高斯函数[x]的性质及应用
（湖北麻城实验高中：阮晓锋）
定义：设x为任意实数，用记号[x]表示不超过x的最大整数，称函数y=[x]为高斯函数，如[]=1，[-1.1]=-2，[π]=3
性质:(1)[x]≤x<[x]+10≤x-[x]≤1x-1≤[x]≤x
⑵若y≤x,则[y]≤[x]（若y≤x则[y]<[x]）
⑶对于整数n,[n+x]=n+[x]
⑷对于整数x,[-x]=-[x];对于非整数x,[-x]=-[x]-1
⑸对于一切实数x,y,都有[x]+[y]≤[x+y]
推论：若n是正整数，则[nx]≥n[x]
⑹设x是正整数,n是正整数，则从1到x的正整数中，n的倍数的个数为
证明：由≤<+1得·n≤x<（+1）·n
∴所以从1到x的整数中，n的倍数是n.2n,…,n,共个。
推论：对于正整数m和n，不大于m的n的倍数共有个。
例一：设[x]=5，[y]=0，[z]=2，则[x+y-z]可以取哪些值？
解：由[x]≤x≤[x]+1知5≤x<6,同理得0≤y<1,2≤z<3
∴-3<-z≤-2
∴2
∴[x+y-z]可取3,4.
例二：解方程[3x+1]=2x-
解：由题意知2x-为整数，设2x-=t，则x=t+且[3x+1]=t
∴3x+1=t+
∴（3x+1）-[3x-1]=t+
由0≤y-[y]<1知0≤t+<1
解之得-≤t<-
又∵t为整数∴t=-3,-2
当t=-3时x=-,当t=-2时x=-
综上知，原方程的解为或-。
例三：分母是2007的正的最简分数有（D）个
A.675B.1326C.1329D.1332
解：∵2007=3х3х223
∴所求真分数的个数为2007-[]-[]+[]=1332个
练习题：
题1：[x]表示不超过x的最大整数，则方程的解的个数为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
题2：已知0
整数,则[10a]的值等于______。
（提示：题1选C，题1填6.）
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