等边三角形ABC，以点A为中心逆时针旋转30°得到下面的图形。图中五边形ABB1CC1的面积是平方厘米？
第二讲巧算面积
例1下图是由边长分别为8cm和4cm的两个正方形拼成的，求阴影部分的面积。ED
GF
ABC
解法一：S阴影＝S正方形ABFG＋S正方形BCDE－S三角形ACG－S三角形ECD＝4×4＋8×8－(4＋8)×4÷2－8×8÷2＝24(cm2)；
解法二：连接GE、GB。因为GB平行于EC，所以S三角形EGC＝S三角形EBC。S阴影＝S三角形EGC－S三角形EGF＝S三角形EBC－S三角形EGF＝8×8÷2－4×(8－4)÷2＝24(cm2)；
解法三：连接CF。S阴影＝S三角形GCF＋S三角形ECF＝4×4÷2＋(8－4)×8÷2＝24(cm2)；
解法四：延长GF，与EC相交于O，CD相交于H。把三角形EFO绕O点旋转，使E点与C点重合。S阴影＝S三角形CHG＝(4＋8)×4÷2＝24(cm2)。
例2下图是由两个正方形组成的，只知道正方形ABCD的边长是10cm，求阴影部分的面积。
AD
GF
BCE
解法一：连接CF。因为CF平行于BD，所以阴影三角形DBF与三角形DBC同底等高，S阴影＝S三角形DBC＝10×10÷2＝50(cm2)；
解法二：设想正方形CEFG的边长小些、再小些……，最后变成0cm，F点与C点重合，阴影三角形变成三角形DBC，S阴影＝S三角形DBC＝10×10÷2＝50(cm2)；
解法三：设想正方形CEFG的边长大些、再大些……，最后变成10cm，F点位于AD和延长线上，阴影三角形的底和高都等于10cm，变成三角形DBC，S阴影＝10×10÷2＝50(cm2)。
练习二
1．各题图中两个正方形的边长都分别是4cm、3cm，求阴影部分的面积。
(1)(2)
2．图中三个正方形的边长分别是4cm、8cm、6cm，求阴影部分的面积。
3．下面的九个图中，大正方形的面积都相等，小正方形的面积也都相等。九个图中，图的阴影部分与图(1)的阴影部分的面积相等。
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)(8)(9)
4．如左下图所示，ABCD和EFGC都是正方形，已知DC＝4㎝，CG＝6㎝，图中，三角形AEG(阴影部分)的面积是多少平方厘米？
EFAB
EF
AB
DCGDCG
5．右上图中，ABCD、EFGC是两个正方形，AB＝8㎝，CG＝6㎝。三角形AEG的面积是多少平方厘米？哪个已知条件可以省略？
第三讲因数与倍数
我们已经学过2、3、5的倍数的特征。除此之外常用的还有：
一个数的末两位数是0或者是4的倍数,这个数就是4的倍数；
一个数的末三位数是0或者是8的倍数,这个数就是8的倍数；
一个数的各个数位上的数的和是9的倍数,这个数就是9的倍数。
例1一个六位数15□□□6是36的倍数,这个数最大是多少?
解：(1)因为36＝4×9,所以这个数是4和9的倍数；
(2)这个六位数已知的三个数字的和是1＋5＋6＝12,因此，其余三个数字的和只有是6、15、24时,这个数才是9的倍数。为了使这个数尽可能大,未知的三个数字的和应该取24。这样的三个数字有9、9、6；9、8、7；8、8、8；
(3)从末两位数是□6可以想到,十位数字必须是1、3、5、7、9,这个数才是4的倍数。对照上面的三组数,十位数只能取7。所以这个六位数最大是159876。
答：这个数最大是159876。
例2商店有红漆2kg,黄漆1.5kg,白漆2.5kg，牌子各不相同。为了方便顾客,把它们都分装成0.5kg的小桶。已知珠光牌的装了255小桶,海狮牌的装了280小桶,前进牌的装了292小桶。这三种牌子的油漆分别是什么颜色?
解：按照分装的办法：(1)红漆的桶数应该是2÷0.5＝4的倍数；(2)黄漆的桶数应该是1.5÷0.5＝3的倍数；(3)白漆的桶数应该是2.5÷0.5＝5的倍数。分装后桶数是3的倍数的只有255,所以珠光牌的是黄色；其余两个桶数是5的倍数的是280,所以海狮牌的是白色；是4的倍数的是292,所以前进牌的是红色。
答：珠光牌的是黄色，海狮牌的是白色，前进牌的是红色。
练习三
1.下面这些数：
1782315654322719893600
4550410329123456789111111111
(1)是4的倍数的有()；
(2)是8的倍数的有()；
(3)是9的倍数的有()。
2．987654321除了它本身以外最大的因数是多少？
3.100以内的自然数,因数的个数是奇数有哪些？
4．九位数5☆4☆3☆2☆1是9的倍数，“☆”代表几？
5．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成一个十位数，使它是1、2、3、4、5、6、8、9的倍数，这个十位数最大是多少？
6.某商场售出72双同样的鞋，一共收货款□03□元。每双鞋多少元？
7.有一个六位数，只知道中间四位的数字是1982，并且这个数是45的倍数,这个六位数□1982□可能是多少？
8.五张卡片分别写着0、1、4、7、9。随意取出四张可以排成许多四位数。其中能是3的倍数的,从小到大第五个数是多少？
第四讲奇数与偶数
奇数和偶数有一些显而易见的性质,如：
奇数＋奇数＝偶数奇数－奇数＝偶数偶数＋偶数＝偶数
偶数－偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数奇数－偶数＝奇数
偶数＋奇数＝奇数偶数－奇数＝奇数奇数×奇数＝奇数
偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数
利用这些性质能够解决许多意想不到的问题。
例1能否在下式的□里填入“＋”号或“－”号，使等式成立？为什么？
1□2□3□4□5□6□7□8□9＝40
解：等号左边有5个奇数，所以不管在□里填入“＋”号或“－”号，最后的得数一定是奇数，不可能得40，因为40是偶数。
例2某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是：基础分15分；答对一道加5分，不答记1分；答错一道扣1分。问：所有参加竞赛的同学得分的总和是奇数还是偶数？
解：对每个参赛同学来说，如果每道题都答对可得15＋5×30＝165(分)，165是奇数。如果答错一道，就要从165分减去5＋1＝6(分)，6是偶数，不管错几道，因为6的倍数都是偶数，所以减去的分数都是偶数。同样道理，如果有一道不答，就要减去5－1＝4(分)，4是偶数，不管有几道不答，减去的分也都是偶数。因此，每个同学的得分要么是165分，要么是165分减去偶数分，得分只能是奇数。总人数99也是奇数，所以，所有参加竞赛的同学得分的总和就是奇数个奇数的和，还是奇数。
练习四
1．有9张卡片，其中3张上面写着“1”，3张上面写着“3”,3张上面写着“7”。请问，你能否从中选出5张，使它们上面的数加起来等于20？为什么？
2．对于任意三个自然数，是否总会有两个数的和是偶数？为什么？
3．有一排树，每两棵间的距离都是1m。如果把三块写着“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，不管怎样挂，总会至少有两棵树之间的距离是偶数米，为什么？
4．桌面上放着5枚硬币，都是正面朝上。小明每次随意翻转其中的两枚，翻转若干次后，他用手捂住其中一枚硬币，此时另外四枚硬币恰好是两正两反。请问：小明用手捂住的那枚硬币哪个面朝上？为什么？
5．一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。有一天，俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两边都是骗子，每个骗子两边都是老实人。外面来了一位记者，问俱乐部的成员张三：“你们俱乐部共有多少成员？”张三答：“共有45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断，李四是老实人还是骗子？为什么？
6．一队少年儿童不超过50人，围成一圈作游戏。每个儿童的左右两侧都恰好是一个男孩和一个女孩。请你判断，这队少年儿童最多有多少人？为什么？
第五讲质数与合数
例1判断5681是质数还是合数,如果是合数,把它分解质因数。
解：判断一个数是不是质数,最基本的方法是依次用质数2、3、5、7、……逐一试除,一旦能被某个质数整除,这个数就是合数；如果除到商已经比除数小仍不能整除,这个数就是质数。5681显然不能被2、3、5整除。用7、11、13、……试除,得到5681÷13＝437,所以5681是合数,5681＝13×431。431是质数吗?试试看。
例2把20以内的8个质数分别填入□中,使A是整数。
A＝(□＋□＋□＋□＋□＋□＋□)÷□
解法一：等式右端被除数是7个质数的和,如果用2作除数,那么,商A就不会是整数(为什么)。所以,2不能作除数。
分别用3、5、7、……、19作除数试除,得到两个解:
A＝(2＋3＋5＋11＋13＋17＋19)÷7＝10
A＝(2＋3＋5＋7＋13＋17＋19)÷11＝6
解法二：20以内8个质数的和是2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19＝77。77＝7×11,这就是说,77减去7,差能被7整除；77减去11,差也能被11整数。由此同样可以得到上面两个解。
练习五
1.下面是100个杂乱无章的词语，其中隐藏了一句至理名言，只要你划去那些序号不是质数的字,就会使它显现出来。行动吧！还迟疑什么？
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
无数学习是非通过落后行动证明火车有趣了解熊猫它们建设故事才华能
323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364
够莫明其妙在乎时代科举学校新鲜王法龙腾虎跃国家足球没有里面任务贵族
656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697
河南意思香蕉遨翔游戏欢天喜地畅所欲言行为和平体育无论如何兴高采烈阻
9899100
挡电视
2.大家可能已经知道，德国数学家哥德巴赫早在1742年就提出了一个猜想：所有大于2的偶数都等于两个质数的和。这就是著名的“哥德巴赫猜想”。
下面的有6个偶,你能验证一下这个猜想吗？
12＝()＋()28＝()＋()
30＝()＋()44＝()＋()
52＝()＋()64＝()＋()
3．(1)两个质数的和是39，这两个质数的积是多少？
(2)两个质数的和是60，这两个质数的积最大是多少？
(3)有两个质数,它们的和、差也是质数。写出这两个质数。
4．写出从小到大五个质数，要求相邻两个质数的差都是12。
5.个位数是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的最小合数有哪些？
6．在图中的6个小圆圈里各填入一个不同的自然数，使任意相邻两个数的和都是合数，相邻两个数的差都是质数。
第六讲分解质因数
把一个合数写成质数连乘积的形式，叫做分解质因数。如21＝3×7，60＝2×2×3×5。用分解质因数的方法可以解决许多有趣的问题。
例1六一班有个学生叫康华，非常幽默。同学们问他的生日是哪一天,他笑了笑,神秘地回答说：“我的年龄与生日的月份、日期三个数的积是696。”你知道康华的生日是几月几日吗?
解：把696分解质因数：696＝2×2×2×3×29。显然29只能是日期数,其余4个因数合并成两个数有8和3,4和6,2和12三种可能。在这六个数中,年龄数只有取12比较合理,于是月份数就是2。由此得知,康华的生日是2月29日。
例2把33、51、65、77、85、91六个数,分别填入下面的六个方框中,使等式成立。
□×□×□＝□×□×□
解：33＝3×11,51＝3×17,65＝5×13,77＝7×11,85＝5×17,91＝7×13。要使等式成立,两端的积必须有相同的因数。
可以这样想：如果把33分在左边,因为它含有因数3,所以应该把另一个含有因数3的数51分在右边；因为51还含有因数17,所以应该把另一个含有因数17的数85分在左边；因为85还含有另一个因数5,所以应该把另一个含有因数5的数65分在右边；……最后得到
33×85×91＝51×65×77
还可以怎样想?
例3四个因数相乘,156×165×175×(),要使积的末尾有四个0,第四个因数最小是多少?
解：要使积的末尾有四个0,积的质因数中就至少要有4个2和4个5。156＝2×2×3×13,165＝3×5×11,175＝5×5×7,积的质因数中只有2个2、3个5,少2个2、1个5,因此,第四个因数最小应该是2×2×5＝20。
练习六
1.四个小朋友是好邻居，有趣的是，他们的年龄一个比一个大1岁,已知他们年龄的积是7920,这四个小朋友分别是多少岁？
2.1997年7月1日,被英国霸占了一百多年的香港终于回归祖国,199771是一个多么令人难忘的数啊!而且这个数还是合数——不妨理解为“合家团聚的数”，你能把这个数分解质因数吗?
3.李明的哥哥是中学生,有人问李明，他哥哥不久前参加数学竞赛成绩怎么样,他说：“我哥哥的年龄、分数和名次乘起来的积是4074。”
他哥哥多少岁？
考了多少分？
得了第几名？
4.用14、26、33、35、39、55这六个数填空。
□×□×□＝□×□×□
5．a、b、c都是自然数，已知a×b＝132，b×c＝156,c×a＝143，那么a、b、c的和是多少？
6.填空。
(1)在括号里填一个尽可能小的数,使积的末尾四个数字都是0。
935×942×975×()
(2)1×2×3×…×100,积的末尾有()个0。
第七讲长方体和正方体的概念
例1至少要多少厘米长的铁丝,才能做一个高3cm,底面16cm2的长方体框架？
解：要使棱长的总和最小,底面周长必须最小,因此底面应该是正方形,边长4cm。长方体棱长的总和是
(3＋4＋4)×4＝44(cm)。
答：至少要用44cm长的铁丝。
例2下面是一个正方体的表面展开图。在它的每个面上各有一个数。这个正方体,相交于一个顶点的三个面上的数的和最大是多少？
1
6254
3
解：如果我们5所在的面当作前面,那么,2就在左面,4就在右面,6就在后面,1就在上面,3就在下面。因此,
(1)前上左三个面5＋1＋2＝8(2)5＋1＋4＝10
(3)5＋3＋2＝10(4)5＋3＋4＝12
(5)6＋1＋2＝9(6)6＋1＋4＝11
(7)6＋3＋2＝11(8)6＋3＋4＝13
,相交于后下右方顶点的三个面上的数的和最大,等于13。
答：相交于一个顶点的三个面上的数的和,最大是13。
练习七
1.填空。
(1)把两个同样的正方体拼成一个长方体后,棱长的总和是48cm,原来一个正方体的棱长是()cm。
(2)一个棱长3cm的正方体木块,表面上全都涂满了漆。如果把它全部切成棱长1cm的小正方体木块,其中三个面涂漆的有()块,两个面涂漆的有()块,一个面涂漆的有()块,各面上都没有涂漆的有()块。
2．填空。
(1)至少要用()个相同的小立方体,才能拼成一个更大的立方体。
(2)用一些长6cm、宽3cm、高2cm的长方体,拼成一个体积尽可能小的正方体,需要()这样的长方体。
3.下面哪个图形可以沿已有线段折成正方体,在序号上打“√”。
(1)(2)(3)(4)
(5)(6)(7)(8)
4.把1、2、3、4、5、6、7、8八个数,分别填入左下图中正方体各项点处的○里,使正方体任何一个面上四个○内数的和相等。
5.在一个立方体的六个面上，分别写着1、2、3、4、5、6。下面是这个立方体两种不同位置所看到的情况,那么，1的对面、3的对面、5的对面分别是几？
12
31
54
☆6.一个长方体,表面涂上红色后,被分割成若干个棱长1cm的小正方体。已知在这些小正方体中,不带红色的小正方体有7个,那么,两面带红色的小正方体有多少个？
第八讲长方体和正方体的表面积
计算长方体的表面积,一般用下面两个公式：
长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2
长方体的表面积＝(长×宽＋长×高＋宽×高)×2
在实际应用中,有许多物体虽然外形是长方体,但是,缺少一个底面,如抽屉；或者缺少两个底面,如排气管。如果使用上面的公式就不大方便。
通常,我们把长方体前、后、左、右四个连在一起的面，叫做侧面，侧面展开后是一个长方形,长等于长方体底面的周长,宽就是长方体的高。于是得到长方体侧面积的计算公式：
长方体的侧面积＝底面周长×高
这样,在计算长方体形状物体的表面积时,就可以先求出侧面积,再根据实际情况,确定加不加底面积或者加几个底面积。
例1一个长方体形状的铁皮无盖水桶,底面是边长0.25m的正方形,高0.4m。做一对这样的水桶,至少要用铁皮多少平方米?
解：水桶的表面积由侧面和一个底面组成,所以,做一对这样的水桶至少要用铁皮
(0.25×4×0.4＋0.25)×2＝0.925(m2)。
答：做一对这样的水桶至少要用0.925m2铁皮
例2有个模型，是用一个棱长4cm的正方体，在它的一个面上挖去一个棱长1厘米的正方体而做成的，这个模型的表面积是多少平方厘米？
解：原来正方体的表面积是4×4×6＝96(cm2)，挖去一个小正方体后，表面积增加了4cm2，所以，这个模型的表面积是96＋4＝100(cm2)。
答：这个模型的表面积是120cm2。
练习八
1.一个正方体,棱长扩大2倍,表面积扩大多少倍？
2．用12个棱长1cm的正方体,可以摆成几种不同的长方体,表面积分别是多少平方厘米？
3.一个长方体蓄水池,底面是边长4m的正方形,深2m。计划用边长0.2m的正方形瓷砖把水池的表面砌起来,需要用这样的瓷砖多少块?
4.一种常见的纸火柴盒,里面是一个没有盖的盒子,外面是一个套。如果火柴盒长5cm、宽3cm、高1cm,做10000个这样的火柴盒,至少要用纸板多少平方米?
5．把14个棱长1cm的正方体摆成一堆放在桌面上，如图，这堆正方体露出来的表面积是多少平方厘米？
6．一个长方体，长和宽都是5cm，高是3cm，把它切成3×3×2块(如图)，这些小长方体表面积的总和是多少平方厘米？
第九讲长方体和正方体的体积
例1一个长方体,如果长减少1cm就变成正方体,同时表面积减少24cm2,这个长方体的体积是多少立方厘米?
解：从已知条件可以想到：这个长方体的长比宽多1cm,高和宽相等；表面积所减少的24cm2,包括4个同样大的长方形,每个长方形宽1cm,长就是长方体的宽。所以,长方体的宽是24÷4÷1＝6(cm)，体积是(6＋1)×6×6＝252(cm3)。
答：这个长方体的体积是252cm3。
例2一个长方体,前面的面积是12cm2,上面的面积是8cm2,左面的面积是6cm2,它的体积是多少立方厘米?
解法一：因为已知的三个面的面积,分别等于长×高、长×宽、宽×高,并且这三个积都是整数,不妨假设这个长方体的长、宽、高都是整厘米数。很容易想到12＝3×4,8＝4×2，6＝2×3。观察这三个积的因数,发现3、4、2恰好各出现两次,于是可以断定,这个长方体的长是4cm,宽是3cm,高是2cm。所以,体积是4×3×2＝24(cm3)。
解法二：因为,已知的三个面的面积分别是长×高、长×宽、宽×高的结果,所以,如果把已知的三个积乘起来,就会得到：(长×高)×(长×宽)×(宽×高)＝(长×宽×高)×(长×宽×高)＝体积×体积，因为12×8×6＝24×24，所以长方体的体积是24cm3。
答：它的体积是24cm3。
练习九
1.填空。
(1)一个正方体,棱长的总和是24cm,体积是()cm3。
(2)把一根100cm长的长方体木料截成3段后,表面积增加了24cm2,这根木料原来的体积是()cm3。
(3)把棱长1m的正方体,全部切成棱长1cm的小正方体,再把它们排成一排,总长度是()m。
(4)正方体的棱长扩大2倍,体积扩大()倍。
2.一根长方体木料,长10m,把它锯成相等的5段后,表面积增加了2m2。这根长方体木料的体积是多少立方米?
3.一个长方体木块,表面涂了红漆,把它全部切成棱长1cm的小正方体后,各面上都没涂漆的只有3块,这个长方体的体积是多少立方厘米?
4.一块长40cm,宽20cm的长方形铁皮,从四个角上各剪去一个边长4cm的正方形,再折成一个没有盖的长方体盒子,求盒子的体积。
5．一个正方体被切成24个小长方体如图，这些小长方体的表面积的总和是162cm2。这个正方体原来的表面积是多少平方厘米？
☆6.一个长方体木块,从上面截去一个高5cm的长方体后,变成了一个正方体,同时表面积减少了120cm2,原来长方体的体积是多少立方厘米？
第十讲分数的意义和性质(一)
例1分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个？
解：把420分解因数，得到
420＝1×420＝2×210＝3×140＝4×105＝5×84＝6×70＝7×60＝10×42＝12×35＝15×28＝20×21＝30×14。
其中，两个因数互质的有1×420，3×140，4×105，5×84，7×60，12×35，15×28，20×21。
用这些因数作分子和分母，可以组成8个最简真分数，分别是
、、、、、、、。
例2学校体操队有20名同学,其中女生占,男生有多少人?
解：女生占,是把全队20人看作单位“1”,平均分成5份,女生占了其中的3份,剩下的2份是男生,所以,男生的人数是20÷5×(5－3)＝8(人)
练习十
1．填空。
(1)一个带分数,分数部分是真分数，分子是4,把它化成假分数后,分子是19,这个带分数是()。
(2)一个分数,添上一个分数单位等于1,去掉一个分数单位等于,这个分数是()。
(3)从3、5、7、9、11、15这六个自然数中取出两个数，分别作分子和分母，可以组成()个最简真分数。
(4)等于而分母小于40的分数有()个。
2．分母是60的最简真分数有多少个？
3.五一班有45人,喜欢美术的占,喜欢音乐的占,喜欢体育的占。那么：
(1)喜欢美术的有多少人？
(2)喜欢音乐的有多少人？
(3)喜欢体育的有多少人？
4.学校买来一批图书,其中科普读物有60本,占总数的,这批图书共有多少本？
5．用1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字，写出三个都等于的分数(每个数字只许用一次)。
☆6有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140，如果把所有这样的分数从小到大排列，第三个分数是多少？
第十一讲分数的意义和性质(二)
例1比较下面各组分数的大小。
(1)与(2)与(3)与
解：(1)与。因为通分时的分子、分母要乘19,的分子、分母要乘7,再比较分子的大小,因此只需让两分数的分子和分母交叉相乘,对所得的积进行比较。
因为3×19＞8×7,所以＞。
(2)与。这两个分数都与1很接近,可以比较它们与1的差,差越小分数越大。
1－＝,1－＝,因为＞,所以＜。
(3)与。这两个分数都在左右,可以间接比较它们的大小。
因为＞,＜,所以＞。
例2的分子和分母同时加上一个什么数以后，就变成?
解：显然经过约分。设约分前的分数是，分子、分母相差2a。而的分子、分母相差13－1＝12,当分子、分母加上同一个数后差不变，还是12。所以2a＝12，a＝6。由此推知，分子和分母同时加上的数是3a－1＝3×6－1＝17，或5a－13＝5×6－13＝17。
练习十一
1.填空。
(1)的分母减少6,要使分数大小不变,分子应该减少()。
(2)在和之间,分母是30的最简真分数有()个。
(3)比大,比小,分子是5的分数有()个。
(4)＜＜1,方框中能填的自然数有()。
(5)＞＞，方框中能填的自然数有()。
2.在○里填上“＞”、“＜”、“＝”。
(1)○(2)○(3)○(4)○
3.的分子、分母同时加上一个数以后等于,这个数是多少？
4.写出5个分数,这些分数的分子减去3以后都等于。
5.一个分数分子减1变成，分母减1变成，这个分数是多少？
6.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数中的任意两个数作分子和分母的真分数中：
(1)最大的是多少？(2)最小的是多少？(3)相等的有哪些？
第十二讲最小公倍数与最大公因数
例1传说古时候有一位将军,统帅了一支五千多人的队伍。队伍操练时遇到了一个让将军头疼的问题：无论2人一排，还是3人、4人……以至10人一排,最后一排总是少1人。你知道这支队伍有多少人吗?
解：不妨和将军开个玩笑,让他也站到队伍里,这样一来,因为增加了1个人,所以按上面的排法每次都能排成整排。可见增加1人以后的人数是2、3、4、……、10的公倍数。怎样求这个的公倍数呢?因为6、9、8、10分别是2、3、4、5的倍数,问题简化为求6、7、8、9、10的公倍数；又因为7、8、9的最小公倍数是7×8×9＝504,问题简化为求6、10、504的公倍数；又因为504是6的倍数,问题最后简化为求504与10的公倍数。504与10的公倍数有：2520、5040、7560……根据已知条件,取5040,5040－1＝5039,就是要求的数。所以这支队伍有5039人。
答：这支队伍有5039人。
例2有336个苹果、252个橘子、210个梨,用这些果品最多可以分成多少份同样的礼物?每份礼物中三种水果各多少个?
解：首先从“同样的礼物”想到,三种水果必需分成相同的份数；其次,从“最多可以分成多少份”想到,所分的份数要尽可能多。把二者联系起来,要求的“最多的份数”就是336、252、210这三个数的最大公因数。
因为几个数的最大公因数一定是这几个数的差的因数(为什么?)所以,这三个数的最大公因数,可以从比较接近的两个数252与210的差42中求得。42不是这三个数的公因数,42的一半21是这三个数的公因数,也就是最大公因数。所以最多可以分成21份同样的礼物。
每份礼物中有苹果336÷21＝16(个),橘子252÷21＝12(个)，梨210÷21＝10(个)。
答：用这些果品最多可以分成21份同样的礼物。每份礼物中有16个苹果,12个橘子，10个梨。
练习十二
1.一篮鸡蛋大约200多个。2个2个地数,3个3个地数,4个4个地数,5个5个地数,总是多1个,这篮鸡蛋有多少个？
2.有一堆苹果,3个3个地数,剩2个；5个5个地数,剩4个；7个7个地数,剩6个。这堆苹果至少有多少个？
3.一种长方形砖,长42cm,宽26cm,用这种砖铺一块正方形地面,至少要需要多少块？
4.有三根木料,分别长200cm、240cm、480cm。要把这些木料截成同样长的小段,并且尽可能长一些,一共能截多少段？
5.用96朵红花和72朵黄花扎成花束,要求每束花里的红花朵数相同,黄花朵数也相同,每束花至少有多少朵？
☆6甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天一次，乙每8天一次，丙每9天一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次到图书馆是几月几日？
第十三讲分数加减法
分数加减法有许多趣味题,这些趣味题既引人入胜又发人深思。
例1在□□－□□＝9的□里分别填入1、2、3、4、5、6、7、8八个数字,组成两个带分数,并且使等式成立。
解：带分数是由整数和分数两部分组成的，题中两个带分数的差是整数，说明这两个带分数的分数部分相等，而整数部分相差9。用上面8个数字中的4个数字组成两个相等的分数,有
＝、＝、＝、＝、＝、＝、＝、＝
取＝，再用剩下的数字4、5、7、8组成两个差是9的两位数,于是得到57－48＝9，完全满足题目的要求。
你还能想到其它的解吗?
例2计算1－－－－－－－－。
解：按照常规要先通分,可是,观察发现,算式中的前一个数总是后一个加数的2倍,也就是说,算式的含意实际上是每次去掉前一个数的一半，所以，最后去掉的和剩下的同样多。最后去掉的数是，所以，算式的得数就是。
由此得到的经验是：做题要针对题目特点采取灵活方法,不要墨守成规。
练习十三
1．把1、2、3、4、5、6六个数分别填入下式的□里，使等式成立。
□＋□＝10
2.在、、、、、中，哪几个分数的和等于1？
3.在、、、、这几个分数中，最大的分数减去最小的分数,差是多少?
4.一块布,第一次剪去全长的,第二次剪去全长的,第三次剪去后还剩全长的,第三次剪去全长的几分之几?
5.所有分母是9的真分数的和是多少？所有分母是10的真分数的和是多少？你有什么发现？
☆6.计算：＋＋＋＋＋＋＋。
第十四讲趣味数学题
1．下面是一个正方体，一只蚂蚁从顶点A出发要尽快爬到顶点G：
（1）如果只能沿着棱爬，应该怎样爬？
（2）如果可以在表面上任意爬，应该怎样爬？
HG
EF
DC
AB
2．少年宫1至4楼的8个房间分别是音乐、舞蹈、美术、书法、棋类、电脑、航模、生物8个活动室。已知：
（1）1楼是舞蹈室和电脑室；
（2）航模室的上面是棋类室；
（3）美术室和书法室在同一层楼上；
（4）音乐室和舞蹈室都不在单号房间。
你能判断出这8个活动室分别是什么号码吗？
3．比大比小分母是14的分数有多少个？如果分母是21、28呢？你发现了什么规律？如果原来的两个分数是和呢？如果原来两个同分母分数的分子相差a，分母扩大n倍呢？
4．用210个边长2cm的正方形，可以拼成多少种不同的长方形(长和宽互换的算作同一种)？
5．幼儿园把一批苹果分给大班和小班的小朋友，平均每人可以得到6个。如果只分给大班的小朋友，平均每人可以得到10个；如果只分给小班的小朋友，平均每人可以得到多少个？
6．你能写出3个比大，比小的异分母分数吗？
第十五讲考考你自己
1．下面有三个数:
987654320987654321987654322
其中，是9的倍数的是()；
2．在括号里填上适当的质数。
60＝()＋()
3．判断533是质数还是合数,如果是合数把它分解质因数。
4．下面的3个图中,图（）不可能是一个立方体表面的展开图。
图1图2图3
5．小梅有一张长方形彩色纸,长24cm、宽16cm,把它剪成尽可能大的正方形纸片,最多可以剪多少张？
6．图中大正方形的边长是12cm，小正方形的边长是8cm，求阴影部分的面积。
7.五一班开“六·一”联欢会,买来一箱苹果,大约有几十个,可是无论每盘放4个,还是放5个或6个,最后一盘总是少1个。这箱苹果有多少个？
8.学校体操队有运动员20人,其中是女同学,女同学有多少人？男同学有多少人？
9.一根长方体塑料棒,长5dm,把它沿垂直于长的方向锯成两段以后,表面积增加了0.2dm2,这根塑料棒体积是多少立方分米？
10.在分数的分子和分母上,都加上一个相同的数,得到的分数约分后等于。所加上的相同的数是多少？
参考答案
第一讲对称、平移、和旋转
1．(略)。2．(10＋8)×2＋3×2＝42(m)。
3．把图形旋转180°后与原图拼成一个长方形，长3m、宽2.8m，所以原图的面积是3×2.8÷2＝4.2(m2)。
4．如图，AD
EF
BHKC
从F作AB的平行线与BC相交于K，得到三角形KFC。如果把三角形KFC绕F旋转，使C与D重合，那么，原来的梯形将会变成一个平行四边形，于是EF＝192÷8＝24(cm)。
5．如左下图：
无论右边的正方形旋转到什么位置，两个阴影三角形的面积都是相等的，不妨把右边的正方形旋转到一个特殊位置(右上图)，可见重叠的部分的面积是2×2÷4＝1(㎝2)。
6．四边形ABB1C的面积等于两个完全相同的三角形ABB1与ACB1面积的和。因为AB1与BC垂直，BC就是这两个三角形的高的和，所以四边形ABB1C的面积等于BC×AB1÷2＝8×8÷2＝32(㎝2)。因此五边形ABB1CC1的面积是(32÷2)×3＝48(㎝2)。
第二讲巧算面积
1．(1)6.5cm2；(2)6.5cm2。2.36cm2。3.(2)、(4)、(7)、(8)、(9)。
4．6×6÷2＝18(㎝2)。
5．因为AC平行于EG，所以，△AEG的面积是CG2÷2＝18(㎝2)。显然，本题是上题的变形，AB＝8㎝可以省略。
第三讲因数与倍数
1．(略)。2．329218107。3．1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。
4.“☆”代表3。
5．最终只需考虑末三位数能被8整除，所以这个数是9876543120。
6.56元。7.719820219825。8．1479。
第四讲奇数与偶数
1．不能。因为“1”、“3”、“7”都是奇数，5个奇数的和仍然是奇数，而20是偶数。
2．三个自然数只有奇数、奇数、奇数；偶数、偶数、偶数；奇数、奇数、偶数；偶数、偶数、奇数四种情况，每种情况中要么有两个奇数，要么有两个偶数，而这两个奇数或偶数的和肯定是偶数。
3．三棵挂牌的树与第一棵树相距的米数是三个自然数。与上题相仿，三个自然数中，要么有两个奇数，要么有两个偶数，而这两个奇数或偶数的差肯定是偶数，所以，至少有两棵树之间的距离是偶数米。
4．每次翻转两枚后，总会有奇数个硬币下面朝上，所以，小明用手捂住的那枚硬币正面朝上。
5．根据“每个老实人两边都是骗子，每个骗子两边都是老实人。”说明老实人与骗子人数相等，总人数是偶数。而45是奇数，说明张三说了假话，是骗子。李四却说张三是老实人，也说了假话，说明李四也是骗子。
6．根据“每个儿童的左右相邻的都恰好是一个男孩和一个女孩”，这队少年儿童的坐法一定是两个男孩两个女孩相邻，即男男女女男男女女……地围成一圈。所以总人数应该是4个倍数，最多有48人。
第五讲质数与合数
1．2．(略)。3．(1)2×37＝74。(2)29×31＝899。(3)5和2。
4.5、17、29、41、53。5．10、21、12、33、4、15、6、27、8、9。
6.
第六讲分解质因数
1．7920＝2×2×2×2×3×3×5×11＝(2×2×2)×(3×3)×(2×5)××11＝8×9×10×11，这四个小孩分别是8岁、9岁、10岁、11岁。
2.199771＝11×11×13×127
3．4074＝2×3×7×97＝(2×7)×3×97＝14×3×97，14岁，97分，第3名。
4．14×55×39＝33×35×26
5.132＝12×11,156＝12×13,143＝13×11，a＝11，b＝12，c＝13，a＋b＋c＝36。
6．(1)935＝5×187,942＝2×3×157，975＝5×5×39，要填2×2×2×5＝40。
(2)积末尾的每个0可以看成是由1个质因数2和1个质因数5相乘得来的。含有质因数2的因数有100÷2＝50个，并且有的因数所含的质因数2还不止一个，所以积的质因数2在50个以上。含有质因数5的因数有100÷5＝20个，不过，其中25、50、75、100这4个因数各含有2个5，所以积的质因数5共有20＋4＝24个。因此，积的末尾有24个0。
第七讲长方体和正方体的概念
1．至3．(略)。
4．把八个数分成1、8，2、7,3、6,4、5四组，每组填在一条棱的两端，再适当调整。
5．从两图可以看出，1的对面不是3、5、2、4，只能是6。从右图看出，1、4、2绕共同的顶点顺时针旋转，因此，从左图可以想到3的对面是4,5的对面是2。
☆6．可以想象，7个不带红色的小正方体，一定处于这个长方体内部并且连成一条，在它的外面包着一层带红色的小正方体，而只有在棱上而不在顶点处的小正方体才会有两个面带红色，所以这样的小正方体共有7×4＋1×4＋1×4＝36(个)。
第八讲长方体和正方体的表面积
1．2.(略)。3．1200块。4．71平方米。
5．从上面看3×3＝9(cm2)，从前、后、左、右看，各1＋2＋3＝6(cm2)，总共9＋6×4＝33(cm2)。6．5×5×4＋5×3×12＝280(cm2)。
第九讲长方体和正方体的体积
1．(略)。
2．锯成5段，有4个锯口，每个锯口产生2个新面，每个新面的面积是2÷(2×4)＝0.25(m2)，所以体积是0.25×10＝2.5(m3)。
3．各面上没有漆的3块一定位于木块中心，说明长方体木块的长是1＋3＋1＝5(厘米)，宽和高都是1＋1＋1＝3(cm)，体积是5×3×3＝45(cm3)。
4．1536cm3。
5．观察发现，当这个正方体被切开时，一共有1＋2＋3＝6(个)切口，每个切口产生2个面，每个面的大小与正方体的一个面相等。而所切成的小长方体的表面总和，除了这些面以外，还有正方体原来的6个面，所以，这些小长方体表面积的总和，等于正方体一个面的面积的2×6＋6＝18倍，因此正方体一个面的面积是162÷18＝9(cm2)，原来的表面积是9×6＝54(cm2)。
☆6．长方体被截后，侧面积减少。截成了正方体，说明长方体的上下底面是正方形，周长是120÷5＝24(cm)，边长，也就是截成的正方体的棱长，是24÷4＝6(cm)。所以，长方体的高是6＋5＝11(cm)，体积是6×6×11＝396(cm3)。
第十讲分数的意义和性质(一)
1.(1)3。(2)加上一个分数单位与减去一个分数单位，相差2个分数单位。因为1－＝，所以要求的分数单位等于的一半，是＝，这个分数是1－＝。(3)11个。(4)5。
2．有、、、、、、、、、、、、、、、共16个。
3.(1)5人；(2)30人；(3)9人。4.200本。5．、、。
☆6.140＝2×2×5×7，相同的质因数要么都在分子，要么都在分母，所组成的分数从小到大排列是、、、，第三个是。
第十一讲分数的意义和性质(二)
2.(略)。3.2。4.、、、、等。5.。
6．(1)。(2)。(3)＝＝＝，＝＝，＝。
第十二讲最小公倍数与最大公因数
[2,3,4,5]＝60,60×4＋1＝241(个)。2．[3,5,7]＝105,105－1＝104(个)。
3．[42,26]＝546，(546÷42)×(546÷26)＝273(块)。
4．(200,240,480)＝40，(200＋240＋480)÷40＝23(段)。
5．(96,72)＝24，(96＋72)÷24＝7(朵)。
☆6.6、8、9的最小公倍数是72，3月5日再过72天是5月16日。
第十三讲分数加减法
1.5＋4＝10。2．3.(略)。4.1－－－＝。
5.所有分母是9的真分数的和是4。所有分母是10的真分数的和是4。当分母是n时，和S＝。
☆6．原式＝8－(＋＋＋＋＋＋＋)＝8－＝7
第十四讲趣味数学题
1．(1)A－B－C－G，A－B－F－G，A－E－F－G，A－E－H－G，A－D－C－G，A－D－H－G。（2）A－BF的中点－G，A－EF的中点－G，A－EH的中点－G，A－HD的中点－G，A－CD的中点－G，A－BC的中点－G。
2．舞蹈室在101号，电脑室在102号，美术室在201号，书法室在202号，音乐室在301号，航模室在302号，生物室在401号，棋类室在402号。
3．规律是an－1。
4．因为210＝2×3×5×7，所以，210＝1×210＝2×105＝3×70＝5×42＝6×35＝7×30＝10×21＝14×15，共8种。
5．苹果的总个数应该是6和10的公倍数，而6和10的最小公倍数是30，所以这批苹果有30a个。大班和小班共有30a÷6＝5a(人)，大班有30a÷10＝3a(人)，小班有5a－3a＝2a(人)，平均每人得到30a÷2a＝15(个)。
6．把和的分子、分母分别相加得到,＜＜；同理，＜＜,＜＜，所以要求的3个分数可以是、、。
第十五讲考考你自己
1．987654321
2．60＝7＋53＝13＋47＝17＋43＝19＋41＝23＋37＝29＋31
3．533是合数，533＝13×41。
4．图3
5．24和16的最大公因数是8。最多可以剪(24÷8)×(16÷8)＝6(张)。
6．12×12÷2＝72(cm2)。
7．4、5、6的最小公倍数是60。这箱苹果有60－1＝59(个)。
8．女同学有20÷5×3＝12(人)，男同学有20－12＝8(人)。
9．5×(0.2÷2)＝0.5(dm3)。
10．所加上的数是3。
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