（数学部分）
第一部分解题技能竞赛大纲
第二部分解题技能竞赛试题样题
第三部分数学建模论文示范论文
首届全国中学生数理化学科能力竞赛
化学学科笔试部分竞赛大纲（2008年试验稿）
为了提高广大青少年走进科学、热爱科学的兴趣，培养和发现创新型人才，团中央中国青少年发展服务中心、全国“青少年走进科学世界”科普活动指导委员会办公室共同举办首届“全国中学生数理化学科能力竞赛”（以下简称“竞赛”）。竞赛由北京师范大学《高中数理化》杂志社承办。为保证竞赛活动公平、公正、有序地进行，现将数学学科笔试部分竞赛大纲颁布如下：
1命题指导思想和要求
根据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，着重考查学生的基础知识、基本能力、科学素养和运用所学知识分析问题、解决问题力及创新能力。命题吸收各地高考和中考的成功经验，以能力测试为主导，体现新课程标准对能力的要求，注意数学知识中蕴涵的丰富的思维素材，强调知识点间的内在联系；注重考查数学的通法通则，注重考查数学思想和方法。激发学生学科学的兴趣，培养实事求是的科学态度和创新能力，促进新课程标准提出的“知识与技能”、“过程与方法”、“情感与价值观”三维目标的落实。总体难度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原则。并提出以下三个层面上的命题要求：
1）从宏观上看：注意对知识点和能力点的全面考查，注意对数学基本能力（空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力）的考查，注意对数学思想和方法方面的考查，注意考查通则通法。
2）从中观上看：注意各个主要知识块的重点考查，注意对主要数学思维方法的考查。
3）从微观上看：注意每个题目的基础性（知识点）、技能性（能力点）、能力性（五大基本能力为主）和思想性（四种思想为主），注意考查大的知识块中的重点内容（如：代数中的函数的单调性、奇偶性、周期性），注意从各个知识点之间的交汇命题，注意每个题目的通则通法使用的同时也适度引进必要的特技，注意题目编拟中一些题目的结构特征对思路形成的影响。
2命题范围
依据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，初赛和决赛所考查的知识点范围，不超出相关年级在相应的时间段内的普遍教学进度。另外要明确初二年级以上开始，每个年级的命题范围包含下年级的所有的内容。比如：高一的命题范围包括初中所有内容和高中阶段所学的内容。
3考试形式
初一、初二、初三、高一、高二组：闭卷，笔答。考试时间为120分钟，试卷满分为120分。
4试卷结构
全卷选择题6题，非选择题9题（填空6题、解答题3题）
5难度系数
1）初赛试卷的难度系数控制在0.6左右；
2）决赛试卷的难度系数控制在0.5左右。
初中一年级样题
选择题（每小题5分，共30分）
1、若，，那么的值有()个【C】
（A）4（B）3（C）2（D）1
2、若表示一个整数，则整数x可取值共有().【D】
（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个
3、如果代数式4y2－2y+5的值为7，则代数式2y2－y+1的值等于（）【A】
（A）2（B）3（C）-2（D）4
4、已知与之和的补角等于与之差的余角，则＝（）【C】
（A）750（B）600（C）450（D）300
5、如右图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（）【D】
（A）△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
（B）△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
（C）△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
（D）△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
6、观察这一列数：，,,,，依此规律下一个数是（）【D】
（A）（B）（C）（D）
填空题（每小题5分，共30分）
7、已知，则＝_________【128】
8、甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页。若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了页【35】
9、如果多项式3mxay与—2nx4a—3y是关于x、y的单项式，且他们的和是单项式，则a2004—1=______【0】
10、一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_________cm3。【60】
11、张、王、李三人测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果王说："丁队得冠军，乙队得亚军"；李说："甲队得亚军，丙队得第四"；张说："丙队得第三，丁队得亚军"。赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是______。的所有可能值是
【3、1、-1、-3】
解答题（每小题20分，共60分）
13、计算【2007】
14、三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，试求的值
【解：由于三个互不相等的有理数，既表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等。
于是可以判定与中有一个是0，中有一个是1，但若，会使无意义，∴，只能，即，于是．只能是，于是＝－1。
∴原式＝2。】
15、现在由五个福娃带我们去参观国家体育馆“鸟巢”，贵宾门票是每位30元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，我们一行共有18人（包括福娃），当领队欢欢准备好零钱到售票处买18张票时，爱动脑筋的晶晶喊住了欢欢，提议买20张票，欢欢不明白，明明我们只有18人，买20张票岂不是“浪费”吗？（1）请你算算，晶晶的提议对不对？是不是真的“浪费”呢？（2）当人数少于20人时，至少要有多少人去“鸟巢”，买20张票反而合算呢？过第一、二、四象限，那么直线不经过（）【B】
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
3、如图是33正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD的对称轴ABCD中心旋转能重合的图案都视()【C】
(A)4种(B)6种
(C)8种(D)12种。
C．2D．10
【D提示：D点和B点关于AC对称】
6、、已知长度为l0cm的线段AB，以AB为直径向上作半圆，记该半圆的周长为C1；将AB两等分，分别以其一半线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C2；再将AB三等分，分别以其三分之一线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C3；如此继续，记k等分时各半圆周长之和为Ck，那么随着等分数k的增加，各半圆周长之和Ck的数值()
A）越来越大（B）越来越小（C）不变（D）无法判断
【C不管等分数为多少，各个半圆的周长之和始终为5π】
填空题（每小题5分，共30分）
7、如图1，直线上放置了一个边长为6的等边三角形，当等边
三角形沿着直线翻转一次到达图2的位置.如果等边三角形翻转
204次，则顶点A移动的路径总长是______(用π表示)
【544π】
8、下列4个判断：
①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；
②两个三角形的6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；
③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
其中正确判断的编号是___________________【①②③】
9、若a、c、d都是整数，b是正整数，且a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，则a＋b＋c＋d的最大值是____________
【－5∵a＋b＝c①，b＋c＝d②，c＋d＝a③，∴由①＋②得a+c+2b=c+d=a，即c=－2b
进而得a=－3b,d=－b,∴a+b+c+d=－5b,∵b是正整数，∴最大值为－5】
10、现有长为150的铁丝，要截成若干个小段，要求每段的长度都是不小于1的整数，如果其中任意三小段都不能组成三角形，问当切成最多段时，共有___________种切法.
【7．提示：要尽可能多的切成段，且任意三小段都不能组成三角形，只能这样切成10段：
（1）1，1，2，3，5，8，13，21，34，55＋7（2）1，1，2，3，5，8，13，21，35，55＋6
（3）···，36，55＋5（4）···，37，55＋4（∵59－37>21）(5)···13,22,35,57+3(6)···,22,36,57+2（∵59－36>22）(7)···,8,14,22,36,58】
11、一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有相同的人数。起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车。若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车。已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有辆汽车，这批旅客有人。
【提示：设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐个人，显然≥2，≤32．
易知旅客人数等于，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为，由此列出方程
。
所以。
因为为正整数数，所以必为正整数，但由于23是质数，因数只有1和23两个，
且≥2，所以，或。
如果，则，，不满足≤32的条件。
如果，则，，符合题意。
所以旅客人数等于＝23×23＝529（人）】
12、∣|叫做二阶行列式，它的算法是：，将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式，则不同的计算结果有＿＿个，其中，数值最大的是＿＿＿【6，14】
解答题（每小题20分，共60分）
13、如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1．若六边形(可以是凸的或凹的)的顶点都在格点上，且面积为6，画出三个形状不同的
【答案：如右图,符合条件的六边形有许多．】
14、甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离（千米）随时间（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答：
（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？
（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？
（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？
【答案：（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为
将代入，解得所以
由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当千米时，
（小时）。即甲车出发1.5小时后被乙车追上
（2）由图知，可设乙车由A地前往B地函数的解析式为
将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得
所以
当乙车到达B地时，千米。代入，得小时
又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为
将（1.8，48）代入，得，解得
所以
当甲车与乙车迎面相遇时，有
解得小时代入，得千米
即甲车与乙车在距离A地千米处迎面相遇
（3）当乙车返回到A地时，有解得小时
甲车要比乙车先回到A地，速度应大于（千米/小时）】
15、当=20时，一个关于x的二次三项式的值等于694．若该二次三项式的各项系数及10的整数，求满足条件的所有二次三项式．将20代入ax2++c得400a+20b+c=694①400a=694-(20b+c)，
由-10
16、现有一台天平，一个2克的砝码和一个7克的砝码，要求只使用这台天平三次，将一包重140克的食盐分成90克和50克。此外，为了便于减少误差，每次分离食盐时，规定重量是整数千克。请你设计尽可能多的方案，说明基本理由
【此题有多种答案。若考虑现有砝码与其不同放置的情况，可将指定重量分为2份，它们的重量之差(克数)仅限于：0、2、5、7与9。因此可设如下数学模型：
。从而可得下列5种解决方案
而若考虑将已称量的食盐当作新的砝码，则还可以得到其他的解决方案(略)。】
初中三年级样题
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、已知，，则＝（）【B】
（A）4（B）0（C）2（D）－2
2、将五张分别画有等边三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是
（ ）【B】
（A） （B） （C） （D）
3、一块含30°角的直角三角板（如右图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）
(A)5cm(B)6cm(C)（）cm(D)（）cm
【B：提示：连结BE，分别过E，F作AC的平行线交BC于点M和N，则EM=1，BM=，MN=．∴小三角形的周长是cm】
4、作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是，则抛物线A所对应的函数表达式是（）【D】
(A)(B)
(C)(D)
5、如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑白两个甲壳虫从A点出发沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬的路线是AA1→A1D1→，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→，都遵循如下规则：所爬行的第所在直线必须是既不平行也不相交（其中是）黑、白两个甲壳虫完2008条棱分别停止正方体顶点处，的距离是（）
（A）0（B）1（C）（D）
白甲壳虫爬行的路径为：
黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫完2008条棱分别停止】
6、一个商人用元（是正整数）买来了台（为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则的最小值是（）【C】
（A）11（B）13（C）17（D）19
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点A顺时针旋转60°得正方形AB′C′D′，点C所经过的路径长为。【】
8、已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为cm．
【解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h)，则5h=3×4，h=】
9、设、是方程的两个实根，且．则的值是．
【1】
10、从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5．则这个等边三角形的面积是
【】
11、将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的个数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数．现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是
【答案：35％或65％解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％】
12、在直角坐标系中，轴上的动点M（，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP＋MQ取最小值时，点M的横坐标＝【】
三、解答题（（每小题20分，共60分）
13、如图，一次函数的图象过点P（2，3），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，求△AOB面积的最小值．
【解：设一次函数解析式为，则，得，令得，则OA＝．
令得，则OA＝．
所以，三角形AOB面积的最小值为12．】
14、小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm，宽为8cm的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长。
解：分三种情况：（1）当底边在长方形的长边上时，如图1，ABAC10cm，
BE6cm，BC2BE12cm
（2）当腰在长方形的长边上时，
如图2（a），BCAB10cm，CEBCBE1064cm，
ACcm
如图2（b），BCAC10cm，BEBC＋CE10＋616cm，
ABcm
故等腰三角形的底边长为cm或cm或cm
15、边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是多少？
答案：
解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得
或解得或
∵(此时不能构成三角形，舍去)，∴取其中n是3的倍数．
三角形的面积．对于，
当n≥0时，随着n的增大而增大，故当n=3时，取最小．
高中一年级样题
一选择题（每小题5分，共30分）
1．已知，则（B）
（A）（B）（C）（D）
2．已知，则下列结论正确的是（D）
（A）（B）（C）（D）
3．设1
（A）（B）（C）（D），则
故选A
4．如果关于x的方程至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）或，或解得，，故选C
5．不等式>1–log2x的解是（）
（A）≥2（B）（C）（D），或
，或，故选B
6．已知y=f(x)是定义在R上的单调函数，则（D）
（A）函数x=f–1(y)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称
（B）函数f(–x)与f(x)的图象关于原点对称
（C）f–1(x)和f(x)的单调性相反
（D）函数f(x+1)和f–1(x)–1的图象关于直线y=x对称
二填空题（每小题5分，共30分）
7．已知不等式()x2–a>4–x的解集是(–2，4)，是。函数–4x+m–3)的值域是R，则值。或，解得
9．如果函数f(x)x2+bx+c，–3，a2]是，则。
因式分解的结果是。若方程–4x+3|–x=a有三个不相等的实数根，则a=。
提示：图象法
12．函数的最大值是。
提示：
三解答题
13（本小题满分20分）
已知试求使方程有解的k的取值范围
解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足
当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解
由（1）得
当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解
当k≠0时，（4）的解是
，把（5）代入（2），得
解得：
综合得，当k在集合内取值时，原方程有解
14（本小题满分20分）
已知，且
（1）若，求证：
（2）若，且，求证：
（1）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为
而
所以
（2）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为
而
所以
15（本小题满分20分）
已知点是的中线上的一点,直线交边于点
,且是的外接圆的切线,设,试求(用表示)
证明：在中，由Menelaus定理得
因为，所以
由，知∽，则
所以，，即
因此，．又，故
高中二年级样题
一选择题（每小题5分，共30分）
1．已知，则下列结论正确的是（D）
（A）（B）（C）（D）
2．设1
（A）（B）（C）（D），则
故选A
3．圆x2+(y–1)2=1上任意一点P(x，y)都满足x+y+c≥0，则c的取值范围是（）
（A）–∞，0)]（B），+∞])（C）–1，+∞])（D）–，+∞])
4．不等式>1–log2x的解是（）
（A）≥2（B）（C）（D），或
，或，故选B
5．棱长为的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放入一个小球，则这些的最大半径为（C）
（A）(B)(C)(D)
如果正四面体的棱长为，则根据正四面体的性质和球的性质可计算出正四面体的内切球半径为（正四面体的内切球的球心将高四等分），后放入小球是一个新正四面体的内切球，且新正四面体的高为原正四面体的高减去其内切球的直径，所以新正四面体的高为，进而得到所求球的半径为
6．函数y=+的最小值是（D）
（A）2（B）2（C）（D）
y=+
二填空题（每小题5分，共30分）
7．已知函数，当时的值域是，则[1，4]。的最大值是0。
9．已知数列{an}的通项公式是an=，bn=（n=1，2，3，…），则数列{bn}的前n项和
bn=
所以
10．若方程–4x+3|–x=a有三个不相等的实数根，则a=。
11．已知直线的方向向量是，直线的斜率是，
直线斜率是。其中都可取任何实数，则三条直线中倾斜角为钝角的条数的最大值是2。
因为三条直线的斜率之和
所以至多有两条直线的斜率小于零。
12．给出下列5个命题：
函数是奇函数；
函数的图象关于轴对称；
函数与的值域一定相等，但定义域不同；
互为反函数的两个函数的图象若有交点，则交点不一定在直线上；
若函数存在反函数，则在其定义域内一定单调
其中正确命题的题号是___（1）、（4）__
三解答题
13（本小题满分20分）
定义在上的减函数也是奇函数，且对一切实数，
不等式恒成立。
求实数的取值范围。
分析：根据题设，可以将等价转化为可分离参数的不等式形式。
解：因为是奇函数
所以不等式可化为
又因为在上是减函数
不等式可进一步化为
即
因为对一切实数，都有，所以
进而得到
令，则
而，所以当时，
所以实数的取值范围是
14（本小题满分20分）
已知，且
（1）若，求证：
（2）若，且，求证：
（1）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为
而
所以
（2）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为
而
所以
15（本小题满分20分）
已知点是的中线上的一点,直线交边于点
,且是的外接圆的切线,设,试求(用表示)
证明：在中，由Menelaus定理得
因为，所以
由，知∽，则
所以，，即
因此，．又，故
初中高中数学创新小论文要求及范文
论文形式：科学论文
科学论文是对某一课题进行探讨、研究，表述新的科学研究成果或创见的文章。
注意：它不是感想，也不是调查报告。
论文选题：新颖，有意义，力所能及
要求：
有背景.
应用问题要来源于学生生活及其周围世界的真实问题，要有具体的对象和真实的数据。理论问题要了解问题的研究现状及其理论价值。要做必要的学术调研和研究特色。
有价值.
有一定的应用价值，或理论价值，或教育价值，学生通过课题的研究可以掌握必须的科学概念，提升科学研究的能力。
有基础
对所研究问题的背景有一定了解，掌握一定量的参考文献，积累了一些解决问题的方法，所研究问题的数据资料是能够获得的。
有特色
思路创新，有别于传统研究的新思路；
方法创新，针对具体问题的特点，对传统方法的改进和创新；
结果创新，要有新的，更深层次的结果。
问题可行
适合学生自己探究并能够完成，要有学生的特色，所用知识应该不超过初中生（高中生）的能力范围。
（数学应用问题）数据资料：来源可靠，引用合理，目标明确
要求：
数据真实可靠，不是编的数学题目；
数据分析合理，采用分析方法得当。
（数学应用问题）数学模型：通过抽象和化简，使用数学语言对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。
要求：
抽象化简适中，太强，太弱都不好；
抽象出的数学问题，参数选择源于实际，变量意义明确；
数学推理严格，计算准确无误，得出结论；
将所得结论回归到实际中，进行分析和检验，最终解决问题，或者提出建设性意见；
问题和方法的进一步推广和展望。
（数学理论问题）问题的研究现状和研究意义：了解透彻
要求：
对问题了解足够清楚，其中指导教师的作用不容忽视；
问题解答推理严禁，计算无误；
突出研究的特色和价值。
论文格式：符合规范，内容齐全，排版美观
1.标题：
是以最恰当、最简明的词语反映论文中主要内容的逻辑组合。
要求：反映内容准确得体，外延内涵恰如其分，用语凝练醒目。
2.摘要：
全文主要内容的简短陈述。
要求：
1）摘要必须指明研究的主要内容，使用的主要方法，得到的主要结论和成果；
2）摘要用语必须十分简练，内容亦须充分概括。文字不能太长，6000字以内的文章摘要一般不超过300字；
3）不要举例，不要讲过程，不用图表，不做自我评价。
3.关键词：文章中心内容所涉及的重要的单词，以便于信息检索。
要求：数量不要多，以3-5各为宜，不要过于生僻。
4.正文
1）前言：
问题的背景：问题的来源；
提出问题：需要研究的内容及其意义；
文献综述：国内外有关研究现状的回顾和存在的问题；
概括介绍论文的内容，问题的结论和所使用的方法。
2）主体：（数学应用问题）数学模型的组建、分析、检验和应用等。
（数学理论问题）推理论证，得出结论等。
3）讨论
解释研究的结果，揭示研究的价值,指出应用前景,提出研究的不足。
要求：
1）背景介绍清楚，问题提出自然；
2）思路清晰，涉及到得数据真是可靠，推理严密，计算无误；
3）突出所研究问题的难点和意义。
5.参考文献：
是在文章最后所列出的文献目录。他们是在论文研究过程中所参考引用的主要文献资料，是为了说明文中所引用的的论点、公式、数据的来源以表示对前人成果的尊重和提供进一步检索的线索。
要求：
1）文献目录必须规范标注；
2）文末所引的文献都应是论文中使用过的文献，并且必须在正文中标明。
示范小论文：
东北育才学校紧急情况下学生的疏散问题
辽宁沈阳东北育才学校初一李思阳指导老师徐秋慧
摘要：本文针对东北育才学校北校区东楼在紧急情况下学生的疏散问题，在合理的假设下，得出了在学生人数密度较大的教学楼内，学生疏散时间的计算方法和疏散过程中学生拥挤瓶颈现象的解决方法，并提出了采用合理疏散方案来控制疏散过程中学生拥挤的瓶颈现象，使学生能在最短的时间内疏散到安全地带。
关键词：紧急疏散）图1东北育才学校北校区东楼平面图
2.3符号说明
（1）TBX：必需安全疏散时间；TBX是指从危险情况发生起，到人员疏散到安全区域的时间。TBX中BX为“必需”的汉语拼音bi-xu的字头b-x。
（2）TKY：可用安全疏散时间；TKY是指事故发生时，到对人员构成危险时的一段时间。TBX中KY为“可用”的汉语拼音ke-yong的字头k-y。
当可用安全疏散时间TKY大于必需安全疏散时间TBX，疏散成功；当可用安全疏散时间TKY小于必需安全疏散时间TBX，疏散失败。因此，我们要做的就是采用合理疏散方案来控制疏散过程中学生拥挤的瓶颈现象，使学生能在最短的时间内疏散到安全地带。
（3）TWT：危险探测时间；TWT是指疏散人员从察觉到危险现象，到意识到危险存在的一段时间。TWT中WT为“危险-探测”的汉语拼音Wei′xian-Tan′ce的字头W-T。
（4）TYDZ：预动作时间，单位为秒；
（5）TYSY：人员疏散运动时间，单位为秒；
（6）TYS：认识时间，单位为秒；
（7）TFY：反应时间，单位为秒；
（8）L1：学生或老师在教室内运动距离，米，Max（L1）=12米；
（9）Vk：疏散人员的平均运动速度，单位为米/秒；
（10）t教室门口：在教室门口等候时间，单位为秒；
（11）L2：疏散人员在楼道运动距离，单位为米；
（12）L楼梯：楼梯级数，Max（L楼梯）=16×3=48级；
（13）V下楼梯疏散人员下楼梯的平均速度，单位为级/秒；
（14）t楼门口为在楼门口等候时间，单位为秒。
?3.疏散时间模型的建立与求解
3.1疏散时间模型的建立
时间就是生命，在整个疏散过程中，疏散时间是至关重要的。因此建立一个合理的疏散时间模型，了解疏散过程中时间因素的影响是解决疏散问题关键。
从危险情况发生起，到学生疏散到安全区域的时间，称之为必需安全疏散时间TBX。从危险情况发生起，到对疏散人员身体构成危险时的一段时间，称之为可用安全疏散时间TKY。当可用安全疏散时间TKY大于必需安全疏散时间TBX，则疏散成功；当可用安全疏散时间TKY小于必需安全疏散时间TBX，则疏散失败。因此，我们要做的就是采用合理疏散方案来控制疏散过程中学生拥挤的瓶颈现象，使学生能在最短的时间内疏散到安全地带。
影响必需安全疏散时间TBX长短的因素有：疏散人员对危险的认知反应能力、危险信息传播警告系统、疏散人员的行动能力、疏散过程管理等，如图2所示。?
因此，疏散时间模型为：在疏散过程中，紧急情况下的我们将必需安全疏散时间TBX分为危险探测时间TWT、预动作时间TYDZ和人员疏散运动时间TYSY。其中预动作时间TYDZ又包括认识时间TYS、反应时间TFY和危险信息传播时间TXC。即：
TBX=TWT+TYDZ+TYSY=TWT+（TYS+TFY+TXC）+TYSY…………..（1）
人员疏散运动时间还可以细分为：从最远疏散点至安全出口步行所需的时间和出口通过排队时间构成。出口通过排队时间可由区域人员全部从出口通过所需的时间来计算。
根据建筑物的结构特点，可将东北育才学校北校区东楼疏散通道分成6段：1）教室内部；2）教室门口；3）楼道；4）楼梯；5）楼门口。在第2、第5段的出口处，人群通过时可能需要一定的排队时间。于是第k个人的必需安全疏散时间TBX（k）可修正为表示为：
式中，L1为第k个人在教室内运动距离，Max（L1）=12米；Vk为第k个人平均运动速度；t教室门口为在教室门口等候时间；L2为第k个人在楼道运动距离；L楼梯为楼梯级数；V下楼梯第k个人下楼梯的平均速度；t楼门口为在楼门口等候时间。最后一个离开东教学楼的学生所有用的时间就是人员疏散所需的必需疏散时间。
3.2疏散时间模型的求解
假设第三层的特2班教室是起火房间，其中特2班学生直接获得火灾迹象，马上进行疏散，设其反应的滞后时间为60秒，即TWT+TYS+TFY=60秒。东楼人员大部分是学生和老师，火灾信息通过应急广播系统很快传播，因而同楼的其他教室的人员会得到特2班学生及教师的警告，开始决定疏散行动。设危险信息传播的时间为120秒，即TXC=120秒。开始疏散之前，危险探测时间、危险信息传播时间、接受信息学生的认识时间和反应时间等总的滞后时间为180秒。
由于火灾发生在三楼，其对一、二层人员构成的危险相对较小，故下面重点讨论第三层、的人员疏散问题。
必需安全疏散时间TBX除了第一部分TWT+TYS+TFY+TXC之外，就是学生疏散运动时间TYSY，它又分成6个时间段：1）教室内部；2）教室门口；3）楼道；4）楼梯；5）大厅；6）楼门口。
其中第1时间段：教室内部，L1为第k个人在教室内运动距离，Max（L1）=12米，此时教室里有很多桌椅，因此学生运动速度应该乘以系数0.5，即教室平均运动速度为3米/秒×0.5=1.5米/秒，则Max（t1）=12/1.5=8秒。
第2时间段：教室门口，由于每班50名学生，同时涌向教室门口，所以教室门口是疏散过程中的第一个拥挤瓶颈现象发生的地方。此时教师有责任组织学生有秩序地从两个门口疏散：座位为1-4排的从前门疏散，座位为5-6排的从后门疏散，依次快速地离开班级门口。在有秩序地正常疏散情况下，按1.5米宽的门口算，门口人流量=1人/秒，则教室门口滞后时间Max（t2）=50÷1÷2=25秒。
第3时间段：楼道，南北楼道长各为54米。由于有三个楼梯，因此各班应就近选择下楼楼梯，特1班、特2班、少儿1班等三个班级应选择北楼梯下楼，常1班、常2班、常5班应选择南楼梯下楼，其余班级选择中间楼梯下楼。
这样特1班、特2班、少儿1班在楼道运动的距离为Max（L2）=27米，此段时间花费max（t3）=27÷3=9秒。
常1班、常2班、常5班在楼道运动的距离为Max（L2）=54+27=81米，因为南楼梯没有出口，他们需通过中间大门，因此在一楼有一段楼道运动，此段时间花费max（t3）=81÷3=27秒。
其余班级在楼道运动的距离为Max（L2）=27米，此段时间花费max（t3）=27÷3=9秒。
第4时间段：楼梯，楼梯级数为L楼梯=48级，下楼梯的平均速度V下楼梯=3级/秒，则max（t4）=48÷3=16秒。
第五时间段：楼门口，由于全部学生都涌向楼门口，所以楼门口是疏散过程中的第二个拥挤瓶颈现象发生的地方。此时学校领导应提前派人在北、西楼门口组织师生有序疏散。在有秩序地正常疏散情况下，按3米宽的门口算，门口人流量=5人/秒，则教室门口滞后时间Max（t2）=550÷5÷2=55秒。
学生疏散运动时间Max（TYSY）=8+25+27+16+55=131秒。
学生必需安全疏散时间TBX=180+131=311秒=5分11秒
3.3可用安全疏散时间
一般情况下，可用安全疏散时间TKY与火灾危险状态有关。
火灾的危险状态[1]可用1）热辐射通量；2）烟气温度；3）烟气中有毒气体浓度来表示。
1）热辐射通量是指热辐射到人体皮肤表面的有效热值的数量。实验表明，当人体接受的热辐射通量超过0.25W/cm2并持续3分钟以上时将造成严重灼伤。
2）烟气温度：当上部烟气层温度高于180oC时，将对人体皮肤造成严重伤害；当烟气层下降到与人体直接接触时，烟气层温度高于100oC时，会使人直接烧伤。资料显示，在71oC的烟气中待60秒或在82oC的烟气中待30秒、在100oC的烟气中待15秒就可以造成皮肤的二级烧伤。
3）有毒气体浓度：在烟气层下降到人员呼吸高度1.5米左右时，CO浓度达到0.25%就可以对人构成严重伤害。
此外，缺氧窒息和辐射热也是致人死亡的主要因素，研究表明：空气中氧气的正常值为21％，当氧气含量降低到12％～15％时，便会造成呼吸急促、头痛、眩晕和困乏，当氧气含量低到6％～8％时，便会使人虚脱甚至死亡；人体在短时间可承受的最大辐射热为2.5kW/m2（烟气层温度约为200℃）。
???可用安全疏散时间是一个不确定值，与火灾程度等级、教学楼建筑材料及教室桌椅门窗材料耐火性能等因素有关。它与火灾程度等级成反比，越严重的火灾，可用安全疏散时间越短。如果教学楼建筑材料及教室桌椅门窗材料耐火性能不好，易燃且含有害成分，则可用安全疏散时间越短。
3.4模型补充说明：
以上的分析是按一种很理想的条件进行的，并没有进行任何修正。实际上人在火灾中的行为是很复杂的，尤其是没有经过火灾安全训练的人，可能会出现盲目乱跑、逆向行走等现象，而这也会延长总的疏散时间。????该模型是一个人员疏散分析模型的基础，目前属于理论上的模型，以上的计算结果都是通过手算计算得到的。模型中的人员运动速度是作者本人通过多次在不同人员密度条件下，试验而得到的。而预测的疏散时间是根据建筑物的结构特点和人员运动速度计算而得到的。在该例中起火教室的反应滞后时间为60秒?，这是从开始着火时刻算起的。预移动时间与不同类型的建筑物、建筑物中人员的自身特点和建筑物中的报警系统有着很大的关系，它是一个很不确定的数值。教室门口和楼门显然是制约人员疏散的一个瓶颈。
另一方面，学校还应多增加一些消防设施，每个教室都该配备灭火器；学校还应加强学生消防意识的培养和教育，形式可以多样化、新颖化，比如做报告，上实践课，做消防演习等等。让他们了解一些消防逃生的常识，学会一些消防器材的使用，并让他们对自己所使用的教学楼有充分发认识和了解，一旦发生火灾好知道采取何种疏散方法才能在最短的时间内到达安全区域。
附件：火灾自救口诀
熟悉环境，暗记出口。通道出口，畅通无阻。扑灭小火，惠及他人。明辨方向，迅速撤离。不入险地，不贪财物。简易防护，蒙鼻匍匐。避难场所，固守待援。缓晃轻抛，寻求援助。跳楼有术，虽损求生。公安部消防局编中国火灾统计年鉴1997年09月韩占先编著火灾科学与消防工程2001年04月
杨希伟学校疏散时发生踩踏2005年11月28日02:20合肥报业网-江淮晨报http://www.sina.com.cn—50000)×40％
=25000元
从以上这些例子我们发现，在超额累进税率F，分段计税确实比较复杂。我们能不能找出简单一点的计算方法呢?
(二)化简数学模型
我们将上面的分段函数进行化简：
1、如果X≤20000
则Y=200％X，这已经很简单了，不需要再化简。
2、如果50000≥X＞20000
则Y=20000×20％+(X-20000)×30％=30％X-2000
3、如果X＞50000
则Y=20000×20％+(50000-20000)×30％+(X-50000)×40％
=40％X一7000
分析上述三个化简后的式子，我们可以得出以下两个结论：
1、应纳税额Y等于应纳税所得额X与相应税率Z的乘积减去一个常数。假设此常数为C，则Y=XZ-C。
2、可以把税率表(表1)改写成表2
表2演出收入个人所得税税率表
级数 X(每次应纳税所得额) Z(税率%) C（常数） 1 不超过20000元（含）的部分 20 0 2 超过20000元至50000元（含）的部分 30 2000 3 超过50000元的部分 40 7000
上述结论告诉我们，计算个人所得税时，应先根据M计算出X，再根据X找出相应的Z和C，代入关系式Y=XZ-C，就可以直接得出结
果了。
数学模型的应用：
问题3资料同问题1。
1、∵M=3000元＜4000
∴X=M-800=3000-800=220元
2、∵X＜20000，则Z=20％，C=O
∴Y=XZ-C=2200×20％-0=440元
问题4资料同问题2。
1、∵M=100000元＞40000元
∴X=0.8M=0.8×100000=80000元
2、∵X＞50000,则Z=40%,C=7000
∴Y=XZ-C=80000×40%-7000=25000元
这样计算就简单多了!
(三)再化简数学模型
经过化简后，计算确实简单了许多，但它还需要转个弯，M的前提下，只有换算成X后才能计算税款。能不能直接用M来：
答案是肯定的。因为M与X之间存在着密切的关系。下面我佃
1、当M≤4000吋．则X=M-800，Z=20％．C=0，代入Y=XZ-C
那么，Y=(M一800)×20%=0.2M-160
令Y=0，即0.2M-160=0,得M=800
所以，M的取值范围为：800＜M≤4000
即当800＜M≤4000时，Y=0.2M-160
2、当M＞4000时，X=O.8M，按照X的取值范围分三种情况
(1)如果X≤20000，则Z=20％，C=O，代入Y=XZ-C，
那么，Y=20%X-0=0.2×0.8M=0.16M
令X=20000,得M=X÷0.8=20000÷0.8=25000
所以,M的取值范围为4000＜M≤25000
即当4000＜M≤25000时，Y=0.16M
(2)如果50000≥X＞20000,则Z=30%，C=2000，代入Y=XZ-C
那么，Y=30%X-2000=0.3×0.8M-2000=0.24M-2000=0.24M-2000
令X=50000，得M=X÷0.8=50000÷0.8=62500
所以,M的取值范围为：25000＜M≤62500
即，当25000＜M≤62500时，Y=0.24M-2000
20000，得M：X÷O8：20000÷08：25000
(3)如果X＞50000,则Z=40%,C=7000,代入Y=XZ-C
那么，Y=40%X-7000=0.4×0.8M-7000=0.32M-7000
M的取值范围为M＞625000
即，当M＞625000时，Y=0.32M-7000
通过观察上述式子，我们可以发现，他们都变成了一次函数:Y=aM-b。将上述推导结果整理成下表（表3）
表3演出收入个人所得税计税系数表
级数 X(每次总收入) a b 1 超过800元至4000元（含）的 0.2 160 2 超过4000元至25000元（含）的 0.16 0 3 超过25000元至62500元（含）的 0.24 2000 4 超过62500元的 0.32 7000 问题5：资料同问题1
∵M=3000元＜4000，则a=0.2，b=160
∴Y=aM-b=0.2×3000—160=440元
问题6:资料同问题2
∵M=100000元，M＞62500，则a=0.32，b=7000
∴Y=aM—b=0.32×100000—7000=25000元
这样的计算就更简单了!
二、由举办方代付税款的数学模型
问题2中乙到杭州演出一场，总收入为100000元，缴了25000元个人所得税后，税后净收入只有75000元了。她觉得报酬太低，不合算。于是丙到演出举办单位签订协议，要求演出的税后净收入为100000元，即个人所得税由演出举办者承担．那么，举办者代为缴纳的个人所得税是不是25000元呢?
(一)税法规定的数学模型
假设：税后净收入为N，举办者为演员代付款为Y，演出举办方实际支出为M，M也就是演出者的总收入。显然M=Y+N。这意味着计算代付税款时，应当将举办者支付给演员的的税后净收入N(或称不含税支付额)换算为总收入M，按规定扣除费用后得巾应纳税所得额X，然后按规定税率Z计算出应代付的个人所得税款Y。
现在N是已知条件，我们只要建立起以N为自变量、丫为因变量的函数关系式，并且将表面化中的X换算成N，就可确定Z，计算出Y。
根据费用扣除规定和表面化的信息，推导如下：
1、当M≤4000时，X=M-800,将X=M-800，代入Y=XZ-C
那么，Y=（M-800）Z-C=（Y+N-800）Z-C，经整理可得：
Y=
下面确定N的取值范围。
当M≤4000时，Z=20％,C=0
令Y=0，即=0，则N=800。
令M=4000，即Y=XZ—C=(4000—800)×20％-0=640元，
N=M—Y=4000—640=3360元。
即：与M=4000元相对应值为3360元。
也就是说,当3360≥N＞800时，按Y=来计算税款。
此时，Z=20％，C=0。
2、当M＞4000时，X=0.8M
那以，Y=XZ-C
=0.8MZ-C
=0.8(Y+N)Z-C
经整理可得:
Y=
下面分别就X的三种取值范围来确定N的对应取值范围。
（1）当X=20000元时，Y=XZ-C=20000×20％-0=4000元
M=X÷0.8=20000÷0.8=25000元
N=M-Y=25000-4000=20111元。即：与X=2000元相对应的N值为21000元。
也就是说，当21000≥N＞3360时，按Y=来计算税款。此时，Z=20%,C=0。
（2）当X=50000元时，Y=XZ-C=50000×30%-2000=13000元
M=X÷0.8=50000÷0.8=62500元，N=M-Y=62500-13000=49500元，即：与X=50000元相对应的N值为49500元。
也就是说，当49500≥N＞21000时，按Y=来计算税款。此时，Z=30%,C=2000。
（3）显然，当N＞49500时，按Y=来计算税款。此时，Z=40%,C=7000元。
根据上述推导，可以把税率表（表2）改写成下表（表4）
表4不含演出收入适用税率表
级数 N(不含税演出收入) Z（税率%） C（常数） 1 超过800元至3360元（含）的 20 0 2 超过3360元至21000元（含）的 20 0 3 超过21000元至49500元（含）的 30 2000 4 超过49500元的 40 7000 问题7：丙演员到杭州演出一场，按照合同规定，举办方应支付歌星报酬3000元，与其报酬相关的个人所得税由举办方代付。计算应代付的个人所得税税额。
1、∵N=3000＜3360，则Z=20%，C=0
2、∴Y===550元
现在，我们知道了由演员自己缴税和演出举办方代付税款的计算方法是不一样的。但是，这样的计算比较复杂，能否再简化点呢？
(二)化简数学模型
观察表4可知，Z和C虽然随着N的变化而变化，但当N确定后，
Z和C就变为常数了。所以，我们将Z和C代入式子
Y=或Y=就可以进行化繁为简了。
1、当N≤3360时，Z=20％，C=0
那么，Y===
2、当21000≥N＞3360时，Z=20％，C=0
那么，Y==
3、当49500≥N＞21000时，Z=30％，C=2000
那么，Y==
4、当N＞49500时，Z=40％，C=70000
那么，Y==
通过观察上述式子，我门可以发现，它们都变成了一次函数：
Y=An-b。
将上述推导结果整理成下表(见表5)
表5不含演出收入计税系数表
级数 不含税劳务报酬收入 A B 1 未超过3360元（含）的 200 2 超过3360元至21000元（含）的 0 3 超过21000元至49500元（含）的 2631.58 4 超过49500元的 10294.12
数学模型的应用：
问题8：资料同问题7
1、∵N=3000＜3360，则a=，b=200
2、Y=元—200
结论
综上所述，不论是由演出者付税，还是由演出举办者代付税，都可以运用Y=Ax+b来计算个人所得税。只要稍微懂点函数知识的人，利用本文介绍的方法，计算个人所得税就易如反掌了。
F1之进站策略
沈阳市东北育才学校初一数学1班：林奕峰指导教师：徐秋慧
一、背景与问题的提出
F1，中文称为"一级方程式锦标赛"，是英文FormulaGrandPrix的简称，目前这项比赛的正式全名为FIAFormulaWorldChampionship(一级方程式赛车世界锦标赛)。一级方程式锦标赛是由国际汽车运动联合会从1950年开始举办的，为何叫做Formula（方程式）赛车呢？方程式其实就是"规则与限制"的意思，参加F1比赛的队伍必须在FIA所制订的如方程式般精确的规格与规则下制造赛车和进行比赛；而F1是FIA所制订的方程式赛车规范中等级最高的，因此以“1”命名。
目前，F1是许多人所关注的体育项目，其魅力来自于精彩激烈的比赛以及车手的影响力。今年更是舒马赫及法拉利车迷最为喜悦的一年。舒马赫继续着自己良好的势头，未满足于已经夺取的六个总冠军，而是在今年已结束的5站大奖赛中全部摘得桂冠。这不仅延续了其本人在F1迷心目中和西班牙卡塔伦亚赛道上的"车王"地位，而且为自己的第二百场分站赛夺取了第75个冠军。这无疑是一个骄人且让人难以置信的成绩！身为舒马赫的忠实车迷，在欣喜之余，我也冷静下来仔细考虑了一下：舒马赫为何会屡屡夺魁呢？
我曾记得有人说过：“F1比赛中，要想取胜，七分靠战车，二分凭策略，一分比技术”。在当今赛车制造技术不相上下的情况下，良好的战术安排已成为决定比赛胜负的关键。而这种战术安排中，进站策略无疑是最重要的一环。在看过极具戏剧性的西班牙大奖赛后，不禁心中提出一个疑问：在卡塔伦亚赛道上应采取怎样的进站策略才能取胜呢？
二、下面请让我以本年度F1西班牙大奖赛为例作具体的分析。
赛道及战绩的具体情况
1.赛道及参数示意图：
弯道名称介绍：1、埃尔夫(Elf)；2、雷诺(Renault)；3、里普索尔(Repsol)；4、斯特(Seat)；5、坎普萨(Campsa)；6、卡特斯克亚(LaCatxa)；7、萨巴德尔(BanoDeSabadel)
2.西班牙大奖赛正赛成绩一览表：
名次 车号 车手 车队 国籍 轮胎 时间 进站次数 1 1 迈-舒马赫 法拉利 德国 普利斯通 1:27:32.841 3 2 2 巴里切罗 法拉利 巴西 普利斯通 +13.290 2 3 7 特鲁利 雷诺 意大利 米其林 +32.294 3 4 8 阿隆索 雷诺 西班牙 米其林 +32.952 3 5 10 佐藤琢磨 BAR 日本 米其林 +42.327 3 6 4 拉-舒马赫 威廉姆斯 德国 米其林 +1:13.804 3 7 11 费斯切拉 索伯 意大利 普利斯通 +1:17.108 2 8 9 巴顿 BAR 英国 米其林 -1lap 3 9 12 马萨 索伯 巴西 普利斯通 -1lap 2 10 5 库特哈德 迈凯轮 英国 米其林 -1lap 3 11 6 雷科南 迈凯轮 芬兰 米其林 -1lap 3 12 14 韦伯 美洲虎 澳大利亚 米其林 -1lap 3 13 16 达-马塔 丰田 巴西 米其林 -1lap 3 14 19 潘塔诺 乔丹 意大利 普利斯通 退出(52圈) 15 15 克莱恩 美洲虎 奥地利 米其林 退出(47圈) 16 3 蒙托亚 威廉姆斯 哥伦比亚 米其林 退出(44圈) 17 17 潘尼斯 丰田 法国 米其林 退出(34圈) 18 18 海德菲尔德 乔丹 德国 普利斯通 退出(34圈) 19 20 布鲁尼 米纳尔迪 意大利 普利斯通 退出(32圈) 20 21 鲍姆加特内 米纳尔迪 匈牙利 普利斯通 退出(18圈)
3.西班牙大奖赛排位赛成绩一览表：
名次车号车手车队轮胎成绩时速
1 1 舒马赫法拉利普利司通1''15"022222.031Km/h
2 3 蒙托亚威廉姆斯米其林 1''15"639 +0''00"617
3 10 佐藤琢磨BAR米其林 1''15"890 +0''00"868
4 7 特鲁利雷诺米其林 1''16"144 +0''01"122
5 2 巴里切罗法拉利普利司通 1''16"272+0''01"250
6 4 小舒马赫威廉姆斯米其林 1''16"293+0''01"271
7 17 潘尼斯丰田米其林 1''16"313 +0''01"291
8 8 阿隆索雷诺米其林 1''16"422 +0''01"400
9 14 韦伯美洲虎米其林 1''16"514 +0''01"492
10 5 库塔迈凯轮米其林1''16"636 +0''01"614
11 16 达-马塔丰田米其林 1''17"038 +0''02"016
12 11 费斯切拉索伯普利司通 1''17"444 +0''02"422
13 6 雷克南迈凯轮米其林1''17"445 +0''02"423
14 9 巴顿BAR米其林 1''17"575 +0''02"553
15 18 海德菲尔德乔丹普利司通 1''17"802 +0''02"780
16 15 克莱恩美洲虎米其林 1''17"812 +0''02"790
17 12 马萨索伯普利司通 1''17"866 +0''02"844
18 20 布鲁尼米纳尔迪普利司通 1''19"817 +0''04"795
19 19 潘塔诺乔丹普利司通1''20"607 +0''05"585
20 21鲍姆加特纳米纳尔迪普利司通 1''21"470 +0''06"448
三、建模与模型分析
1、应选用早进站还是晚进站的策略
在本年度的西班牙大奖赛中，雷诺车队的车手特鲁利凭借极其优异的发车在第一次进站加油前一直处于首位，法拉利的舒马赫仅以0.5秒之差位居次席。当比赛进行到第9圈时，特鲁利率先进站，1圈之后，舒马赫也进站。特鲁利进站加油时间为5.9秒，舒马赫则用了6.7秒，也就是说舒马赫比特鲁利慢了（0.5+6.7-5.9=）1.3秒。而等到舒马赫出站时，红色法拉利的舒马赫却刚好位于特鲁利之前，这不禁使人费解。事实上——
一方面，巴里切罗的赛车发车时与舒马赫加油量的差恰好为特鲁利的赛车加油后与法拉利的轻车油量的差，而他们三人车速几乎相同，又由表3知舒马赫与巴里切罗的赛车发车时相差1.250秒，故可得特鲁利的赛车加油后每圈约比法拉利的轻车（包括舒马赫）多用时1.250秒。
另一方面，由表3可知快车与慢车(慢车是指排位未进入前8名的车)单圈成绩均相差1.4秒以上，至少约为1.5秒。而特鲁利出站后与慢车缴在一起，慢车又不能在第一个弯角——“埃尔夫”处全部让车，必须等到进入下一个直道时才能让车。由出站到雷诺弯据粗略统计约长1223m，则这段距离使特鲁利再次浪费了一段时间。
据表1若以赛道所能承受的最快车速飞奔，每圈平均时速与出站后到雷诺弯间平均时速几乎相同，又因为当时舒马赫前面无赛车，也就是说舒马赫可以发挥最快车速(即222.031km/h)，所以可以算出特鲁利从出站到雷诺弯之间相对于舒马赫所浪费的时间为
（1）
注：1°4.627km指的是整个赛道长，下同；
2°“×1000”表示单位换算，下面所提到的“60”、“1000”相同。
由此（1.250+0.396>1.3）可见，舒马赫在赛道上多跑一圈再进站绝对可以挽回他差特鲁利1.3秒的劣势。也不难得出，在成绩相近时，晚进站策略会占有极大的优势。
2．首次进站应在何时
有人会说，虽然是舒马赫晚进站的策略使他占到了便宜，但为什么特鲁利出站后刚好与慢车缴在一起，而舒马赫则不然呢？
我们可以这样计算一下：
首先，由表3可知特鲁利的赛车每圈比慢车少用时0.4秒，在前9圈（即特鲁利进站前）慢车落后于特鲁利，再加上发车时领先慢车的8个车位（约有5秒钟的时间），共至少可领先慢车8.6秒，特鲁利赛车的车速可计算为
（2）
注：1°“60+16.144”由表3中的“1`16``144”所知，以下类同；
2°“+5.5”是分析表2得出的赛车在正赛与排位赛上的成绩差。这个差距有两方面原因，一是车手体能问题，二是前有慢车、后有追兵，既需要超车、又要阻止后面车辆超越自己，所以每圈会浪费“5.5”秒。下面“6”和“5”类同，这数据依车手驾车水平粗略估计
同理可算出舒马赫的车速为
（3）
最快的慢车的车速为
（4）
这样，特鲁利进站前领先最快的慢车
（5）
由于舒马赫前9圈在特鲁利之后，因此他无法跑出自己的最快速度，而是基本上以特鲁利的车速行进，只有第10圈时才发挥自己的最高车速，因此他进站时领先慢车
（6）
再有，加油站长为400m，进站后限速100km/h，再算上特鲁利当时加油换胎所用的5.9秒钟，可求出他进站一次大约用时
（7）
于是，慢车用这段时间可以追赶特鲁利
（8）
而舒马赫进站加油换胎耗时6.7秒，所以他进站一次共用时间
（9）
在这段时间内慢车追赶舒马赫
（10）
从而，出站后舒马赫可位于最快的慢车后
（相当于1~2个车位）（11）
而特鲁利落后最快的慢车
（相当于3~4个车位）（12）
这样，舒马赫几乎可以超过其余所有未进站的慢车。即使舒马赫落后于一两辆赛车，由于前面为直道，舒马赫为快车，也可使前面的赛车在“埃尔夫”弯角前让车；而特鲁利出站后则位于慢车之中，无法在“埃尔夫”弯角前使慢车全部为其让车，必然影响其车速。
上述内容不仅解释了为何特鲁利出站后位于慢车之中，而舒马赫则位于慢车之前，而且说明在卡塔伦亚赛道上，对快车而言第10圈进站优于第9圈进站。
事实上，第10圈进站不仅优于第9圈进站，也是最佳进站时间。因为，如果快车第11圈或第12圈进站，当然可以超越所有慢车。但这样的话，车进站越晚，随着剩下的圈数的减少，工作人员观察赛道和制定策略的时间就越短，往往也就越难调整以后的进站加油时间。且如果第10圈进站，而出站后第1个弯角——“埃尔夫”前最快的慢车不会让车，则快车与其时速相差不大。这样，慢车不可能影响快车的时速。综上所述，第10圈为首次进站最佳时间。
3．采取两次进站策略还是三次进站策略。
有些车迷看到法拉利的巴里切罗采用两次进站策略而由排位赛的第五名升到了正赛的第二，所以不免会认为两次进站的策略或许会比三次进站策略更好。其实不然。我们可以这样计算：
ⅰ巴里切罗两次进站，平均每次需加油9.5秒，其它快车均为三次进站，平均每次需加油7秒，即巴里切罗平均每次加油时间约比其它快车多用2.5秒。
ⅱ按比例计算，巴里切罗在比赛过程中有近17.1圈比其他快车加油后的速度进行。
ⅲ由表3结合表2计算得出，巴里切罗加油后跑完一圈至少需用
60+16.272+5.5+1＝82.772秒（13）
注：“1”为加油后赛车约比发车时多用的时间，此为估值。由当时比赛情况以及表2综合统计得出。
其余快车跑完一圈大致需用60+16.144+5.5＝81.644秒（14）
所以巴里切罗比其余快车车手每圈慢近（82.772－81.644＝）1.128秒的时间。
ⅳ综合计算得，巴里切罗至少要比舒马赫多用时
1.128×17.1+23.9×2－21.1×3＝3.789秒（15）
注：其中23.9由（7）式同理所得；21.1由（9）式得出。
这还仅仅是最优化计算，尚未计算巴里切罗发车时落后于舒马赫的时间以及他在赛道上比对手多跑的400多米长的距离所需要的时间。所以说少进站一次的策略虽然也不错，但这样就无法夺得冠军。
四、结论与实例验证
经过以上分析，所得结论如下：
1、尽可能比竞争对手晚些时间进站，这一策略适用于任何赛道。实例：①今年的圣马利诺大奖赛中，舒马赫从发车起便一直位于巴顿之后。但由于巴顿率先进站，舒马赫在赛道上争取了足够的时间，最终以绝对优势夺取了冠军。②2004年度摩纳哥大奖赛上，舒马赫发车时位于第5位，正是由于他比其它快车均晚进站，使得出站后舒马赫越至第3位。虽说最终由于舒马赫车轮抱死，被蒙托亚撞出赛道，未能续写辉煌，但这个战例也说明了晚进站具有极大优势。
2、在比赛中，首次进站应在跑完10圈之后，这种方案适用于与卡塔伦亚赛道类似的赛道上比赛。实例：1995年10月1日，德国大奖赛中，舒马赫便是采用了三次进站的策略，并且在第10圈时首次进站，最终夺取了分站赛的冠军。在其余赛道比赛时，进站时间也可用公式进行计算。
注：21.4为进一次站所需时间（秒）；
表示慢车车速(m/s)；
表示快车与慢车的单圈成绩差（秒）；
400为加油站长（m）；
21.4－400/V 表示的是进站一次比慢车未进站多用的时间；
表示进站最佳时间的准确数，然而此往往为小数。赛车不可能在最佳时间进站，必采取进一法，否则快车会夹与慢车之间。当然，赛车也可比公式所得的数早一两圈进站，但这需要考虑当时赛道情况以及出站后至第一个弯角前，慢车是否会位于快车之前。
通过“注”可知，原公式能求得应在何时进站最佳。实例：2004年度马来西亚大奖赛上，舒马赫在处于领先情况下，第9圈时首次进站，最终夺得冠军。我们可以用上面的公式做一下解释：当时排位赛第9名的库塔与舒马赫每圈的差距为1.528秒，即＝1.528。又知库塔排位赛成绩为1分34秒602，赛道长5.543千米，所以库塔在正赛时每秒钟成绩为
（其中的“6”与（2）式同理）
即＝55.098，利用公式得舒马赫可于第10圈或10圈之前进站。当时由于舒马赫位于首位，前几圈越跑越快，故选取了第9圈进站的策略。而正是这一良好的进站方案，使他毫无争议的夺得了冠军。
3、应采取三次进站的策略，此策略适用于与卡塔伦亚赛道类似的赛道上比赛。实例：①2004年度巴林大奖赛上舒马赫正是凭借着此策略将领先优势一直保持到比赛结束。②在2004年度首站澳大利亚大奖赛上舒马赫与巴里切罗同是采取3次进站的策略，保持了排位赛上的优势，为法拉利车队包揽了前两名。
五、总结
由于我是一名初一的学生，知识与能力方面尚有缺欠，再加上研究赛程时须考虑当时风向、风速以及赛道状况，还有就是比赛中汽车是进行非机械运动，车速随时变化，耗油量也不尽相同。所以论文中有不完善的地方请读者能给予帮助与支持，不吝赐教，批评指正。
通过这次论文的写作，我受益匪浅。不仅培养了我们应用数学知识的能力，而且使我感受到了运动无处不在，数学无处不在。这次建模活动对我的素质教育的发展无疑是大有裨益的。
是双赢还是两难？
——公交车IC卡、电子月票和现行公交收费的比较
沈阳市东北育才学校初二（少儿班）石崝
一．背景与建模目的
以下消息来源于沈阳市《时代商报》：
据沈阳市客运集团透露，因为沈阳公交月票的价位低，价格与价值严重背离，所以造成了“投入”与“收取”的严重失衡。以2002年为例，月票全年发售了634.7万张，月票的全年总收入为13563万元，这样，月票的平均人次收入为0.317元，而人次乘车支出是0.713元，就是说，持月票乘车每人次公交就亏损0.396元，一笔账算下来，仅月票一项，全年亏损额就高达17221万元。另外，“开线增车”无疑也加大了沈阳公交经营亏损额度。两年来，沈阳又新开线路30条，增加新车辆1559台，投资额达3.4亿元，这些钱全部是由公交自行贷款解决的。新开的公交线路和增加的车辆虽填补了市内公交空白，改善了市民的乘车条件，实现了较好的社会效益，但却加大了公交经营的负担，造成公交亏损2518万元。
IC卡、电子月票制度，这在城市中成了一个热点话题。为什么使用IC卡和电子月票？IC卡能达到双赢的目的吗？本文将探讨IC卡、电子月票等能在多大程度上扭转公交业亏损的状况。这是一个相当复杂的实际问题，因此本文将通过假设进行适当简化。
二．采样与假设
采样1：2004年5月15日15：20，215车.
站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 总 上 28 6 7 13 10 4 7 11 3 4 5 11 4 5 9 2 0 19 4 2 0 0 154 票 20 4 5 5 7 2 4 7 1 3 3 6 4 2 7 2 0 17 3 2 0 0 104 币 8 2 2 8 3 2 3 4 2 1 2 5 0 3 2 0 0 2 1 0 0 0 50
采样2：2004年5月26日07：00，274车.
站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 上 5 4 4 7 1 1 3 3 0 2 30 票 4 4 3 6 1 1 3 3 0 2 27 币 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 3 采样3：2004年5月26日15：50，225车.
站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 总 上 22 17 18 9 4 2 9 9 9 6 0 1 1 2 1 0 2 0 1 113 票 10 8 12 4 4 1 4 6 4 4 0 1 1 2 0 0 2 0 1 64 币 12 9 6 5 0 1 5 3 5 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 49 采样4：2004年5月26日13：10，220车.
站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 总 上 7 7 3 9 26 5 11 2 4 2 4 3 2 7 92 票 5 6 3 4 22 5 2 1 4 1 2 3 2 6 66 币 2 1 0 5 4 0 9 1 0 1 2 0 0 1 26 采样5：2004年5月26日14：00，环路车.
站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 总 上 25 1 5 2 4 7 2 13 13 6 17 11 2 8 11 10 1 10 5 33 14 5 3 7 6 2 1 224 票 19 1 4 2 4 5 0 8 8 4 12 8 2 3 7 3 1 6 5 23 12 4 1 6 4 2 1 155 币 6 0 1 0 0 2 2 5 5 2 5 3 0 5 4 7 0 4 0 10 2 1 2 1 2 0 0 69 采样6：2004年5月26日12：20，210车.
站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 总 上 0 5 10 0 1 3 4 2 0 0 8 0 0 1 1 35 票 0 4 6 0 1 3 4 2 0 0 7 0 0 1 1 29 币 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6 采样7：2004年5月26日11：10，225车.
站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 总 上 2 4 17 6 1 2 3 4 3 1 3 12 1 12 1 4 1 77 票 1 3 6 2 0 1 3 2 0 1 1 10 0 5 1 2 0 38 币 1 1 11 4 1 1 0 2 3 0 2 2 1 7 0 2 1 39 采样8：2004年5月26日17：00，231车.
站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 总 上 3 3 22 2 0 16 7 13 8 8 5 12 12 4 6 9 7 14 12 3 166 票 3 3 16 2 0 12 5 10 8 6 3 10 12 4 3 8 7 12 9 1 134 币 0 0 6 0 0 4 2 3 0 2 2 2 0 0 3 1 0 2 3 2 32 采样汇总：可得持月票者/投币者=9/4.
采样号 1 2 3 4 5 6 7 8 总 上车数 154 30 113 92 224 35 77 166 891 月票数 104 27 64 66 155 29 38 134 617 投币数 50 3 49 26 69 6 39 32 274 假设一：采样具有一般性，能够代表实际乘车人群投币和使用月票人数的比率；
假设二：按采样，假设投币乘车者包括乘车少的人、外来人口等；
假设三：用月票的人可按以下几种情况划分（这里忽略了一些情况，忽略原因将在以下建模中说明）：
1．换车次数A：0、1；
2．每天乘车次数B：2、4；
3．每月乘车天数C：22（即只在工作日乘车）。
假设四：单线乘车均购买单线车票，20元；换乘者均购买“满天飞”车票，50元；
假设五：以下数据同样来源于沈阳市《时代商报》：
……据权威人士测算，普票将有20%的客量转移A、C更大的乘客，理论投币或刷卡金额与实际每月花费差值更大，这对结论影响不大，因此本文不特殊考虑。
2．使用电子月票乘车（需加上每月1元的电子月票折旧费）：
1）A=0，B=2，C=22；实际每月花费30+1=31元，相当于投币44元；
2）A=0，B=4，C=22；实际每月花费30+1=31元，相当于投币88元；
3）A=1，B=2，C=22；实际每月花费70+1=71元，相当于投币88元；
4）A=1，B=4，C=22；实际每月花费70+1=71元，相当于投币176元。
分析可知：电子月票仍将给乘客带来很大利益，但因花费增加，将流失部分乘客。他们主要是1类和3类乘客，可能选择步行或骑自行车出行。
3．购买IC卡乘车（需加上每月1元的IC卡折旧费）：
1）A=0，B=2，C=22；实际每月花费0.9×44+1=40.6元；
2）A=0，B=4，C=22；实际每月花费0.9×88+1=80.2元；
3）A=1，B=2，C=22；实际每月花费0.9×88+1=80.2元；
4）A=1，B=4，C=22；实际每月花费0.9×176+1=159.4元。
分析可知：IC卡对目前使用月票的乘客来说受益小，他们可能会继续使用电子月票。
（二）模型分析
根据沈阳市客运集团发布的数据：“2002年，月票全年发售了634.7万张，月票的全年总收入为13563万元，这样，月票的平均人次收入为0.317元，而人次乘车支出是0.713元，就是说，持月票乘车每人次公交就亏损0.396元，一笔账算下来，仅月票一项，全年亏损额就高达17221万元..7
解得：X=615，Y=20
则购买单线电子月票人次为X1=615万人次，收入为30×615=18450万元；
购买“满天飞”电子月票人次为Y1=20万人次，收入为70×20=1400万元，月票增收18450+1400－13563=6287万元。
根据总亏损额及人次亏损额，可得持月票人次为17221/0.396=43487万。
根据采样，现金/月票=4/9，目前投币乘车人次为：43487×（4/9）=19328万人次，目前投币收入为19328万元。
假定IC卡用户人数为现投币者的50%，则公交公司乘客现金（投币）收入为：19328万元×（1—20%）=15462.4万元，投币收入减少19328－15462.4=3865.6万元；
IC卡收入为：19328万元×50%×0.9=8697.6万元，IC卡和电子月票合计增收8697.6+6287=14984.6万元。
合计增收：14984.6－3865.6=11119万元。
四．结论及意义
由此算法可以得到：公交车IC卡、电子月票制度的确可以在很大程度上扭转现行月票制度造成的公交企业大幅度亏损的状况，原因如下：
1）据权威人士测算，同期增加的支出也不过4383万元，减少的亏损额近七千万元，这还不算提高公交管理水平减少的亏损额；
2）在建模过程中有很多数据无法进行完全统计，比如年客流量，这类数据都是按保守算法处理的；
3）假设1、假设5以及第三部分提到的假设“IC卡用户数目为现投币者的50%”同样比较保守。实际上，这三个假设每有一点变动都有可能在较大程度上影响到合计增收的情况；
4）随着沈阳城市的进一步开放和发展，市内将有越来越多的流动人口，这将大大增加公交车的投币收入和新开线收入（本文同样未考虑，但实际影响也不小），并促进公交业的进一步改革。
总之，无论如何，公交车IC卡、电子月票都能够使该行业增收，使公交有能力通过深化改革和强化管理进入市场，并降低成本，解决微亏问题IC卡、电子月票会使大部分乘客支出增多，但公交业的发展也会便利市民出行，为城市发展注入活力。因此，从长远来说，公交车IC卡、电子月票制度将会实现双赢。
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B
C
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B
C
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F
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
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E
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图2(a)
A
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图2(b)
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