阅读操作类专题(30题)
1．问题背景
（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E，过点作F∥AC交BC于F．请按图示数据填空：
四边形DFE的面积，
△F的面积，
△ADE的面积．
探究发现
（2）在（1）中，若，，D与BC间的距离为．（用含S、的代数式表示）．
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为、、，试利用（2）中的结论求□DEFG的面积．
小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6,且∠BAC=45°,求线段AD的长.
小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O点作OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及 OE，在Rt△AOF中可以求出AF,最后利用AD=AF+DF得以解决此题。请你回答图2中线段AD的长.
参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图3：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6,且∠BAC=30°,
则线段AD的长.
3.如图①，在矩形中，将矩形折叠，使点落在（含端点）上，落点记为，这时折痕与边或边（含端点）交于点.然后再展开铺平，则以为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是一个________三角形；
（2）如图②，在矩形中，，当它的“折痕”的顶点位于边的中点时，画出这个“折痕”，并求出点的坐标；
（3）如图③，在矩形中，.当点F在OC上时，在图③中画出该矩形中面积最大的“折痕”，并直接写出这个最大面积.
4.如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么他必须满足的条件是．
5.阅读下面材料：
如图1，已知线段AB、CD相交于点O，且AB=CD，请你利用所学知识把线段AB、CD转移到同一三角形中．
小强同学利用平移知识解决了此问题，具体做法：
如图2，延长OD至点E，使DE=CO，延长OA至点F，使AF=OB，联结EF，则△OEF为所求的三角形．
请你仔细体会小强的做法，探究并解答下列问题：
如图3，长为2的三条线段AA′，BB′，CC′交于一点O，并且∠B′OA=∠C′OB=∠A′OC=60°；
（1）请你把三条线段AA′，BB′，CC′转移到同一三角形中．
（简要叙述画法）
（2）联结AB′、BC′、CA′，如图4，设△AB′O、△BC′O、
△CA′O的面积分别为S1、S2、S3，
则S1+S2+S3（填“>”或“<”或“=”）．
6.问题探究：
（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=90°的一个点P，保留作图痕迹；
（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°的所有的点P，保留作图痕迹并简要说明作法；
（3）如图3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°，且使△BPC的面积最大的所有点P，保留作图痕迹．
7.阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连结EF，求证：DE+BF=EF．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：在图2中．（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，则BE=．
（2）如图4，在平面直角坐标系xy中，点B是x轴上一动点，且A（，2），连结AB和AO，以AB为边作正方形ABCD，若C（x，y），则y．矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，使剪得的三块纸片恰能拼成一个三角形（不能有重叠和缝隙）．D、AB、CD的中点P、E、F，并沿直线PE、PF剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN(如图2)．
（1）在图中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；
（2）以点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图），剪拼后得到等腰三角形△PMN，点P在边D上（不与、D重合），点M、N在轴上（M在N的）．点D的坐标为(5,8)直线PM的解析式为k的值．
图1图2阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起于是他将BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了BP′A（如图2），然后连PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
(1)图2中∠BPC的度数为；
(2)如图3，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2则∠BPC的度数为正六边形ABCDEF的边长为．
10.22．小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小.小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：
①作点A关于直线l的对称点A′.
②连结A′B，交直线l于点P.则点P为所求.
请你参考小明的作法解决下列问题：
如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小.
①在图1中作出点P.（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出△PDE周长最小值（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中点E、F.（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值.
（1）
（2）
（3）平面内4条直线，可以把平面最多分成多少部分？
（4）平面内100条直线，可以把平面最多分成多少部分？
12.阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题
得到解决．
（1）请你回答：图中BD的长为；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．
图①图②
13.在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将的面积直接填写在横线上__________________；
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上__________________；
探索创新：
（3）若中有两边的长分别为、（），且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．
14.如图①，将一张直角三角形纸片折叠，使点与点重合，这时为折痕，为等腰三角形；再继续将纸片沿的对称轴折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
图①图②图③
（1）如图②，正方形网格中折叠成“叠加矩形”如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的为一边，画出一个斜，使其顶点在格点上，且折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）一个三角形所折成的叠加矩形为正方形，那么它必须满足的条件是什么？
15．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：
如图3，先画△ADC，使DA=DC，延长AD到点B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB=∠ABC，因为∠CDB=2∠A，所以∠ABC=2∠A．于是小明得到了一个结论：
当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．
请你参考小明的做法：直接写出结小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接,当点A落在上时,此题可解（如图2）。请你回答：．
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是.（结果可以不化简）
17、（石景山）阅读下面材料：
小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△内部点且求的度数
小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到，连结则是等边三角形，，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC中.
（1）请你回答：.
（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：
已知四边形ABCD，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°ABCD的面积.
解：
18、（顺义）阅读下列材料：
问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．
小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点顺时针旋转90°得到△E（如图2），然后连结PE，问题得以解决．
请你回答：图2中∠PB的度数为．
请你参考小同学的思路，解决下列问题：
如图3，ABC内一点，∠APB=115°，∠BPC=125°．
（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于．
图1图2图3
小明遇到这样一个问题：我们定义:如果一个图形绕着点旋转角(0(<(<360()后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形.如等边三角形就是一个旋转角为120(的旋转对称图形.如图1，△ABC的中心,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形.
图1图2图2△ABC面积相等的新的旋转对称图形.
请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：
如图3，在等边△ABC中,E1、E2、E3分别为AB、BC、CA的中点，P1、P2,M1、M2,N1、N2分别为AB、BC、CA的三等分点.
（1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积
20、（丰台）小杰遇到这样一个问题：图，在□ABCD中，E⊥BC于点E，F⊥CD于点F，连结EF，的高线交于点H，=4，EF=，求H的长．小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过△AEH平移△GCF的位置(如图2，可以解决这个问题．请你回答：图2中H的长等于．
=a，EF=，H的长等于．
图1图2
21、（房山）⑴阅读下面材料并完成问题：
已知：直线AD与△ABC的边BC交于点D，
①如图1，当BD=DC时，则S△ABD________S△ADC．(填“=”或“＜”或“＞”)
图1图2图3
②如图2，当BD=DC时，则．
③如图3，若AD∥BC,则有．(填“=”或“＜”或“＞”)
⑵请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题：
过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成1︰2的两部分．（保留画图痕迹）
22、（平谷）在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm，宽为14cm
的长方形纸上剪下一个腰为12cm的等腰三角形（要求等腰三角
形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形
的边上）.小明同学按老师要求画出了如图（1）的设计方案示意图，
请你画出与小明的设计方案不同的所有满足老师要求的示意图，
并通过计算说明哪种情况下剪下的等腰三角形的面积最小
（含小明的设计方案示意图）.图（1）
23、（大兴）阅读材料：1）请你在图3中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图4，图5中；
阅读材料：①画辅助图作射线OX，在射线OX上截取OM＝AB，MN＝BC．以ON为直径作半圆，过点M作MI⊥OX，与半圆交于点I；
②图，在CD上取F，使AF＝MI，作BE⊥AF，垂足为E△ADF沿射线DC平移到△BCH△AEB沿射线AF平移到△FGH得四边形EBHG．（2）请依据上述操作过程证明得到的四边形EBHG是正方形.
24、（门头沟）数学课上，同学们：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形（）小乔发现：下面两个等腰三角形如图、也具有这种特性．请你在图、图中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所等腰三角形两个底角的度数；
（）接着，小乔又发现：一些非等腰三角形也具有这样的特性，可以分成两个小等腰三角形．请你画出具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出的各内角的度数．（说明：要求画出的不是等腰三角形．）25、（西城）阅读下列材料
小华在学习中发现如下结论：
如图1，点A，A1，A2在直线l上，当直线l∥BC时，
.
请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：
(1)如图2，已知△ABC，画出一个等腰△DBC，使其面积与△ABC面积相等；
(2)如图3，已知△ABC，画出两个Rt△DBC，使其面积与△ABC面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；
(3)如图4，已知等腰△ABC中，AB=AC，画出一个四边形ABDE，使其面积与△ABC面积相等，且一组对边DE=AB，另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B.
图2图3图4
定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，，则点就是四边形的准内点．
（1）如图2，与的角平分线相交于点．
求证：点是四边形的准内点．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．°）后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，α为这个旋转对称图形的一个旋转角.例如，正方形绕着它的对角线交点旋转90°、180°、270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°、180°、270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角.请依据上述规定解答下列问题：
（1）.
②平行四边形是旋转对称图形.
（2）°的是__________(写出所有正确结论前的序号).
①等边三角形②有一个角是60°的菱形③正六边形④正八边形
（3）正五边形显然满足下面两个条件：
①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°.
②是轴对称图形，但不是中心对称图形.
思考：还有什么图形也同时满足上述两个条件？请说出一种.
28、（通州）问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．
探索研究
我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
填写下表，画出函数的图象：
x …… 1 2 3 4 …… y …… ……
观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形中，，．现有一动点按下列方式在矩形内运动：它从点出发，沿着与边夹角为的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点碰到边，沿着与边夹角为的方向作直线运动，当点碰到边，再沿着与边夹角为的方向作直线运动，…，如图1所示．问点第一次与点重合前与边相碰几次，点第一次与点重合时所经过的路径的总长是多少．
小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形沿直线折叠，得到矩形．由轴对称的知识，发现，．
请你参考小贝的思路解决下列问题：
（1）点第一次与点重合前与边相碰______次；点出发到第一次与点
重合时所经过的路径地总长是_______________cm；
（2）进一步探究：改变矩形中的长，且满足．动点从点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形相邻的两边上．若点第一次与点重合前与边相碰7次，则的值为_________．
30.操作与探究：
（1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点.
点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为．如图1，若点表示的数是，则点表示的数是；若点表示的数是2，则点表示的数是；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（），得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标。
图⑴图⑵图⑶
E3
心形于绕着一定
E1
E2
P1
P2
N1
N2
M2
M1
C
B
A
图3
G
F
H
图1
如图4
图3
图1
AB
DC
G
图2
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