余数定理及应用
（麻城实验高中：阮晓锋）
定理：多项式f(x)除以(x-a)所得的余数等于f(a).
证明：设f(x)=(x-a)q(x)+r(x)
则f(a)=r(a),即余数定理成立。
推论：（x-a）|f(x)f(a)=0(又叫余数定理)
例一：若多项式能被整除，求a,b的值。
解：令f(x)=
∵=(x-1)(x+2）
∴由余数定理得f(1)=0且f(-2)=0
∴解之得
变式题：若被3x-2除后余5，则a的值为__16__
例二：若，求f(x)=的值
解：由得
又f(X)=()(3x+4)+2005
∴f(X)=0+2005=2005
变式题：已知a为有理数，且=0，则的值为__0__
解：易得=（）（）+a+1
∵=（）（a+1）
∴a+1=0
∴原式=0
例三：分解因式
解：易知当x=z时原式=0。当x=y与y=z时亦有原式=0
∴将多项式展开后应含有因式（x-z）（x-y）（y-z）
设原式=m（x-z）（x-y）（y-z）,则展开后比较系数可得m=3
∴原式=3（x-z）（x-y）（y-z）
例四：解方程=626
解：注意到626==
∴x=5与x=-1是此方程的两个实根
又原方程可化为-626=0
即=0
∵（x-5）（x+1）=-4x-5
又由多项式除法知=（）()
又∵=+33≥33
∴仅x=5或x=-1为原方程的解
综上知原方程的解为x=5或x=-1。
练习题：已知关于x的方程的左边能x-1被整除，而被
x+2除所得的余数为72，则这个方程的所有解（按从小到大的顺序）是______。
（提示：填-1,1,2,4.）
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