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| 理论力学之动力学习题答案_北航 |
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动力学（MADEBY水水）
1－3
解：
运动方程：，其中。
将运动方程对时间求导并将代入得
1－6
证明：质点做曲线运动，
所以质点的加速度为：,
设质点的速度为，由图可知:
，所以:
将，
代入上式可得
证毕
1－7
证明：因为，
所以：
证毕
1－10
解：设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度
为,则有关系式：
，并且
将上面两式对时间求导得：
，
由此解得：（a）
(a)式可写成：，将该式对时间求导得：
(b)
将(a)式代入(b)式可得：（负号说明滑块A的加速度向上）
取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：
其中：
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：
1－11
解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即：
（a）
因为
（b）
将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：
（c）
由于，（c）式可写成：，将该式两边平方可得：
将上式两边对时间求导可得：
将上式消去后，可求得：
(d)
由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为
取套筒A为研究对象，受力如图所示，
根据质点矢量形式的运动微分方程有：
将该式在轴上投影可得直角坐标形式的
运动微分方程：
其中：
,
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得
1－13
解：动点：套筒A；
动系：OC杆；
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：直线运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。
根据速度合成定理
有：，因为AB杆平动，所以，
由此可得：，OC杆的角速度为，，所以
当时，OC杆上C点速度的大小为：
1－15
解：动点：销子M
动系1：圆盘
动系2：OA杆
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：曲线运动
相对运动：直线运动
牵连运动：定轴转动
根据速度合成定理有
，
由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即，由上两式可得：
(a)
将（a）式在向在x轴投影,可得：
由此解得：
1－17
解：动点：圆盘上的C点；
动系：O1A杆；
定系：机座；
运动分析：绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动（平行于O1A杆）；
牵连运动：定轴转动。
根据速度合成定理有
（a）
将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：
，
，，
根据加速度合成定理有
（b）
将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得
其中：，，
由上式解得：
1－19
解：由于ABM弯杆平移，所以有
取：动点：滑块M；
动系：OC摇杆；
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。
根据速度合成定理
可求得：
，，
根据加速度合成定理
将上式沿方向投影可得：
由于，，，根据上式可得：
，
1-20
解：取小环M为动点，OAB杆为动系
运动分析
绝对运动：直线运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。
由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，
其中：
根据速度合成定理：
可以得到：
，
加速度如图所示，其中：
，
根据加速度合成定理：
将上式在轴上投影，可得：,由此求得：
1－21
解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。
取：动点：汽车B；
动系：汽车A（Ox’y’）；
定系：路面。
运动分析
绝对运动：圆周运动；
相对运动：圆周运动；
牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）
求相对速度，根据速度合成定理
将上式沿绝对速度方向投影可得：
因此
其中：，
由此可得：
求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，
相对速度的大小为常值，因此有：
1-23质量为销钉M由水平槽带动，使其在半径为的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。
解：销钉M上作用有水平槽的约束力和圆槽的约束力（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。
根据速度合成定理有
由此可求出：。再根据加速度合成定理有：
由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以，并且上式可写成：
因为，所以根据上式可求出:。
根据矢量形式的质点运动微分方程有：
将该式分别在水平轴上投影：
由此求出：
1-24图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。
解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有
将上式在切向量方向投影有
因为，所以上式可写成
整理上式可得
将上式积分：
其中为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度，上式可写成
初始时，系统静止，，根据速度合成定理可知，由此确定。重物相对速度与摆角的关系式为：
1-26水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为，求小球到转轴的距离为时的相对速度。
解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：
将上式在上投影有
因为，，，所以上式可写成
整理该式可得：
将该式积分有：
初始时,,由此确定积分常数，因此得到相对速度为
1-27重为P的小环M套在弯成形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。
解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为，因为金属丝为曲线，所以，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：
其中：，将上式分别在轴上投影有
（a）
以为，,,因此
（b）
由（a）式可得
（c）
将和式（b）代入式（c），并利用，可得：
再由方程（a）中的第一式可得
2-1解：当摩擦系数足够大时，平台AB
相对地面无滑动，此时摩擦力
取整体为研究对象，受力如图，
系统的动量：
将其在轴上投影可得：
根据动量定理有：
即：当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。
当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：
将上式在轴投影有：
根据动量定理有：
由此解得平台的加速度为：（方向向左）
2-2取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：
将上式在x轴投影：
根据动量定理有：
系统的运动微分方程为：
2－4取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。
(a)(b)
根据变质量质点动力学方程有：
将上式在y轴上投影有：
由于，所以由上式可求得：。
再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：
2－5将船视为变质量质点，取其为研究对象，
受力如图。根据变质量质点动力学方程有：
船的质量为：，水的阻力为
将其代入上式可得：
将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得
由初始条件确定积分常数：，并代入上式可得：
图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为，质量为的质点沿半径为的圆周运动，其相对方
板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时，，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。
图a图b
解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计
算方板和质点对转轴的动量矩。
设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有
设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹
的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为
其中：
系统对z轴的动量矩为。初始时，，此时系统对z轴的动量矩为
当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为
由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有，因此可得：
由上式可计算出方板的角速度为
2－11取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：
根据动量矩定理有：
整理上式可得：
由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成：
令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为：
根据初始条件：可以确定积分常数，于是方程的解为：
系统的动量在x轴上的投影为：
系统的动量在y轴上的投影为：
根据动量定理：
由上式解得：
，
2－14取整体为研究对象，系统的动能为：
其中：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。
若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据
复合运动速度合成定理可知：
，
因此系统的动能可表示为：
，
系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：
，
系统的动力学方程可表示成：
由上式解得：
，
2－17质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。
图A图B
解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的动能为
设为势能零点，则系统的势能为
根据机械能守恒定理和初始条件有，即
(1)
系统水平方向的动量为：
(2)
根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有
由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且最后求得：
下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程
（a）
图C图D
对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有
（b）
将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得
其中相对加速度为已知量，。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得
令，联立求解三个投影方程可求出
2－18取小球为研究对象，两个小球对称下滑，
设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：
（a）
将上式对时间求导并简化可得：
(b)
每个小球的加速度为
取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理
将上式在y轴上投影可得：
将(a),(b)两式代入上式化简后得
时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成
上述方程的解为：
圆环脱离地面时的值为
而也是方程的解，但是时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。
2－19取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为，牵连速度为，由系统对z轴的动量矩守恒，有：
其中：，则上式可表示成：
由此解得：
其中：，
根据动能定理积分式，有：
其中：，将其代入动能定理的积分式，可得：
将代入上式，可求得：
则：
由
可求得：
2－20取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为
应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为：
外力对O轴的矩为：
因为：，所以上式可表示成：
积分上式可得：
由初始条件确定积分常数，最后得：
3－3取套筒B为动点，OA杆为动系
根据点的复合运动速度合成定理
可得：，
研究AD杆，应用速度投影定理有：
，
再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理
将上式在x轴上投影有：，
3－4AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度
AB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有：
，
设OB杆的角速度为，则有
设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，
该点的速度：
齿轮I的角速度为：
3－6AB杆作平面运动，取A为基点
根据基点法公式有：
将上式在AB连线上投影，可得
因此，
因为B点作圆周运动，此时速度为零，
因此只有切向加速度（方向如图）。
根据加速度基点法公式
将上式在AB连线上投影，可得
，
（瞬时针）
3－7齿轮II作平面运动，取A为基点有
将上式在x投影有：
由此求得：
再将基点法公式在y轴上投影有：
，
由此求得
再研究齿轮II上的圆心，取A为基点
将上式在y轴上投影有
，
由此解得：
再将基点法公式在x轴上投影有：
由此解得：
，
又因为
由此可得：
3－9卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上D点的速度为，卷筒的角速度为：
角加速度为：
卷筒O点的速度为：
O点作直线运动，其加速度为：
研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。
将其分别在x,y轴上投影
同理，取O为基点，求C点的加速度。
将其分别在x,y轴上投影
3－10图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有：
AB杆的角速度：
圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的
的角速度为：
圆盘上C点的速度为：
AB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点
根据基点法公式有
将上式在x轴上投影可得：
因此：
由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：
将其对时间求导有：
，
由于，所以圆盘的角加速度。
圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法公式有：
3－13滑块C的速度及其加速度就是DC杆的速度
和加速度。AB杆作平面运动，其速度瞬心为P，
AB杆的角速度为：
杆上C点的速度为：
取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据点的复合运动速度合成定理有：
其中：，根据几何关系可求得：
AB杆作平面运动，其A点加速度为零，
B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
由该式可求得
由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：
再取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：
将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：
科氏加速度，由上式可求得：
3-14：取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。
由速度合成定理有：
速度图如图A所示。由于动系平移，所以，
根据速度合成定理可求出：
由于圆盘O1在半圆盘上纯滚动，圆盘O1相对半圆盘的角速度为：
由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。
再研究圆盘，取为基点根据基点法公式有：
为求B点的加速度，先求点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有
（a）
其加速度图如图C所示，，
将公式（a）在和轴上投影可得：
由此求出：，圆盘的角加速度为：
下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象，为基点，应用基点法公式有：
（b）
将（b）式分别在轴上投影：
其中：
，
由此可得：
3－15（b）取BC杆为动系（瞬时平移），
套筒A为动点（匀速圆周运动）。
根据速度合成定理有：
由上式可解得：
因为BC杆瞬时平移，所以有：
3－15（d）取BC杆为动系（平面运动），
套筒A为动点（匀速圆周运动）。
BC杆作平面运动，其速度瞬心为P，设其角速度为
根据速度合成定理有：
根据几何关系可求出：
将速度合成定理公式在x,y轴上投影::
由此解得:
DC杆的速度
3-16(b)BC杆作平面运动,根据基点法有:
由于BC杆瞬时平移,,上式可表示成:
将上式在铅垂轴上投影有:
由此解得:
再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。
(a)
其中:为科氏加速度,因为,所以
动点的牵连加速度为:
由于动系瞬时平移,所以,
牵连加速度为,则(a)式可以表示成
将上式在y轴上投影:
由此求得:
3－16(d)取BC杆为动系，套筒A为动点，
动点A的牵连加速度为
动点的绝对加速度为
其中为动点A的科氏加速度。
将上式在y轴上投影有
上式可写成
(a)
其中：
（见3－15d）为BC杆的角加速度。
再取BC杆上的C点为动点，套筒为动系，由加速度合成定理有
其中，上式可表示为
将上式在y轴投影有：
该式可表示成：
（b）
联立求解(a),(b)可得
3－17AB杆作平面运动，其速度瞬心位于P，
可以证明：任意瞬时，速度瞬心P均在以O为
圆心，R为半径的圆周上，并且A、O、P在同
一直径上。由此可得AB杆任何时刻的角速度均
为
杆上B点的速度为：
AB杆的角加速度为：
取A为基点，根据基点法有
将上式分别在x,y轴上投影有
3－18取DC杆上的C点为动点，构件AB为动系
根据几何关系可求得：
再取DC杆上的D点为动点，构件AB为动系
由于BD杆相对动系平移，因此
将上式分别在x,y轴上投影可得
求加速度：研究C点有
将上式在y轴投影有
由此求得
再研究D点
由于BD杆相对动系平移，因此
将上式分别在x,y轴上投影有
3－21由于圆盘纯滚动，所以有
根据质心运动定理有：
根据相对质心的动量矩定理有
求解上式可得：
，
若圆盘无滑动，摩擦力应满足，由此可得：
当：时，
3－22研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如图所示，
由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知
AB杆质心C的加速度铅垂。
由质心运动定理有：
根据相对质心的动量矩定理有：
刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为零。
A点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于P点。
有运动关系式
求解以上三式可求得：
3－25设板和圆盘中心O的加速度分别为
，圆盘的角加速度为，圆盘上与板
的接触点为A，则A点的加速度为
将上式在水平方向投影有
（a）
取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有
(b)
应用相对质心动量矩定理有
(c)
再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有
(d)
作用在板上的滑动摩擦力为：
(e)
由(a)(b)(c)(d)(e)联立可解得：
3－29
解：由于系统在运动过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置
时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和：
其中：
因此系统的动能可以表示成：
系统从位置运动到任意角位置，
AB杆的重力所作的功为：
根据动能定理的积分形式
初始时系统静止，所以，因此有
将上式对时间求导可得：
将上式中消去可得：
根据初始条件，可求得初始瞬时AB杆的角加速度：
因为，所以AB杆的角加速度为顺时针。初始瞬时AB杆的角速度为零，此时AB杆的加速度瞬心在点，由此可求出AB
杆上A点的加速度：
3－33设碰撞后滑块的速度、AB杆的角速度如图所示
根据冲量矩定理有：
(a)
其中：为AB杆质心的速度，根据平面运动关系有
(b)
再根据对固定点的冲量矩定理：
系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的
动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：
将其代入冲量矩定理有：
(c)
由（a,b,c）三式求解可得：
(滑块的真实方向与图示相反)
3－34研究整体，系统对A轴的动量矩为：
其中：AC杆对A轴的动量矩为
设为BC杆的质心，BC杆对A轴的动量矩为
根据冲量矩定理可得：
（a）
再研究BC杆，其对与C点重合的固定点的动量矩为
根据冲量矩定理有：
（b）
联立求解（a）,(b)可得
3－35碰撞前，弹簧有静变形
第一阶段：与通过完全塑性碰撞后一起向下运动，
不计常规力，碰撞前后动量守恒，因此有：
碰撞结束时两物体向下运动的速度为
第二阶段：与一起向下运动后再回到碰撞结束时
的初始位置，根据机械能守恒可知：此时的速度向上，
大小仍然为
第三阶段：与一起上升到最高位置，此时弹簧
被拉长。根据动能定理有：
上式可表示成：
若使脱离地面，弹簧的拉力必须大于其重力，因此有，将代入上式求得：。
若，则
注：上述结果是在假设与始终粘连在一起的条件下得到的，若与之间没有粘着力，
答案应为，如何求解，请思考。
3－36取AB杆为研究对象，初始时，杆上的A点与水平杆上的O点重合，当时系统静止，AB杆上A点的速度
为，角速度为，初始时受到冲击力的作用，应用对固定点O的冲量矩定理可得
其中：
由此解得：
当时，滑块A以加速度向右运动，
取AB杆为研究对象，应用相对动点A的动量矩定理有：
将上式积分并简化可得：
其中C是积分常数由初始条件确定出
。
上式可表示成
若AB杆可转动整圈，则应有，因此。若的最小值大于零，则AB杆就可以完成整圈转动。下面求
的极值。
将上式求导令其为零有求得极值点为：
当
，
函数取最大值
当
，
函数取最小值，若使最小值大于零，则有
由此求得：
4－6图示瞬时，AB杆的加速度瞬心位于P点，
设其角加速度为，则质心加速度为：
根据动静法有：
4－7（1）取AB杆和滑块C为研究对象
AB杆平移，质心加速度如图所示根据动静法有：
（2）滑块C无水平方向的作用力，其加速度铅垂向下，AB杆平移，
其加速度垂直于AD，如图所示。两者加速度的关系为
根据动静法有
由此求得：
（3）先研究滑块C
根据约束可知：
根据动静法有：
因为：，所以有关系式
即：
再研究整体，应用动静法有
上式可表示成：
由上式解得：
，
，
4－8（1）研究AB杆，将惯性力向杆的质心简化，
根据动静法有：
，
，
（2）若，必有，因此当，
4－9设OA杆和AB杆的角加速度分别为。将各杆的惯性力向各自质心简化。
研究整体，根据动静法有：
，
AB杆，根据动静法有：
上述平衡方程可简化为
求解该方程组可得：
4－10取圆盘A的角加速度为，AB杆的角加速度为。
设AB杆的质心为C，其加速度为
将惯性力分别向各刚体的质心简化。
作用于AB杆质心C的惯性力为：
，，
，
研究整体，
（a）
研究AB杆，
(b)
将(a)－(b)得：
上式化简为：
还可写成：
即：
将上式积分可得：
再根据初始条件：确定，由此可得
根据动能定理有：
（C）
其中：
再利用（c）式可表示成
(d)
当,,
再将(d)式求导,然后销去,最后可得
当,可求得,
又因为，
当AB杆铅垂时，。
再取圆盘为研究对象，应用动静法有
，
再研究整体，利用动静法有
4－12此瞬时AB杆作瞬时平移，所以
因为AB杆的角速度为零，且A点的加速度为零，
取A为基点，有
又因为B点作圆周运动，所以
将该式在铅垂轴上投影：
由此解得：
AB杆质心C的加速度垂直于AB杆，
其大小为：
应用动静法：
，
，，
4－14图示瞬时，AB杆瞬时平移，其加速度瞬心位于P点。设OA、AB杆的质心分别为。
各点加速度如图所示，其大小为
，
，
有关的惯性力为：
应用动静法和虚位移原理，有
因为：，上式可表示成
因为，所以，
由此解得
研究AB杆及滑块B，
由此解得：
x
y
o
y
z
o
x
y
A
O
A
O
B
R
A
O
B
R
x
M
O
A
B
M
O
A
B
O
x’
y’
y’
x’
O
M
O
M
O
M
O
M
O
M
R
Ro
F
θ
O
R
Ro
O
M
M
x
x
y
x
o
M
P
A
B
A
B
A
B
A
B
z
C
x
y
O
C
B
P
B
C
P
O
A
B
图A
O
A
B
图B
图C
O
O
B
图D
P
y
x
y
y
x
y
x
P
O
R
O
R
x
y
x
y
x
y
P
A
R
P
C
B
C
I
B
A
P
A
B
C
A
B
C
P
P
A
C
A
P
P
P
P
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