函数、极限与连续
本章知识结构导图
§1.1预备知识
这里我们将对集合、实数集、区间与邻域等作一简单介绍.并鉴于初学者在学习本课程前所掌握的初等数学的差异,我们还适当地介绍或复习初等数学中的一些重要结果和公式,供学习者选用.
一、集合
集合是数学中一个基本的概念,我们可通过例子来理解它.某一个教室里的学生构成一个集合;太阳及围绕太阳运动的星体构成集合,称为太阳系;所有有理数构成集合,称为有理数集;全体实数也构成一个集合,称为实数集,等等.
一般地,集合（简称集）就是具有某种属性的事物的全体.集合一般用大写字母,,,来记,而组成这个集合的事物称为该集合的元素,一般用小写字母,,,来记.
事物是集合的元素记作（读作属于）;
事物不是集合的元素记作（读作不属于）.
很显然,事物与集合的关系是:要么,要么.
集合一般有两种表示法,即列举法和描述法.所谓列举法就是集合中的所有元素都列出来的方法,而描述法就是通过给出元素的特性来表示集合的方法.
例如,由五个数所构成的集合,用例举法表示为,而用描述法表示为;又例如,满足方程的全体根的集合,用列举法表示为;用描述法表示为.
由此可见,一个集合可以有不同的表示法,即集合的表示法不是惟一的.
只含有一个元素的集合也叫单元集;不含有任何元素的集合叫空集,记为.
与.
可以看出中的每一个元素都是中的元素,我们称为的子集,并记作.
设,是两个集合,如果,,则称与相等,记作.很明显,两个集合只有含相同元素时才相等.
设集合,,,如果,则或,则称为与的并集,记为:
,显然有且.例如.
设集合,,,如果,则且,则称为与的交集,记为:
,可以看出是由,的公共元素所构成的,显然有且.例如.
【例1】设集合,试求的所有子集.
【解】的子集有个,即,,,,,,,.
特别要注意,在考虑集合的所有子集时不要漏掉集合本身和空集.
二、实数集
微积分这门课程主要是在实数范围之内讨论问题的,因此对于实数或实数集必须有比较清晰的认识.在这里我们将对此作一简单的介绍.
人们对实数的认识是逐步发展的,首先是自然数其全体记为,并称之为自然数集.随着客观事物的发展,从自然数集扩充到有理数集,任一有理数都可以表示成（为整数,且）,用来表示有理数集.显然有理数集的引进解决了许多实际问题,但对如何表示方程的根这一问题却无能为力.前人在有理数集基础上引进了实数集的概念,实数包括有理数与无理数,通常用来表示实数集.
有关实数的许多性质诸如有序性、稠密性及连续性都可通过数轴直观地加以解释.数轴可如下确定:在一条直线上取定一点,记作,称其为原点;取直线的一个方向为正向,并用箭头表示;再取一个单位长度,就可构成数轴.数轴上的任意一点,都对应一个实数.这个实数是这样确定的:若与原点重合,则;若不与原点重合,首先用所取的单位长度量出线段的长度,如果有向线段与数轴正向相同,则;如果有向线段与数轴正向相反,则.反之,任给一个实数,都可以在数轴上找到一个点,使该点所对应的实数为.这样,数轴上的点与实数之间建立起一一对应关系（如图1-1所示）:
图1-1
实数集合等价于数轴上点的集合.在今后的讨论中,我们总把点与实数同等看待.
三、实数的绝对值
对任意实数,其绝对值用表示,并且当时有;当时有.
绝对值有明显的几何意义:实数的绝对值等于数轴上点到原点的距离.
绝对值有如下几个主要性质（以下的为任意实数）:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）,（）.
四、区间与邻域
在实数集合的子集中,区间是我们讨论问题时经常涉及到的.所谓区间就是数轴上介于某两点之间的一切点所构成的集合,这两个点称为区间的端点.如果端点都是定数,则称为有限区间（并称两端点之差的绝对值为区间长度）,否则称为无限区间.常见的区间有:
开区间;
闭区间;
半开半闭区间;
;
无穷区间;
;
;
;
.
通常用大写字母如表示某个给定的区间.
为了今后讨论问题在表达上的方便,还要介绍有关邻域的概念.
设,且,则
集合
称为点的-邻域,记作,也即,这是以点为中心,区间长度为的开区间,正数叫做邻域的半径.
集合
,
称为点的-空心邻域,记作,也即.
另外,点的左邻域和右邻域定义为和.
当不必指明邻域半径时,上述记号中的正数可省略,即邻域、空心邻域、左邻域和右邻域可简记为,,和.
【例2】利用区间表示不等式
的全部解.
【解】先对不等式左端分解因式,原不等式为
,
即有或,即或.故
.
§1.2函数
初等数学的研究对象基本上是不变的量.即通常所讲的常量,而经济数学研究的主要对象是变量及变量之间的关系即函数.函数是经济数学最基本的概念之一,本章从讨论函数的概念开始,通过对一般函数特性的概括,引出初等函数,为学习“经济数学”打下基础.
函数的概念
在研究自然的、社会的以及经济活动的某个过程时,常常会碰到各种不同的量,如时间、速度、温度、成本和利润等.这些量一般可分成两类,其中一类量在所研究过程中保持不变,这种量被称为常量;而另一类量在所研究过程中总是变化着的,我们把它叫做变量.
例如,自由落体的变化规律中,加速度是常量,距离和时间是变量,且是随着的变化而变化,即变量依赖于变量;
又如,圆的面积公式中,是常量,面积和半径是变量,且随着的变化而变化,即变量依赖于变量.
再如,单价为元的足球彩票的销售额（元）与销量（张）之间的关系中,显然销售额和销量是变量,且依赖于,也即当在自然数集中任意取定时,由上式就可确定的数值.
抽去以上这些例子中所考虑的量的实际意义,它们都表达了两个变量之间的相互依赖关系,这种关系给出了一种对应法则.根据这一对应法则,当其中一个变量在其变化范围内任取一个值时,另一个变量就有相应的值与之对应.两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质.
1.函数的定义
【定义1】设是非空实数集,如果对于任意的,按照某个对应法则,都有唯一的一个实数与之对应,则称是是定义在上的的函数,记作.
其中叫做自变量,叫做因变量,的取值范围叫做这个函数的定义域,当的取遍内的所有实数时,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域.
2.函数的几点说明
（1）函数的两个要素
从函数的定义可知,定义域与对应法则是函数的两个要素.只有两个函数具有相同的定义域和相同的对应法则时,它们才是相同的函数,否则就不是相同函数.
例如,对数函数与不能视为相同函数.因为的定义域为,而的定义域为,两者的定义域不相同,所以不能视为相同函数.当然在它们的公共定义域内,两者完全一致.
（2）函数的定义域
函数的定义域就是指使得函数有意义的自变量的取值范围,为此求函数的定义域时应遵守以下原则:
分式中分母不能为零;
负数不能开偶次方根;
对数中的真数大于零;
三角函数中,中;
反三角函数与中;
对于实际问题的函数,应保证符合实际意义.
【例3】求函数的定义域
【解】从函数式子中可看出需考虑:根式内非负、分母不为零、对数真数大于零等三种情况，取它们的公共部分,即求方程组的解,得.
（3）函数的图形
设函数的定义域为,任取得到对应的函数值,则实数对在平面内确定了一点,我们称集合（平面上点的集合）
为函数的图形（或图像）.
例如,函数的图形（如图1-2所示）,它包含第Ⅰ和第Ⅲ象限内的两支双曲线.
图1-2
（4）函数的表示法
函数的表示方法有三种:公式法（解析法）、图示法（图像法）和表格法.
3.分段函数
把定义域分成若干个区间,在不同的区间内用不同的数学式子来表示的函数称为分段函数.例如符号函数:
就是分段函数.
4.反函数
设函数的定义域为,值域为,如果对中的任何一个实数,有唯一的一个,使成立.那么把看成自变量,看成因变量,由函数的定义,就成为的函数,这个函数称之为的反函数,记,其定义域是,值域是.
按照习惯,我们总是取为自变量,为因变量,这样函数的反函数就写成:
.
如果把与其反函数的图形画在同一坐标平面上,那么这两个图形关于直线对称（如图1-3所示）.图1-3
显然,也是的反函数,或者说,与是互为反函数,前者的定义域与后者的值域相同,前者的值域与后者的定义域相同.
二、函数的几个基本性质
研究函数的目的就是为了了解它所具有的性质,以便掌握它的变化规律.
1.单调性
如果函数对于某区间内的任何两点,总成立着（或）,则称函数在区间内单调递增（或单调递减）,叫做单调增区间(或单调减区间).
单调递增或单调递减的函数,统称为单调函数,单调增区间和单调减区间统称为单调区间.在单调增区间内,函数的图形随的增大而上升;在单调减区间内,函数的图形随的增大而下降（如图1-4所示）.
图1-4
【例4】证明在内是单调递增的.
【证明】任取且,则有
,
即,也就是说在内单调递增的.
函数的单调性与自变量所取范围有关,因此讨论函数的单调递增或递减时,首先要搞清楚自变量的取值范围.例如函数在区间内是单调递减的,而在内是单调递增的.
另外,用单调性的定义去直接检验函数是否具单调性一般是比较困难的,关于这个问题我们将在第三章运用导数方面的知识去讨论它.
2.奇偶性
如果函数的定义域为（这里）,并且对任意的,恒有,则称为奇函数;如果对任意的,恒有,则称为偶函数.
例如在内是偶函数;而在内是奇函数.其实对幂函数,当为偶数时,在定义域内是偶函数;当为奇数时,在定义域内是奇函数.
显然偶函数的图形关于轴对称;奇函数的图形关于坐标原点对称（如图1-5所示）.
图1-5
【例5】判定函数与函数的奇偶性.
【解】因为,所以在定义域内是偶函数;
又因为,所以在定义域内是奇函数.
3.周期性
如果的定义域为,并且存在非零常数,使得对任意的,都有
,
则称为函数的一个周期,并称为周期函数.
容易证明,若为的一个周期,则的任意非零整数倍数都是的周期.这就是说,周期函数有无穷多个周期.周期函数无最大正周期和最小负周期.通常所说的周期是指周期函数的最小正周期,同样记为.
例如正弦函数中,都是它的周期,其最小正周期.又例如,,其最小正周期为.
4.有界性
设函数的定义域为,如果存在正数,使得对所有的,都有
,
则称函数在上有界,或称是上的有界函数.否则称在上无界,也就称为上的无界函数.
【例6】函数在内无界,而在内有界.
可见函数的有界性同样与自变量的取值范围有关.
三、初等函数
1.基本初等函数
我们接触到的函数大部分都是由几种最常见、最基本的函数经过一定的运算而得到,这几种函数就是我们已经很熟悉的函数,它们是常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.这六种函数统称为基本初等函数.为了今后学习与查阅方便,现将它们的表达式、定义域、图形及性质列表如下.
序列 函数名称 表达式 定义域 图形 性质 1 常值函数 一条平行于轴的直线 2 幂函数 随而不同,都有定义 在第Ⅰ象限内,
经过定点,
,为增函数;
,为减函数 3 指数函数
() 图形在轴上方,
经过定点,
,为增函数;
,为减函数 4 指数函数
() 图形在轴右则,
经过定点,
,为增函数;
,为减函数 5 三角函数 正弦函数 周期为,
奇函数,
余弦函数 周期为,
偶函数,
正切函数 周期为,奇函数,
内为增函数 余切函数 周期为,奇函数,
内为减函数 6 反
三角函数 反正弦函数 奇函数,增函数 反余弦函数 减函数, 反正切函数 奇函数,增函数 反余切函数 减函数, 另外,指数函数满足如下运算规律:
;;.
对数函数满足如下运算规律:
;;;
;.
(注:以10为底的对数记为,叫做常用对数;以为底的对数记为,叫做自然对数,其中是介于2.7与2.8之间的无理数)
三角函数中也有如下一些公式:
三角函数是通过单位圆来描述的（如图1-6）,其中自变量单位是弧度,弧度与度的关系是:
,,.
图1-6
,,,;
,,;
,,
;
,,
.
2.复合函数
对于一些函数,例如,我们可以把它看成是将代入中而得.像这样在一定条件下,将一个函数“代入”到另一个函数中的运算在数学上叫做函数的复合运算,由此而得的函数就叫做复合函数.
【定义2】设函数,定义域为;,定义域为,值域为;若,则对每一个值,通过对应法则和有唯一确定的值与对应,按照函数的定义,变量成为的函数,称之为的复合函数,记
,
变量称为中间变量.
【例7】设,,求复合函数
【解】因的定义域为,的定义域为,值域为,故有在内的复合函数.
不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数的.如及就不能复合成一个复合函数,因为第一个函数的定义域与第二个函数的值域其交集为空集.换句话说,第二个函数当自变量在定义域内任取一值,对应函数值都使得第二个函数无意义.
复合函数不仅可以有一个中间变量,还可以有多个中间变量.如函数,可看作由,及复合而成,其中为中间变量.
3.初等函数
基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算所得到的函数称为初等函数.初等函数在其定义域内有一个统一的表达式,例如,,,()等等,都是初等函数.初等函数在其定义域内具有很好的性质（如连续性）,它是经济数学课程中的主要研究对象.
经济活动中常见的函数举例
1.复利公式
设现有本金,每期利率为,期数为.若每期结算一次,则第一期末的本利和为:
,
将本利和再存入银行,第二期末的本利和为:
,
再把本利和存入银行,如此反复,第期末的本利和为:
,
这是一个以期数为自变量,本利和为因变量的函数.如果每期按年、月和日计算,则分别得相应的复利公式.
例如按年为期,年利率为,则第年末的本利和为:
（为本金）.
2.需求函数与供给函数
（1）需求函数
某种商品的需求量是消费者愿意购买此种商品,并具有支付能力购买该种商品的数量,它不一定是商品的实际销售量.消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直接关系外,还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的影响有关.现在我们只考虑商品的价格因素,其他因素暂时取定值.这样,对商品的需求量就是该商品价格的函数,称为需求函数.用表示对商品的需求量,表示商品的价格,则需示函数为:
,
鉴于实际情况,自变量,因变量都取非负值.
一般地,需求量随价格上涨而减少,因此通常需求函数是价格的递减函数.
在经济活动中常见的需求函数有:
线性需求函数:
,
其中,均为非负常数;
二次曲线需求函数:
,
其中,,均为非负常数;
指数需求函数:
,
其中,均为非负常数.
需求函数的反函数,称为价格函数,记作:
,
也反映商品的需求与价格的关系.
（2）供给函数
某种商品的供给量是指在一定时期内,商品供应者在一定价格下,愿意并可能出售商品的数量.供给量记为,供应者愿意接受的价格为,则供给量与价格之间的关系为:
,
称为供给函数,称为供给价格,与均取非负值.由供给函数所作图形称为供给曲线.
一般地,价格的商品供给量随商品价格价格的上涨而增加,因此,商品供给函数是商品价格的递增函数.
常见供给函数有线性函数,二次函数,幂函数,指数函数等.
需求函数与供给函数密切相关,把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中,由于需求函数是递减函数,供给函数是递增函数,它们的图形必相交于一点,这一点叫做均衡点,这一点所对应的价格就是供、需平衡的价格,也叫均衡价格;这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量.当市场价格高于均衡价格时,产生了“供大于求”的现象,从而使市场价格下降;当市场价格低于均衡价格时,这时会产生“供不应求”的现象,从而使市场价格上升;市场价格的调节就是这样实现的.
应该指出,市场的均衡是暂时的,当条件发生变化时,原有的均衡状态就被破坏,从而需要在新的条件下建立新的均衡.
【例8】某商品的需求量与价格的关系由
给出,而供给量与价格的关系由
给出,试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.
【解】要求均衡价格和均衡需求量,即解方程组
,
得到两组结果和.
显然,第一组结果没有意义,故所求均衡价格为单位,均衡需求量为个单位.
3.成本函数与平均成本函数
（1）成本函数
成本是指生产某种一定数量产品需要的费用,它包括固定成本和可变成本.
固定成本指在短时间内不发生变化或不明显地随产品数量增加而变化的费用,例如厂房、设备、一般管理费及管理人员的工资等.可变成本是指随产量的变化而变化的费用,如原材料、燃料及生产工人的工资等等.
若记总成本为,固定成本为,为产量,为可变成本,则成本函数为:
,
其中,显然成本函数是递增函数,它随产量的增加而增加.
（2）平均成本函数
平均成本是指生产每单位产品的成本,记为,即平均成本函数为:
,
平均成本的大小反映企业生产的好差,平均成本越小说明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低,效益更好.
4.收益函数与利润函数
（1）收益函数
收益是指生产者将产品出售后的全部收入.平均收益是指生产者出售一定数量的产品时,每单位产品所得的平均收入,即单位产品的平均售价（也叫销售价格）.
若设为收益,为产量,为平均收益,则,都是的函数
,
,
其中,取正值.
明显地，如果销售（即产量）为时的平均售价为,则.
（2）利润函数
利润是指收益与成本之差.平均利润是指生产一定数量产品时,每单位产品所得的利润.若记利润为,平均利润为,则有
,
,
它们都是产量的函数,这里是销售价格.
【例9】设每月生产某种商品件时的总成本为:
(万元),
若每售出一件该商品时的收入是万元,求每月生产件（并售出）时的总利润和平均利润.
【解】由题意知总成本函数及销售价格万元,所以售出件该商品时的总收入函数为:
,
因此总利润.
当时,总利润为:
(万元),
平均利润为:
(万元).
应该指出,生产产品的总成本是产量的递增函数.但是,对产品的需求由于受到价格及其他许多因素的影响不能总是增加的.也就是说,对某种商品而言,销售的总收入有时显著增加,有时增长很缓慢,并可能达到顶点,如果再继续销售,收入反而下降.因此利润函数出现了三种情形:
（a）,表示销售有盈余,再生产处于有利润状态;
（b）,表示销售出现亏损,再生产亏损更大;
（c）,表示销售出现无利可图但未达到亏损情形.我们把这时的产量（销量）称为无盈亏点（保本点）.无盈亏点在分析企业经营（管理）和经济学中分析各种定价和生产决策时有重要意义.
【例10】试求例9中（1）经济活动的无盈亏点;（2）若每月至少销售件该产品,为了不亏本,单价应定多少？
【解】（1）令,即
,
解得,.
因为是二次函数,当或时,都有,这是生产经营是亏损的;当时,,生产经营时盈利的.结合实际件和件是盈利的最低产量和最高产量,都可以是无盈亏点.
（2）设单价定为（万元）,销售件的收入为:
（万元）,
这时的成本为:
(万元),
利润为:
,
为使生产经营不亏本,就必须使
,
故得(万元),即只有销售单价不低于万元时才能不亏本.
从上述讨论中应该理解出,运用数学工具解决实际问题时,往往需要先把从实际问题中反映出来的变量之间的函数关系表示出来,再进行计算和分析.这个过程就是数学中常用的建立函数关系（即数学模型）的过程.限于篇幅这里不做详细讨论,仅举一例以示之.
【例11】在公里长的铁路线之旁的处有一个工厂,与铁路垂直距离为公里,由铁路的处向工厂提供原料.公路与铁路每吨公里的货物运价比为,为节约运费,在铁路的处修一货物转运站.设距离为公里，沿修一公路（如图1-7所示）的函数.
图1-7
【解】设公路上每吨公里货物运价为元,那么铁路每吨公里运价为元,每吨货物从经运到的运费（元）,由图1-7及勾股定理得:
,
从而
.
这里仅列出总运价的函数表达式,而把解决的选择即使总运价最低的点选择方案这个问题留到第三章去解决.
习题1.2
1.求下列函数的定义域
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
2.试找出下列在其定义域中是单调的函数
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
3．讨论下列函数的奇偶性
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
4．求下列函数的周期
（1）（2）
（3）（4）
5.求下列函数的反函数
（1）（2）
（3）（4）
6．将下列函数分解成较简单的函数
（1）（2）
（3）（4）
7.设某商品的市场供应函数,其中为供应量,为市场价格,商品的单位生产成本是元,试建立利润与市场价格的函数关系式.
8.设生产与销售某种商品的总收益函数是产量的二次函数,经统计得知当产量分别是时,总收益为,试确定关于的函数式.
9.某厂生产一种元器件,设计能力为日产件,每日的固定成本为元,每件的平均可变成本为元.
（1）试求该厂些元器件的日总成本函数及平均成本函数;
（2）若每件售价元,试写出总收益函数;
（3）试写出利润函数,并求无盈亏点.
10.用代表单价,某商品的需求函数为:,当超过时成本函数为,试确定能达到无盈亏状态时的价格.
§1.3数列的极限与函数的极限
一、中国古代数学家的极限思想
极限概念是微积分学中最基本的概念,微积分学中的其它重要概念如导数、积分都是用极限来表述的,并且它们的主要性质和法则也可通过极限的方法推导出来.要学好经济数学这门课程,首先必须掌握好极限的概念、性质和计算.
我国古代数学家在世界数学史中占有杰出地位.《庄子·天下篇》中记载的惠施（约公元前370年—公元前310年）的一段话:“一尺棰,日取其半,万事不竭.”充分反映了我们先人关于“极限”概念的朴素、直观的理解.公元3世纪,我国数学家刘徽成功地把极限思想应用于实践,其中最典型的例子就是在计算圆的面积和周长时建立的“割圆术”,即将圆周用内接正多边形或外切正多边形逼近的一种求圆面积和周长的方法.他在求解过程中提出的“割之弥细、所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”观点,可谓中国古代极限思想的集中体现.
刘徽的割圆术是这样的:用圆的内接正三边形、正六边形、正十二边形、…、正边形去代替圆（如图1-8）,即用正多边形的面积代替圆面积,正多边形的周长代替圆周长.尽管随着内接正多边形的边数（这里为）增多,正多边形面积（周长）也越来越大,但始终不能超过圆面积（周长）,且趋向于一个稳定的值,这个稳定值就是圆的面积（周长）.
图1-8
我们设正三边形,正六边形,正十二边形,…,正边形的面积分别为,,,
…,,于是得一数列
,,,…,,…
其中.
同样若设正三边形,正六边形,正十二边形,…,正边形的周长分别为,,
,…,,于是得另一数列
,,,…,,…
其中.
可见图1-8中表示的正多边形面积（周长）与圆面积（周长）的关系可归结为上述两个数列中一般项（也叫通项）（）与（）之间的关系.由前面的分析可知,当越来越大时,通项（）越来越接近数（）.
这种通过考察数列一般项而获得的常数,在数学上就叫做数列的极限.
二、数列的极限
1.数列极限的定义
所谓数列,是指按一定顺序排列起来的一列数,如
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
都是数列,一般地,数列可写为:
简记为.数列中的每一个数叫做数列的项,第项叫做数列的一般项或通项.上述六个数列的通项分别为,,,,,.通项为（为常数）的数列叫做常数数列.
对于给定的数列,重要的不是去研究它的每一个项如何,而是要知道,当无限增大（记作）时,它的项（主要考察通项）的变化趋势.就数列（1）～（6）来看:
数列的通项随的增大而减小,越来越接近于;
数列的通项随的增大而增大,越来越接近于;
数列的通项随的增大而增大,且无限增大;
数列的通项随着的变化在两边跳跃,且随着的增大而趋近于;
数列的通项随着的增大始终交替取值和,而不能趋向于某一个确定的数;
数列的各项都是同一个数,故当越来越大时,该数列的变化趋势总是确定的.
当时,数列的通项能与某个常数无限接近,那么就称这个数列收敛,而常数就叫做数列的极限,记作.否则就称这个数列是发散.如数列（1）、（2）、（4）、（6）就是收敛的数列,它们的极限分别是,,,.也即,,,.
一般地,有,,.
2.收敛数列的重要性质
（1）收敛的数列极限惟一.
（2）收敛的数列有界.
读者可参看其它微积分教材中关于这两个性质的证明,这里省略.
3.复利年金现值与永续年金现值
在上节我们已讨论过复利计算公式:,其中为现值即本金,为期数,为每期利率,为第期末的本利和（也称年金）.现在我们可利用这个公式去推导出复利年金现值的计算公式.复利年金现值是指复利计息时每期发生的年金现值之和.
（1）普通复利年金现值
设每期期末发生年金为,利率为,则
第一期末年金的现值为;
第二期末年金的现值为;
第三期末年金的现值为;
第期末年金的现值为.
由上述可见,每期期末年金的现值是一个公比为的等比数列,设普通复利年金用表示,则有
,
即
.
（2）永续年金现值
当年金的期数永远继续,即时,称为永续年金.由于.故永续年金的现值计算公式为
.
【例12】某公司建立一项奖励基金,每年年终发放一次,奖金总额为万元.若以年复利率计算,试求（1）奖金发放年限为年时,基金应是多少?（2）若是永续性奖金,基金又应是多少?
【解】（1）所求为普通年金现值,万元,,,代入公式
,
有
（万元）;
（2）对永续性奖金,基金为
（万元）.
三、函数的极限
对于函数的极限,根据自变量的变化分以下两种情况讨论.
1.自变量趋于无穷时的极限（即当时,函数）
自变量趋于无穷（记）可分为两种情况:自变量趋于正无穷（记）和自变量趋于负无穷（记）.
【例13】考察下列函数,当时,函数
（1）
（2）
（3）
图1-9
【解】从如图1-9可看出,
（1）当时有,当时也有,所以当时有.
（2）当时有,当时有,所以当时不能趋向于一个确定的常数.
（3）无论是还是时,都不能趋向于一个确定的常数,所以当时也不能趋向于一个确定的常数.
【定义3】设函数,如果自变量无限增大时,函数值无限接近一个确定的常数,则称为函数当趋于无穷（）时的极限,记为
.
同理,可定义当与时的函数极限:
当自变量无限增大时,函数值无限接近一个确定的常数,则称为函数当时的极限,记为
当自变量且无限增大时,函数值无限接近一个确定的常数,则称为函数当时的极限,记为
显然它们之间有如下关系:
【定理1】函数当趋于无穷时极限存在的充分必要条件是函数当趋于正无穷大时与趋于负无穷大时极限都存在且相等.即
.
于是例13可写成:（包含与）;;但不存在;与也都不存在.
数列中的通项实际上可看成是正整数的函数.从这点上看,数列的极限完全可归结为当自变量趋于正无穷大时的函数极限.
2.自变量趋于有限值时的极限（即当时,函数）
先看两个例子
【例14】讨论当逐渐靠近时,函数值的变化情况.
【解】我们列出自变量时的某些值,考察对应函数值的变化趋势
0.9 0.99 0.999 … 1 … 1.001 1.01 1.10 1.11 1.0101 1.001001 … 1 … 0.999001 0.9901 0.91 从表中可看出,当越靠近,对应函数值越靠近常数,即时,.
【例15】讨论当趋于时,函数值的变化趋势.
【解】我们列出自变量时的某些值,考察对应函数值的变化趋势
0.75 0.9 0.99 0.9999 … 1 … 1.000001 1.01 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.9999 … 2 … 2.000001 2.01 2.25 2.5 从表中可看出,当越靠近时,对应函数值就越靠近,尽管在处没有意义,但只要接近,就接近,即
当时,
上述两个例子都说明了当自变量趋于某个值时,函数值就趋于一个确定值,而这个确定值的存在与否跟函数在处是否有定义无关,这个确定值就是函数在某点处的极限.
【定义4】设函数在的某空心邻域内有定义,如果当无限接近时,函数值就无限接近一个确定的常数,则称为函数当趋于时的极限,记为
并称在处收敛或存在极限,否则称在处发散或极限不存在或无极限.
【例16】求.
【解】从正弦函数的图形（图1-10）中可看出,当时,,即图1-10
.
在例14至例16中,我们都是考虑自变量既从的左侧,又从的右侧趋于时,函数值的变化趋势的.有时只须考虑自变量从的左侧或右侧趋于时,函数值的变化趋势,这就是所谓的左、右极限.
【定义5】设在的左邻域（可除外）内有定义,如果当自变量从的左侧趋于（记）时,函数值趋于一个确定的常数,则称为在处的左极限,记为
.
设函数在的右邻域（可除外）内有定义,如果当自变量从的右侧趋于（记）时,函数值趋于一个确定的常数,则称为函数在处的右极限,记为
.
【例17】试讨论函数,在处的左、右极限.
【解】函数的图形如图1-11所示,当时,,因此当趋近于1时,趋近于1,即
;
同理可得
.图1-11
由于当分别从的左、右两侧趋近于时,函数值的变化趋势不一致,故在处不存在极限.前面所提到的符号函数在处也不存在极限.
由定义4与定义5并结合例17得到:
【定理2】函数在处极限存在的充分必要条件是函数在处的左、右极限都存在且相等.即
.
【例18】设函数,求.
【解】因为函数在的左、右邻域内是有不同的表达式,故要研究在处极限存在否,必须分开讨论当与时函数值的变化趋势.
当时,;
当时,;
根据定理2于是有.
【例19】设函数,求.
【解】当时,,
又当时,,所以当时,有,即.
另一方面,由函数的图形（图1-12）中也可看出,当时,函数的极限为.
图1-12
习题1.3
1.已知数列的通项,试写出数列的前四项,并观察判定该数列是否收敛?
（1）（2）
（3）（4）
2.试写出下列数列的通项,并观察判定是否收敛,若收敛,写出其极限.
（1）
（2）
（3）
（4）
3.回答下列问题
（1）设,且,则数列是否收敛？为什么？
（2）设,若把数列前有限项去掉得新数列,则该新数列是否收敛？若收敛,极限是什么？
4.观察判定下列极限是否存在,若存在试写出其极限.
（1）（2）
（3）（4）
5.求下列函数的,,
（1）（2）
（3）（4）
§1.4极限的性质
研究函数的极限,目的之一是计算函数的极限.在前几节中,我们曾计算过几个简单函数的极限,但要计算较为复杂一些的函数极限,还是要掌握极限的性质与运算法则,以及两个重要极限.
一、极限的性质
【性质1】（唯一性）若,则是唯一的.
【性质2】（局部有界性）若,则在某个内有界.
对的情形,性质2可这样描述:若,则存在,使在内有界.
【性质3】（局部保号性）若（）,则在某个内恒有（）.
从性质3还可得到下面的推论.
【推论1】若在某个内,恒有（）,且,则有（）.
【推论2】若在某个内,恒有（）,且,
,则有（）.
【性质4】（夹逼准则）若在某个内,恒有,且
,则有.
【性质5】单调有界数列必收敛.
例如,刘徽的“割圆术”求圆周长就用上这个性质,圆内接正边形的周长构成一个单调增加的有界数列,即
圆内接正三边形的周长圆内接正六边形圆内接正十二边形…圆内接正边形的周长…圆周长.
由性质5得,=圆周长.
二、极限的四则运算
为了叙述方便,这里总假定在自变量的某变化过程中（或）和的极限存在.
【定理3】设,,则有:
（1）
（2）
（3）
（4）（）
证明略,定理3中的式子可推广到有限个函数的情形,即
若,,,,则有
;
.
我们称定理3为极限的四则运算法则.它们在计算函数的极限中起着重要的作用.但要注意,运用极限四则运算法则时,必须考虑到运算法则成立的前提.
【例20】求,其中为常数,为正整数.
【解】因为,所以
,
从而有
.
一般地,用极限四则运算法则可得到
,
也就是说,对于任一个次多项式函数,都有
.
【例21】求
【解】因为分母的极限
,
由定理3的（4）式子得,
.
一般地,如果,其中,分别是次和次多项式函数（此时也称为有理函数）,且,则
.
【例22】求
【解】因为,故不能直接运用极限四则运算法则,但当,而时,有
，
从而得到
.
【例23】求
【解】当时,分子、分母都没有极限,因此不能直接运用极限四则运算法则,如果将分子、分母同除,即
,
由于等式右端分子、分母当时极限存在且分母极限为,故有
.
一般地,有
.
【例24】求
【解】因为分母极限,所以不能直接运用极限四则运算法则,我们对分子进行有理化,得
,
从而有
.
【例25】求
【解】由于分子、分母当无限增大时,都有无穷多项,无法直接求极限,考虑到分子、分母分别是公比为和的等比数列的前项和,故可先求出这个和,即
,
,
而
,,
所以有
.
【例26】求
【解】根据性质4（即夹逼准则）
因为，
而，所以有
习题1.4
求下列极限
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）（12）
（13）（14）
（15）（16）
§1.5两个重要极限
一、（属于型）
【证明】因为是一个偶函数,所以只要能证明成立即可.另外,由,不妨限制在内取值.如图1-13所示,设单位圆心为,在圆周上取一定点,在圆周上任取一点使.过点作圆周的切线交的延长线于,连结,则得、扇形、三个图形,设其面积分别为,则有关系
.
根据三角形、扇形面积公式,于是有
,图1-13
即
.
因为,所以,上式各端同除以得
,
即
.
因为,,于是由夹逼准则得,从而
.
【例27】求
【解】令,则当时,,所以
.
一般地,
.
【例28】求
【解】因为,
所以
.
【例29】求圆的内接正边形面积所构成数列的极限值
【解】我们已计算出:
,
令,则当时,,所以
.
这个结果正是我们需要的,即圆面积等于其内接正多边形面积当其边数无限增大时的极限.
二、（属于型）
证明比较复杂,这里只从函数值的变化趋势来说明.先看时的情况:
从以上表可看出,当时,函数的值无限接近于一个确定的常数,可以证明这个常数就是无理数,于是有.
同理可以观察时的情况:
当然也看出,当时,函数的值也无限接近于常数,于是也有.
综合即有
.
极限还有另一种等价形式
.
【例30】求
【解】令,则
.
一般地有:
.
【例31】求
【解】令,则
.
【例32】求
【解】令,则
.
【例33】求
【解1】因为,令,则,并且当时,,所以
.
【解2】
.
习题1.5
1.求下列极限
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
2.求下列极限
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）（提示:令）
（7）（8）（提示:）
§1.6无穷小与无穷大
本节讨论两类极限值很特殊的极限,即极限值为零与极限值趋向无穷大的两类.
先观察如下一些极限:
,,共同特点是:极限值为零.
,,共同特点是:极限值都不存在,但都趋向于无穷大.且前三个函数与后三个函数的关系是倒数关系.
一、无穷小与无穷大的概念
【定义6】如果当（）时,函数极限值为零,即，
则称函数为（）时的无穷小.
如果当（）时,函数的绝对值无限增大,即,则称变量为（）时的无穷大.
（1）无穷小（常数例外）或无穷大都是变量,不能与很小的正数或很大的数混为一谈.
（2）一个函数是否是无穷小（大）与自变量的变化过程密切相关,离开了自变量的变化过程,无穷小（大）无从说起.
如函数在时为无穷小,而在时则为无穷大.
（3）无穷小与无穷大之间有倒数的关系,即无穷小（非零）的倒数是无穷大,无穷大的倒数是无穷小.
二、无穷小的性质
（1）有限个无穷小的代数之和为无穷小;
（2）有限个无穷小之积为无穷小;
（3）无穷小与有界函数之积为无穷小.
（4）无穷小与函数极限的关系:由于等价于,令,则.于是有:
【定理4】的充分必要条件是,其中.
三、无穷小阶的比较
考虑变量,,,当时,它们都是无穷小,即当时,它们都趋于.但很明显,三者趋于的快慢程度不同,最快,最慢.为比较这种快慢程度,我们引进无穷小“阶”的概念.
【定义7】设,,且,
（1）若,则称是比高阶无穷小,记作;
（2）,则称和是同阶无穷小;
特别地,若,则称与等价,记;
（3）若,则称是比低阶无穷小.
根据定义7,当时,无穷小量比高阶,比高阶,当然也比高阶.由重要极限知,与等价,即.
习题1.6
1.试证明当时
（1）（2）
（3）（4）
2.求下列函数的极限
（1）（2）
（3）（4）
§1.7函数的连续性
我们在介绍函数在处极限的概念时,并不要求在有定义.从几何上看,曲线可被直线隔开而不必相连,如符号函数,其图形被分成两条不相连的半直线.又如函数,虽然其图形仍由两条半直线构成,但它们仍在原点处相连,此时,我们说,函数在处连续.函数的连续性也是经济数学中的重要概念.在自然界里,也存在着体现连续性的情况,如一天内气温的变化、河水的流动、植物的生长等.下面我们给出函数在处连续的定义.
一、函数的连续与间断
1.在一点处的连续
【定义8】设函数在的某邻域内有定义,且
,
则称函数在处连续,叫做函数的连续点.
例如,函数在其定义域内任一点处都有,因此,函数在其定义域内任一点处连续.
又如函数,因为,所以该函数在处连续.
函数在处连续,意味着同时满足下列三个条件:
（1）函数在的某邻域内有定义;
（2）极限存在;
（3）极限值与函数值相等.
如果不满足（1）～（3）中的一条,我们就说函数在处间断,并称为函数的间断点（即不连续点）.例如符号函数在处间断,是间断点.
从连续的定义看,趋于是指从从的左、右两侧都趋于.如果单从的左侧或右侧趋于看,就可得到左、右连续的概念.即:
如果,则称在处左连续;
如果,则称在处右连续.
由此有:在处连续的充分必要条件是在处左、右都连续.
2.间断点的分类
根据函数在间断点处左、右极限的存在与否,可以把间断点分成两类:即第一类间断点与第二类间断点.
如果函数在间断点处存在左、右极限,则称为函数的第一类间断点;特别地,如果函数在间断点处左、右极限相等,则称为函数的可去间断点;如果函数在间断点处左、右极限存在但不相等,则称为函数的跳跃间断点.
如果函数在间断点处左、右极限至少有一个不存在,则称为函数的第二类间断点.
例如函数
图1-14
其图形（如图1-14所示）在处的左、右极限都是（即,）,但定义域不含点,故是第一类间断点的可去间断点.
函数
图1-15
其图形（如图1-15所示）在处的左、右极限分别是、,即,,故是第一类间断点的跳跃间断点.
而函数在处是第二类间断点;函数在也是的第二类间断点,等等.
3.在区间上的连续
由函数在一点上连续的定义,很自然地推广到一个区间上.
【定义9】若函数在区间上每一点都连续,则称函数在上连续,并称为区间上的连续函数,称为函数的连续区间.对闭区间,区间端点的连续性,按左、右连续来确定,即若,,则函数在左端点只要右连续、在右端点只要左连续.
例如,函数在其定义域上连续;在上连续,在上也连续,但在上就不连续了,因为它在处没有意义.
区间上的连续函数其图形是一条连续的曲线.
二、连续函数的性质及初等函数的连续性
1.连续函数在其连续点上的性质:
（1）四则运算性质:若函数,在处连续,则它们的和、差、积、商（分母不为）在处也连续.
（2）复合函数的连续性:若函数在处连续,而函数在处也连续,则复合函数在处连续,即有.
例如函数由,复合而成,因为在处连续,而
在也连续,故函数在处连续,即.
（3）反函数的连续性:单调递增（递减）且连续的函数,其反函数也单调递增（递减）且连续.
从几何上是很好理解这一性质的,假如函数,其图形是一条连续上升的曲线,则与该曲线关于直线对称的曲线（的反函数）,也肯定是连续上升的曲线.
2.初等函数的连续性
可以证明基本初等函数在其定义域上连续.
再由初等函数的定义及连续函数的四则运算性质、复合函数的连续性,可得出下面重要结论:
初等函数在其定义域内是连续.
根据这个结论,求初等函数在其定义域内点处的极限时,只需求出函数在处的函数值就可以了.
【例34】求
【解】因为初等函数在处有定义,故由初等函数的连续性得
.
三、闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有其他区间上（如开区间）连续函数所没有的重要性质,如最大（小）值的存在性、有界性等.
设函数在区间上有定义,如果存在,使得对任意的,有
,
则称分别为函数在上的最大值和最小值,点叫做的最大值点和最小值点.
【定理5】（最大、小值定理）在上连续,则在上必取得最大值和最小值.
注:定理中闭区间这个条件很重要,若是开区间,则未必有这个结论.如,它在上连续,但在上取不到最大值与最小值.
由定理5即可推出下面的推论
【推论1】若函数在上连续,则在上有界.
这个推论也叫做闭区间上连续函数的有界性定理.
【定理6】（零点定理）若函数在上连续,且,则存在,使得
.
图1-16
从图1-16来看,这个结论是很明显的.若点与点分别在轴的上下两侧,则连接与的连续曲线至少与轴交于一点.
零点定理说明,若在上连续,且异号,则方程在至少有一个根.
【例35】证明方程至少有一个根介于和之间.
【证明】设,则在在连续,且,
,即,由零点定理知,在上至少有一个根,使得,即方程至少有一个根介于和之间.
由定理6可得下面的推论2:
【推论2】（介值定理）设在上连续,和为在上的最大值和最小值,侧任给值:,存在,使得
.
经济和管理中的函数的连续性
在经济理论中,为了简化所讨论的问题,通常假设所讨论的函数是连续的.需求函数,当价格有微小变动时,对应的需求函数的变动也是微小的.因此,需求函数是连续函数.我们还假定国民经济的增长是连续的,供给函数、成本函数、收益函数等都是连续函数.
实际上,在经济活动中表达经济量的函数也有不是连续的情形,其中一类是离散取值的函数,我们通常把它视为连续函数来处理.譬如电视机的销售价格是每台元,于是销售台的收益函数可写为:
,
显然,这里的只能取正整数.因此,从几何上看的图形也只能是一些离散的孤立点,而不是一条连续曲线,但是为了简化讨论,我们总把这类问题视为连续函数,即可取任何正实数,就是连续函数了,有了这个假定,才可以用微积分方法讨论经济问题.另一类是真正具有间断点的函数,它们是分段连续的,这类分段连续的函数在经济活动中也是常见的,这里不作详细说明.
习题1.7
1.讨论下列函数在处的连续性
（1）
（2）
（3）
2.求下列函数的不连续点,并说明是哪类间断点
（1）（2）
（3）（4）
3.设函数,应当怎样选择数,使在内连续.
本章小节
一、函数
1.函数概念:任意,由对应法则,有唯一的一个实数与之对应,记.
2.函数的两要素:定义域与对应法则.函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值范围.
3.函数的四个基本性质:单调性,奇偶性,周期性,有界性.
4.六个基本初等函数:常值函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数.
5.初等函数:基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算所得到的函数.
二、极限
1.数列极限:.
2.函数极限:（其中）;
（其中）.
3.极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,夹逼准则以及四则运算等.
4.两个重要的极限:与.
5.无穷小与无穷大:与;以及无穷小的性质.
三、函数的连续性
1.连续概念:.
2.间断点的分类:第一类间断点（可去间断点与跳跃间断点）、第二类间断点.
3.初等函数的连续性:在其定义域内是连续.
4.闭区间上连续函数的性质:
【定理5】（最大、小值定理）在上连续,则在上必取得最大值和最小值.
【定理6】（零点定理）若函数在上连续,且,则存在,使得.
四、求极限的方法总结
1.利用连续求极限:设的定义域为,若,则.
2.型:或先因式分解再约去零因子、或先有理化再约去零因子、或用等.
3.型:分子分母同时除以“最大的”.
4.型:用.
5.型:根据无穷小与有界函数之积为无穷小这一性质，得结果为．
6.其他型,如,,,等:转化为型或型来求.
综合练习
1.单项选择题
（1）下列集合中,表示不等式的解的是（）
（2）设函数在内有定义,则下列函数中为偶函数的是（）
（3）设为自然数,则是（）
无界函数有界函数单调函数周期函数
（4）在下列函数中,属于基本初等函数的是（）
（5）设,且,则=(),()
（6）变量是（）
无穷大量无界变量有界变量不可确定
（7）下列变量中是无穷小量的是（）
（8）当时,是比的（）
高价无穷小量低价无穷小量等价无穷小量不能确定
（9）函数在处连续的有（）
（10）设函数在上有定义,则方程在内有唯一实根的条件是（）
在上连续;
在上连续,且;
在上单调,且;
在上连续单调,且;
2．填空题
（1）设,则;
（2）;
（3）函数的间断点是;
（4）函数的定义域是,连续区间是.
3.有一边长为的正方形厚纸,在各角剪去连长为的小正方形,然后把四边折起来成为一个无盖的盒子.试写出这个盒子的容积与之间的函数关系式,并指出这个函数的定义域.
4.证明方程（其中）至少有一个正根,且.
34
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