A12标准奥数教程
枚举法解应用题
【知识要点和基本方法】
一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。
【例题精选】
例1.用数字1，2，3可以组成多少个不同的数字？分别是哪几个数？
分析与解根据百位上数字的不同，我们可以把它们分为三类：
第1类：百位上的数字为1，有123，132；
第2类：百位上的数字为2，有213，231；
第3类：百位上的数字为3，有312，321。
所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数。
例2.小明有面值为5角、8角的邮票各两枚。他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）
分析：我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类——一枚、二枚、三枚、四枚。
例3.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？
分析：共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的重量，一一列举这三种情况。
例4.课外小组组织30人做游戏，按1－30号排队报数。第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应是第几号？
分析：根据题目的特点，先用排列法把题中的条件、问题排列出来，再用枚举法完成题目的要求。
例5.用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽部不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？
分析：各种长方形的长和宽之和都是48÷2＝24（厘米）。两数的和一定，当两数越接近，它们的乘积越大，当两数相等的时候，乘积最大。
例6.商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的。一顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方法？
分析买9千克饼干要求不开箱，从题目告诉的条件来看，并不难做到，但问题是求“有多少种发货方法？”这意味着要求无遗漏、无重复的把各种发货的可能性都考虑到，显然用枚举法是一种好方法。
用列表的形式，为了避免重复、遗漏，可先取5千克重的箱，再取2千克重的箱，最后取1千克重的箱。
例7将三个相同的小球放入A、B、C三个盒子中，一共有多少种方法？
分析：三个球相同，所以就考虑盒子，分别有下面这样的方法：0，0，3；0，1，2；0，2，1；0，3，0；3，0，0；1，2，0；1，1，1；2，1，0；2，0，1；1，0，2；一共有10种不同的方法。
【课后练习题】
从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有几条路可走？
有4个小足球队参加“希望杯”足球比赛，每两个队都必须比赛一场，共比赛多少场？如果进行淘汰赛，最后决出冠军共需多少场比赛？
甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有多少种不同的排法？
从3、6、7、8四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成多少个不同的三位数？最大的三位数是多少？最小的三位数是多少？
从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有多少种不同的拿法？
用1、0、3、5这四个数可以组成多少个四位数？
有7张卡片上写着数字2、3、4、5、6、7、8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是多少？
两人见面要握一次手，照这样规定，6人见面共握多少次手？
有红、黄、蓝色的小旗各1面，从中选出1面、2面或3面升上旗杆，作出各种不同的信号，一共可以作几种不同的信号？
已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有多少个？
有四张8角邮票与三张1元邮票，用这些邮票中的一张或若干张能得出多少种不同的邮资？
已知三个自然数的积等于12，这三个自然数分别是多少？
现有1克、2克、3克重的天平砝码，要用10个砝码称出重20克的物体。
在取出的砝码中，1克重的有3个，那么3克重的砝码应有多少个？
如果任一种砝码至少取一个，那么除情况（1）外，取出的砝码还有哪几种情况？
某食堂的菜单如下：
汤类：A.鸡蛋汤；B.三鲜汤。
菜类：C.炒肉丝；D.红烧猪肉；E.炒青菜。
饮料类：（1）高橙；（2）健力宝；（3）葡萄酒。
每顿饭若只能各类选一种，试问：
可以有多少种不同的选购方法？
请写出这些选购菜单。
15.5个茶杯的价钱分别是8角、6角、5角、4角和3角，3个茶盘的价格分别是9角、7角和2角，如果一个茶杯配一个茶盘，一共可以配成多少种不同价格的茶具？
奥数讲义—学生版
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