第十一届华杯赛初赛试题答案

第十一届华杯赛初赛试题答案

2008年01月20日星期日10:59

1、D

解：考察空间想像力。如图，实际是逆向想像操作过程。



2、选C

解：因为20082006=2006×1000+2006=2006×1001=（2×17×59）×（7×11×13）。

3、选A

解：2006年有365天，而365=7×52+1，又已知2006年有53个星期天，只能元旦是星期天，且12月31日也是星期日，所以，2007年月的元旦是星期一。

4、选D

解：如图，长方形ABCD中AB∶BC=5∶4。将AB，CD边各5等分，BC，DA边各4等分。设每份长度为a。由于两只蚂蚁第一次在B点相遇，所以第一只蚂蚁走5a，第二只蚂蚁走4a，接下来，第一只蚂蚁由B走到E点时，第二只蚂蚁由B走到F点，再接下来，当第一只蚂蚁由走到G点时，第二只蚂蚁由F也走到G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在DA边上。



5、选B

解：如图,连接AE，BD。因为AD∥BC，则：

又AB∥ED，则：

所以，=3.18（平方厘米）



说明：答案和直角梯形形状无关，可以让BC边趋近AD边，直到和AD边重合，此时，P与A重合，PE是ADEF的对角线，所以，阴影部分的面积是ADEF面积的一半，等于3.18平方厘米。

6、B

解：贝贝在左、妮妮在右相邻的排法有4×3×2×1=24（种），贝贝在右、妮妮在左相邻的排法也有4×3×2×1=24（种），总的排法5×4×3×2×1=120（种）。所以贝贝和妮妮不相邻的排法是120-2×24=72（种）。

二、A组填空题

7、35

解：根据加法规则，“第”=1。“届+赛”=6或“届+赛”=16。若“届+赛”=6，只能是“届”、

“赛”分别等于2或4，此时“一十杯”=10只能“一”、“杯”分别为3或7。此时“十+华”=9，“十”、“华”分别只能取（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），但1，2，3，4均已被取，不能再取。所以，“届+赛”=6填不出来，只能是“届+赛”=16，“十+华”+1=10，也就是“一+杯”=9同时“十+华”=9。所以它们可以分别在（3，6），（4，5）两组中取值。

因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35。

8、23

解：有三角板的学生共50-28=22（人），其中女生22-14=8（人），那么有直尺的女生有31-8=23（人）。

9、226.08．

解：如图，一个长为12厘米的直棒状细吸管放在玻璃杯内，另一端沿吸管最多能露出4厘米，表明直圆柱的高CB=12-4=8（厘米）；另一端沿吸管最少可露出2厘米，表明直圆柱的轴截面矩形的对角线长为AC=12-2=10（厘米）。由直角三角形中“勾6、股8、弦10”的常识，可知圆柱底面圆的直径是6厘米，半径为3厘米。因此，这个玻璃杯的容积为（立方厘米）。



10、4

解：因为在异色棋子之间放黑子，圆周上只有5个棋子，必有相邻两个棋子是同色的，所以，不同能出现5个黑子。而第二次操作时圆周上就出现了4个黑子。所以，在各次操作过错成后，圆圈上呈现的5个围棋子中最多能有4个黑子。

三、B组填空题

11、500；2700

解：设麦田x亩，如每亩施6千克，则缺少300千克化肥，可知现有化肥为6x-300（千克）；如每亩施5千克，则余下200千克化肥，可知现有化肥应为5x+200(千克)。由于现有化肥量是个定值，所以6x-300=5x+200，解得x=500(亩)。

现有化肥量是5×500+200=2700（千克）。

12、101；4

解：一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a是一个5+2×45+3×2=101（位）数。

从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8的循环。因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1-89恰为5个周期，所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4。

解法2：一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同，利用这条性质，a=13579111315171921……9799101103中13579的数字和被9除的余数是7，而111315171921……9799所有数字之和被9除的余数是0，101103的数字和被9除的余数是6。所以，a被9除的余数是（7+6）被9除的余数，是4。

13、27；37

解：对前一种情况，可取红、黑色的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13点各1张，共13×2=26（张），那么再取一张牌，必定和其中某一张牌点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同。这是最杯的情况，因此，至少要取27张牌，必能保证有2张牌点数、颜色都相同。?????????????????

对后一种情况，有以下的搭配：

（1，2，3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12），13。

因而对涂阴影的9个数，四种花色的牌都取，这样可以取到（4×2+1）×4=36（张）牌，其中没有3张牌的点数是相邻的。

现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13，则至少要有33张牌取自（1，2，3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12）四个抽屉，根据抽屉原则，必有9个数来自其中一个抽屉，这个抽屉中就一定有3张牌的点数相邻的。因此，至少要取37张牌。

14、95；155。

解：第1问，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；面积为1的正方形的个数：36；面积为2的正方形的个数：4；面积为4的正方形的个数：25；面积为9的正方形的个数：16；面积为16的正方形的个数：9；面积为25的正方形的个数4；面积为36的正方形的个数：1。所以，共有36+4+25+16+9+4+1=95（个）正方形。

第2问。方法1：以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：



只有1个基本图形单位的三角形共72个；

由2个基本图形单位组成的三角形共37个；

由4个基本图形单位组成的三角形共30个；

由8个基本图形单位组成的三角形共4个；

由9个基本图形单位组成的三角形共10个；

由16个基本图形单位组成的三角形共2个；

所以图中共有三角形72+37+30+4+10+2=155（个）。

方法2：依三角形的斜边的长度数三角形。

（1）斜边和水平线成45度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为1：

长度为3的斜边共有：5条；长度为4的斜边共有：1条。

因为图中这类斜边每条带有2个三角形，所以共有2×（36+15+5+1）=114（个）。

（2）斜边水平的三角形，从上向下：

斜边在第一条线有2个；斜边在第二条线有4个；斜边在第三条线有4个；斜边在第四条线有5个；斜边在第五条线有2个；斜边在第六条线有2个；斜边在第七条线有2个；

所以这种类型的三角形共有21个。

（3）斜边为垂直线的三角形，从左向右：斜边在第一条线有2个；斜边在第二条线有2个；斜边在第三条线有5个；斜边在第四条线有3个；斜边在第五条线有3个；斜边在第六条线有4个；斜边在第七条线有1个，所以这种类型的三角形共有20个。共有114+21+20=155（个）三角形。