第六届华杯赛决赛二试试题答案
2008年01月18日星期五14:01
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1.【解】b只能在3、4中取，c只能在1，2中取
b、c取定后，a、d不难选取，共有5个满足要求的，即1324；1423；2314；2413；3412。
2.【解】当一盏灯经奇数次变换后是亮的，经偶数次变换后是灭的.所以只需将某一行（或某一列）的按钮均变换一次，这样，非此行（或列）的格子均变换1次，而该行（或列）的格子均变换了1997次，所以每盏灯均经过奇数次变换，结果都亮了。这也是最少的变换次数，因为如果减少一次变换，就会造成被减少变换的格子所在的列（或行）的灯不亮.
3.【解】设当甲以40千米／小时骑车与丙在N地相遇时，乙位于P地，如上图
当甲以40千米／小时的速度骑车与乙在M地相遇时．
甲骑车的路程：AM＝40×＝70(千米)，乙骑车的路程：BM＝105－70＝35(千米)，
则乙的速度是：35÷＝20(千米／小时)
3分钟后，丙乙相距：PN＝(40＋20)×＝3(千米)，
乙骑车到P的路程：BP＝35＋20×＝36(千米)，
乙从P骑车到c的路程：PC＝×22－36＝19(千米)，
乙从P到C所用的时间：19÷20＝(小时)
乙从P到C所用的时间也是丙从N到C所用的时间，所以，丙的车速是：3÷＋20＝(千米／小时)
答：丙的车速是千米／小时．
4.【解】设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿走了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子.依此类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有a枚棋子，…，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了2(a－1)＋1枚棋子，所以N＝2(a－1)＋1＋a＝a－1.
N＝a－1＝59049a－1是14的倍数。N就是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又N＝(7×8435＋4)a－1＝7×8435a＋4a－1，所以4a－1必须是7的倍数.当a＝21，25，27，29时，4a－1不是7的倍数，当a＝23时,4a－1＝91＝7×13，是7的倍数.
答：圆周上还有23枚棋子.
5.【解】(a)设解题最多的人解出d道题.将解出的题数相加，八个人至多解出8d道，另一方面，每题至少被5个人解出，八个人至少解出8×5道题。所以8d≥8×5，d≥5d＝8时，结论成立d＝7时，必有人解出剩下的一道题，这两人为所求，d＝6时，剩下的两道题，各有5人解出，5＋5＞7。所以至少有一人同时解出这两道题，他与解题最多的人为所求，d＝5时。另三道题每道各有5人解出，设这三道题是6，7，8，解出6的人数与解出7的人数之和为10，而除解题最多的人外只有7人，所以，有三人同时解出6，7二题，又解出8的人数为5，3＋5＝8＞7，所以必有一人同时解出6，7，8这三道题，他与解题最多的人为所求。
(b)如表，表中如果位于第i行，第j列，则表示第i个学生正确解答第j题.
6.【解】共有16组解答，它们是
(1，2，2，5，5，7，25)；(1，2，2，5，5，14，5)；(1，2，2，25，2，5，3，625)；(1，2，2.25，2.5，7.25)；(1，2，5，5.5，6)；(1，2，5，6，11)；(1，2．2.5，4.5，7)；(1，2，2.5，4.5，14)；(1，2，2.5，4.5，7)；(1，2，2.5，4.5，14)；(1，2，5，12，14.5)；(1，2，5，12，29)；(1，2，2.25，2.5，4.5)；(1，2，5，6，12)；(1，，2，，)；(1，2，，，5)；(1，，，，)；(1，，，，).
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