考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月1
一.函数的概念
1．用变上、下限积分表示的函数
（1）()dttfy
x
∫
=
0
，其中()tf连续，则()xf
dx
dy
=
（2）()
()
()
dttfy
x
x
∫
=
2
1
?
?
，其中()x
1
?，()x
2
?可导，()tf
连续，
则()[]()()[]()xxfxxf
dx
dy
1122
????′?′=
2．两个无穷小的比较
设()0lim=xf，()0lim=xg，且
()
()
l
xg
xf
=lim
（1）0=l，称()xf是比()xg高阶的无穷小，记以
()()[]xgxf0=，称()xg是比()xf低阶的无穷
小。
（2）0≠l，称()xf与()xg是同阶无穷小。
（3）1=l，称()xf与()xg是等价无穷小，记以
()()xgxf~
3．常见的等价无穷小
当0→x时
xx~sin，xx~tan，xx~arcsin，xx~arctan
2
2
1
~cos1xx?，xe
x
~1?，()xx~1ln+，
()xxα
α
~11
?+
二．求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则1．单调有界数列极限一定存在
（1）若
nn
xx≤
+1
（n为正整数）又mx
n
≥（n为正
整数），则Ax
n
n
=
∞→
lim存在，且mA≥
（2）若
nn
xx≥
+1
（n为正整数）又Mx
n
≤（n为正
整数），则Ax
n
n
=
∞→
lim存在，且MA≤
准则2．（夹逼定理）设()()()xhxfxg≤≤
若()Axg=lim，()Axh=lim，则()Axf=lim
3．两个重要公式
公式1．1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
公式2．e
n
n
n
=
?
?
?
?
?
?
+
∞→
1
1lim；e
u
u
u
=
?
?
?
?
?
?
+
∞→
1
1lim；
()evv
v
=+
→
1
0
1lim
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
数学二）
当0→x时，()
n
n
x
x
n
xx
xe0
!!2
1
2
+++++=Λ
()
()
()
12
1253
0
!12
1
!5!3
sin
+
+
+
+
?+++?=
n
n
n
x
n
xxx
xxΛ
()
()
()
n
n
n
x
n
xxx
x
2
242
0
!2
1
!4!2
1cos+?+?+?=Λ
()()()
n
n
n
x
n
xxx
xx01
32
1ln
1
32
+?+?+?=+
+
Λ
()()
12
12
1
53
0
12
1
53
arctan
+
+
+
+
+
?+?+?=
n
n
n
x
n
xxx
xxΛ
()
()()()[]
()
nn
xx
n
n
xxx0
!
11
!2
1
11
2
+
???
++
?
++=+
ααααα
α
α
Λ
Λ
6．洛必达法则
法则1．（
0
0
型）设（1）()0lim=xf，()0lim=xg
（2）x变化过程中，()xf′，()xg′皆存在
（3）
()
()
A
xg
xf
=
′
′
lim（或∞）
则
()
()
A
xg
xf
=lim（或∞）
（注：如果
()
()xg
xf
′
′
lim不存在且不是无穷大量情形，则
不能得出
()
()xg
xf
lim不存在且不是无穷大量情形）
法则2．（
∞
∞
型）设（1）()∞=xflim，()∞=xglim
（2）x变化过程中，()xf′，()xg′皆存在
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月2
（3）
()
()
A
xg
xf
=
′
′
lim（或∞）
则
()
()
A
xg
xf
=lim（或∞）
7．利用导数定义求极限
基本公式：
()()
()
0
00
0
limxf
x
xfxxf
x
′=
?
??+
→?
[如果
存在]
8．利用定积分定义求极限
基本公式()
∫
∑
=
?
?
?
?
?
?
=
∞→
1
0
1
1
limdxxf
n
k
f
n
n
k
n
[如果存在]
三．函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类：
（1）第一类间断点
设
0
x是函数()xfy=的间断点。如果()xf在间断点
0
x处的左、右极限都存在，则称
0
x是()xf的第一类间断
点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断
点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间[]ba,上连续的函数()xf，有以下几个基本
性质。这些性质以后都要用到。
定理1．（有界定理）如果函数()xf在闭区间[]ba,上
连续，则()xf必在[]ba,上有界。
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数()xf在闭
区间[]ba,上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和
最小值m。
其中最大值M和最小值m的定义如下：
定义设()Mxf=
0
是区间[]ba,上某点
0
x处的函数
值，如果对于区间[]ba,上的任一点x，总有()Mxf≤，
则称M为函数()xf在[]ba,上的最大值。同样可以定义最
小值m。
定理3．（介值定理）如果函数()xf在闭区间[]ba,上
连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m
和M之间的任何实数c，在[]ba,上至少存在一个ξ，使
得
()cf=ξ
推论：如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续，且()af
与()bf异号，则在()ba,内至少存在一个点ξ，使得
()0=ξf
这个推论也称为零点定理
五．导数与微分计算
1．导数与微分表
()0=
′
c()0=cd
()
1
?
=
′
αα
αxx（α实常数）()dxxxd
1
?
=
αα
α（α实常数）
()xxcossin=
′
xdxxdcossin=
()xxsincos?=
′
xdxxdsincos?=
()xx
2
sectan=
′
xdxxd
2
sectan=
()xx
2
csccot?=
′
xdxxd
2
csccot?=
()xxxtansecsec=
′
xdxxxdtansecsec=
()xxxcotcsccsc?=
′
xdxxxdcotcsccsc?=
()
ax
x
a
ln
1
log=
′
()1,0≠>aa
ax
dx
xd
a
ln
log=()1,0≠>aa
()
x
x
1
ln=
′
dx
x
xd
1
ln=
()aaa
xx
ln=
′
()1,0≠>aa
adxada
xx
ln=()1,0≠>aa
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Editedby杨凯钧2005年10月3
()
xx
ee=
′
dxede
xx
=
()
2
1
1
arcsin
x
x
?
=
′
dx
x
xd
2
1
1
arcsin
?
=
()
2
1
1
arccos
x
x
?
?=
′
dx
x
xd
2
1
1
arccos
?
?=
()
2
1
1
arctan
x
x
+
=
′
dx
x
xd
2
1
1
arctan
+
=
()
2
1
1
cot
x
xarc
+
?=
′
dx
x
xdarc
2
1
1
cot
+
?=
()[]
22
22
1
ln
ax
axx
+
=
′
++
()dx
ax
axxd
22
22
1
ln
+
=++
()[]
22
22
1
ln
ax
axx
?
=
′
?+
()dx
ax
axxd
22
22
1
ln
?
=?+
2．四则运算法则
()()[]()()xgxfxgxf′±′=
′
±
()()[]()()()()xgxfxgxfxgxf′+′=
′
?
()
()
()()()()
()xg
xgxfxgxf
xg
xf
2
′?′
=
′
?
?
?
?
?
?
()0≠xg
3．复合函数运算法则
设()ufy=，()xu?=，如果()x?在x处可导，()uf
在对应点u处可导，则复合函数()[]xfy?=在x处可导，
且有
()[]()xxf
dx
du
du
dy
dx
dy
??′′==
对应地()()[]()dxxxfduufdy??′′=′=
由于公式()duufdy′=不管u是自变量或中间变量
都成立。因此称为一阶微分形式不变性。
4．由参数方程确定函数的运算法则
设()tx?=，()tyψ=确定函数()xyy=，其中()t?′，
()tψ′存在，且()0≠′t?，则
()
()t
t
dx
dy
?
ψ
′
′
=()()0≠′t?
二阶导数
()()()()
()[]
32
2
1
t
tttt
dt
dx
dt
dx
dy
d
dx
dx
dy
d
dx
yd
?
?ψ?ψ
′
′′′?′′′
=?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
=
5．反函数求导法则
设()xfy=的反函数()ygx=，两者皆可导，且
()0≠′xf
则()
()()[]ygfxf
yg
′
=
′
=′
11
()()0≠′xf
二阶导数()
()[]
()
dx
dy
dx
xf
d
dy
ygd
yg
1
1
?
?
?
?
?
?
?
′
=
′
=′′
()
()[]
()[]
()[]{}
33
ygf
ygf
xf
xf
′
′′
?=
′
′′
?=()0≠′xf
6．隐函数运算法则
设()xyy=是由方程()0,=yxF所确定，求y′的方
法如下：
把()0,=yxF两边的各项对x求导，把y看作中间变
量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y′的表达式（允
许出现y变量）
7．对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导
方法得出导数y′。
对数求导法主要用于：
①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数
关于幂指函数()[]
()xg
xfy=常用的一种方法
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()()xfxg
ey
ln
=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
8．可微与可导的关系
()xf在
0
x处可微()xf?在
0
x处可导。
9．求n阶导数（2≥n，正整数）
先求出,,,Λyy′′′总结出规律性，然后写出
()n
y，最后
用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的n阶导数公式
（1）
x
ey=
()xn
ey=
（2）()1,0≠>=aaay
x
()
()
nxn
aayln=
（3）xysin=
()
?
?
?
?
?
?
+=
2
sin
πn
xy
n
（4）xycos=
()
?
?
?
?
?
?
+=
2
cos
πn
xy
n
(5)xyln=
()
()()
nnn
xny
??
??=!11
1
两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式
()()[]
()()
()
()
()
∑
=
?
=
n
k
knkk
n
n
xvxuCxvxu
0
其中
()!!
!
knk
n
C
k
n
?
=，
()
()()xuxu=
0
，
()
()()xvxv=
0
假设()xu和()xv都是n阶可导。
微分中值定理
一．罗尔定理
设函数()xf满足
（1）在闭区间[]ba,上连续；
（2）在开区间()ba,内可导；
（3）()()bfaf=
则存在()ba,∈ξ，使得()0=′ξf
二．拉格朗日中值定理
设函数()xf满足
（1）在闭区间[]ba,上连续；
（2）在开区间()ba,内可导；
则存在()ba,∈ξ，使得
()()
()ξf
ab
afbf
′=
?
?
或写成()()()()abfafbf?′=?ξ()ba<<ξ
有时也写成()()()xxxfxfxxf???+′=??+θ
000
()10<<θ
这里
0
x相当a或b都可以，x?可正可负。
推论1．若()xf在()ba,内可导，且()0≡′xf，则()xf
在()ba,内为常数。
推论2．若()xf，()xg在()ba,内皆可导，且
()()xgxf′≡′，则在()ba,内()()cxgxf+=，其中c为
一个常数。
三．柯西中值定理（数学四不要）
设函数()xf和()xg满足：
（1）在闭区间],[ba上皆连续；
（2）在开区间()ba,内皆可导；且()0≠′xg
则存在()ba,∈ξ使得
()()
()()
()
()ξ
ξ
g
f
agbg
afbf
′
′
=
?
?
()ba<<ξ
（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特
殊情形()xxg=时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定
理。）
四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）
定理1．（皮亚诺余项的n阶泰勒公式）
设()xf在
0
x处有n阶导数，则有公式
()()
()
()
()
()
()
()
()()xRxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?
′
+=
0
02
0
0
0
0
0
!!2!1
Λ
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()
0
xx→
其中()()[]
n
n
xxxR
0
0?=()
0
xx→称为皮亚诺
余项。
()
()
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
→
0lim
0
0
n
n
xx
xx
xR
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不
同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如
()xxxe
x
+1ln,cos,sin,和()
α
x+1（α为实常数）等的n
阶泰勒公式都要熟记。
定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）
设()xf在包含
0
x的区间()ba,内有1+n阶导数，在
[]ba,上有n阶连续导数，则对[]bax,∈，有公式
()()
()
()
()
()
()
()
()()xRxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?
′
+=
0
02
0
0
0
0
0
!!2!1
Λ
其中()
()
()
()
()
1
0
1
!1
+
+
?
+
=
n
n
n
xx
n
f
xR
ξ
，（ξ在
0
x与x之
间）
称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以
0
x为中心的n阶泰勒公式。当
0
0
=x时，也称为n阶麦克劳林公式。
如果()0lim=
∞→
xR
n
n
，那么泰勒公式就转化为泰勒级
数，这在后面无穷级数中再讨论。
导数的应用：
一．基本知识
1．定义
设函数()xf在()ba,内有定义，
0
x是()ba,内的某一
点，则
如果点
0
x存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点
()
0
xxx≠，总有()()
0
xfxf<，则称()
0
xf为函数()xf
的一个极大值，称
0
x为函数()xf的一个极大值点；
如果点
0
x存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点
()
0
xxx≠，总有()()
0
xfxf>，则称()
0
xf为函数()xf
的一个极小值，称
0
x为函数()xf的一个极小值点。
函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值
点统称极值点。
2．必要条件（可导情形）
设函数()xf在
0
x处可导，且
0
x为()xf的一个极值
点，则()0
0
=′xf。
我们称x满足()0
0
=′xf的
0
x为()xf的驻点可导函
数的极值点一定是驻点，反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点
中进一步去判断。
3．第一充分条件
设()xf在
0
x处连续，在δ
0
0xx内可导，
()
0
xf′不存在，或()0
0
=′xf。
°1如果在()
00
,xxδ?内的任一点x处，有
()0>′xf，而在()δ+
00
,xx内的任一点x处，有
()0<′xf，则()
0
xf为极大值，
0
x为极大值点；
°2如果在()
00
,xxδ?内的任一点x处，有
()0<′xf，而在()δ+
00
,xx内的任一点x处，有
()0>′xf，则()
0
xf为极小值，
0
x为极小值点；
°3如果在()
00
,xxδ?内与()δ+
00
,xx内的任一点
x处，()xf′的符号相同，那么()
0
xf不是极值，
0
x不是
极值点。
4．第二充分条件
设函数()xf在
0
x处有二阶导数，且()0
0
=′xf，
()0
0
≠′′xf，则
当()0
0
<′′xf时，()
0
xf为极大值，
0
x为极大值点。
当()0
0
>′′xf时，()
0
xf为极小值，
0
x为极小值点。
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二．函数的最大值和最小值
1．求函数()xf在[]ba,上的最大值和最小值的方法
首先，求出()xf在()ba,内所有驻点和不可导点
k
xx,,
1
Λ，其次计算()()()()bfafxfxf
k
,,,,
1
Λ。
最后，比较()()()()bfafxfxf
k
,,,,
1
Λ，
其中最大者就是()xf在[]ba,上的最大值M；其中最
小者就是()xf在[]ba,上的最小值m。
2．最大（小）值的应用问题
首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，
然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。
三．凹凸性与拐点
1．凹凸的定义
设()xf在区间I上连续，若对任意不同的两点
21
,xx，
恒有
()()[]()()[]
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?+
+>?
?
?
?
?
?+
21
21
21
21
2
1
22
1
2
xfxf
xx
fxfxf
xx
f
则称()xf在I上是凸（凹）的。
在几何上，曲线()xfy=上任意两点的割线在曲线下
（上）面，则()xfy=是凸（凹）的。
如果曲线()xfy=有切线的话，每一点的切线都在曲
线之上（下）则()xfy=是凸（凹）的。
2．拐点的定义
曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。
3．凹凸性的判别和拐点的求法
设函数()xf在()ba,内具有二阶导数()xf′′，
如果在()ba,内的每一点x，恒有()0>′′xf，则曲线
()xfy=在()ba,内是凹的；
如果在()ba,内的每一点x，恒有()0<′′xf，则曲线
()xfy=在()ba,内是凸的。
求曲线()xfy=的拐点的方法步骤是：
第一步：求出二阶导数()xf′′；
第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的
点
1
x、
2
x、…、
k
x；
第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数
的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；
第四步：求出拐点的纵坐标。
四．渐近线的求法
1．垂直渐近线
若()∞=
+
→
xf
ax
lim或()∞=
?
→
xf
ax
lim
则ax=为曲线()xfy=的一条垂直渐近线。
2．水平渐近线
若()bxf
x
=
+∞→
lim，或()bxf
x
=
?∞→
lim
则by=是曲线()xfy=的一条水平渐近线。
3．斜渐近线
若
()
0lim≠=
+∞→
a
x
xf
x
，()[]baxxf
x
=?
+∞→
lim
或
()
0lim≠=
?∞→
a
x
xf
x
，()[]baxxf
x
=?
?∞→
lim
则baxy+=是曲线()xfy=的一条斜渐近线。
五．曲率（数学一和数学二）
设曲线()xfy=，它在点()yxM,处的曲率
()[]
2
3
2
1y
y
k
′+
′′
=，若0≠k，则称
k
R
1
=为点()yxM,处
的曲率半径，在M点的法线上，凹向这一边取一点D，
使RMD=，则称D为曲率中心，以D为圆心，R为半
径的圆周称为曲率圆。
不定积分
一．基本积分公式
1．C
x
dxx+
+
=
∫
+
1
1
α
α
α
()，实常数1?≠α
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2．
∫
+=Cxdx
x
ln
1
3．
∫
+=Ca
a
dxa
xx
ln
1
()1,0≠>aa
Cedxe
xx
+=
∫
4．
∫
+=Cxxdxsincos
5．
∫
+?=Cxxdxcossin
6．Cxdx
x
xdx+==
∫∫
tan
cos
1
sec
2
2
7．Cxdx
x
xdx+?==
∫∫
cot
sin
1
csc
2
2
8．Cxxdxx+=
∫
secsectan
9．Cxxdxx+?=
∫
csccsccot
10．Cxxdx+?=
∫
coslntan
11．Cxxdx+=
∫
sinlncot
12．Cxxxdx++=
∫
tanseclnsec
13．Cxxxdx+?=
∫
cotcsclncsc
14．
∫
+=
?
C
a
x
xa
dx
arcsin
22
()0>a
15．C
a
x
axa
dx
+=
+
∫
arctan
1
22
()0>a
16．C
xa
xa
axa
dx
+
?
+
=
?
∫
ln
2
1
22
()0>a
17．Caxx
ax
dx
+±+=
±
∫
22
22
ln()0>a
二．换元积分法和分部积分法
1．第一换元积分法（凑微分法）
设()()CuFduuf+=
∫
，又()x?可导，则
()[]()()[]()
()
()duuf
xu
xdxfdxxxf
∫∫∫
=
=′
?
????
令
()()[]CxFCuF+=+=?
这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就
是非常熟练地凑出微分。
常用的几种凑微分形式：
（1）()()()
∫∫
++=+baxdbaxf
a
dxbaxf
1
()0≠a
（2）()()()
∫∫
++=+
?
baxdbaxf
na
dxxbaxf
nnnn
1
1
()0,0≠≠na
（3）()()()xdxf
x
dx
xflnlnln
∫∫
=
（4）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?=
?
?
?
?
?
?
∫∫
x
d
x
f
x
dx
x
f
111
2
（5）()()()
∫∫
=xdxf
x
dx
xf2
（6）()()()
∫∫
=
xxxx
adaf
a
dxaaf
ln
1
()1,0≠>aa
()()()
∫∫
=
xxxx
edefdxeef
（7）()()()
∫∫
=xdxfxdxxfsinsincossin
（8）()()()
∫∫
?=xdxfxdxxfcoscossincos
（9）()()()
∫∫
=xdxfxdxxftantansectan
2
（10）()()()
∫∫
?=xdxfxdxxfcotcotcsccot
2
（11）()()()
∫∫
=xdxfxdxxxfsecsectansecsec
（12）(()
∫∫
?=xdxfxdxxxfcsccsccotcsccsc
（13）
()
()()
∫∫
=
?
xdxfdx
x
xf
arcsinarcsin
1
arcsin
2
（14）
()
()()
∫∫
?=
?
xdxfdx
x
xf
arccosarccos
1
arccos
2
（15）
()
()()
∫∫
=
+
xdxfdx
x
xf
arctanarctan
1
arctan
2
（16）
()
()()
∫∫
?=
+
xarcdxarcfdx
x
xarcf
cotcot
1
cot
2
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月8
（17）
∫∫
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?=
+
?
?
?
?
?
?
x
d
x
fdx
x
x
f
1
arctan
1
arctan
1
1
arctan
2
（18）
()[]
()[]()()
∫∫
++++=
+
++
2222
22
22
lnln
ln
axxdaxxfdx
ax
axxf
()0>a
（19）
()[]
()[]()
∫∫
?+?+=
?
?+
2222
22
22
lnln
ln
axxdaxxfdx
ax
axxf
()0>a
（20）
()
()
()Cxfdx
xf
xf
+=
′
∫
ln()0≠xf
2．第二换元积分法
设()tx?=可导，且()0≠′t?，若
()[]()()CtGdtttf+=′
∫
??，
则
()
()
()[]()()()[]CxGCtGdtttf
tx
dxxf+=+=′
=
∫∫
?1
???
?令
其中()xt
1?
=?为()tx?=的反函数。
第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过
换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类：
第一类：被积函数是x与
n
bax+或x与
n
dcx
bax
+
+
或
由
x
e构成的代数式的根式，例如bae
x
+等。
只要令根式()txg
n
=，解出()tx?=已经不再有根
式，那么就作这种变量替换()tx?=即可。
第二类：被积函数含有()0
2
≠++ACBxAx，
如果仍令tCBxAx=++
2
解出()tx?=仍是根号，那
么这样变量替换不行，要作特殊处理，将0>A时先化为
()[]
22
0
lxxA±?，0
()()[]
2
0
2
xxlA???然后再作下列三种三角替换之一：
根式的形式所作替换
三角形示意图（求反函数
用）
22
xa?
taxsin=
22
xa+
taxtan=
22
ax?
taxsec=
3．分部积分法
设()xu，()xv均有连续的导数，则
()()()()()()
∫∫
?=xduxvxvxuxdvxu
或()()()()()()
∫∫
′?=′dxxvxuxvxudxxvxu
使用分部积分法时被积函数中谁看作()xu谁看作
()xv′有一定规律。
（1）()
ax
n
exP，()axxP
n
sin，()axxP
n
cos情形，
()xP
n
为n次多项式，a为常数，要进行n次分部积分法，
每次均取
ax
e，axsin，axcos为()xv′；多项式部分为
()xu。
（2）()xxP
n
ln，()xxP
n
arcsin，()xxP
n
arctan情
形，()xP
n
为n次多项式取()xP
n
为()xv′，而xln，
xarcsin，xarctan为()xu，用分部积分法一次，被积函
数的形式发生变化，再考虑其它方法。
（3）bxe
ax
sin，bxe
ax
cos情形，进行二次分部积分
法后要移项，合并。
（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月9
分法，使尽量多的因子和dx凑成
一．定积分的概念与性质
1．定积分的性质
（1）()()
∫∫
?=
b
a
a
b
dxxfdxxf
（2）()0=
∫
a
a
dxxf
（3）
()()[]()()
∫∫∫
+=+
b
a
b
a
b
a
dxxfkdxxfkdxxfkxfk
22112211
（4）()()()
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf（c也可以在[]ba,
之外）
（5）设ba≤，()()xgxf≤()bxa≤≤，则
()()
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxgdxxf
（6）设ba<，()Mxfm≤≤()bxa≤≤，则
()()()abMdxxfabm
b
a
?≤≤?
∫
（7）设ba<，则()()
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxfdxxf
（8）定积分中值定理设()xf在[]ba,上连续，则存在
[]ba,∈ξ，使
()()()abfdxxf
b
a
?=
∫
ξ
定义：我们称()
∫
?
b
a
dxxf
ab
1
为()xf在[]ba,上的积
分平均值
（9）奇偶函数的积分性质
()0=
∫
?
a
a
dxxf（f奇函数）
()()
∫∫
=
?
aa
a
dxxfdxxf
0
2（f偶函数）
（10）周期函数的积分性质
设()xf以T为周期，a为常数，则
()()
∫∫
=
+TTa
a
dxxfdxxf
0
二．基本定理
1．变上限积分的函数
定义：设()xf在[]ba,上可积，则()()
∫
=
x
a
dttfxF，
[]bax,∈称为变上限积分的函数
定理：（1）若()xf在[]ba,上可积，则()()
∫
=
x
a
dttfxF
在[]ba,上连续
（2）若()xf在[]ba,上连续，则()()
∫
=
x
a
dttfxF在
[]ba,上可导，且()()xfxF=′
推广形式：设()()
()
()
∫
=
x
x
dttfxF
2
1
?
?
，()()xx
21
,??可导，
()xf连续，
则()()[]()()[]()xxfxxfxF
1122
????′?′=′
2．牛顿一莱布尼兹公式
设()xf在[]ba,上可积，()xF为()xf在[]ba,上任意
一个原函数，
则有()()()()aFbF
a
b
xFdxxf
b
a
?==
∫
（注：若()xf在[]ba,上连续，可以很容易地用上面
变上限积分的方法来证明；若()xf在[]ba,上可积，牛顿
一莱布尼兹公式仍成立，但证明方法就很复杂）
三．定积分的换元积分法和分部积分法
1．定积分的换元积分法
设()xf在[]ba,上连续，若变量替换()tx?=满足
（1）()t?′在[]βα,（或[]αβ,）上连续；
（2）()a=α?，()b=β?，且当βα≤≤t时，
()bta≤≤?，则()()[]()
∫∫
′=
b
a
dtttfdxxf
β
α
??
2．定积分的分部积分法
设()()xvxu′′,在[]ba,上连续，则
()()()()()()dxxvxuxvxudxxvxu
b
a
b
a
b
a
∫∫
′?=′
或()()()()()()
∫∫
?=
b
a
b
a
b
a
xduxvxvxuxdvxu
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月10
定积分的应用
一．平面图形的面积
1．直角坐标系
模型I()()[]dxxyxyS
b
a
∫
?=
121
其中()()xyxy
12
≥，[]bax,∈
模型II()()[]dyyxyxS
d
c
∫
?=
122
其中()()yxyx
12
≥，[]dcy,∈
2．构坐标系
模型I()θθ
β
α
drS
∫
=
2
1
2
1
模型II()()[]θθθ
β
α
drrS
∫
?=
2
1
2
22
2
1
3．参数形式表出的曲线所围成的面积
设曲线C的参数方程
()
()
?
?
?
=
=
ty
tx
ψ
?
，
()βα≤≤t()a=α?，()b=βψ，()t?在[]βα,（或
[]αβ,）上有连续导数，且()t?′不变号，()0≥tψ且连续，
则曲边梯形面积（曲线C与直线bxax==,和x轴所围
成）
()()
∫∫
′==
β
α
?ψdtttydxS
b
a
二．平面曲线的弧长（数学一和数学二）
1．直角坐标系
设光滑曲线()xyy=，()bxa≤≤[也即()xy有
连续的导数]
弧长()[]dxxyS
b
a
∫
′+=
2
1
而()[]dxxydS
2
1′+=也称为弧微分
2．构坐标系
设光滑曲线()θrr=，()βθα≤≤[()θr在[]βα,上
有连续导数]
弧长()[]()[]θθθ
β
α
drrS
∫
′+′=
22
3．参数方程所表曲线的弧长
设光滑曲线
()
()
?
?
?
=
=
tyy
txx
Cβα≤≤t[()tx，()ty在
[]βα,上有连续的导数]
曲线C的弧长()[]()[]dttytxS
∫
′+′=
β
α
22
三．特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分）
1．已知平行截面面积的立体体积
设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面
cz=和dz=所围成，z轴每一点()dzcz≤≤且垂直于
z轴的立体截面的面积()zS为已知的连续函数，则立体体
积
()
∫
=
d
c
dzzSV
2．绕坐标轴旋转的旋转体的体积
（1）平面图形由曲线()xyy=()0≥与直线ax=，
bx=和x轴围成
绕x轴旋转一周的体积
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月11
()dxxyV
b
a
x
∫
=
2
π
绕y轴旋转一周的体积
()
∫
=
b
a
y
dxxxyVπ2
（2）平面图形由曲线()yxx=()0≥与直线cy=，
dy=和y轴围成
绕y轴旋转一周的体积
()dyyxV
d
c
y
∫
=
2
π
绕x轴旋转一周的体积
()
∫
=
d
c
x
dyyyxVπ2
四．绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学
二）
设平面曲线
AB
C
∩
=位于x轴上方，它绕x轴一周所
得旋转曲面的面积为S。
1．设AB
∩
的方程为()xyy=()bxa≤≤
则()()[]dxxyxyS
b
a
∫
′+=
2
12π
2．设AB
∩
的极坐标方程为()θrr=，()βθα≤≤
则()()[]()[]θθθθθπ
β
α
drrrS
22
sin2′+′=
∫
3．设AB
∩
的参数方程为()txx=，()tyy=，
()βα≤≤t
则()()[]()[]dttytxtyS
22
2′+′=
∫
β
α
π
常微分方程
二．变量可分离方程及其推广
1．变量可分离的方程
（1）方程形式：()()()0≠=yQyQxP
dx
dy
通解
()
()
∫∫
+=CdxxP
yQ
dy
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出
它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：
()()()()0
2211
=+dyyNxMdxyNxM
通解
()
()
()
()
Cdy
yN
yN
dx
xM
xM
=+
∫∫
1
2
2
1
()()()0,0
12
≠≠yNxM
2．变量可分离方程的推广形式
（1）齐次方程
?
?
?
?
?
?
=
x
y
f
dx
dy
令u
x
y
=，
则()uf
dx
du
xu
dx
dy
=+=
()
cxc
x
dx
uuf
du
+=+=
?
∫∫
||ln
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月12
（2）()()0,0≠≠++=bacbyaxf
dx
dy
令ucbyax=++，
则()ubfa
dx
du
+=
()
cxdx
ubfa
du
+==
+
∫∫
（3）
?
?
?
?
?
?
?
?
++
++
=
222
111
cybxa
cybxa
f
dx
dy
①当0
22
11
≠=?
ba
ba
情形，先求出
?
?
?
=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
的解()βα,
令α?=xu，β?=yv
则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
=
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
=
u
v
ba
u
v
ba
f
vbua
vbua
f
du
dv
22
11
22
11
属于齐次
方程情形
②当0
22
11
==?
ba
ba
情形，
令λ==
1
2
1
2
b
b
a
a
则
()
?
?
?
?
?
?
?
?
++
++
=
211
111
cybxa
cybxa
f
dx
dy
λ
令ybxau
11
+=，
则
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
+=+=
2
1
1111
cu
cu
fba
dx
dy
ba
dx
du
λ
属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程
()0=+yxP
dx
dy
它也是变量可分离方程，通解公式
()
∫
?
=
dxxP
Cey，
（c为任意常数）
2．一阶线性非齐次方程
()()xQyxP
dx
dy
=+
用常数变易法可求出通解公式
令()
()
∫
?
=
dxxP
exCy
代入方程求出()xC
则得
()
()
()
[]
∫
+=
∫∫
?
CdxexQey
dxxPdxxP
3．贝努利方程
()()()1,0≠=+α
α
yxQyxP
dx
dy
令
α?
=
1
yz
把原方程化为()()()()xQzxP
dx
dz
αα?=?+11
再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：
()()xyPyQdx
dy
?
=
1
可化为()()yQxyP
dy
dx
=+
以y为自变量，x为未知函数
再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．全微分方程及其推广（数学一）
1．全微分方程
()()0,,=+dyyxQdxyxP，满足
y
P
x
Q
?
?
=
?
?
通解：()Cyxu=,，
其中()yxu,满足()()()dyyxQdxyxPyxdu,,,+=
求()yxu,的常用方法。
第一种：凑全微分法
()()()yxdudyyxQdxyxP,,,==+Λ
把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就
很有帮助。
（1）
?
?
?
?
?
?
?
?+
=+
2
22
yx
dydyxdx；
（2）
?
?
?
?
?
?
?
??
=?
2
22
yx
dydyxdx；
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月13
（3）()xydxdyydx=+；
（4）()xyd
xy
xdyydx
ln=
+
；
（5）()
?
?
?
?
?
?
+=
+
+
22
22
ln
2
1
yxd
yx
ydyxdx
；
（6）()
?
?
?
?
?
?
?=
?
?
22
22
ln
2
1
yxd
yx
ydyxdx
；
（7）
?
?
?
?
?
?
=
?
x
y
d
x
ydxxdy
2
；
（8）
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
y
x
d
y
xdyydx
2
；
（9）
?
?
?
?
?
?
?
?
=
+
?
y
x
d
yx
xdyydx
arctan
22
；
（10）
?
?
?
?
?
?
=
+
?
x
y
d
yx
ydxxdy
arctan
22
；
（11）
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
=
?
?
yx
yx
d
yx
xdyydx
ln
2
1
22
；
（12）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
=
+
?
yx
yx
d
yx
ydxxdy
ln
2
1
22
；
（13）
()
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?=
+
+
222
22
1
2
1
yx
d
yx
ydyxdx
；
（14）
()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?=
?
?
222
22
1
2
1
yx
d
yx
ydyxdx
；
（15）
()
()
?
?
?
?
?
?
+=
++
+
22
2
22
arctan
2
1
1
yxd
yx
ydyxdx
；
（16）
()
()
?
?
?
?
?
?
?=
?+
?
22
2
22
arctan
2
1
1
yxd
yx
ydyxdx
；
第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）
()()()()
()
()
∫
++=
yx
yx
dyyxQdxyxPyxuyxu
,
,
00
00
,,,,
()()()
∫∫
++=
y
y
x
x
dyyxQdxyxPyxu
00
,,,
000
第三种：不定积分法
由()yxP
x
u
,=
?
?
得
()()()
∫
+=yCdxyxPyxu,,
对y求导，
得()()[]()yCdxyxP
yy
u
yxQ′+
?
?
=
?
?
=
∫
,,，
求出()yC′积分后求出()yC
2．全微分方程的推广（约当因子法）
设()()0,,=+dyyxQdxyxP不是全微分方程。
不满足
y
P
x
Q
?
?
=
?
?
但是存在()yxR,
使得()()()()0,,,,=+dyyxQyxRdxyxPyxR为全
微分方程，
也即满足
[][]
y
RP
x
RQ
?
?
=
?
?
则()yxR,称为约当因子，
按全微分方程解法仍可求出
()()()()()yxdudyyxQyxRdxyxPyxR,,,,,=+
通解()Cyxu=,。
这种情形，求约当因子是关键。
特殊的高阶微分方程
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月14
一．可降阶的高阶微分方程
方程类型解法及解的表达式
()
()xfy
n
=
通解
()()
nn
n
xCxCdxxfy++=
?
∫∫
2
1
1
321
Λ
次
()yxfy′=′′,
令py=′，则py′=′′，原方程?
()pxfp,=′——一阶方程，设其解
为()
1
,Cxgp=，
即()
1
,Cxgy=′，则原方程的通解为
()
∫
+=
21
,CdxCxgy。
()yyfy′=′′,
令py=′，把p看作y的函数，则
dy
dp
p
dx
dy
dy
dp
dx
dp
y=?==′′
把y′，y′′的表达式代入原方程，得
()pyf
pdy
dp
,
1
=——一阶方程，
设其解为(),,
1
Cygp=即
()
1
,Cyg
dx
dy
，则原方程的通解为
()
∫
+=
2
1
,
Cx
Cyg
dy
。
二．线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结
论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程
()()0=+′+′′yxqyxpy（1）
二阶非齐次线性方程
()()()xfyxqyxpy=+′+′′（2）
1．若()xy
1
，()xy
2
为二阶齐次线性方程的两个特
解，则它们的线性组合()()xyCxyC
2211
+（
1
C，
2
C为
任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()xyxy
21
λ≠
（λ为常数），也即()xy
1
与()xy
2
线性无关时，则方程的
通解为()()xyCxyCy
2211
+=
2．若()xy
1
，()xy
2
为二阶非齐次线性方程的两个特
解，则()()xyxy
21
?为对应的二阶齐次线性方程的一个
特解。
3．若()xy为二阶非齐次线性方程的一个特解，而
()xy为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则
()()xyxy+为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而
()()xyCxyC
2211
+为对应的二阶齐次线性方程的通解
（
1
C，
2
C为独立的任意常数）则
()()()xyCxyCxyy
2211
++=是此二阶非齐次线性方程
的通解。
5．设()xy
1
与()xy
2
分别是
()()()xfyxqyxpy
1
=+′+′′与
()()()xfyxqyxpy
2
=+′+′′的特解，则
()()xyxy
21
+是
()()()()xfxfyxqyxpy
21
+=+′+′′的特解。
三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
1．二阶常系数齐次线性方程
0=+′+′′qyypy
其中p，q为常数，
特征方程0
2
=++qpλλ
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形
式
（1）当04
2
>?=?qp，特征方程有两个不同的
实根
1
λ，
2
λ
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月15
则方程的通解为
xx
eCeCy
21
21
λλ
+=
（2）当04
2
=?=?qp，特征方程有二重根
21
λλ=
则方程的通解为()
x
exCCy
1
21
λ
+=
（3）当04
2
βαi±，
则方程的通解为()xCxCey
x
sincos
21
ββ
α
+=
2．n阶常系数齐次线性方程
()()()
0
1
2
2
1
1
=+′++++
?
??
ypypypypy
nn
nnn
Λ
其中()nip
i
,,2,1Λ=为常数。
相应的特征方程
0
1
2
2
1
1
=+++++
?
??
nn
nnn
ppppλλλλΛ
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（1）若特征方程有n个不同的实根
n
λλλ,,,
21
Λ
则方程通解
x
n
xx
n
eCeCeCy
λλλ
+++=Λ
21
21
（2）若
0
λ为特征方程的k重实根()nk≤
则方程通解中含有()
xk
k
exCxCC
0
1
21
λ?
+++Λ
（3）若βαi±为特征方程的k重共轭复根
()nk≤2
则方程通解中含有
()()[]xxDxDDxxCxCCe
k
k
k
k
x
sincos
1
21
1
21
ββ
α??
+++++++ΛΛ
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特
征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根
不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的
根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
四．二阶常系数非齐次线性方程
方程：()xfqyypy=+′+′′其中qp,为常数
通解：()()xyCxyCyy
2211
++=
其中()()xyCxyC
2211
+为对应二阶常系数齐次线性
方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非
齐次线性方程的一个特解y如何求？
我们根据()xf的形式，先确定特解y的形式，其中
包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到
特解y，常见的()xf的形式和相对应地y的形式如下：
1．()()xPxf
n
=，其中()xP
n
为n次多项式
（1）若0不是特征根，则令
()
nn
nn
n
axaxaxaxRy++++==
?
?
1
1
10
Λ
其中()nia
i
,,2,1,0Λ=为待定系数。
（2）若0是特征方程的单根，则令()xxRy
n
=
（3）若0是特征方程的重根，则令()xRxy
n
2
=
2．()()
x
n
exPxf
α
=其中()xP
n
为n次多项式，α为
实常数
（1）若α不是特征根，则令()
x
n
exRy
α
=
（2）若α是特征方程单根，则令()
x
n
exxRy
α
=
（3）若α是特征方程的重根，则令()
x
n
exRxy
α2
=
3．()()xexPxf
x
n
sinβ
α
=或
()()xexPxf
x
n
cosβ
α
=
其中()xP
n
为n次多项式，βα,皆为实常数
（1）若βαi±不是特征根，则令
()()[]xxTxxRey
nn
x
sincosββ
α
+=
其中()
nn
nn
n
axaxaxaxR++++=
?
?
1
1
10
Λ
()nia
i
,,1,0Λ=为待定系数
()
nn
nn
n
bxbxbxbxT++++=
?
?
1
1
10
Λ
()nib
i
,,1,0Λ=为待定系数
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月16
（2）若βαi±是特征根，则令
()()[]xxTxxRxey
nn
x
sincosββ
α
+=
五．欧拉方程（数学一）
()()
0
1
11
1
=+′+++
?
??
ypyxpyxpyx
nn
nnnn
Λ，
其中()nip
i
,,2,1Λ=为常数称为n阶欧拉方程。令
t
ex=代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微
分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。
注意下面变换公式：
dt
dy
xdt
dy
e
dx
dt
dt
dy
dx
dy
t
1
==?=
?
，
dt
dy
dx
dy
x=，
dt
dy
e
dt
yd
e
dt
dy
e
dt
d
e
dx
dy
dt
d
dx
dt
dx
yd
tttt2
2
2
2
2
2
????
?=
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?=
dt
dy
dt
yd
x
2
2
2
1
，
dt
dy
dt
yd
dx
yd
x?=
2
2
2
2
2
向量代数与空间解析几何
三．向量的运算
{}
321321
,,aaakajaiaa=++=
{}
321321
,,bbbkbjbibb=++=
{}
321321
,,ccckcjcicc=++=
1．加法。{}
332211
,,babababa+++=+
减法。
332211
,,babababa???=?
2．数乘。{}
321
,,aaaλλλλα=（λ是常数）
向量的加、减和数乘运算统称线性运算。
3．数量积。
?
?
?
?
?
?
?
?
∩
?=?
ba
baba
,
cos
332211
bababa++=
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
∩
ba,
为向量ba,间夹角
ba?为数量也称点乘。
0
ba?表示向量a在向量b上的投影，即
ajba
b
Pr
0
=?
4．向量积ba×也称为叉乘。
?
?
?
?
?
?
?
?
∩
=×
ba
baba
,
sin
ba×的方向按右手法则垂直于ba,所在平面，且
321
321
bbb
aaa
kji
ba=×
ba×是向量，abba×?=×。ba×等于以ba,为
邻边的平行四边形的面积。
5．混合积：定义()()cbacba?×=,,，坐标公式
()
321
321
321
,,
ccc
bbb
aaa
cba=
几何意义()cba,,表示以cba,,为棱的平行大面体
的体积。
四．两向量间的关系
设{}{}
321321
,,,,,bbbbaaaa==
关系向量表示向量坐标表示
ba,间夹
角()?
ba
ba?
=?cos
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
cos
bbbaaa
bababa
++?++
++
=?
a与b垂
直
0=?ba
0
332211
=++bbbaba
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月17
a与b平
行
0=×ba
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
==
二．平面及其方程
1．法（线）向量，法（线）方向数。
与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，
通常记成n。法向量{}pnm,,的坐标称为法（线）方向
数。对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它
所指的方向只有两个。
2．点法式方程已知平面π过()
000
,,zyxM点，
其法向量{}CBAn,,=，则平面π的方程为
()()()0
000
=?+?+?zzCyyBxxA
或()0
0
=??rrn
其中{}{}zyxrzyxr,,,,,
0000
==
3．一般式方程
0=+++DCzByAx
其中CBA,,不全为零。zyx,,前的系数表示π的
法线方向数，{}CBAn,,=是π的法向量。
特别情形：
0=++CzByAx，表示通过原点的平面。
0=++DByAx，平行于z轴的平面。
0=+DAx，平行yOz平面的平面。
0=x表示yOz平面。
4．三点式方程
设()
111
,,zyxA，()
222
,,zyxB，()
333
,,zyxC三
点不在一条直线上，则通过CBA,,的平面方程为
0
131313
121212
111
=
???
???
???
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
5．平面束
设直线L的一般式方程为
?
?
?
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
，则通过L的所有平面方程
为
()()0
2222211111
=+++++++DzCyBxAkDzCyBxAk
，其中()()0,0,
21
≠kk。
6．有关平面的问题
两平面为
0:
11111
=+++DzCyBxAπ
0:
22222
=+++DzCyBxAπ
1
π与
2
π间
夹角()?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA
CCBBAA
++?++
++
=?
垂直条件0
212121
=++CCBBAA
平行条件
?
?
?
?
?
?
?
?
≠==
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
重合条件
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
===
设平面π的方程为0=+++DCzByAx，而点
()
111
,,zyxM为平面π外的一点，则M到平面π的距离
d：
222
111
CBA
DCzByAx
d
++
+++
=
三．直线及其方程
1．方向向量、方向数
与直线平行的非零向量S，称为直线L的方向向量，
方向向量的坐标称为方向数。
2．直线的标准方程（对称式方程）。
n
zz
m
yy
l
xx
000
?
=
?
=
?
其中()
000
,,zyx为直线上的点，nml,,为直线的方
向数。
3．参数式方程
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月18
?
?
?
?
?
+=
+=
+=
ntzz
mtyy
ltxx
0
0
0
{}tnmls,,,=为参变量。
4．两点式
设()
111
,,zyxA，()
222
,,zyxB为不同的两点，则
通过A和B的直线方程为
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
?
=
?
?
=
?
?
5．一般式方程（作为两平面的交线）：
?
?
?
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
，方向向量
{}{}
222111
,,,,CBACBAS×=
6．有关直线的问题
两直线为
1
1
1
1
1
1
1
:
n
zz
m
yy
l
xx
L
?
=
?
=
?
2
2
2
2
2
2
2
:
n
zz
m
yy
l
xx
L
?
=
?
=
?
1
L与
2
L间夹
角()θ
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
nmlnml
nnmmll
++?++
++
=θ
垂直条件0
212121
=++nnmmll
平行条件
2
1
2
1
2
1
n
n
m
m
l
l
==
四．平面与直线相互关系
平面π的方程为：
0=+++DCzByAx
直线L的方程为：
n
zz
m
yy
l
xx
000
?
=
?
=
?
L与π间夹角
（α）
222222
sin
nmlCBA
CnBmAl
++?++
++
=α
L与π垂直条件
C
n
B
m
A
l
==
L与π平行条件0=++CnBmAl
L与π重合条件
0=++CnBmAl
L上有一点在π上
多元函数微分学
多元函数的偏导数与全微分
四．方向导数与梯度（数学一）
1．平面情形
()yxz,=在平面上过点()
000
,yxP沿方向
()βαcos,cos=l的方向导数
()
()()
t
yxftytxf
yxl
f
t
0000
0
00
,cos,cos
lim
,
?++
=
?
?
→
βα
()yxfz,=在点()
000
,yxP处的梯度为
()
()()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
y
yxf
x
yxf
yxgradf
0000
00
,
,
,
,
而方向导数与梯度的关系为
()
()[]lyxgradf
yxl
f
?=
?
?
00
00
,
,
()()()lyxgradflyxgradf,,cos,
0000
=
多元函数微分法
一．复合函数微分法——锁链公式
模型1．()vufz,=，()yxuu,=，()yxvv,=
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月19
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
=
?
?
；
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
?
?
?
+
?
?
?
?
=
?
?
模型2．()zyxfu,,=，()yxzz,=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?′+′=
?
?
?
?
?′+′=
?
?
y
z
ff
y
u
x
z
ff
x
u
zy
zx
模型3．()zyxfu,,=，()xyy=，()xzz=
()()xzfxyff
dx
du
zyx
′?′+′?′+′=
模型4．()vufw,=，()zyxuu,,=，()zyxvv,,=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′+
?
?
′=
?
?
?
?
′+
?
?
′=
?
?
?
?
?′+
?
?
?′=
?
?
z
v
f
z
u
f
z
w
y
v
f
y
u
f
y
w
x
v
f
x
u
f
x
w
vu
vu
vu
还有其它模型可以类似处理
二．隐函数微分法
设()0,,=zyxF
（1）确定()yxzz,=则
z
x
F
F
x
z
′
′
?=
?
?
；
z
y
F
F
y
z
′
′
?=
?
?
（2）确定()zyxx,=则
x
y
F
F
y
x
′
′
?=
?
?
；
x
z
F
F
z
x
′
′
?=
?
?
（3）确定
()xzyy,=则
y
z
F
F
z
y
′
′
?=
?
?
；
y
x
F
F
x
y
′
′
?=
?
?
多元函数的极值和最值
一．求()yxfz,=的极值
第一步
()
()
?
?
?
=′
=′
0,
0,
yxf
yxf
y
x
求出驻点
()
kk
yx,()lk,,2,1Λ=
第二步令
()()()[]
2
,,,
kkxykkyykkxxk
yxfyxfyxf′′?′′′′=?
若0
k
则()
kk
yxf,不是极值
若0=?
k
则不能确定（需从极值定义出发
讨论）
若0>?
k
则()
kk
yxf,是极值
进一步若()0,>′′
kkxx
yxf则()
kk
yxf,为极小值
若()0,<′′
kkxx
yxf则()
kk
yxf,为极大值
二．求多元()2≥n函数条件极值的拉格朗日乘子法
求()
n
xxfu,,
1
Λ=的极值
约束条件
()
()
?
?
?
?
?
=
=
0,,
0,,
1
11
nm
n
xx
xx
Λ
Μ
Λ
?
?
()nm<
作
()()()
n
m
i
iinmn
xxxxfxxFF,,,,,,,,,
1
1
111
ΛΛΛΛ
∑
=
+==?λλλ
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月20
()
()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==′
==′
=′
=′
0,,
0,,
0
0
1
11
1
1
nm
n
x
x
xxF
xxF
F
F
m
n
Λ
Μ
Λ
Μ
?
?
λ
λ
求出
()()
()()lkxx
k
n
k
,,2,1,,
1
ΛΛ=是有可能的条件
极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。这种
方法的关键是解方程组的有关技巧。
多元函数积分学
二．在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积
分顺序问题
模型I：设有界闭区域
()()(){}xyxbxayxD
21
,,??≤≤≤≤=
其中()x
1
?，()x
2
?在[]ba,上连续，()yxf,在D上
连续。
则()()
∫∫∫∫
=
DD
dxdyyxfdyxf,,σ
()
()
()
∫∫
=
b
a
x
x
dyyxfdx
2
1
,
?
?
模型II：设有界闭区域
()()(){}yxydycyxD
21
,,ψψ≤≤≤≤=
其中()y
1
ψ，()y
2
ψ在[]dc,上连续，()yxf,在D
上连续。
则()()
∫∫∫∫
=
DD
dxdyyxfdyxf,,σ
()
()
()
∫∫
=
d
c
y
y
dxyxfdy
2
1
,
ψ
ψ
关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II把二
重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域
D，如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模
型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区
域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于
区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等
于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积
分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转
化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分
反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D
再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
三．在极坐标系中化二重积分为累次积分
在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即
先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域
D的不同类型，也有几种常用的模型。
模型：设有界闭区域
()()(){}θ?γθ?βθαθγ
21
,,≤≤≤≤=D
其中()θ?
1
，()θ?
2
在[]βα,上连续，
()()θγθγsin,cos,fyxf=在D上连续，则
()()
∫∫∫∫
=
DD
ddfdyxfθγγθγθγσsin,cos,
()
()
()
∫∫
=
β
α
θ?
θ?
γγθγθγθ
2
1
sin,cosdfd
模型I：设有界闭区域
()()(){}θ?γθ?πθθγ
21
,20,≤≤≤≤=D
其中()()θ?θ?
21
,在[]π2,0上连续，
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月21
()()θγθγsin,cos,fyxf=在D上连续，则
()()
∫∫∫∫
=
DD
ddfdyxfθγγθγθγσsin,cos,
()
()
()
∫∫
=
πθ?
θ?
γγθγθγθ
2
0
sin,cos
2
1
dfd
模型II：设有界闭区域
()(){}θ?γβθαθγ≤≤≤≤=0,,D
其中()θ?在[]βα,上连续，
()()θγθγsin,cos,fyxf=在D上连续，则
()()
∫∫∫∫
=
DD
ddfdyxfθγγθγθγσsin,cos,
()
()
∫∫
=
β
α
θ?
γγθγθγθ
0
sin,cosdfd
模型III：设有界闭区域
()(){}θ?γπθθγ≤≤≤≤=0,20,D
其中()θ?在[]π2,0上连续，
()()θγθγsin,cos,fyxf=在D上连续，则
()()θγγθγθγσddfdyxf
DD
sin,cos,
∫∫∫∫
=
()
()
∫∫
=
πθ?
γγθγθγθ
2
00
sin,cosdfd
四．二重积分在几何上的应用
1．空间物体的体积
()()[]σdyxfyxfV
D
∫∫
?=,,
12
其中D为闭曲面S在xy平面上投影区域
()yxfz,
2
=为上半曲面，()yxfz,
1
=为下半曲面。
2．空间曲面的面积
∫∫?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
+=
D
d
y
z
x
z
Aσ
2
2
1
其中D为曲面S在xy平面上投影，曲面S的方程
()yxzz,=
三重积分
二．三重积分的计算方法
1．直角坐标系中三重积分化为累次积分
（1）设?是空间的有界闭区域，
()()()(){}Dyxyxzzyxzzyx∈≤≤=?,,,,,,
21
其中D是xy平面上的有界闭区域，
()()yxzyxz,,,
21
在D上连续，函数()zyxf,,在?上连
续，则
()()
()
()
∫∫∫∫∫∫
=
?
yxz
yxz
D
dzzyxfdxdydvzyxf
,
,
2
1
,,,,
（2）设()()(){}zDyxzzyx∈≤≤=?,,,,βα
其中()zD为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则
()()
()
∫∫∫∫∫∫
=
?zD
dxdyzyxfdzdvzyxf,,,,
β
α
2．柱坐标系中三重积分的计算
()()
∫∫∫∫∫∫
??
=dzddzfdxdydzzyxf,sin,cos,,θγγθγθγ
相当于把()yx,化为极坐标()θγ,而z保持不变。
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月22
3．球坐标系中三重积分的计算
?
?
?
?
?
=
=
=
θρ
?θρ
?θρ
cos
sinsin
cossin
z
y
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≤≤
≤≤
≥
π?
πθ
ρ
20
0
0
()
∫∫∫
?
dxdydzzyxf,,
()
∫∫∫
?
=?θρθρθρ?θρ?θρdddfsincos,sinsin,cossin
2
然后再根据?把三重积分化为关于?θρ,,的累次
积分。
曲线积分
一．第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
空间情形：空间一条逐段光滑曲线L上定义函数
()zyxf,,，把曲线L任意分割为n段，
n
SSS???,,,
21
Λ在()nkS
k
≤≤?1上任取一点
()
kkk
s,,ηξ，如果对任意分割，任意取点，下列极限皆
存在并且相等。
()
∑
=
→
?
n
k
kkkk
Ssf
1
0
,,limηξ
λ
（这里
k
S?又表示第k段曲线的弧长，
k
nk
S?=
≤≤1
maxλ）
则称此极限值为()zyxf,,在曲线L上的第一类曲
线积分，也称为对弧长的曲线积分，记以
()
∫
L
dSzyxf,,
如果曲线L是封闭曲线，也记以()
∫
L
dSzyxf,,
2．参数计算公式
我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间曲线L的参数方程()txx=，()tyy=，
()tzz=，()βα≤≤t
则
()()()()[]()[]()[]()[]
∫∫
?
′+′+′=
β
dttztytxtztytxfdSzyxf
L
222
,,,,
（假设()zyxf,,和()tx′，()ty′，()tz′皆连续）这
样把曲线积分化为定积分来进行计算。
二．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
空间情形：设空间一条逐段光滑有定向的曲线
AB
L
∩
=，
函数()zyxP,,，()zyxQ,,，()zyxR,,在L上皆有定义，
把L任意分成n段，
n
SSS???,,,
21
Λ，在
()nkS
k
≤≤?1上起点坐标为()
111
,,
???kkk
zyx，终点坐标
()
kkk
zyx,,（按L的定向决定起点和终点）令
1?
?=?
kkk
xxx，
1?
?=?
kkk
yyy，
1?
?=?
kkk
zzz，
()nk≤≤1再在
k
S?上任意一点()
kkk
s,,ηξ考虑极限
()()()[]
∑
=
→
?+?+?
n
k
kkkkkkkkkkkk
zsRysQxsP
1
0
,,,,,,limηξηξηξ
λ
其中λ仍是n段弧长中最大值，如果对任意分割，任
意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为
()zyxP,,，()zyxQ,,和()zyxR,,对空间曲线L的第二
类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以
()()()
∫
++
L
dzzyxRdyzyxQdxzyxP,,,,,,
它的向量形式为
∫
?
L
dSF
其中()()(){}zyxRzyxQzyxPF,,,,,,,,=
{}dzdydxdS,,=
如果L是空间封闭曲线也要说明L的定向，在空间
不能简单地说逆时针方向或顺时针方针，必须用其他方式
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月23
加以说明。
2．参数计算公式
我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间有向曲线L的参数方程()txx=，()tyy=，
()tzz=，起点A对应参数为α，终点B对应参数为β
（注意：现在α和β的大小不一定βα<）如果
()zyxP,,，()zyxQ,,，()zyxR,,皆连续，又()tx′，
()ty′，()tz′也都连续，则
()()()
∫
∩=
++
AB
L
dzzyxRdyzyxQdxzyxP,,,,,,
()()()[]()()()()[]()()()()[](){}
∫
′+′+′=
β
α
dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP,,,,,,
这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如
果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个
负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考
虑定向。
三．两类曲线积分之间的关系
1．平面情形
设
AB
L
∩
=平面上一个逐段光滑有定向的曲线，
()yxP,，()yxQ,在L上连续，则
()()()()[]
∫∫∩
∩
+=+
ABAB
dsyxQyxPdyyxQdxyxPβαcos,cos,,,
其中αcos，βcos为曲线弧在点()yx,处沿定向
A到B方向的切线的方向余弦。
2．空间情形
设
AB
L
∩
=为空间一条逐段光滑有定向的曲线，
()zyxP,,，()zyxQ,,，()zyxR,,在L上连续，则
()()()
∫
∩
++
AB
dzzyxRdyzyxQdxzyxP,,,,,,
()()()[]dszyxRzyxQzyxP
AB
∫
∩
++=γβαcos,,cos,,cos,,
其中αcos，βcos，γcos为曲线弧AB
∩
上点
()zyx,,处沿定向A到B方向的切线的方向余弦。
四．格林公式
关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲
线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是
格林公式。
定理1．（单连通区域情形）
设xy平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线
L所围成的单连通区域。当沿L正定向移动时区域D在
L的左边，函数()yxP,，()yxQ,在D上有连续的一阶
偏导数，则有
∫∫∫
+=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
D
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
定理2．（多连通区域情形）
设xy平面上有界闭区域D是()1+n连通区域（也即
有n个“洞”），它的边界
n
CCCLΥΛΥΥ
10
=，其中
0
C
的定向为逆时针方向，
n
CC,,
1
Λ定向皆为顺时针方向，
仍符合沿L的正定向移动时区域D在它的左边这个原
则。
函数()yxP,，()yxQ,在D上有连续的一阶偏导数，
则
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月24
∫∫∫
+=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
LD
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
∫
∑
∫
=
+++=
0
1
C
n
k
C
k
QdyPdxQdyPdx
五．平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价
条件
设()(){}yxQyxPF,,,的分量()yxP,，()yxQ,在
单连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几条彼此等
价。
1．对D内任意一条逐段光滑闭曲线L，都有
0=+
∫
L
QdyPdx
2．任意
AB
L
∩
=在D内，则
∫∩
+
AB
QdyPdx只依赖
于起点A和终点B，与曲线
AB
L
∩
=的取法无关，称为
曲线积分与路径无关。
3．()()()yxdudyyxQdxyxP,,,=+成立。
4．D内处处有
y
P
x
Q
?
?
=
?
?
成立。
5．向量场()(){}yxQyxPF,,,是有势场，即存在二
元函数()yxV,，具有gradVF?=，()yxV,称为势函
数，具有
x
V
P
?
?
?=，
y
V
Q
?
?
?=。
曲面积分
一．第一类曲面积分（对面积的曲面积分）
1．定义
设S为分块光滑曲面，()zyxf,,在S上有定义，
把曲面S任意分成n块小曲面
n
SSS???,,,
21
Λ，在
)1(nkS
k
≤≤?上任取一点()
kkk
s,,ηξ，把小曲面
k
S?
的面积也记以
k
S?，而λ表示各小块曲面直径的最大
值。如果对任意分割和任意取点，下列极限皆存在且相等
()
k
n
k
kkk
Ssf?
∑
=
→
1
0
,,limηξ
λ
则称这极限值为()zyxf,,在曲面S上的第一类曲
面积分，也称对面积的曲面积分，记以
()
∫∫
′S
dSzyxf,,
2．基本计算公式
设曲面S的方程()()Dyxyxzz∈=,,,，()yxz,在
D上有连续偏导数。
()zyxf,,在S上连续，则
()()[]
∫∫∫∫?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
+=
DS
dxdy
y
z
x
z
yxzyxfdSzyxf
2
2
1,,,,,
这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。
二．第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）
1．定义
设S为分块光滑有向曲面（已指定一侧为定向)，
()zyxP,,，()zyxQ,,，()zyxR,,皆在S上有定义，把
曲面S任意分成n个小曲面
n
SSS???,,,
21
Λ，而
()nkS
k
≤≤?1在yz平面上投影的面积记以()
yzk
S?，在
zx平面上投影的面积记以()
zxk
S?，在xy平面上投影的
面积记以()
xyk
S?，又在()nkS
k
≤≤?1上任取一点
()
kkk
s,,ηξ，令λ是各小块曲面直径的最大值，考虑极
限
()()()()()()[]
∑
=
→
?+?+?
n
k
xykkkkzxkkkkyzkkkk
SsRSsQSsP
1
0
,,,,,,limηξηξηξ
λ
如果对任意分割，任意取点，极限值都存在并且相等，
则这个极限限称为()zyxP,,，()zyxQ,,，()zyxR,,在
有向曲面S上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月25
积分，记以
()()()
∫∫
++
S
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP,,,,,,
如果令{}RQPF,,=，{}dxdydzdxdydzdS,,=
则向量形式为
∫∫
?
S
dSF
2．基本计算公式
如果曲面S的方程()yxzz,=，()
xy
Dyx∈,
()yxz,在
xy
D上连续，()zyxR,,在S上连续，则
()()[]
∫∫∫∫
±=
xy
DS
dxdyyxzyxRdxdyzyxR,,,,,
若曲面S指定一侧的法向量与z轴正向成锐角取
正号，成钝角取负号。这样把这部分曲面积分化为xy平
面上的二重积分。
类似地，曲面S的方程表示为()zyxx,=，
()
yz
Dzy∈,，则
()()[]
∫∫∫∫
±=
YZ
DS
dydzzyzyxPdydzzyxP,,,,,
曲面S指定一侧的法向量与x轴正向成锐角取正
号，成钝角取负号，如果曲面S的方程表示为
()xzyy,=，()
zx
Dxz∈,，则
()()[]
∫∫∫∫
±=
ZX
DS
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ,,,,,
曲面S指定一侧的法向量与y轴成锐角取正号，成
钝角取负号。由此可见，第二类曲面积分用基本公式进
行计算是很麻烦的。绝大多数情形都用下面的定理进行
计算，但是当RQP,,有些为0只剩下一项或二项时，
也有可能用基本公式进行计算。
三．两类曲面积分之间的关系
[]
∫∫∫∫
++=++
SS
dSRQPRdxdyQdzdxPdydzγβαcoscoscos
其中γβαcos,cos,cos为曲面S在点()zyx,,处根据
定向指定一侧的法向量的三个方向余弦。
令{}RQPF,,=，{}γβαcos,cos,cos
0
=n
∫∫∫∫
?=++
SS
dSnFRdxdyQdzdxPdydz
0
四．高斯公式
定理1．（单连通区域）
设?是由分块光滑曲面S围成的单连通有界闭区
域，()()()zyxRzyxQzyxP,,,,,,,,在?上有连续的一阶
偏导数，则
∫∫∫∫∫
++=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
+
?
?
?S
RdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
（外侧）
[]
∫∫
++=
S
dSRQPγβαcoscoscos
其中γβαcos,cos,cos为S在点()zyx,,处的法向
量的方向余弦。
定理2．（多连通区域）
设?是()1+n连通区域，外面边界曲面
0
S为外侧，
每一个“洞”的边界曲面()nkS
k
≤≤′1为内侧，彼此不
重叠，都在
0
S的内部。这些曲面都是分块光滑的，?是
有界闭区域，()()()zyxRzyxQzyxP,,,,,,,,在?上有连
续的一阶偏导数，则
∫∫∫∫∫
++=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
+
?
?
?
0
S
RdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
（外侧）
∑
∫∫
=
+++
n
k
S
K
RdxdyQdzdxPdydz
1
（内侧）
五．斯托克斯公式
定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边
界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧（即法向量
的指向）符合右手法则，函数
()()()zyxRzyxQzyxP,,,,,,,,在包含S的一个空间区域
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月26
内有连续的一阶偏导数，则有
∫∫∫
?
?
?
?
?
?
=++
S
L
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdx
∫∫?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
S
dxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
也可用第一类曲面积分
∫∫∫
?
?
?
?
?
?
=++
S
L
dS
RQP
zyx
RdzQdyPdx
γβαcoscoscos
六．散度与旋度
讨论中有三个概念很重要，就是梯度、散度和旋度。
前面我们已经讨论过梯度：
设()zyxuu,,=算
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=??
zyx
,,
u
z
u
y
u
x
u
gradu?=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=,,称为u的梯度。
1．散度
设()()()zyxRzyxQzyxPF,,,,,,,,=
散度F
z
R
y
Q
x
P
divF??=
?
?
+
?
?
+
?
?
=称为F的散
度
高斯公式可写成
∫∫∫∫∫
?=
?S
dSnFdivFdv
0
（外侧）
()γβαcos,cos,cos
0
=n
2．旋度
设()()()zyxRzyxQzyxPF,,,,,,,,=
旋度
RQP
zyx
kji
FrotF
?
?
?
?
?
?
=×?=
k
y
P
x
Q
j
x
R
z
P
i
z
Q
y
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
称为F的旋度。
斯托克斯公式可写成()
∫∫∫
?=?
S
L
dSnrotFdrF
0
其中()dzdydxdr,,=,()γβαcos,cos,cos
0
=n
无穷级数
常数项级数
1．基本性质
（1）如果
∑
∞
=1n
n
u和
∑
∞
=1n
n
v皆收敛，ba,为常数，则
()
∑
∞
=
+
1n
nn
bvau收敛，且等于
∑∑
∞
=
∞
=
+
11n
n
n
n
vbua
（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收
敛性不变。
（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加
括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。
发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散
的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。
（4）级数
∑
∞
=1n
n
u收敛的必要条件是0lim=
∞→
n
n
u。
（注：引言中提到的级数()
∑
∞
=
+
?
1
1
1
n
n
，具有
1
)1(lim
+
∞→
?
n
n
不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故
()
∑
∞
=
+
?
1
1
1
n
n
发散。调和级数
∑
∞
=1
1
n
n
满足0
1
lim=
∞→
n
n
，但
∑
∞
=1
1
n
n
却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件0lim=
∞→
n
n
u，
而
∑
∞
=1n
n
u收敛性尚不能确定。）
2．两类重要的级数
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月27
（1）等比级数（几何级数）
∑
∞
=0n
n
ar()0≠a
当1
r
a
ar
n
n
?
=
∑
∞
=
1
0
收敛；
当1≥r时，
∑
∞
=0n
n
ar发散。
（2）p—级数
∑
∞
=1
1
n
p
n
当1>p时，
∑
∞
=1
1
n
p
n
收敛；
当1≤p时，
∑
∞
=1
1
n
p
n
发散。
（注：1>p时，
∑
∞
=1
1
n
p
n
的和一般不作要求，但后
面用特殊的方法可知
6
1
2
1
2
π
=
∑
∞
=n
n
。）
二．正项级数敛散性的判别法
若),3,2,1(0Λ=≥nu
n
则
∑
∞
=1n
n
u称为正项级数，这
时
()Λ,3,2,1
1
=≥
+
nSS
nn
所以{}
n
S是单调增加数列，它是否收敛就只取决于
n
S是否有上界。
因此
∑
∞
=1n
n
u收敛
n
S?有上界，这是正项级数比较
判别法的基础。从而也是正项级数其它判别法的基础。
1．比较判别法
设0>c，当Nn≥时，0>≥
nn
ucv皆成立。
如果
∑
∞
=1n
n
v收敛，则
∑
∞
=1n
n
u收敛；
如果
∑
∞
=1n
n
u发散，则
∑
∞
=1n
n
v发散。
2．比较判别法的极限形式
设0≥
n
u，0≥
n
v，()Λ,3,2,1=n
若A
v
u
n
n
n
=
∞→
lim
（1）当+∞<
∑
∞
=1n
n
u与
∑
∞
=1n
n
v同时收敛或
同时发散。
（2）当0=A时，若
∑
∞
=1n
n
v收敛，则
∑
∞
=1n
n
u收敛。
（3）当+∞=A时，若
∑
∞
=1n
n
u收敛，则
∑
∞
=1n
n
v收敛。
3．比值判别法（达朗倍尔）
设0>
n
u，而ρ=
+
∞→
n
n
n
u
u
1
lim
（1）当1<ρ时，则
∑
∞
=1n
n
u收敛。
（2）当1>ρ（包括+∞=ρ）时，则
∑
∞
=1n
n
u发散。
（3）当1=ρ时，此判别法无效。
（注：如果
n
n
n
u
u
1
lim
+
∞→
不存在时，此判别法也无法用。）
4．根值判别法（柯西）
设0≥
n
u，而ρ=
∞→
n
n
n
ulim
（1）当1<ρ时，则
∑
∞
=1n
n
u收敛。
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月28
（2）当1>ρ（包括+∞=ρ）时，则
∑
∞
=1n
n
u发散。
（3）当1=ρ时，此判别法无效。
事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数
比较得出相应的结论。应用时，根据所给级数的形状有
不同的选择，但它们在1=ρ情形都无能为力，数学上
有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说，不作
要求。
三．交错级数及其莱布尼兹判别法
1．交错级数概念
若0>
n
u，()
∑
∞
=
+
?
1
1
1
n
n
n
u称为交错级数。
2．莱布尼兹判别法
设交错级数()
∑
∞
=
+
?
1
1
1
n
n
n
u满足：
（1）()Λ,3,2,1
1
=≤
+
nuu
nn
（2）0lim=
∞→
n
n
u
则()
∑
∞
=
+
?
1
1
1
n
n
n
u收敛，且()
1
1
1
10uu
n
n
n
∑
∞
=
+
四．绝对收敛与条件收敛
1．定理
若
∑
∞
=1n
n
u收敛，则
∑
∞
=1n
n
u一定收敛；反之不然。
2．定义
若
∑
∞
=1n
n
u收敛，则称
∑
∞
=1n
n
u为绝对收敛；
若
∑
∞
=1n
n
u收敛，而
∑
∞
=1n
n
u发散，则称
∑
∞
=1n
n
u为条件
收敛。
3．有关性质
（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷
多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不
变。
（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即
()
∑
∞
=
+
1
2
1
n
nn
uu或()
∑
∞
=
?
1
2
1
n
nn
uu一定是发散的。
4．一类重要的级数
设
()
∑
∞
=
+
?
1
1
1
n
p
n
n
（1）当1>p时，
()
∑
∞
=
+
?
1
1
1
n
p
n
n
是绝对收敛的。
（2）当10≤
()
∑
∞
=
+
?
1
1
1
n
p
n
n
是条件收敛的。
（3）当0≤p时,
()
∑
∞
=
+
?
1
1
1
n
p
n
n
是发散的。
幂级数
一．函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）
1．函数项级数概念
设()xu
n
()Λ,3,2,1=n皆定义在区间I上，则
()xu
n
n∑
∞
=1
称为区间I上的函数项级数
2．收敛域
设I
0
∈x，如果常数项级数()
0
1
xu
n
n∑
∞
=
收敛，则称
0
x
是函数项级数()
∑
∞
=1n
n
xu的收敛点，
如果()
∑
∞
=1
0
n
n
xu发散，则称
0
x是()
∑
∞
=1n
n
xu的发散点。
函数项级数()
∑
∞
=1n
n
xu的所有收敛点构成的集合就称
为收敛域。
所有发散点构成的集合称为发散域。
3．和函数
在()
∑
∞
=1n
n
xu的收敛域的每一点都有和，它与x有关，
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月29
因此
()()
∑
∞
=
=
1n
n
xuxS，∈x收敛域
称)(xS为函数项级数()
∑
∞
=1n
n
xu的和函数，它的定
义域就是函数项级数的收敛域。
二．幂级数及其收敛域
1．幂级数概念
()
∑
∞
=
?
1
0
n
n
n
xxa称为)(
0
xx?的幂级数，
),2,1,0(Λ=na
n
称为幂级数的系数，是常数。
当0
0
=x时，
∑
∞
=0n
n
n
xa称为x的幂级数。
一般讨论
∑
∞
=0n
n
n
xa有关问题，作平移替换就可以得
出有关()
∑
∞
=
?
0
0
n
n
n
xxa的有关结论。
2．幂级数的收敛域
幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa的收敛域分三种情形
（1）收敛域为),(+∞?∞，亦即
∑
∞
=0n
n
n
xa对每一个x
皆收敛。我们称它的收敛半径+∞=R。
（2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa皆
发散，我们称它的收敛半径0=R。
（3）收敛域为),(RR?或]RR,(?或[),RR?或
[]RR,?中的一种，我们称它的收敛半径为
R)0(+∞<
所以求幂级数的收敛半径R非常重要，（1），（2）
两种情形的收敛域就确定的。而)3(的情形，还需讨论
R±两点上的敛散性。
如果l
a
a
n
n
n
=
+
∞→
1
lim（包括∞+）或la
n
n
n
=
∞→
lim（包
括∞+）
则收敛半径
l
R
1
=（若+∞=l，则0=R；若0=l，
则+∞=R）
如果上述两极限不成立，那么就要用其它方法求收敛
半径，后面有所讨论。
三．幂级数的性质
1．四则运算
设)(
0
xfxa
n
n
n
=
∑
∞
=
，
1
Rx<；()
∑
∞
=
=
0n
n
n
xgxb，
2
Rx<
则()()()
∑
∞
=
±=±
0n
n
nn
xgxfxba，()
21
,minRRx<
()()
∑∑∑
∞
=
?
∞
=
∞
=
?=++++=?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
00
00
)(
n
n
nknkn
n
n
n
n
n
n
xgxfxbababaxbxaΛΛ
()
21
,minRRx<
2．分析性质
设幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa的收敛半径0>R，
()
∑
∞
=
=
0n
n
n
xaxS为和函数，则有下列重要性质
（1）()xS在()RR,?内可导，且有逐项求导公式
()()
∑∑∑
∞
=
∞
=
?
∞
=
=
′
=
′
?
?
?
?
?
?
=′
01
1
0nn
n
n
n
n
n
n
n
xnaxaxaxS
求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出()xS在
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月30
()RR,?内有任意阶导数，公式为
()
()()()
kn
kn
k
xknnnxS
?
∞
=
+??=
∑
11Λ，
Rx<()Λ,3,2,1=k
（2）()xS在()RR,?内有逐项积分公式
()
∑∑
∫∫
∞
=
+
∞
=
+
==
0
1
0
00
1
n
nn
n
x
n
n
x
x
n
a
dttadttS
且这个幂级数的收敛半径也不变
（3）若()
∑
∞
=
=
0n
n
n
xSxa在()RRx?=成立。则
有下列性质：
（i）()
∑
∞
=
→
=
?
0
lim
n
n
n
Rx
RaxS成立
()
()()?
?
?
?
?
?
?=
∑
∞
=
?→
+
成立
0
lim
n
n
n
Rx
RaxS
（ii）()
∑
∫
∞
=
+
+
=
0
1
0
1
n
nn
R
R
n
a
dxxS成立
()()?
?
?
?
?
?
?
+
?
=
∫
∑
?
∞
=
+
成立
0
0
1
1
R
n
n
n
R
n
a
dxxS
（iii）
∑
∞
=
?
1
1
n
n
n
xna在()RRx?=不一定收敛
也即()RSRna
n
n
n?
∞
=
?
′=
∑
1
1
不一定成立，()()RS?′
+
如果
∑
∞
=0n
n
n
xa在()RRx?=发散，那么逐项求导后
的级数
∑
∞
=
?
1
1
n
n
n
xna在()RRx?=一定发散，而逐项积分
后的级数
∑
∞
=
+
+
0
1
1
n
nn
x
n
a
在()RRx?=有可能收敛。
四．幂级数求和函数的基本方法
1．把已知函数的幂级数展开式（§8.3将讨论）反
过来用
下列基本公式应熟背
（1）
x
x
n
n
?
=
∑
∞
=
1
1
0
，1
（2）
x
n
n
e
n
x
=
∑
∞
=0
!
，+∞
（3）()
()
x
n
x
n
n
n
sin
!12
1
12
0
=
+
?
+∞
=
∑
，+∞
（4）()
()
x
n
x
n
n
n
cos
!2
1
2
0
=?
∑
∞
=
，+∞
（5）()()x
n
x
n
n
n
+=
+
?
+∞
=
∑
1ln
1
1
1
0
，()11≤
（6）
()()
()
α
ααα
xx
n
n
n
n
+=
+??
+
∑
∞
=
1
!
11
1
1
Λ
，
()11<
2．用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和
公式
3．用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方
程，从而求微分方程的解
五．利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和
（强化班再讨论）
将函数展开成幂级数
一．泰勒级数与麦克劳林级数的概念
1．基本概念
设函数()xf在点
0
x的某一领域δ
0
xx内具有
任意阶导数，则级数
()
()
()
∑
∞
=
?
0
0
0
!
n
n
n
xx
n
xf
称为函数
()xf在
0
x处的泰勒级数。
（注：这里泰勒级数是否收敛？是否收敛于()xf都
不知道）特别地，当0
0
=x，则级数
()
()
n
n
n
x
n
f
∑
∞
=0
!
0
称为()xf的麦克劳林级数。
考研数学知识点-高等数学
Editedby杨凯钧2005年10月31
2．函数展成幂级数的条件
设()xf在Rxx
0
内有任意阶导数，它的泰勒
公式
()()()()
()
()
()
()
()()xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?′+=
0
02
0
0
000
!!2
Λ
其中()xR
n
为n阶余项，它的拉格朗日型为
()
()
()[]
()
()()10
!1
1
0
00
1
<
+
?+
=
+
+
θ
θ
n
n
n
xx
n
xxxf
xR
则()
()
()
()
∑
∞
=
?
0
0
0
!
n
n
n
xx
n
xf
xf，Rxx
0
的充要条件为()0lim=
∞→
xR
n
n
Rxx
0
而且()xf在
0
x处幂级数展开式是唯一的。
特别地，0
0
=x时得到函数展成麦克劳林级数的充
分必要条件。
二．函数展成幂级数的方法
1．套公式
()()
∑
∞
=
?=
0
0
n
n
n
xxaxf，Rxx
0
()
()
!
0
n
xf
a
n
n
=()Λ,2,1,0=n
例
∑
∞
=
=
0
!
1
n
nx
x
n
e，+∞
()
()
∑
∞
=
+
+
?=
0
12
!12
1sin
n
n
n
n
x
x，+∞
()
()()
∑
∞
=
+??
+=+
1
!
11
11
n
n
x
n
n
x
ααα
α
Λ
，
1
（α为实常数）
2．逐项求导
例：()()
()
∑
∞
=
?=
′
=
0
2
!2
1sincos
n
n
n
n
x
xx，+∞
()
∑∑
∞
=
?
∞
=
=
′
?
?
?
?
?
?
=
′
?
?
?
?
?
?
?
=
?
1
1
0
2
1
1
1
1
n
n
n
n
nxx
x
x
，1
3．变量替换法
例：
∑∑
∞
=
∞
=
===
00
2.
!
1
!
12
nn
nntx
x
n
t
n
ee，+∞
()
()()
∑∑
∞
=
∞
=
?=?=
??
=
+
00
22
22
1
1
1
1
1
nn
nn
n
xx
xx
，
1
4．逐项积分法
例：()()
∫
∑
∫
∞
=
?=
+
=+
x
n
n
x
dttdt
t
x
0
0
0
1
1
1ln
()
∑
∞
=
+
+
?
=
0
1
1
1
n
nn
n
x
()11≤
由此可得
()
∑
∞
=
+
?
=
0
1
1
2ln
n
n
n
()
()
∫
∑∑
∫
∞
=
∞
=
+
+
?
=?=
+
=
x
nn
nn
n
x
n
x
dttdt
t
x
0
00
12
2
0
2
12
1
1
1
arctan
()11≤≤?x
由此可得
()
4
1arctan
12
1
0
π
==
+
?
∑
∞
=n
n
n
|
|
