第一讲计算综合
1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3；
2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：
3．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．
已知a=试比较a、b的大小.
【分析与解】
其中A=99,B=99+因为A98+，
所以有a
2.试求的和？
【分析与解】记则题目所要求的等式可写为：
而
所以原式的和为1．
评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．
试求1+2+3+4+…4+100的值?
【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．
方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+…97+98+99+100
100+99+98+97+96+…4+3+2+1,
上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为
10l×100÷2=5050．
方法三：整数裂项(重点)，
原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2
=
=
=
=5050.
试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100．
【分析与解】方法一：整数裂项
原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3
=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3
方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n2=
原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99
=12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99
=
=328350+4950
=333300．
5．计算下列式子的值：
0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0
【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+24+3×5+46+…+9799+98×100。再除以100．
方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法．
0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×100)÷100
=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+…+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100
=[(1×2+2×3+3×4+4×5+…+97×98+98×99)+(1+2+3+4+…+97+98)]÷100
=(×98×99×100+×98×99)÷100
=3234+48.51
=3282.51
方法二：可以使用平方差公式进行计算．
0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8×10.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×l00)÷100
=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)÷100
=(11+22+32+42+52+…+992-99)÷100
=(×99×100×199-99)÷100
=16.5×199-0.99
=16.5×200-16.5-0.99
=3282.51
评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项．
1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×n
=×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+(n-1)×n×3]
=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+…+(n-1)×n[n+1-(n-2)]}
=
=
6.计算下列式子的值：
【分析与解】虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+…+n2=×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有
减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?
=
=
=
=
=
=
=
7．计算下列式子的值：
【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.
显然12+1=2;
所以原式=198012×2=396024．
习题
计算17×18+18×19+19×20+…+29×30的值．
提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.
答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.
第二讲数字谜综合
内容概述
各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．
典型问题
1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?
【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．
A显然只能为1，则BCD+EFG=993，
当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积；
当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积；
它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000．
2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是,,,,另外4个数的分母个位数字都是5．请写出这4个分数．
【分析与解】l一(++++)==
需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．
经试验得693+231+77+9=1010．
所以，其余的4个分数是：,,,.
3.
请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式．
【分析与解】1988=2×2×7×7l=4×497，+＝，在等式两边同时乘上，就得+＝．显然满足题意．
又+=，两边同乘以，就得+＝．显然也满足．
+＝，+＝均满足.
4．小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数○1=
对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?
【分析与解】甲组的前三个数0.625，，都是小于1的数，2与这三个数运算后，得5.05，4，4；不论减1还是加l后，这三个数都比2大，而这是2与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号．
现在验算一下：
2÷0.625=×==4.05；
2÷=×=3；
2÷=×==3；
2÷3=.
从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4是错的．
按照算式
乙组的数÷甲组的数+1…………………………
2÷3+1=1，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.5÷3+1=1，而1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷+1=3.25．
由此可见，确定的算式是正确的．
表中有两个错误，4应改为4，2应改为1.5，
4+1=5+=6．
改正后的两个数的和是6．
5．图14—3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上．
(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由．
(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
【分析与解】(1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等．
事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k．
在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次．
因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：
8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的．
(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1+1+2=4，最大为3+4+4＝11．
而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法．
6．图14—5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有的圆圈中所填的数．
【分析与解】表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a；
在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+…11)+4a＝66+4a．
综合以上两式，
①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18．
考虑到含有的五条线，有4+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90．即4-t=24，由t是1～11间的数且t≠，可知=7，而每行相等的和S为18.
表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有的圆圈标为x，
首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有：
(1＋11)×11÷2+a=4S，即66+a=4S．
再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S．
综合两个等式，可得a为6，每条直线上和S为18．
最后考虑含x的五条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)．其中除了x出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：
66+4x－e=5S=90，即4x-e=24，由e是1—11间的数且e≠x可知x=7．
即每行相等的和S为18，所填的数为7．
7．一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数．已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数．
【分析与解】方法一：=，=，＝，＝，＝，＝。
对应有142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍．
且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意．
所以这个六位数为142857．
方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为，那么6个六位数中必定存在一个数为.
而个位数字1，只能由1×1，3×7或9×9得到．但是只能对应为×(2—6)，所以只能是×3得到．即=×3．
于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857．
方法三：部分同方法二，=×3．
那么有×10+l=(100000+)×3，解得=42857．
所以这个六位数为142857．
第三讲最值问题
内容概述
均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．
典型问题
1．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?
【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．
则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．
这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．
方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，
有，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．
评注：不能把不等式列为，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.
2．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．
【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ尽可能的小．
则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．
则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．
所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．
评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．
3．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?
【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我
们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．
然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．
8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;
9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．
所以，最小值为312．
4．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?
【分析与解】设这个两位数为=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(moda+b)，
设最大的余数为k，有9a≡k(moda+b)．
特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；
所以当除数a+b不为18，即最大为17时，
:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；
：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，
除数a+b=17时，有9a=15+17m,有,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；
除数a+b=16时，有9a=15+16m,有(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；
所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．
5．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?
【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：
得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：
但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：
再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：
，所以差最大为784．
6.4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?
【分析与解】设这四个分数为上、、、(其中m、n、a、b均为非零自然数)
有+=+，则有-=-，
我们从m=1,b=1开始试验：
=+=+，=+=+，
=+=+，=+=+，
=+=+，﹍
我们发现，和分解后具有相同的一项，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：
+=+，所以最小的两个偶数和为6+10=16．
7.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？
【分析与解】13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．
但是我们必须验证看是否有实例符合．
当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：
当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；
当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．
类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．
所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．
第四讲几何综合
内容概述
勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．
典型问题
1．如图30-2，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?
【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG的边长为x，有：
又
阴影部分的面积为:
(平方厘米).
方法二：连接FC，有FC平行与DB，则四边形BCFD为梯形．
有△DFB、△DBC共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC的面积(平方厘米)．
阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．
2.如图30-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?
【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，
有∠I=1800-(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800
同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800,
∠D=∠8+∠9-1800,∠C=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800
而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600．
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=9000
3．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1
【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．
第一类情况：以为特征的有7组：
第二类情况：以为特征的有6组：
第三类情况有如下三组：
共有16组解，它们是：
(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．
(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．
(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，
(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，
(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，
(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12).
(1,2,2.4,4.8,5),
.
4.如图30-8，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB,BC的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?
【分析与解】如下图所示，连接EC，并在某些点处标上字母，
因为AE平行于DC，所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2，所以,
,且有,所以,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD=1:2，同理FH：HD=1:2．
有,而(平方厘米)
有EG:GD=,
所以(平方厘米)(平方厘米)
同理可得(平方厘米),(平方厘米),(平方厘米)
又=24-12=12(平方厘米)
所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)．
5．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．
设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为.所以原题中阴影部分面积为(平方厘米)．
6．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．
【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B．
大半圆的面积为小圆的面积.
而小圆的面积为，则，
原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为
7.如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积．(取3.14)
【分析与解】如下图所示，
如下图所示，端点A扫过的轨迹为，端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．
显然有阴影部分面积为,而直角三角形、ACD面积相等．
所以
即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．
第五讲数论综合
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．
1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?
【分析与解】我们知道如果有5个连
续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5．
:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；
如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；
所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．
：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．
：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．
至于n取1显然不满足了．
所以满足条件的n是4．
2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的最大可能值是多少?
【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，
67，71，73，79，83，89，97．
可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．
所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．
3．如果某整数同时具备如下3条性质：
①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数；
③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．
【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．
其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．
所以两位幸运数只有14．
4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?
【分析与解】555555=5×111×1001
=3×5×7×11×13×37
显然其最大的三位数约数为777．
5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?
【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．
不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．
6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．
【分析与解】设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．
小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．
所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．
所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．
7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?
【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．
由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：
将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．
所以，至少要分成3组．
8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?
【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．
小圆周长为×30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍数时120．
120÷30=4．120÷24=5．
所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时两只甲虫相距最远．
9．设a与b是两个不相等的非零自然数．
(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?
(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?
【分析与解】(1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．
:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；
:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；
：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；
当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；
：当a=12时，b无解；
:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．
总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．
(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b．
：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；
．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10；
：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；
当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3；
:当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．
总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．
10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?
【分析与解】由于÷=，÷=．
所以狐狸跳4个米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个米的距离时，将掉进陷阱．
又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.
距离为9×=40.5(米)．
11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)
【分析与解】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．
1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．
12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?
【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数．
即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．
于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．
所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51．
于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍)．
当A为51时，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不满足；
当A为17时，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；满足．
所以，除数4为17．
13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．
【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除．
现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．
评注：设奇数为2n+1，则它的平方为+4n+1，显然除以4余1．
14．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?
【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．
八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．
从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．
观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．
因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．
15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?
【分析与解】10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位．
不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个．
由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．
又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2．
同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4．
由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点．沿这些刻度点把木棍锯成28段．
第六讲列方程解应用题
内容概述
列方程解决问题是一种很重要的通法，以前我们往往将应用题分成：鸡兔同笼、年龄问题、还原问题等等，再归纳出每一类问题的解法．而现在我们就可以利用方程统一来考虑这些问题．方程思想的建立可以说是一个很大的飞跃．
下面我们就如何找好等量关系，如何建立方程给出一些示范，希望大家体会掌握以提高自己的解题能力．
典型问题
1．有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，第二人拿走2个和余下的，第三人拿走3个和余下的，……，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，问：共有多少鸡蛋?分给几个人?
【分析与解】设原有个鸡蛋，那么第一人拿了个鸡蛋，第二人拿了个鸡蛋．
解得，则第一人拿了个鸡蛋，所以共有64÷8＝8人.
即共有64个鸡蛋，分给8个人．
2.某人每日下午5时下班后有一辆汽车按时接他回家．有一天，他提前l小时下班，因汽车未到，遂步行返家，在途中遇到来接他的汽车，因而比平日早16分钟到家，问此人是步行几分钟后遇见汽车的?
【分析与解】设此人在步行分钟以后遇见汽车，汽车的速度为“１”，汽车从家到单位需要分钟．
由家到单位的总路程为，如果汽车在4时就在单位接他，他应该提前1小时到家，但是现在只提前16分钟到家，说明相对汽车他在分钟这段路程上耽搁44分钟，所以汽车走这段路程只需要－44分钟．
而汽车是从5：00-从家出发，在4：00+达到相遇点．所以行驶-60分钟．
，有．
所以，此人是在步行52分钟后遇见汽车的．
3．一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A．请问有多少学生只答对B?
【分析与解】设不只答对A的为人，仅答对B的为人，没有答对A但答对B与C的为z人．
解得：，
=7时，、都是正整数，所以。
故只答对B的有6人．
4．河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，共用3小时．若他由R到Q再到P，共需６小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P到Q再到R需小时．问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时?
【分析与解】设游泳者的速度为1，水速为y，PQ=a，QR=b，则有：
，
且有1+y、?1—y、y均不为0．
①-②得，即……………………………………………………………………④
③-①得，即………………………………………………………………⑤
由②、④、⑤得
，即.
于是，.由②得.
小时.
即题中所述情况下从R到Q再到P需小时．
第七讲方程与方程组
内容概述
二元、三元一次方程组的代入与加减消元法．各种可通过列方程与方程组解的应用题，求解时要恰当地选取未知数，以便于将已知条件转化为方程．
典型问题
1．一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数
约简后是．那么原来的分数是多少?
【分析与解】方法一：设这个分数为，则分子、分母都减去19为,即,解得,则122-33=89．所以原来的分数是
方法二：设这个分数为变化后为，那么原来这个分数为，并且有=122,，解得。=14．所以原来的分数是．
2．有两堆棋子，A堆有黑子350和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占50％，B堆中黑子占75％，那么要从B堆中拿到A堆黑子多少个?白子多少个?
【分析与解】要使A堆中黑、白子一样多，从B堆中拿到A堆的黑子应比白子多150个，设从B堆中拿白子个，则拿黑子(+150)个．
依题意有=75％,解得=25.所以要拿黑子25+150=175个．白子25个
．
3．A种酒精中纯酒精的含量为40％，B种酒精中纯酒精的含量为36％，C种酒精中纯酒精的含量为35％．它们混合在一起得到了纯酒精的含量为38．5％,的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升．那么其中的A种酒精有多少升?
【分析与解】设c种酒精x升，则B种酒精戈x+3升，A种酒精ll-x-(x+3)升.有：[11-x-(x+3)]+4％+(x+3)×36％+x×35％=11×38．5％解得x=0.5．
其中A种酒精为11-2x-3=7(升)．
4.校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。下午有位同学问老师现在的时间，老师说：从开校门到现在时间的加上现在到关校门时间的，就是现在的时间．那么现在的时间是下午几点?
【分析与解】设现在为下午点．那么上午6：00距下午点为6+小时；下午点距下午6：40为6小时．
有：，解得x=4．所以现在的时间为下午4点．
5．如图18—2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是．图18-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是的2倍．求这个自然数．
【分析与解】由题意知整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．
于是，[(80+1)×8+1]×8+1=1993．
6．一堆彩色球，有红、黄两种颜色．首先数出的50个球中有49个红球；以后每数出的8个球中都有7个红球．一直数到最后8个球，正好数完．如果在已经数出的球中红球不少于90％，那么这堆球的数目最多只能有多少个?
【分析与解】方法一：首先数出的50个球中，红球占49÷50×100％=98％．以后每次数出的球中，红球占7÷8×100％=87．5％．取得次数越多，红球在所取的所有球中的百分数将越低．设取得次后，红球恰占90％．共取球50+8z，红球为49+7．
(49+7)÷(50+8)×100％=90％，解得=20，所以最多可取20次，此时这堆球的数目最多只能有50+8×20=210个．
方法二：设,除了开始数出的50个球，以后数了次，那么,共有红球49+7n，共有球50+8n,有≥90％，即49+7n≥45+7．2n,解得≤20，所以n的最大值20.
则这堆球的数目最多只能有50+8×20：210个．
7.有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?
【分析与解】设这些人中的年龄从大到小依次为、、、，
①+②+③十④得：2(+y+z+)=90，
则=15…………………………………………⑤
①-⑤得：,=21；
④-⑤得：，z=3；
所以最大年龄与最小年龄的差为=21—3=18(岁)．
第八讲行程与工程
内容概述
运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题．工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题．
典型问题
1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的．当小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千米?
【分析与解】BE是BC的，CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：
另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G．
小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．
因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷=18(分钟)．
因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟．
从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；
从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；
A至D全程长是(36+54)×+30×=11.5千米．
2．如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?
【分析与解】×4=即蓝精灵跳4次到A点．圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点．
圆半径乘以4后，跳16次到A点．
依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点．
1000次跳完后圆周长是1×=128米．
3．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?
【分析与解】方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49．
设单位时间内猫跑1米，则狗跑米，兔跑米．
狗追上猫一圈需300÷(-1)=单位时间，
兔追上猫一圈需300÷(-1)=单位时间．
猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍.
与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大
公约数,即=8437.5．
上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了8437.5米，狗跑了
8437.5×=23437.5米，兔跑了8437.5×=16537．5米．
方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间，兔跑21步的时间相同．
所以猫、狗、兔的速度比为，它们的最大公约数为
.
即设猫的速度为，那么狗的速度为
，则兔的速度为．
于是狗每跑300÷(625-225)=单位时追上猫；
兔每跑300÷(441-225)=单位时追上猫．
而，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇．
有猫跑了×225=8437.5米，狗跑了×625=23437.5米，兔跑了×441=16537.5米．
评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是单位，可是答案却是一样的，为什么呢?
在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误．
于是狗每跑300÷(625-225)×625=米追上猫；
兔每跑300÷(441-225)×441=米追上猫；
而，…
4．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?
【分析与解】如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为：
而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3．
因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．
于是，甲步行的距离为2×=0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米；
所以甲需要时间为()×60=19.2分钟
环形两周的最短时间为19.2分钟．
参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米；
乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车)；
丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米．
5．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天?
【分析与解】晴天时，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高-=；雨天时，一队、二队的工作效率分别为×(1-40%)=和×(1-10%)=,这时二队的工作效率比一队高-=.
由:=5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的×3+×5=，所以，整个施工期间共有6个晴天,10个雨天.
6．画展9时开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队．那么第一个观众到达的时间是8时几分?
【分析与解】由题意可得两个等式，如下：
(开门前排队人数)+(9分钟内到的人数)=3×(每个入口每分钟进的人数)×9①
(开门前排队人数)+(5分钟内到的人数)=5×(每个入口每分钟进的1人数)×5②
①-②得:4分钟内到的人数=2×(每个人口每分钟进的人数)……③
从而有:每个入口每分钟进的人数=2×(每分钟进的人数)……④
代入②得，开门前排队人数=25×2-5=45分钟内到的人数．
因此第一个人是8点15(=60-45)分到达的．
7．甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕．问丙在A仓库做了多长时间?
【分析与解】设第一天的每个仓库的工作量为“1”，
那么甲、乙、丙的合作工作效率为=，第二天，甲、乙、丙始终在同时工作，所以第二天两个仓库的工作总量为×16=4，即第二天的每个仓库的工作总量为4÷2=2．
于是甲工作了16小时只完成了16×=的工程量，剩下的2-=的工程量由丙帮助完成，则丙需工作÷=6(小时).
丙在A仓库做了6小时．
第九讲比和比例
两个数相除又叫做两个数的比．
一、比和比例的性质
性质1：若a:b=c：d，则(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；
性质2：若a:b=c：d，则(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；
性质3：若a:b=c：d，则(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x为常数)
性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．
二、比和比例在行程问题中的体现
在行程问题中，因为有速度=，所以：
当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；
当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；
当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．
1．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数．
【分析与解】
方法一：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A为136，B为85．
方法二：因为减少的数相同，所以前后A、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85．
2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?
【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？
(x+56)：x=60：120，即(x+56)：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232．
即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，
3．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房第一单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?
【分析与解】如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率．
4．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，公鸡、母鸡数量之比是1：3，公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．
【分析与解】公鸡占家禽场家禽总数的
=，母鸡占总数的；
公鸭占总数的，母鸭占总数的；
公鹅占总数的，母鹅占总数的，公鹅、母鹅数量之比为：3：2．
5．在古巴比伦的金字塔旁，其朝西下降的阶梯旁6m的地方树立有1根走子，其影子的前端正好到达阶梯的第3阶(箭头)．另外，此时树立l根长70cm自杆子，其影子的长度为175cm，设阶梯各阶的高度与深度都是50cm，求柱子的高度为多少？
【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm;
所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍．
于是，影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5m．
6．已知三种混合物由三种成分A、B、C组成，第一种仅含成分A和B，重量比为3：5；第二种只含成分B和C，重量比为I：2；第三种只含成分A和C，重量之比为2：3．以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A，B和C，这三种成分的重量比为3：5：2?
【分析与解】注意到第一种混合物种A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同，均为3：5.所以，先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到3：5，再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种混合物中A、B视为单一物质.
第二种混合物不含A，第三种混合物不含B，所以1.5倍第三种混合物含A为3，5倍第二种混合物含B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.5．
于是此时含有C为5×2+1.5×3=14.5，在最终混合物中C的含量为3A／5B含量的2倍．有14.5÷2-1=6.25，所以含有第一种混合物6.25．
即第一、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6．
7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、女工各多少人?
【分析与解】直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐．
设开始男工为“1”，此时女工为“k”，有1名男工相当k名女工．男工、女工人数对调以后，则男工为“k”，相当于女工“k2”，女工为“I”．
有k2：1=36：25，所以k=．
于是，开始有男工数为×1100=500人，女工600人．
8．有甲乙两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少?
【分析与解】标准的时钟每隔分钟重合一次．
假设经历了x分钟．
于是，甲钟每隔分钟重合一次，甲钟重合了×x次；
同理，乙钟重合了×x次；于是，需要乙钟比甲钟多重合
×x-×x=×x=10;
所以，x=24×60；
所以要经历24×60×65分钟，则为天.
于是为65天小时分钟．
9．一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天．后来，由一队工人与二队工人组成新一队，其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新一队早完工6天．试求前后两次工程的工作量之比?
【分析与解】一队与二队的工作效率之比为：(3×5)：(4×4)=15：16．
一队干前一个工程需9÷=144天．
新一队与新二队的工作效率之比为：
新一队干后一个工程需6÷=282天．
一队与新一队的工作效率之比为
所以一队干后一个工程需282×天．
前后两次工程的工作量之比是144：(282×)=(144×45)：(282×46)=540：1081.
第十讲应用题综合
内容概述
较为复杂的以成本与利润、溶液的浓度等为内容的分数与百分数应用题．要利用整数知识，或进行分类讨论的综合性和差倍分问题．
典型问题
1．某店原来将一批苹果按100％的利润(即利润是成本的100％)定价出售．由于定价过高，无人购买．后来不得不按38％的利润重新定价，这样出售了其中的40％．此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2％．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少?
【分析与解】第二次降价的利润是：
(30.2％-40％×38％)÷(1-40％)=25％，
价格是原定价的(1+25％)÷(1+100％)=62.5％.
2．某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10％，买三件降价20％，最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售．那么买三件的顾客有多少人?
【分析与解】3×(1-20％)+1×100％=340％=4×85％，所以1个买一件的与1个买三件的平均，正好每件是原定价的85％．
由于买2件的，每件价格是原定价的1-10％=90％，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于
3×(2×90％)+2×(3×80％)=12×85％．
所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3．
于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件．共买76件，所以后一种
(76-33×)÷(-)=25(人)．
其中买二件的有：25×=15(人)．
前一种有33-25=8(人)，其中买一件的有8÷2=4(人)．
于是买三件的有33-15-4=14(人)．
3.甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒人甲容器．这样甲容器中的纯酒精含量为62.5％，乙容器中的纯酒精含量为25％．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米?
【分析与解】设最后甲容器有溶液立方分米，那么乙容器有溶液(11+15-)立方分米．
有62.5％×+25％×(26-)=11，解得=12，即最后甲容器有溶液12立方分米，乙容器则有溶液26-12=14立方分米．
而第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，那么在第二次操作前，即第一次操作后，乙容器内含有水15立方分米，则乙容器内溶液15÷(1-25％)：20立方分米.
而乙容器最后只含有14立方分米的溶液，较第二次操作前减少了20-14=6立方分米，这6立方分米倒给了甲容器.
即第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米.
4．1994年我国粮食总产量达到4500亿千克，年人均375千克．据估测，我国现有耕地1.39亿公顷，其中约有一半为山地、丘陵．平原地区平均产量已超过每公顷4000千克，若按现有的潜力，到2030年使平原地区产量增产七成，并使山地、丘陵地区产量增加二成是很有把握的．同时在20世纪末把我国人口总数控制在12.7亿以内，且在21世纪保持人口每年的自然增长率低于千分之九或每十年自然增长率不超过10％．请问：到2030年我国粮食产量能超过年人均400千克吗?试简要说明理由．
【分析与解】山地、丘陵地区耕地为1.39÷2≈0.70亿公顷，那么平原地区耕地为1.39-0.70=0.69亿公顷，因此平原地区耕地到2030年产量为:4000×0.69×1.7=4692(亿千克)；
山地、丘陵地区的产量为：(4500-4000×0.69)×1.2=2088(亿千克)；
粮食总产量为4692+2088=6780(亿千克)．
而人口不超过12.7×1.13≈16.9(亿)，按年人均400千克计算．共需400×16.9=6760(亿千克)．
所以，完全可以自给自足．
5．要生产基种产品100吨，需用A种原料200吨，B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E种原料180吨．现知用A种原料及另外一种(指B，C，D，E中的一种)原料共19吨生产此种产品10吨．试分析所用另外一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨?
【分析与解】我们知道题中情况下，生产产品100吨，需原料190吨。
生产产品100吨，需A种原料200吨，200190，所以剩下的另一种原料应是生产100吨，需原料小于190吨的，B、C、D、E中只有E是生产100吨产品。只需180吨(180190)，所以另一种原料为E，
设A原料用了吨，那么E原料用了19-吨，即可生产产品10吨：
×+(19-)×=10,解得=10．
即A原料用了10吨，而E原料用了19-10=9吨．
6．有4位朋友的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别是99，113，125，130，144．其中有两人没有一起称过，那么这两个人中体重较重的人的体重是多少千克?
【分析与解】在已称出的五个数中，其中有两队之和，恰好是四人体重之和是243千克，因此没有称过的两人体重之和为243-125=118(千克)．
设四人的体重从小到大排列是、、、，那么一定是+=99，+：=113．
因为有两种可能情况：+=118，+=125；
或+=118．+=125．
因为99与113都是奇数，=99-，=113-，所以与都是奇数，或者与都是偶数，于是+一定是偶数，这样就确定了+=118．
、、三数之和为：(99+113+118)÷2=165．
、中较重的人体重是，
=(++)-(+)=165-99=66(千克)．
没有一起称过的两人中，较重者的体重是66千克．
补充选讲问题
1、A、B、C四个整数，满足A+B+C=2001，而且1请问：A、B、C分别为多少?
【试题分析】我们注意到：
①1+A<1+B<1+C②1+A<1+B先看①1+A
(A-1)：(B-1)：(C-1)=2：3：4，A+B+C=2001
A-1+B-l+C-1=1998．
于是A-l=1998×=444，A=444+1=445；
B=1998×+l=667；C=1998×+l=889．
再看②l+A
(A-1)：(B-1)：(C-1)=1：2：4，A+B+C=2001．
A-1+B-1+C-1=1998．
于是A-1=1998×，A不是整数，所以不满足．
于是A为445，B为667，C为889．
7．甲、乙两人参加同一场考试，又同时在上午10点离开考场，同时午饭．但甲说：“我是在午饭前2小时与考试开始后1.5小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的．”乙说：“我是在午饭前2.5小时与考试后1小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的”．求考试开始和午饭开始的时间．
【分析与解】由题中条件知，午饭前2小时，考试开始后1.5小时，早者为10点；于是，有两种情况：
第一种情况：午饭开始前2小时较早，为10点，有午饭(10+2=)12点开始，
而考试开始后1.5小时应超过10时，即考试开始的时间在8点30分以后；
那么午饭前2.5小时为12-2.5为9点30分，而考试开始后1小时在9点30分后，所以，晚者为考试开始后1小时，为10点，所以10-1=9点开始考试的；
第二种情况：考试开始后1.5小时较早，为10点，有10-1.5为8点30分开始考试，午饭前2小时超过10点，则午饭应在12点以后；
那么午饭前2.5小时应在9点30分之后，而考试后1小时为9点30分，有午饭前2.5小时为晚者，为10点，所以午饭是在10+2.5即12点30分开始的．
综合这两种情况，有下表 |
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