第1课时实数的有关概念
【知识梳理】
实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限
环循小数)都是有理数.有理数和无理数统称为实数.
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.
绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.
有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.
科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.
大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.
平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．
立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．
开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．
【思想方法】
数形结合，分类讨论
【例题精讲】
例1.下列运算正确的是（）
A． B．C．D．
例2.的相反数是（）
A．B． C．D．
例3.2的平方根是（）
A．4B．C．D．
例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）
A．元 B．元
C．元 D．元
例5.实数在数轴上对应点的位置如图所示，
则必有（）
A． B． C． D．
例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：
⊕=(为常数)时，得
（+1）⊕=+2，⊕（+1）=-3
现在已知1⊕1=4，那么2009⊕2009=．
【当堂检测】
1.计算的结果是（）
A． B． C． D．
2.的倒数是（）
A． B． C． D．
3.下列各式中，正确的是（）
A．B．C．D．
4.已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）
A．1 B． C． D．
5.的相反数是（）
A． B． C． D．
6.-5的相反数是____,-的绝对值是____,=_____.
7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数.
8.如果，则“”内应填的实数是（）
A． B． C． D．
第2课时实数的运算
【知识梳理】
1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．
2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；
任何数与0相乘，积仍为0．
4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．
5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
如果有括号，先算括号里面的．
6．有理数的运算律：
加法交换律：为任意有理数)
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a,b,c为任意有理数)
【思想方法】
数形结合，分类讨论
【例题精讲】
例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.
例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是()
A．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.
B．纽约时间2006年6月17日晚上22时.
C．多伦多时间2006年6月16日晚上20时.
D．汉城时间2006年6月17日上午8时.
例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成.
例4.下列运算正确的是（）
A．B．
C．D．
例5.计算：
(1)(2)o
(3)；(4).
【当堂检测】
1.下列运算正确的是（）
A．a4×a2=a6B．
C．D．
2.某市2008年第一季度财政收入为亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为()
A．元B．元C．元D．元
3.估计68的立方根的大小在()
A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间
4.如图，数轴上点表示的数可能是（）
A． B．
C． D．
5.计算：
(1)（2）
第3课时整式与分解因式
【知识梳理】
1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（m、n为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（a≠0，m、n为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（n为正整数）；④零指数：（a≠0）；⑤负整数指数：（a≠0，n为正整数）；
2.整式的乘除法:
(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.
(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.
(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.
(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.
(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，
即；
(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）
它们的积的2倍，即
3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．
4.分解因式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：公式；
5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
6．分解因式时常见的思维误区：
⑴提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．
⑵提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉．
(3)分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
【例题精讲】
【例1】下列计算正确的是（）
A.a＋2a=3a B.3a－2a=a
C.aa=a D.6a÷2a=3a
【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的
结果是（）
平方-÷+2结果
A．B．C．+1D．-1
【例3】若，则．
【例4】下列因式分解错误的是( )
A． B．
C． D．
【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________
【例6】给出三个多项式：，，．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【当堂检测】
1.分解因式：，
2.对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a＝c且b＝d时，
（a，b）=（c，d）．定义运算“”：（a，b）（c，d）=（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）（p，q）=（5，0），则p＝，q＝．
3.已知a=1.6(109，b=4(103，则a2(2b=()
A.2(107B.4(1014C.3.2(105D.3.2(1014．
4.先化简，再求值：，其中．
5．先化简，再求值：，其中．
第4课时分式与分式方程
【知识梳理】
1.分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式叫做分式．
2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分：
3．分式运算
4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．
5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．
【思想方法】
1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）
2.检验
【例题精讲】
1．化简：
2．先化简，再求值：，其中．
3．先化简，然后请你给选取一个合适值,再求此时原式的值．
4．解下列方程（1）（2）
5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是()
A.B.
C.D.
【当堂检测】
1．当时，分式的值是 ．
2．当时，分式有意义；当时，该式的值为0．
3．计算的结果为 ．
4.．若分式方程有增根，则k为（）
A.2B.1C.3D.-2
5．若分式有意义，则满足的条件是：（）
A．B．C．D．
6．已知x＝2008，y＝2009，求的值
7．先化简，再求值：，其中
8.解分式方程．
(1)(2)；
(3)(4)
第5课时二次根式
【知识梳理】
1.二次根式：
(1)定义:____________________________________叫做二次根式.
2．二次根式的化简：
3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．
（2）根号内不含分母（3）分母上没有根号
4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
5．二次根式的乘法、除法公式：
（1）（2）
6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．
【思想方法】非负性的应用
【例题精讲】
【例1】要使式子有意义，的取值范围是（）
A． B．C．D．
【例2】估计的运算结果应在（）．
A．6到7之间B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【例3】若实数满足，则的值是．
【例4】如图，A，B，C，D四张卡片上分别写有四个实数，从中任取两张卡片．
ABCD
（1）请列举出所有可能的结果（用字母A，B，C，D表示）；
（2）求取到的两个数都是无理数的概率．
【例5】计算：
（1）
（2）．
【例6】先化简，再求值：，其中．
【当堂检测】
1.计算：（1）．
（2）cos45°·(－)－2－(2－)0＋｜－｜＋
（3）．
2.如图，实数、在数轴上的位置，化简
第6课时一元一次方程及二元一次方程（组）
【知识梳理】
1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题．
2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：
等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件．
3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．
4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．
【思想方法】
方程思想和转化思想
【例题精讲】
例1．（1）解方程（2）解二元一次方程组?
解：
例2．已知是关于的方程的解，求的值．
方法1方法2
例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
A.B.C.D.
例4．在中，用x的代数式表示y，则y=______________．
例5．已知ab、c满足，则a：b：c=．
月份 用电量 交电费总数 3月 80度 25元 4月 45度 10元 例6．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度0.5元交费．
①该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示）？．
②右表是这户居民3月4月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A度为．
【当堂检测】
1．方程的解是______．
2．一种书包经两次降价10%，现在售价元，则原售价为_______元．
3.若关于的方程的解是，则_________．
4．若，，都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____．
5．解下列方程（组）：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
6．当时，代数式的值是12，求当时，这个代数式的值．
7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？
8．甲、乙两人同时解方程组由于甲看错了方程①中的，得到的解是，乙看错了方程中②的，得到的解是，试求正确的值．
第7课时一元二次方程
【知识梳理】
一元二次方程的概念及一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法
3．求根公式：当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为
4．根的判别式：当b2-4ac＞0时，方程有实数根．
当b2-4ac=0时，方程有实数根．
当b2-4ac＜0时，方程实数根．
【思想方法】
1.常用解题方法——换元法
2.常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想
【例题精讲】
例1．选用合适的方法解下列方程：
(1)(x-15)2-225=0；(2)3x2－4x－1＝0（用公式法）；
(3)4x2－8x＋1＝0（用配方法）；（4）x2+x=0
．已知一元二次方程有一个根为零，求的值．
例3．用22cm长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
例4．已知关于x的方程x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0
求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
若等腰三角形ABC的一边长为a=4，另两边的长b．c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【当堂检测】
一、填空
1．下列是关于x的一元二次方程的有_______①②
③④⑤⑥
2．一元二次方程3x2=2x的解是．
3．一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0，则m的值是．
4．已知m是方程x2-x-2=0的一个根，那么代数式m2-m=．
5．一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则的值为．
6．关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是__________．
7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是．
二、选择题：
8．对于任意的实数x,代数式x2－5x＋10的值是一个()
A.非负数B.正数C.整数D.不能确定的数
9．已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是（）
A.3B.3或-2C.2或-3D.2
10．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）
（A）x2＋4＝0（B）4x2－4x＋1＝0（C）x2＋x＋3＝0（D）x2＋2x－1＝0
11．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（）
A．若x2=4，则x=2
B．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1
C．方程x2+2x+2=0实数根为0个
D．方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根
12．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是（）A.16B.18C.16或18D.21
三、解下方程：
(1)(x+5)(x-5)=7(2)x(x-1)=3-3x(3)x2-4x-4=0
(4)x2+x-1=0(6)（2y-1）2-2（2y-1）-3=0
第8课时方程的应用【知识梳理】
1.方程（组）的应用；
2.列方程（组）解应用题的一般步骤；
3.实际问题中对根的检验非常重要．
【注意点】
分式方程的检验，实际意义的检验．
【例题精讲】
例1.足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（）
A．4场B．5场C．6场D．13场
例2.某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（）
A．B．C．D．
例3.张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意得到的方程是（）
例4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺数为x张，信封个数分别为y个，则可列方程组．
例5.团体购买公园门票票价如下：
购票人数 1～50 51～100 100人以上 每人门票（元） 13元 11元 9元 今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．
(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
【当堂检测】
某市处理污水，需要铺设一条长为1000的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．设原计划每天铺设管道xm，则可得方程．
2.“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题，“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x只，兔为y只，所列方程组正确的是（）
.为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m3，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m3．
（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？
（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t土石，运输公司派出A型，B型两种载重汽车，A型汽车6辆，B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆，B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A型汽车，每辆B型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）
4.2009年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30km远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度．
5.某体育彩票经售商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩费，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；
（2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案．
第9课时方程的应用【知识梳理】
1.一元二次方程的应用；
2.列方程解应用题的一般步骤；
3.问题中方程的解要符合实际情况．
【例题精讲】
例1.一个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（）
A．16B．25C．34D．61
例2.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修
建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积
需要551米2，则修建的路宽应为（）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
例3.为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
例4.某地出租车的收费标准是：起步价为7元，超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，那么x的最大值是（）
A．11B．8C．7D．5
例5.已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．
例6.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
例7.幼儿园有玩具若干份分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件．如果每人分5件，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友．
【当堂检测】
1.某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
2.为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？
3.A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.
⑴P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33cm2？
⑵P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？
4.甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？
购苹果数 不超过30kg 30kg以下但
不超过50kg 50kg
以上 每千克价格 3元 2.5元 2元
第10课时一元一次不等式（组）
【知识梳理】
1.一元一次不等式（组）的概念；
2.不等式的基本性质；
3.不等式（组）的解集和解法．
【思想方法】
1.不等式的解和解集是两个不同的概念；
2.解集在数轴上的表示方法．
【例题精讲】
例1.如图所示，O是原点，实数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，则下列结论错误的是（）
A. B. C. D.
例2.不等式的解集是（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例3.把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）
A．B．C．D．
例4.不等式组的整数解共有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
例5.小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150kg，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地，那么小明的体重应小于（）
A.49kg B.50kg
C.24kg D.25kg
例6.若x的不等式x－m≥－1的解集如图所示，则m等于（）
A．0 B．1
C．2 D．3
例7.解不等式组：（1）（2）
【当堂检测】
.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克元．
.解不等式，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．
3.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
4.我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获得（百元） 12 16 10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为，装运B种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．
第11课时平面直角坐标系、函数及其图像
【知识梳理】
一、平面直角坐标系
1.坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；
2.各象限点的坐标的符号；
3.坐标轴上的点的坐标特征．
4.点P（a，b）关于对称点的坐标
5.两点之间的距离
6.线段AB的中点C，若则
二、函数的概念
1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
2.自变量的取值范围：（1）使解析式有意义（2）实际问题具有实际意义
3.函数的表示方法；（1）解析法（2）列表法 （3）图象法
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例1.函数中自变量的取值范围是;
函数中自变量的取值范围是．
例2.已知点与点关于轴对称，则，．
例3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为
（8，0）,点C、D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形．
求点C的坐标．
例4.阅读以下材料：对于三个数a,b,c用M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数．例如：；
min{-1,2,3}=-1；解决下列问题：
填空：min{sin30o,sin45o,tan30o}=；
（2）①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x}，求x；②根据①，你发现了结论“如果M{a,b,c}=min{a,b,c}，那么（填a,b,c的大小关系）”．
③运用②的结论，填空：M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}若，
则x+y=．
（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=(x-1)2，y=2-x的图象（不需
列表描点）．通过观察图象，填空：
min{x+1,(x-1)2,2-x}的最大值为．
【当堂检测】
1.点在第二象限内，到轴的距离是4，到轴的距离是3，那么点的坐标为（）
A．(-4,3) B．(-3,-4) C．(-3,4) D．(3,-4)
2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4,x,y为整数，写出一个符合上述条件的点的坐标： ．
3.点P(2m-1,3)在第二象限，则的取值范围是（）
A．m>0.5 B．m≥0.5 C．m<0.5 D．m≤0.5
4.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
⑴由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标:、；
⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为（不必证明）；
⑶已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
一次函数图象和性质
【知识梳理】
1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).
2.一次函数的图象是经过（，0）和（0，b）两点的一条直线.
3.一次函数的图象与性质k、b的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 图像的大致位置
经过象限 第象限 第象限 第象限 第象限 性质 y随x的增大
而 y随x的增大而而 y随x的增大
而 y随x的增大
而
【思想方法】数形结合
【例题精讲】
例1.已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上；
（3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
例2.已知一次函数y=(3a+2)x－(4－b),求字母a、b为何值时：
（1）y随x的增大而增大；（2）图象不经过第一象限；
（3）图象经过原点；（4）图象平行于直线y=－4x+3；
（5）图象与y轴交点在x轴下方.
例3.如图，直线l1、l2相交于点A，l1与x轴的交点坐标为（－1，0），l2与y轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题：
（1）求出直线l2表示的一次函数表达式；
（2）当x为何值时，l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0？
例4.如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2,n)，一次函数图像与y轴的交点为C.
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOC的面积.
【当堂检测】
1.直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______；
2.一次函数与的图象如图，则下列
结论：①；②；③当时，中，
正确的个数是（）
A．0 B．1C．2 D．3
3.一次函数，值随增大而减小，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
4.一次函数的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．已知函数的图象如图，则的图象可能是（）
6.已知整数x满足-5≤x≤5，y1=x+1，y2=-2x+4对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）
A.1B.2C.24D.-9
7.如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()
A.（0，0）B.（，）
C.（－，－）D.（－，－）
一次函数的应用
【例题精讲】
例题1.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图像如图所示.
⑴月用电量为100度时，应交电费元；
⑵当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
⑶月用电量为260度时，应交电费多少元？
例题2.在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．
（1）甲、乙两地之间的距离为km，乙、丙两地之间的距离为km；
（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？
（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出t的取值范围．
例题3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
例题4.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工1000只同一型号的奥运会吉祥物，每名工人每天加工的吉祥物个数相等且保持不变，由于生产需要，其中一个车间推迟两天开始加工．开始时，甲车间有10名工人，乙车间有12名工人，图中线段OB和折线段ACB分别表示两车间的加工情况．依据图中提供信息，完成下列各题：（1）图中线段OB反映的是________车间加工情况；
（2）甲车间加工多少天后，两车间加工
的吉祥物数相同？
（3）根据折线段ACB反映的加工情况，
请你提出一个问题，并给出解答．
【当堂检测】
1.如图(1)，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图(2)所示，则△BCD的面积是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（）
A．乙比甲先到终点
B．乙测试的速度随时间增加而增大
C．比赛到29.4秒时，两人出发后第一次相遇
D．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快
3.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）A．12分钟 B．15分钟
C．25分钟 D．27分钟
4.（2011年襄阳）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，门票定价为50元／人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1（元），节假日购票款为y2（元）．y1、y2与x之间的函数图象如图所示．
(1)观察图象可知：a＝_______，b＝_______，m＝_______；
(2)直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
(3)某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日，（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A、B两个团队合计50人，则A、B两个团队各有多少人？
反比例函数图象和性质
【知识梳理】
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝
或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
2.反比例函数的图象和性质
k的符号 k＞0 k＜0 图像的大致位置
经过象限 第象限 第象限 性质 在每一象限内,y随x的增大而 在每一象限内,y随x的增大而
3．的几何含义：反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为.
【思想方法】数形结合
【例题精讲】
例1某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米／秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如右图所示：
（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；
（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？
（3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F在什么范围内？
例2如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．
【当堂检测】
1.(2008年河南)已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3），则m的值为．
2.（2008年宜宾）若正方形AOBC的边OA、OB在坐标轴上，顶点C在第一象限且在反比例函数y＝的图像上，则点C的坐标是.
3．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）
A．k＞3B．k＞0C．k＜3D．k＜0
4.(2008年广东)如图,反比例函数图象过点P,则它的解析式为()
A.y＝(x>0)B.y＝－(x>0)
C.y＝(x<0)D.y＝－(x<0)
5．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）
A．不小于m3 B．小于m3
C．不小于m3 D．小于m3
6．（2008巴中）如图，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则．
7．对于反比例函数，下列说法不正确的是（）
A．点在它图象上B．图象在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小
8.（2008年乌鲁木齐）反比例函数的图象位于（）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限 D．第一、二象限
9．（k≠0）的图象经过点(，8)，直线y＝－x＋b经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另—个交点为P，连接OP、CQ，求△OPQ的面积．
二次函数图象和性质
【知识梳理】
1.二次函数的图像和性质
＞0 ＜0
图象
开口 对称轴 顶点坐标 最值 当x＝时，y有最值 当x＝时，y有最值 增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而 y随x的增大而 在对称轴右侧 y随x的增大而 y随x的增大而 2.二次函数用配方法可化成的形式，其中
＝，＝.
3.二次函数的图像和图像的关系.
4.二次函数中的符号的确定.
【思想方法】数形结合
【例题精讲】
例1.已知二次函数，
(1)用配方法把该函数化为
(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画
出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称
轴和顶点坐标.
(2)求函数的图象与x轴的交点坐标.
例2.（2008年大连）如图，直线和抛物线
都经过点A(1，0)，B(3，2)．
⑴求m的值和抛物线的解析式；
⑵求不等式的解集．(直接写出答案)
【当堂检测】
1.抛物线的顶点坐标是.
2．
3.如图所示的抛物线是二次函数
的图象，那么的值是．
4.二次函数的最小值是（）
A.－2B.2C.－1D.1
5.请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式.
6.已知二次函数的部分图象如右图所示，则关于的一元二次方程的解为．
7.已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（）
A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3
8.二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：
①＞0；②＞0；③b2-4＞0，其中正确的个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
第7题图第8题图
9.（2011?临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数应用
【知识梳理】
1.二次函数的解析式：（1）一般式：；（2）顶点式：
2.顶点式的几种特殊形式.
⑴，⑵，⑶，（4）.
3．二次函数通过配方可得，其抛物线关于直线对称，顶点坐标为（，）.
⑴当时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点,当
时，有最（“大”或“小”）值是；
⑵当时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点,当
时，有最（“大”或“小”）值是．
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例1.橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，
才能使喷出的水流不至于落在池外？
例2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）
⑴分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
⑵如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
（1）（2）
【当堂检测】
.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中如图，则此抛物线的解析式为．.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）
A．y＝x2＋aB．y＝a（x－1）2C．y＝a（1－x）2D．y＝a（l＋x）2
．如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
⑴设矩形的一边为面积为(m2)，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
⑵当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分，根据关系式回答：
⑴该同学的出手最大高度是多少？
⑵铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？
⑶该同学的成绩是多少？
.某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在正比例函数关系：，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在二次函数关系：，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
数据的描述、分析【知识梳理】
1.掌握总体、个体、样本、样本容量四个基本概念；
2.理解样本平均数、极差、方差、标准差、中位数、众数.
【思想方法】1.会运用样本估计总体的思想
【例题精讲】
例1.某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）
如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是环，中位数环，极差是环,方差是环.例2.已知样本x1、x2、x3、x4的平均数是2，则x1+3、x2+3、x3+3、x4+3的平均
数为;.已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么样本2x1+3，
2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是，标准差是.例3.小明上学期六门科目的期末考试成绩(单位：分)分别是：120，115，
x，60，85,80．若平均分是93分，则x=_________，一组数据2，4，x，2，
3，4的众数是2，则x＝．例4.为了了解我市九年级学生中考数学成绩，从所有考生的试卷中抽取1000
份试卷进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取的1000名学生,则总体
是,个体是,
样本是,样本容量是.
例5．某校九年级(1)班积极响应校团委的号召,每位同学都向“希望工程”
捐献图书,全班40名同学共捐图书320册．特别值得一提的是李扬、王州两
位同学在父母的支持下各捐献了50册图书.班长统计了全班捐书情况如下
表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分)：
册数 4 5 6 7 8 50 人数 6 8 15 2
⑴分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；
⑵请算出捐书册数的平均数、中位数和众数,并判断其中哪些统计量不能
反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由．
【当堂检测】
1.下列调查方式，合适的是（）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式.
B．要了解淮安电视台“有事报道”栏目的收视率，采用普查方式.
C．要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查
方式.
D．要了解外地游客对“淮扬菜美食文化节”的满意度，采用抽查方式.
2.刘翔为了备战2008年奥运会，刻苦进行110米跨栏训练，为判断他的成绩是否稳定，教练对他10次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这10次成绩的（）
A．众数B．方差C．平均数D．频数
3.人民商场对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 100 180 220 80 550 经理决定本周进女装时多进一些红色的，来解释这一现象的统计知识是()
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4.下列调查方式中．不合适的是（）
A．了解2008年5月18日晚中央也视台“爱的奉献”抗震救灾文艺晚会的收视率,采用抽查的方式.
B．了解某渔场中青鱼的平均重量,采用抽查的方式.
C．了解某型号联想电脑的使用寿命，采用普查的方式.
D．了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式.
5.某校参加“姑苏晚报·可口可乐杯”中学生足球赛的队员的年龄如下(单位：岁)：13，14，16，15，14，15，15，15，16，14，则这些队员年龄的众数是＿＿＿＿．
6.在校园歌手大赛中，七位评委对某位歌手的打分如下：9.8，9.5，9.7，
9.6，9.5，9.5，9.6，则这组数据的平均数是，极差是.
7.数据，，，的方差．
8.江苏省《居住区供配电设施建设标准》规定，住房面积在120m2及以下的
居民住宅，用电的基本配置容量(电表的最大功率)应为8千瓦．为了了解某
区该类住户家用电器总功率情况，有关部门从中随机调查了50户居民，所
得数据(均取整数)如下：
家用电器总功率
（单位：千瓦） 2 3 4 5 6 7 户数 2 4 8 12 16 8 （1）这50户居民的家用电器总功率的众数是千瓦，中位数
是千瓦；
（2）若该区这类居民约有2万户，请你估算这2万户居民家用电器总功率
的平均值；
（3）若这2万户居民原来用电的基本配置容量都为5千瓦，现市供电部门
拟对家用电器总功率已超过5千瓦用户的电表首批增容，改造为8千瓦,
请计算该区首批增容的用户约有多少户？
数据的描述、分析
【知识梳理】
1.明确扇形图、条形图、折线统计图的区别与联系．
【思想方法】1.基本图形的识别．
【例题精讲】
例1.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教
育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）
A．甲户比乙户大B.乙户比甲户大
C．甲、乙两户一样大D.无法确定哪一户大
例2.在“不闯红灯，珍惜生命”活动中，文明中学的关欣和李好两位同学某天
来到城区中心的十字路口，观察、统计上午7：00～12：00中闯红灯的人
次．制作了如下的两个数据统计图．
(1)求图(一)提供的五个数据(各时段闯红灯人次)的众数和平均数．
(2)估计一个月(按30天计算)上午7：00～12：00在该十字路口闯红灯
的未成年人约有________人次．
(3)请你根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议．
例3.数学课上，年轻的刘老师在讲授“轴对称”时，设计了如下四种教学方法：
①教师讲,学生听；
②教师让学生自己做；
③教师引导学生画图，发现规律；
④教师让学生对折纸，观察发现规律，然后画图．
数学教研组长将上述教学方法作为调研内容发到全年级8个班420名同学手中，
要求每位同学选出自己最喜欢的一种，他随机抽取了60名学生的调查问卷，统计如图：
（1）请将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中方法③的圆心角．
（2）年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种？选择这种教学方法的约有多少人？
（3）假如抽取的60名学生集中在某两个班，这个调查结果还合理吗？为什么？
（4）请你对老师的教学方法提出一条合理化的建议．
【当堂检测】
1.国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：；B组：0.5h≤t＜1h
C组：D组：
请根据上述信息解答下列问题：
（1）C组的人数是 ；
（2）本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该辖区约有24000名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？
2.（2009年吉林省）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差
3.(2009年鄂州)有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（）
A.10 B. C.2 D.概率问题及其简单应用
【知识梳理】
1．了解频数、频率、必然事件和不可能事件、确定事件、随机事件、频率的稳定性等概念，并能进行有效的解答或计算．
2．在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件．
3.必然事件发生的概率是1，记作P（A）=1不可能事件发生的概率为0，记作P（A）=0随机事件发生的概率是0和1之间的一个数，即0＜P（A）＜1
【思想方法】
概率主要是研究现实生活中和客观世界中的随机现象，它通过对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的决策．随着社会的不断发展概率的思想方法也越来越重要．因此，概率知识是各地中考重点考查内容之一．
加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题．
【例题精讲】
例1.（2008年张家界）下列事件中是必然事件的是（）
A.明天我市天气晴朗B.两个负数相乘，结果是正数
C.抛一枚硬币，正面朝下D.在同一个圆中，任画两个圆周角，度数相等
例2.在一次抽奖游戏中，主持人说，这次中奖的可能性有10%，就是说100个人中有10个人可以获奖.旁边的一个人就想，我在这儿等着，等前面的90个人抽完，看看他们抽到奖没有，如果他们没有抽到奖，那我就可以抽到奖了.因为中奖的可能性是10%.你说这个人的想法对吗？
例3.（2008年湘潭）某中学为促进课堂教学，提高教学质量，对七年级学生进行了一次“你最喜欢的课堂教学方式”的问卷调查．根据收回的问卷，学校绘制了“频率分布表”和“频数分布条形图”（如图2）．请你根据图表中提供的信息，解答下列问题．
频率分布表：
代号 教学方式 最喜欢的频数 频率 1 老师讲，学生听 20 0.10 2 老师提出问题，学生探索思考 100 3 学生自行阅读教材，独立思考 30 0.15 4 分组讨论，解决问题 0.25 （1）补全“频率分布表”；
（2）在“频数分布条形图”中，将代号为“4”的部分补充完整；
（3）你最喜欢以上哪一种教学方式或另外的教学方式，请提出你的建议，并简要说明理由．（字数在20字以内）
【当堂检测】
1．下列事件你认为是必然事件的是（）
A．中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮;B．明天是晴天
C．打开电视机，正在播广告;D．太阳总是从东方升起
2．将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（）
A．B．C．D．
3．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）
A．12B．9C．4D．3
4．在中考体育达标跳绳项目测试中，1min跳160次为达标，小敏记录了他预测时，1min跳的次数分别为145，155，140，162，164，则他在该次预测中达标的概率是_________．
5．有一道四选一的选择题，某同学完全靠猜测获得结果，则这个同学答对的概率是________．
6．在一所4000人的学校随机调查了100人，其中有76人上学之前吃早饭，在这所学校里随便问一个人，上学之前吃过早餐的概率是________．
7.书架上有数学书3本，英语书2本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是（）
A．B．C．D．
8．小华与小丽设计了两种游戏：
游戏的规则：用3张数字分别是2，3，4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜．
游戏的规则：用4张数字分别是5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜；否则小丽获胜．
请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由．
概率问题及其简单应用
【知识梳理】
1．频数、频率、概率：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率）总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小．
2．概率的性质：P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，
0
【思想方法】
频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率．
【例题精讲】
例1.小明、小华用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回．
（1）若小明恰好抽到了黑桃4．
①请在下边框中绘制这种情况的树状图；
②求小华抽出的牌面数字比4大的概率．
（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由．
例2(2008年宁夏)张红和王伟为了争取到一张观看奥运知识竞赛的入场券，他们各自设计了一个方案：
张红的方案是：转动如图所示的转盘，如果指针停在阴影区域，则张红得到入场券；如果指针停在白色区域，则王伟得到入场券（转盘被等分成6个扇形．若指针停在边界处，则重新转动转盘）.
王伟的方案是：从一副扑克牌中取出方块1、2、3，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出一张，记录下牌面数字后放回，洗匀后再摸出一张．若摸出两张牌面数字之和为奇数，则张红得到入场劵；若摸出两张牌面数字之和为偶数，则王伟得到入场券．
（1）计算张红获得入场券的概率，并说明张红的方案是否公平？
（2）用树状图（或列表法）列举王伟设计方案的所有情况，计算王伟获得入场券的概率，并说明王伟的方案是否公平？
【当堂检测】
1．某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表，那么该班共有_______人，随机地抽取l人，恰好是获得30分的学生的概率是_______，从表中你还能获取的信息是________（写出一条即可）
2．完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、－1、2、－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀)．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率．(用树状图或列表法求解)
3．如图的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是.
4．掷2枚1元钱的硬币和3枚1角钱的硬币，1枚1元钱的硬币和至少1枚1角钱的硬币的正面朝上的概率是.
5．小红、小明、小芳在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定，问在一个回合中三个人都出包袱的概率是____
6．图（2）是中国象棋棋盘的一部分，图中红方有两个马，黑方有三个卒子和一个炮，按照中国象棋中马的行走规则（马走日字，例如：按图（1）中的箭头方向走），红方的马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少？
小国同学的父亲参加团到某地，准备买某礼物送给小国沿线路依次有A、B、C三个地点可以买到此礼物，质量，价格各不相同，但不知家更便宜由于时间关系，车不会掉头．
(1)若到A处就购买，写出买到最低价格礼物的概率；2分)
(2)小国同学的父亲到A处不买，到B处发现比A处便宜马上购买，否则到C处购买，这样更有希望买到最低价格的礼物．是否正确通过树状图分析．6分)
线段、角、相交线与平行线
【知识梳理】
1、线段、角、相交线与平行线的概念，互余、互补的概念
2、线段、角的大小的比较
3、平行线的性质和判定
【例题精讲】
例题1.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．
例题2.如图所示，下列条件中，不能判断L1∥L2的是（）
A．∠1=∠2B．∠2=∠3
C．∠4=∠5D．∠2+∠4=180°
例题3.（1）数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（）
A．a-bB．a+bC．│a-b│D．│a+b│
（2）已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（）
A．3：4B．2：3C．3：5D．1：2
例题4.如图,已知直线AB∥CD,∠C=115°,∠A=25°,则()
A．B．C．D．
例题5.如图，DE+AB=AD，∠1=∠E，
求证：（1）∠2=∠B；
（2）若∠E+∠1+∠2+∠B=180°，则DE∥AB．
【当堂检测】
1．如图，已知a∥b，∠1=50°，则∠2=______度．
2．已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的补角为______度．
3．时钟在4点整时，时针与分针的夹角为_______度．
4．如图，点A、B、C在直线L上，则图中共有______条线段．
5．（2009年常德）如图，已知，∠1=130o，∠2=30o，则∠C=．
6.（2009年黄石市）如图，则．
7.(2008年安徽)如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=__________．
8.（2009年清远）如图，，于交于，已知
，则（）
A．20°B．60°C．30°D．45°
9.（2009重庆綦江）如图，直线EF分别与直线AB、CD
相交于点G、H，已知∠1=∠2=60°，GM平分∠HGB交直
线CD于点M．则∠3=（）
A．60° B．65° C．70° D．130°
10．如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，BE∥CF，求证：∠1=∠2．
三角形基础知识
【知识梳理】
1、三角形三边的关系；三角形的分类
2、三角形内角和定理；
3、三角形的高，中线，角平分线4、三角形中位线的定义及性质
【思想方法】
方程思想，分类讨论等
【例题精讲】
例1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°．求∠DAC的度数．
例.现有2cm、4cm、8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）.
A.1个B.2个C.3个D.4个
例（2009年绍兴市）如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）
A．B．C．D．
例5（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
【当堂检测】
1．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在
BC的延长线上，则∠ACD＝度.
2．中，分别是的
中点，当时，cm．第1题图
.（2009年十堰市）下列命题中，错误的是（）．
A．三角形两边之和大于第三边B．三角形的外角和等于360°
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
.（2009年重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（）
A． B． C． D．
．（2008佳木斯）如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：①且；②；③；④，正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE。将△ADE沿对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF。下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF;④.其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
7、(2009年咸宁市)如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于．下列四个结论：
；
②以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切；
③设则；
④不能成为的中位线．
其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
全等三角形
【知识梳理】
1、定义：能够完全重合的两个三角形全等．
2、性质：两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等
3、边角边（SAS）角边角（ASA）推论角角边（AAS）边边边（SSS）“HL”
1.如图，，，，，则等于（）
A．B．C．D．
2．如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：①△≌△；②△∽△；③；④
其中正确的是（）
A．②④；B．①④；C．②③；D．①③．
3．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）
A．4 B．3 C．2 D．4．如图，点在的平分线上，若使，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）：
5、
两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：．
6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．
7.（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
等腰三角形
【知识梳理】
1.等腰三角形的定义；2.等腰三角形的性质和判定；3.等边三角形的性质和判定．
【思想方法】
方程思想，分类讨论
【例题精讲】
例1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
例2.若等腰三角形中有一个角等于，则它的顶角的度数为（）
A． B． C．或 D．或
例3.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，
则MN等于（）
A．B．
C．D．
例4.如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是（）
A．B．C．D．7
例5.△ABC中，AB=AC,D是BC边上点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为E、F.⊥BC，垂足为M。试确定三段线段DE、DF、AM之间的数量关系，并给与证明（多种方法，至少两种）
例6．如图，□ABCD中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．
【当堂检测】
若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为__________.
2．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则
CD的长为（）
A． B． C． D．
3．如图，一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上爬行（A、C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d,等边三角形的高为h，则d和h大小关系是（）
A.d＞hB.C.d＜hD.无法确定
4.已知a、b、c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a、b、c为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是．（只填序号）
5．6.已知等腰的周长为10，若设腰长为，则的取值范围是．
7、在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．
⑴求证△ABD为等腰三角形．
⑵求证AC?AF=DF?FE
7.已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D
的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
直角三角形（勾股定理）
【知识梳理】
1.直角三角形的定义；2.直角三角形的性质和判定；
3.特殊角度的直角三角形的性质．
4．勾股定理：a2+b2=c2
【思想方法】
1.常用解题方法——数形结合
2.常用基本图形——直角三角形
【例题精讲】
例题1.如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD=度．
例题2．如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点，
则．
例题3.如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（）
A． B．
C． D．
例题4.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，
使点与点重合，折痕为，则的值是（）
A． B．
C． D．
例题5.如图，中，，，，是上点，作于，于，设，则（）
A． B．
C． D．
例题6.在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：
△≌△；②△∽△；③;
④其中正确的是（）
A．②④B．①④C．②③D．①③
【当堂检测】
1.如图AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sinB=（）
A．B．Ｃ．Ｄ．
第1题图第3题图
如图，在Rt△A中，∠=90°，，则Rt△A如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）
A．25°B．30°C．45°D．60°
4、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为长边在△ABC外作矩形，使其每个矩形的宽为长的一半，S1、S2、S3分别表示这三个长方形的面积，则S1、S2、S3之间有什么关系？并证明你的结论．
第5题图
两个全等的含30°，60°角的三角板ADE与三角板ABC如图所示放置，
E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
尺规作图
【知识梳理】
1.完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线．
2.利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．
3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
4.了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）．
【例题精讲】
例题1．已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC=a,AC=b、AB=c,(不写作法，保留作图痕迹).
例题2.已知：线段m、n
(1)用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m,腰等于n(保留作图痕迹，
不写作法、不证明)；
(2)用至少4块所作三角形，拼成一个轴对称多边形(画出示意图即可)．
例题3.如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相
似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
例题4.如图，在下面的方格图中，将ABC先向右平移四个单位得到△AB1C1，再将AB1C1绕点A1逆时针旋转得到△AB2C2，请依次作出AB1C1和AB2C2．
【当堂检测】
1.小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹)
第1题图
2.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．
第2题图
锐角三角函数【知识梳理】
t△ABC中）
①锐角之间关系：∠A+∠B=90°．
②三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)
③边角之间关系：如果用表示直角三角形的一个锐角，那么可以写成.
，，，.
二、特殊角的三角函数值
a sina cosa tana cota 图形 30o 45o 60o
推广：同（锐）角三角函数之间的关系（正余交换）：
sinA=cos（90°－A）,cosA=sin（90°－A）,
tanA=cot（90°－A）,tanA·cotA=1.
【思想方法】
1.常用解题方法——设k法
2.常用基本图形——双直角
【例题精讲】
2009荆门）计算：
（2）（2009义乌）计算；
（3）（2009黄石）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－cot45°
例2等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，求底角∠B的四个三角函数值
例题.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长．
【当堂检测】2009湖州）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
2．（2009温州）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是；
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，－4），则A(cosα,1)B(1,sinα)C(sinα,cosα)D(cosα,sinα)
5、若CosA=，则下列结论正确的为（）A、0°<∠A<30°B、30°<∠A<45°C、45°<∠A<60°D、60°<∠A<90°△ABC中，若（sinA－）2＋|－cosB|＝0，求∠C的大小2009湖州）（1）计算：
（2009遂宁）计算：
8.在Rt△ABC中，∠C=900，AC=1，sinA=，求tanA，BC．
.在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB=，AC=BC=，求AD的长．
.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修一条笔直的公路，经测量在A地北偏东600方向，B地北偏西450方向的C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
锐角三角函数的简单应用
【知识梳理】
如下图，OA表示北偏东60°方向
注意：东北方向表示北偏东45°
四、常用方法
有斜用弦（条件或求解中有斜边时，用正弦sin或余弦cos）
无斜用切（条件或求解中没有斜边时，用正切tan或余切cot）
取原避中（尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增大最后答案的误差）
宁乘勿除（能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度）
五、解直角三角形的几种基本图形
图形1
cot30°=，∠ABD=∠A，BD=AD=a，
，
.
图形2
cot30°=，tan60°=
，
.
图形3
DE=AC=CD=a+xAC=BE=DE=x可证∠BAD=∠BDA=30°
cot30°=tan60°=AB=BD=a，
【例题精讲】例1（2009泸州）如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，，…，则CA1=，
例2．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（）
A．B．C．D．2
考查目标二、特殊角的三角函数的有关计算
例1（2009荆门）=______．
考查目标三、三角函数的实际应用
例1（2009中山）.如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数
例题图例题图
例题.如图，张聪同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到该建筑的水平距离BE＝6米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶部A离地面的高度（结果保留根号）
【当堂检测】
1.一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了米，则钢球距地面的高度是(单位：米)（）
A． B．
C． D．第1题图
2.某渔船上的渔民在A处观测到灯塔M在北偏东60o方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处观测到灯塔M在北偏东30o方向处．问B处与灯塔M的距离是多少海里？
第2题图
3.如图所示，小明家住在32米高的楼里，小丽家住在楼里，楼坐落在楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为．
（1）如果两楼相距米，那么楼落在楼上的影子有多长？
（2）如果楼的影子刚好不落在楼上，那么两楼的距离应是多少米？
（结果保留根号）
4、（资阳2011）在一次机器人中，要求机器人从A出发到达B处．如图，已知点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处机器人在射线AO及其右侧()区域的速度为20cm/秒，在射线AO的左侧()区域的速度为10cm/秒．
(1)分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线B处所用的时间(精确到秒)；3分)
(2)若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到B处所用的时间(精确到秒)；3分)
(3)如图作∠OAD=30°再作BE⊥AD于E,交OA于P．试说明：A出发到达B处机器人沿A→P→B路线行进．3分)
(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449)
多边形及其内角和、镶嵌
【知识梳理】
1.多边形内角和，外角和，对角线
2.正多边形的内切圆和外接圆
3.利用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌设计
【思想方法】
解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、探究等活动过程，注重知识的理解和运用.
【例题精讲】
例题1.一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，则这个多边形是()
A．正五边形B．正十边形C．正十二边形D．不存在．
例题2.只用一种正多边形进行镶嵌，在下列的正多边形中，不能镶嵌成一个平面的是（）．
A．正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形
例题（1）n边形的内角和等于，多边形的外角和都等于．
（2）一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是边形．
（3）一个多边形的每个外角都是300，则这个多边形是边形．
（4）一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于度．
（5）一个五边形五个外角的比是2：3：4：5：6，则这个五边形五个外角的度数分别是．
（6）多边形边数增加一条，则它的内角和增加度，外角和
例题4.半径为2的圆的内接正六边形边长为_______,外切正三角形的边长为__________.
例题5.如图，四边形中，，，，
，则该四边形的面积是．
例题6．一个多边形的外角和是内角和的，它是几边形？
例题7．一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角，这种多边形是几边形？
例题8.五角星图案中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是多少？
【当堂检测】
1.填空：
（1）n边形的内角和为720°，则n＝______．（2）五边形的内角和与外角和的比值是______．
（3）过六边形的每一个顶点都有______条对角线．
（4）过七边形的一个顶点的所有对角线把七边形分成______个三角形．
（5）将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是度．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）
A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形
4.一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n，则n的值是A．30°B．120°C．135°D．108°5.n边形与m边形内角和度数差为720°，则n与m的差为（）A．2B．3C．4D．56.下列角度中，不是多边形内角和的只有（）A．540°B．720°C．960°D．1080°7．一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为1700°，求多边形的边数．
9.一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A应等于90o，∠B、∠C应分别是29o和21o，检验人员度量得∠BDC＝141o，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？
如图，⊙O的六等分点．
(1)连结AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；(5分)
(2)若P是上的动点写出这三条线段长度的数量关系3分)
平行四边形
【知识梳理】
1、掌握平行四边形的概念和性质
2、四边形的不稳定性．
3、掌握平行四边形有关性质和四边形是平行四边形的条件．
4、能用平行四边形的相关性质和判定进行简单的逻辑推理证明．
【例题精讲】
例题1.（2009年常德市）下列命题中错误的是（）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组对边平行的四边形是梯形
例题2.（2008年泰州市）在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC=∠CDB成立，这样的条件可以是()
A．（2）、（4）B．（2）C．（3）、（4）D．（4）
例题3.（2009年威海）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（）
A． B． C． D．
例题4．如图，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为（）
A.8B.9.5C.10D.11.5
例题5．（2009年新疆）如图，是四边形的对角线上两点，．
求证：（1）．
（2）四边形是平行四边形．
【当堂检测】
1．（2008年永州市）．下列命题是假命题的是（）
A．两点之间，线段最短;B．过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．
C．一组对应边相等的两个等边三角形全等;D．对角线相等的四边形是矩形．
2．如图，一个四边形花坛，被两条线段分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是，若，，则有（）
A． B． C． D．都不对
3．（2009襄樊）如图，在平行四边形中,于E且是一元二次方程的根，则平行四边形的周长为（）
A．B．C．D．
4．（2009年南宁市）如图（1），在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.
（1）求∶的值；
（2）延长交正方形外角平分线，如图2试判断的大小关系，并说明理由；
（3）在图（2）的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
如图，已知ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
(1)BE=DF；5分)
(2)若M、N分别为AD、BC的点四边形MENF．2分)
矩形菱形正方形（一）
【知识梳理】
1．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等.
2.矩形的判定：（1）有一个角是90°的平行四边形；（2）三个角是直角的四边形；（3）对角线相等的平行四边形.
3.菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
4.菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形；（2）四边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形.
5.正方形的性质：正方形具有矩形和菱形的性质.
6.正方形的判定：（1）一组邻边相等的矩形；（2）有一个角是直角的菱形.
【例题精讲】
例题1.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.
例题2.如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．
（1）证明：CF=BE；
（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．
例题4.如图，在矩形ABCD中，AB=12,AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1……依次类推．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积．
【当堂检测】
1.如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（）A．aB．aC．aD．a
2.在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）
A．20B．15 C．10D．5
3.如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论①DE=3cm；②EB=1cm；③中正确的个数为（）A．3个 B．2个C．1个 D．0个
4.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）
A．1B． C．D．2
6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC的度数.
矩形菱形正方形（二）
【例题精讲】
例题1.如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？
例题2.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到．
（1）证明；
（2）若，试问当点在线段AC上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．
例题3.如图：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s
的速度运动.
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形；
②四边形AECF可以是矩形吗？为什么？
例题4.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
【当堂检测】
1.已知菱形的周长为20，两对角线之和为14，则菱形的面积为．
2.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）
A.70°B.65°C.50°D.25°
3.菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（）
A． B． C．D．
4.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）
A．B．2C．3D．
5.已知四边形ABCD，AD//BC，连接BD.
（1）小明说：“若添加条件BD2=BC2+CD2，则四边形ABCD是矩形”.你认为小明的说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确，请举出一个反例.
（2）若BD平分∠ABC，∠DBC=∠BDC，tan∠DBC=1，求证：四边形ABCD是正方形．
，BC＝。
（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，求证：EF∥BC且EF＝；
（2）如图2，如果，判断EF和BC是否平行？请证明你的结论，并用、、、的代数式表示EF。
例3（09湖南怀化）如图12，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
【中考演练】
1．（08盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为．
2．（2009年遂宁）如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠D=90o，AD=DC=4，AB=1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是
A.2B.4C.8D.1
3、（2009年哈尔滨）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为（）．
（A）15°（B）20°（C）25°（D）30°
4、（2009年淄博市）如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为（C）
A．9 B．10.5C．12 D．15
5、(2009年四川省内江市)如图，梯形ABCD中，AD//BC，两腰BA与CD的延长线相交于P，PE⊥BC，AD=2，BC=5，EF=3，则PF=____________。
6、(2009年达州)如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，以下四个结论：①，②OA=OD，③，④S=S，其中正确的是（）
A.①②B.①④C.②③④D.①②④
（2009山西省太原市）如图，在等腰梯形中，，=4=，=45°．直角三角板含45角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点．若为等腰三角形，则的长等于．
8、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，∠ACD＝600，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB＝8，CD＝6，求的值。
（3）若∶＝4∶5，求CD∶AB的值。
9、如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于的方程的两根，并且∶＝1∶5。
（1）求AC、OB的长；
（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在的直线解析式；
（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作轴的平行线，交轴于F，交BC于D，过D点作轴的平行线交轴于E，使，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由。
11、（2009眉山）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。。
⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；
⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。
⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积。
四边形综合
【例题精讲】
例题1．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于．
(1)求证：∠DEF＝∠CBE；
(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由．
例题2．如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC．
例题3．如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
例题4．如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
例题5．在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图（1），当点M在AB边上时，连接BN．
①求证：；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=，求点M到AD的距离及tan的值；
（2）如图（2），若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．
试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
【当堂检测】
1.如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（）
A、∠1=∠2B、BE=DFC、∠EDF=60°D、AB=AF
2.如图，直线上有三个正方形，若的面
积分别为5和11，则的面积为（）
A．4 B．6 C．16 D．55
3.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCD的面积是（）
A．21cm2B．16cm2
C．24cm2D．9cm2
4.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是．
5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC．若AB=10，BC=12,则图中阴影部分面积是多少？相似形
【知识梳理】
1、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割．
2、认识图形的相似，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方．
3、相似三角形的概念、性质
4、两个三角形相似的条件．
相似三角形的性质：对应边（高）的比、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方【思想方法】
1.常用解题方法——设k法2.常用基本图形——A形、X形【例题精讲】
例题1.△ABC的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC相似的△A′B′C′的最长边为15．求△A′B′C′最短边的长．
变化:△ABC的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC相似的△A′B′C′的一边长为15．求△A′B′C′的周长．
例题2.如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC
相似的是()
例题3.如图，在四边形ABCD中，E是AD边上的一点，EC∥AB，EB∥DC．
（1）△ABE与△ECD相似吗？为什么？
（2）若△ABE的面积为3，△CDE的面积为1，求△BCE的面积．
例4（1）、（2009年重庆市江津区）锐角△ABC中，BC＝6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）中，直线交于点交于点交于点若则．
【课堂作业】
1.（2011毕节）两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为()
A．48cmB．54cmC．56cmD．64cm
（2011綦江）若相似ABC与DEF的相似比为1：3，则ABC与DEF的面积比为（）
A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．1：（2011台州）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）
A．1：2 B．1：4C．1：5D．1：16
中，D是AB边上一点，
连接CD，要使与相似，应添加的条件
是。（只需写出一个条件即可）
5.（2011江苏无锡）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成、、、四个三角形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的是（）
A．与相似 B．与相似C．与相似 D．与相似
（2011重庆江津区）已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）
A、都相似 B、都不相似 C、只有（1）相似 D、只有（2）相似
2011北京）如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则值为（）A． B．C． D．
2011年威海市）在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（）
A、1：2B、1：3C、2：3D、2：510.（2011嘉兴）如图，边长为4的等边ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）A． B．C．D．
（2011山西）如图，ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE＝2㎝，则AC的长为（）
A．B．C．D．（2011天水）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为（）
A、6 B、4C、2 D、1
（2011青海）如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．（2011乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP＝1，点D为AC边上一点，若APD＝60°，则CD的长为（）
A、 B、 C、 D、1
（2011湖州）如图，已知AB是O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是O的切线，切点为D，过点A作AECE，垂足为E，则CD：DE的值是（）A. B.1 C.2 D.3
14.（2011鸡西）如图，A、B、C、D是O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为）
A.3B.2C.D.3
15.（20）如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m．当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高（）A、2m B、4mC、4.5m D、8m（2011天水）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是．（精确到0.1m）17.（2011丹东）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）
A、1.25m B、10mC、20m D、8m（20）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE=时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似．
21.（2011山东日照）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大．
（2011遂宁）已知AB是O的直径，弦AC平分BAD，ADCD于D，BECD于E．
求证：（1）CD是O的切线；（2）CD2=AD?BE．
如图，BD是O的直径，A、C是O上的点，且AB=AC，AD与BC交于点E.
求证：ABD∽△AEB；
若AD=1，DE=3，求BD的长.
（2011湖南怀化）如图，ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．
（1）求证：＝；
（2）求这个矩形EFGH的周长．
(2011襄阳)如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
1）求证：ADP＝EPB；
2）求CBE的度数；
3）当的值等于多少时，PFD∽△BFP？并说明理由．
26.(2010江苏苏州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，
BC=6．P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P
分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．
(1)在△ABC中，AB=；
(2)当x=时，矩形PMCN的周长是14；
(3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．
27.（汕头）如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=∠DEF=90°，固定ABC，将DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图（2）
（1）问：始终与AGC相似的三角形有及；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；
（3）问：当x为何值时，AGH是等腰三角形．
如图1，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连结DE，EFDE，直线AB于点F．(1)若F与B重合，求CE的长3分)
(2)若F在线段AB上AF＝CE求CE长4分)
(3)设CE=xBF=y，写出关于x的函数关系式(直接写出结果即可)．2分)
圆的性质
【知识梳理】
1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角：（3）圆周角：（4）弧：（5）弦：
2．圆的有关性质：
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．
3．三角形的内心和外心:
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（2）三角形的外心：（3）三角形的内心：
4.圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半．
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【例题精讲】
例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A．5米B．8米C．7米D．5米
例题2.如图⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题1图例题2图例题3图例题4图
例题3.如图⊙O弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O半径为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
例题4.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°
例题5．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为，则弦CD的长为（）A． B． C． D．
例题6.如图，是以线段为直径的的切线，交于点，过点作弦垂足为点，连接．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①______，②______，③______，④________（不添加其它字母和辅助线）（2）=，=，求的半径
例题6图
【当堂检测】
1.如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为，则弦AB的长为（）A．3 B．4C．6 D．9
2.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（）
A．28°B．56° C．60°D．62°
第1题图第2题图第3题图第5题图第6题图
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠CDB＝30°,⊙O的半径为，则弦CD的长为（）A． B． C． D．
4.⊙O的半径为10cm，弦AB＝12cm，则圆心到AB的距离为（）
A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结OC，若OC＝5，CD＝8，
则tan∠COE＝（）A．B．C．D．
6．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为（）
A．2B．3C．4D．5
7.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为__________（只需写出～的角度）．
第7题图第8题图第9题图
8.如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是_______．
9.如图，AB是⊙0的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝______.
10．如图，半圆的直径，点C在半圆上，．
（1）求弦的长；（2）若P为AB的中点，交于点E，求长．
直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识梳理】
1.直线与圆的位置关系：
2.切线的定义和性质：
3.三角形与圆的特殊位置关系：
4.圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d，半径分别为）
相交；外切；
内切；外离；内含
【注意点】
与圆的切线长有关的计算．
【例题精讲】
例1.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）
A．相离B．相切 C．相交 D．内含
例2.如图1，⊙O内切于，切点分别为．，，连结，
则等于（）
A． B． C． D．
例3.如图，已知直线L和直线L外两定点A、B，且A、B到直线L的距离相等，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有（）
A．0个B．1个C．无数个D．0个或1个或无数个
例4．已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（）A.1cmB.7cmC.10cmD.1cm或7cm
例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为
例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足______时，两圆相交；
当d满足______时，两圆不外离．
例7．⊙O半径为6.5cm，点P为直线L上一点，且OP=6.5cm，则直线与⊙O的位置关系是____
例8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是_．
例9.如图，⊙M与轴相交于点，，与轴切于点，则圆心的坐标是
例10.如图，四边形ABCD内接于⊙A，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=，求DB的长．
【当堂检测】
1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）
A．相离B．外切C．内切D．相交
2.⊙A和⊙B相切，半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（）
A．10cmB．6cmC．10cm或6cmD．以上答案均不对
3.如图，P是⊙O的直径CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于（??）A.B.C.D.
4.如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（??）
A）6（B）2（C）2（D）2
5.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A半径为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示的位置向左平移个单位长.
6.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于（??）
A.B.C.D.
7.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长6，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是()A.相离 B.相交C.相切D.不能确定
8.如图，在中，，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是（保留）．
9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．
10.如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．
11.如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．
12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30o，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．
13.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．
如图-1，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，交⊙O于P、Q两点.连结AP，过O作OD∥AP交l于点D，连接AD与m交于点M.
(1)如图-2，，求证：M是PO的中点；
(2)如图-1，当直线m不过点O时，M是否为PC的中点？证明你的结论.
圆的有关计算
【知识梳理】
1.圆周长公式：
2.n°的圆心角所对的弧长公式：
3.圆心角为n°的扇形面积公式：、．
4.圆锥的侧面展开图是；底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积公式为：
；圆锥的表面积的计算方法是：
5.圆柱的侧面展开图是：；底面半径为，高为的圆柱的侧面积公式是：；圆柱的表面积的计算方法是：
【注意点】
【例题精讲】
【例1】如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将绕点按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1．（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；
（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点所经过的路径长．
【例2】
（1）请写出三条与BC有关的正确结论；
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．
【例3】如图，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）
A.3B.4C.D.
【例4】OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6㎝，AB=㎝．
求：（1）⊙O的半径；（2）图中阴影部分的面积．
【当堂检测】
1．圆锥的底面半径为3cm，母线为9，则圆锥的侧面积为（）
A．6 B．9C．12D．27
2．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是()
A．25B．65C.90πD．130
3．8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cm B．cmC．3cm D．cm
4.圆锥侧面积为8πcm2,侧面展开图圆心角为450,则圆锥母线长为（）A.64cmB.8cmC.㎝D.㎝
5．在某校校园文化建设中，小彬同学为班级设计了一个班徽这个班徽图案．如图，在同一直线上，大半圆的弦AB∥，且与小半圆相切，AB=4，则班徽图案的面积为（）A. B.
C. D.
6．120o、半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一
圆锥侧面，那么圆锥的高是（）
A．cmB．cmC．cmD．cm
7．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是㎝2
8．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为
9．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）
10．12cm，底面直径为10cm的圆锥，则这个圆锥的侧面积
是cm2.
11．如图，梯形中，，，，，以为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是．
12.制作一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为3.5cm，侧面母线长为6cm，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心角为度．
13.如图，是由绕点顺时针旋转而得，且点在同一条直线上，在中，若，，，则斜边旋转到所扫过的扇形面积为．
14.翔宇中学的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是36米2，弧AB的长为9米，那么半径OA=______米.
.如图，AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC,垂足为E，若BC=，DE=3．
求：(1)⊙O的半径；(2)弦AC的长；(3)阴影部分的面积．
圆的综合
【例题精讲】
1．如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（）
A． B． C． D．
2．如图2所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB（）
A．是正方形B．是长方形C．是菱形D．以上答案都不对
3．圆锥的底面半径为3cm，母线为9，则圆锥的侧面积为）
A．6 B．9 C．12 D．27
4．⊙O半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．
5.如图，一个扇形铁皮OAB.已知OA=60cm，∠AOB=120°，小华将OA、OB合拢制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计)，则烟囱帽的底面圆的半径为A.10cmB.20cmC.24cmD.30cm
6.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cmB．9cmC．cmD．cm
7．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为s时，BP与⊙O相切．
8．如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是
9．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于．
10.如图，AB为⊙直径，AC为弦，OD∥BC交AC于点D，AB=20cm，，则AD=cm
11．半径为5的⊙P与轴交于点M（0，－4），N（0，－10），函数的图像过点P，则＝．
12．如图，已知圆O的半径为6cm，射线经过点，，射线与圆O相切于点．两点同时从点出发，点以5cm/s的速度沿射线方向运动，点以4cm/s的速度沿射线方向运动．设运动时间为s．（1）求的长；
（2）当为何值时，直线与圆O相切？
【当堂检测】
1．下列命题中，真命题的个数为（）
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切A．1 B．2 C．3D．4
2．圆O是等边三角形的外接圆，圆O的半径为2，则等边三角形的边长为（）A． B． C． D．
3．如图，圆O的半径为1，与圆O相切于点，与圆O交于点，，垂足为，则的值等于（）
A． B． C． D．
4．如图，是圆O的弦，半径，，则弦的长为（）
A． B． C．4 D．
5.如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为（）
A． B．C． D．
6.如图4，⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A．2.5B．3.5C．4.5D．5.5
7.高速公路的隧道和桥梁最多如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径（）
A．5B．7C．D．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（）A．25π B．65π C．90π D．130π
9．圆圆
（1）请写出三条与有关的正确结论；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．
10.（2009襄樊市）如图12，已知：在中，直径点是上任意一点，过作弦点是上一点，连接交于连接AC、CF、BD、OD．
（1）求证：；
（2）猜想：与的数量关系，并说明你的猜想；
（3）探究：当点位于何处时，并加以说明．
图形的变换（一）
【知识梳理】
1、轴对称及轴对称图形的联系：轴对称及轴对称图形可以相互转化.区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系，而轴对称图形一个图形自身的性质；轴对称只有一条对称轴，轴对称图形可能有几条对称轴．
2、通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．
3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．
4、探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质．
5、欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计．
【思想方法】抓住变与不变的量
【例题精讲】
1、观察下列一组图形，根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状？
2、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．
3、如图，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于
AO、BO的对称点，MN分别交OA、OB于E、F.⑴若
PEF的周长是20cm，求MN的长.⑵若∠AOB=30°试判断△MNO的形状，并说明理由
4、将一张矩形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可得到条折痕．如果对折n次，可以得到条折痕．
5、做一做:用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.
6、已知如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5cm，CD=6cm，∠DCB=60o，∠ABC=90o，等边三角形MNP（N为不动点）的边长为acm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上，NC=8cm,将直角梯形ABCD向左翻折180o，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去．(1)、将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形MNP的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？(2)、将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积就等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形MNP的边长a至少应为多少？(3)、将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，这时等边三角形MNP的边长a应为多少？
【当堂检测】
1．下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的有几条对称轴．
2．小明的运动衣号在镜子中的像是，则小明的运动衣号码是()
A.B.C.D
3．在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形；理由是：
5．
6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在点的位置，则与BC之间的数量关系是．
图形的变换（二）
【知识梳理】
一图形的平移
1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
二图形的旋转
1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；
2.中心对称图形:____________________________________3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；
【例题精讲】
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是cm．
2.将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放．(1)将图2中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点，求证：；(2)将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），点与AB的交点．线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（图4），连结，求证：⊥AB.
3．把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=，△GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由.
4．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）
（图1）（图2）（图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH
（图4）（图5）（图6）
【当堂检测】
1．下列说法正确的是（）
A．旋转后的图形的位置一定改变B．旋转后的图形的位置一定不变
C．旋转后的图形的位置可能不变D．旋转后的图形的位置和形状都发生变化
2．下列关于旋转和平移的说法错误的是（）
A．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离
B．旋转和平移都只能改变图形的位置
C．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化
D．旋转和平移的定义是相同的
3．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o后不变的字是_____，在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过180后能与原图形重合的是____．
4．△ABC是等腰直角三角形，如图，AB=AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则其旋转角的度数为（）
A．90°B．120°C．60°D．45°
5．以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A．4个B．5个C．6个D．3个
6．如图的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（）
7.有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（）
A．①③B．①②C．②③D．②④
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
视图与投影
【知识梳理】
主视图、左视图、俯视图
主俯长相等，主左高平齐，俯左宽相等
【思想方法】
转化：立体与平面互化
【例题精讲】
1.下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（）
A、三角形B、正方形C、任意四边形D、正八边形
2.用一张正多边形的纸片，在某一点处镶嵌（即无缝隙的围成一周），可实施的方案有哪6种？每一种方案中需要的纸片各是几张？
3.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为____．
4.用含角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（）
A．①②B．①③C．③④D．①②③
5.为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．
：两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于一种，例如：图①、图②只算一种．
6．下图是某几何体的展开图．
（1）这个几何体的名称是；
（2）画出这个几何体的三视图；
（3）求这个几何体的体积．（取3.14）
7．东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm，东东的身高是156cm，在同一时刻爸爸的影长是88cm，那么东东的影长是cm.
8．如图（1）是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（）
A．奥 B．运 C．圣 D．火
【当堂检测】
1.如图所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸上最多可以画出不同位置的L形图案的个数是()
A．16个B．32个
C．48个D．64个
2．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（）
3.如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
（2）涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1～3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）
4．现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．要求：
(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；
（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；
（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
—◇◇1◇◇—
第8题图
M
n
m
E
B
P
C
D
A
F
E
D
C
B
A
第6题图
D
B
A
E
C
8
6
O
D
C
B
A
C
第5题图
35°
A
第2题图
G
F
E
D
C
B
A
C
D
第6题图
A
E
C
D
图2
图1
B
C
A
D
BFC
AD
P
D
E
F
A
第3个
第2个
第1个
……
C
D
Ａ
D
C
ＡA
B
60°
70°
B
D
B
C
A
F
第10题图
第9题图
3
2
1
F
H
M
D
C
G
B
A
第7题图
第8题图
第7题图
第8题图
第6题图
3
2
1
C
D
B
A
2
1
F
E
A
B
D
C
第1题图
第4题图
第5题图
C
E
D
C
B
A
Ｂ
图（2）
图（1）
马
卒
马
炮
卒
卒
马
Ｏ
Ｅ
A
第1题图
B
例2图
例1图
C
D
E
第1题图
F
B
第6题图
第3题图
C
O
x
y
E
第6题图
第5题图
A
A
B
x
y
O
B
D
C
A
A
B
C
D
A
A
B
C
N
B(0,－4)
A
B
C
D
C
A
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第10题
图
C
E
B
A
A
B
M
东
北
A
楼
B
楼
30°
A
B
D
C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
D＇′
M
A′
G
D
B
C
A
A
D
E
P
C
B
F
A
D
F
C
E
G
B
C
B
A
D
F
B
A
D
C
E
G
图①
D
F
B
A
C
E
图③
F
B
A
D
C
E
G
图②
O
F
E
G
D
B
A
?第
C
图（2）
图（1）
C
M
B
N
A
D
图2
C
B
M
A
N
D
图1
图3
第2题图
第1题图
a
b
c
l
B
C
D
A
P
C
E
B
A
P5
P4
P3
P
B
C
E
A
第题图
O
A
F
C
B
E
例题2图
x
y
M
B
A
O
C
例题10图
例题9图
例题8图
例题3图
第6题图
第8题图
第4题图
第5题图
图10-1
第12题图
第11题图
第9题图
第10题图
C
B
A
O
F
D
E
40%
（图1）
（图2）
图
60%
D
A
B
C
D
第6题图第8题图第9题图
第11题图
C
B
A
第6题图
120°
O
A
B
第1题图
第5题图
第2题图
2
3
第8题图
第10题图
第7题图
第9题图
O
P
M
A
N
第11题图
A
B
Q
O
P
N
M
x
y
O
1
1
B
A
第3题图
A
B
C
O
D
A
B
O
M
O
A
B
O
D
A
B
C
第4题图
第7题图
第9题图
C
B
A
O
F
D
E
E
D
A
B
A
B
P
M
N
②
①
D
C
第6题图
第5题图
第1题图
图3
图4
C
A
G(O)
E
C
B
F
①
第5题图
第4题图
A(G)
第6题图
图1
第1个图案
第2个图案
第3个图案
C
①
②
③
④
⑤
20
10
F
E
迎
接
奥
运
圣
火
图1
迎
接
奥
1
2
3
图2
正方体
长方体
圆柱
圆锥
A
B
C
D
第5题图
B
第1题图
第3题图
第12题图
第6题图
图1
矩形（非正方形）
图2
正方形
图3
有一个角是135°的三角形
o
x
y
x
y
o
F
D
P
第2题图
第1题图
图（2）
D
P
C
B
A
x
5
O
2
图（1）
y（只）
1000
960
O
20
18
C
A
x（天）
B
2
P2
1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升．
13日：售价调整为5.5元/升．
15日：进油4万升，成本价4.5元/升．
31日：本月共销售10万升．
B
A
t(h)
0
2
S(km)
8·
6·
4·
2·
P1
第7题图
A
B
O
x
y
第5题图
第2题图
3
O
y
x
D
E
第4题图
例4图
O
y
x
F
例3图
B
C
0
1
0
1
0
1
0
1
A
第4题图
P
例3图
……
例2图
-5
国际标准时间（时）
纽约
多伦多
-4
伦敦
0
9
8
汉城
北京
第4题图
a
0
1
例5图
b
0
1
a
0
B
y
x
0
A(3,0)
N
M
O
F
第3题图
第2题图
图（2）
图9
图10
G
D
B
A
E
图2
D(F)
O
C
B(E)
图10-2
图6
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