第十届华杯赛总决赛一试试题答案
2008年01月20日星期日10:56
一、填空
1.1452.273.10005与10020
二、解答题
4.红色八边形的面积是
5.至少有25名小朋友6.甲到过山顶9次
1．【解】甲跑1000米，乙跑了950米，乙跑1000米，丙跑900米，
所以甲跑1000米时，丙跑了950×＝855（米），丙距终点1000－855＝145（米）.
2．【解】设中间数为n则（n－2）×n×（n＋2）＝23，又知（n－2）×（n＋2）＜，而＝19683，所以，n应大于27，而7×9×1＝63，故最小数应为27，27×29×31＝24273，符合题意，并且是唯一解.
3．【解】能被15整除的最小5位数是10005，10005＋15＝10020，按照题目所给的操作，只需将这两个五位数取为10005和10020，则经过1次操作，较小的数变为15，较大的数变为10005，再经若干此次操作，较小的数一直不变，较大的数每次减少15，直到较大的数变为30，再经一次操作两个数都变成了15.
4．【解】如图，易知蓝边正方形面积为，△ABD面积为，△BCD面积为，
所以△ABC面积为－＝，可证AE∶EB＝1∶4，
黄色三角形面积为△ABC的，等于，由此可得，所求八边形的面积是：.
至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.
【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MOF的面积为正方形面积的，N为OF中点，△OPN面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的，为正方形面积的，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的.
5．【解】不超过15元可购买商品的方法有：
3元件数
5元件数
总钱数
1
1
3
2
2
6
3
3
9
4
4
12
5
5
15
6
1
5
7
2
10
8
3
15
9
1
1
8
10
1
2
13
11
2
1
11
12
3
1
14
共12种方法，所以如果有25人，必然会有3人购买的商品完全相同.
答：至少有25名小朋友.
6．【解】不妨设想为在一条直线上的运动，将上山的路程看作下山路程的1.5倍，并设AC＝1，则CB＝2，下山路程＝2，将上山、下山一个全程看作5，重复在一条直线上进行.如下图：
B点表示山顶，甲到达山顶所走的路程可以表示为：5×n－2（其中n为整数，表示到达山顶的次数），此时乙所走的路程为（5×n－2）×，乙处于的位置为（5×n－2）×÷5＝（5×n－2）÷6的余数，设此余数为k，当0＜k≤1时，乙刚好处于AC段.因为所求为甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬，可以从n＝1开始，依次求出，列表如下：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
k
3
2
1
0
5
4
3
2
1
即当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时（包括此时），甲到过山顶9次.
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