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考
数
学
复
习
提
纲
2011年春
目录
第一单元：数与式…………………………………………………………………………………………………………………1
1实数……………………………………………………………………………………………………………………………1
2代数式…………………………………………………………………………………………………………………………2
3整式及其运算…………………………………………………………………………………………………………………2
4因式分解………………………………………………………………………………………………………………………3
5分式和二次根式………………………………………………………………………………………………………………4
第二单元：方程与不等式………………………………………………………………………………………………………5
1一元一次方程及其解法………………………………………………………………………………………………………5
2二元一次方程组及其解法……………………………………………………………………………………………………5
3一元二次方程及其解法………………………………………………………………………………………………………5
4可化为一元一次方程的分式方程……………………………………………………………………………………………6
5一元一次不等式（组）及其解法………………………………………………………………………………………………6
第三单元：函数…………………………………………………………………………………………………………………7
1函数及其图像…………………………………………………………………………………………………………………7
2一次函数………………………………………………………………………………………………………………………8
3反比例函数……………………………………………………………………………………………………………………9
3二次函数………………………………………………………………………………………………………………………10
第四单元：图形的认识…………………………………………………………………………………………………………12
1立体图形的认识………………………………………………………………………………………………………………12
2角、相交线与平行线…………………………………………………………………………………………………………13
3三角形…………………………………………………………………………………………………………………………14
（1）三角形的基本认识………………………………………………………………………………………………………14
（2）等腰三角形………………………………………………………………………………………………………………16
（3）直角三角形………………………………………………………………………………………………………………16
（4）全等三角形………………………………………………………………………………………………………………18
4四边形…………………………………………………………………………………………………………………………18
（1）多边形的认识……………………………………………………………………………………………………………18
（2）平行四边形………………………………………………………………………………………………………………19
（3）特殊的平行四边形………………………………………………………………………………………………………19
（4）梯形………………………………………………………………………………………………………………………21
5圆………………………………………………………………………………………………………………………………21
6尺规作图………………………………………………………………………………………………………………………24
第五单元：图形与变换…………………………………………………………………………………………………………24
1轴对称…………………………………………………………………………………………………………………………24
2平移……………………………………………………………………………………………………………………………24
3旋转……………………………………………………………………………………………………………………………25
4相似……………………………………………………………………………………………………………………………25
第六单元：图形与坐标…………………………………………………………………………………………………………27
第七单元：图形与证明…………………………………………………………………………………………………………27
1命题与证明……………………………………………………………………………………………………………………27
2综合法证明……………………………………………………………………………………………………………………27
第八单元：概率…………………………………………………………………………………………………………………28
1随机事件………………………………………………………………………………………………………………………28
2简单事件的概率计算…………………………………………………………………………………………………………28
3用频率估计概率………………………………………………………………………………………………………………28
第九单元：统计…………………………………………………………………………………………………………………29
1数据的收集、整理与表示……………………………………………………………………………………………………29
2数据的整理、描述与分析……………………………………………………………………………………………………29
3样本估计总体…………………………………………………………………………………………………………………29
第十单元：课题学习……………………………………………………………………………………………………………30
附录Ⅰ……………………………………………………………………………………………………………………………31
附录Ⅱ……………………………………………………………………………………………………………………………34
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第一单元数与式
1实数
考点一、实数的概念及分类（3分）
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如32,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等
考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）
1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上
看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相
反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大
的反而小。
3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10分）
1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“a±”。
2、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
()
(){02
0
aa
aaaa
≥
<==；注意a的双重非负性：{
0
0
a
a
≥
≥
3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33aa?=?，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数（3—6分）
1、有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边
精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法：把一个数写做na10×±的形式，其中101<≤a，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
考点五、实数大小的比较（3分）
1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
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2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
,0baba>?>?
,0baba=?=?
baba
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，;1;1;1babababababa?>
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则baba。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则baba22。
考点六、实数的运算（做题的基础，分值相当大）
1、加法交换律abba+=+
2、加法结合律)()(cbacba++=++
3、乘法交换律baab=
4、乘法结合律)()(bcacab=
5、乘法对加法的分配律acabcba+=+)(
6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
2-3代数式整式及其运算
考点一、整式的有关概念（3分）
1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的书写格式：
①数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“?”代替，更不能省略不写。
②数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。
③两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性
④当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。
⑤含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。
⑥如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算
且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。（如：甲同学买了5本书，乙同学买了a本书，他们一共买了（5+a）
本）
2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如ba2314?，这种表示就是错
误的，应写成ba2313?。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如cba235?是6次单项式。
考点二、多项式（11分）
1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数
项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。
注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。
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2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
3、去括号法则
（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。
（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。
4、整式的运算法则
整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
整式的乘法：),(都是正整数nmaaanmnm+=?
),(都是正整数）（nmaamnnm=
)()(都是正整数nbaabnnn=
22))((bababa?=?+
2222)(bababa++=+
2222)(bababa+?=?
整式的除法：)0,,(≠=÷?anmaaanmnm都是正整数
注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）),0(1);0(10为正整数paaaaapp≠=≠=?
（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项
式是不能这么计算的。
4因式分解
考点一、因式分解（11分）
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因
式。
2、因式分解的常用方法
（1）提公因式法：)(cbaacab+=+
（2）运用公式法：))((22bababa?+=?
222)(2bababa+=++
222)(2bababa?=+?
（3）分组分解法：))(()()(dcbadcbdcabdbcadac++=+++=+++
（4）十字相乘法：))(()(2qapapqaqpa++=+++
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
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（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因
式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
5分式和二次根式
考点一、分式（8~10分）
1、分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成BA的形式，如果B中含有字母，式子BA就
叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则
;;bcadcdbadcbabdacdcba=×=÷=×
);()(为整数nbaban
n
n=
;cbacbca±=±
bd
bcad
d
c
b
a±=±
考点二、二次根式（初中数学基础，分值很大）
1、二次根式：式子)0(≥aa叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负
数。
2、最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分
母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质
（1）)0()(2≥=aaa
（2）()
(){02
0
aa
aaaa
≥
?<==
（3）)0,0(≥≥?=babaab
（4）)0,0(≥≥=bababa
5、二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先
算括号里的（或先去括号）。
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第二单元方程与不等式
1一元一次方程及其解法
考点一、一元一次方程的概念（6分）
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，
其中方程：）为未知数，（0ax0≠=+bax叫做一元一次方程标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。
2二元一次方程组及其解法
考点一、二元一次方程组（8~10分）
1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是
（
2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
组的解。
5、二元一次方正组的解法：（1）代入法（2）加减法
6、三元一次方程：把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组：由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
3一元二次方程及其解法
考点一、一元二次方程（6分）
1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++acbxax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项
式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法（10分）
1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适
用于解形如bax=+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax+是b的平方根，当0≥b时，bax±=+，
bax±?=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着
广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa+=+±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，
则有222)(2bxbbxx±=+±。
3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++acbxax的求根公式：
)04(242
2
≥??±?=acbaacbbx
4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次
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方程最常用的方法。
考点三、一元二次方程根的判别式（3分）
根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++acbxax中，acb42?叫做一元二次方程)0(02≠=++acbxax的
根的判别式，通常用“?”来表示，即acb42?=?
考点四、一元二次方程根与系数的关系（3分）
如果方程)0(02≠=++acbxax的两个实数根是21xx，，那么abxx?=+21，acxx=21。也就是说，对于任何
一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常
数项除以二次项系数所得的商。
4可化为一元一次方程的分式方程
考点一、分式方程（8分）
1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法：换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具
有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
▲4、一元一次方程解应用题：根据具体问题中的数量关系，列方程并根据问题的实际意义，检验结果的合理性。
5一元一次不等式（组）及其解法
考点一、不等式的概念（3分）
1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的
解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质（3~5分）
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考点三、一元一次不等式（6~8分）
1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，
这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组（8分）
1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
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第三单元函数
1函数及其图像
考点一、平面直角坐标系（3分）
1、平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交
点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象
限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念：点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵
坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）
1、各象限内点的坐标的特征：点P(x,y)在第一象限0,0>>?yx点P(x,y)在第二象限0,0>
点P(x,y)在第三象限0,0<?yx
2、坐标轴上的点的特征：
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上?x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
点P(x,y)在x轴上0=?y，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上0=?x，y为任意实数
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x
（3）点P(x,y)到原点的距离等于22yx+
考点三、函数及其相关概念（3~8分）
1、变量与常量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说
x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法
叫做解析法。
（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
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2一次函数
考点一、正比例函数和一次函数（3~10分）
1、正比例函数和一次函数的概念：一般地，如果bkxy+=（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数bkxy+=中的b为0时，kxy=（k为常数，k≠0）。这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy+=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy=
的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符号b的符号函数图像图像特征
b>0
y
0x
图像经过一、二、三象限，y随x的增
大而增大。
k>0
b<0
y
0x
图像经过一、三、四象限，y随x的增
大而增大。
b>0
y
0x
图像经过一、二、四象限，y随x的增
大而减小
k<0
b<0
y
0x
图像经过二、三、四象限，y随x的增
大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
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4、正比例函数的性质：一般地，正比例函数kxy=有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质：一般地，一次函数bkxy+=有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kxy=（k≠0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确
定一次函数定义式bkxy+=（k≠0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
3反比例函数
考点一、反比例函数（3~10分）
1、反比例函数的概念：一般地，函数xky=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写
成1?=kxy的形式。自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、
四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，
即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例
函数)0(≠=kx
ky
k的符号k>0k<0
图像
y
Ox
y
Ox
性质
①x的取值范围是x≠0，
y的取值范围是y≠0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内，y
随x的增大而减小。
①x的取值范围是x≠0，
y的取值范围是y≠0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限。在每个象限内，y
随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或
图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
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5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数)0(≠=kxky图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积
S=PM?PN=xyxy=?。
kSkxyxky==∴=,,Q。
3二次函数
考点一、二次函数的概念和图像（3~8分）
1、二次函数的概念：一般地，如果)0,,(2≠++=acbacbxaxy是常数，，那么y叫做x的二次函数。
)0,,(2≠++=acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于abx2?=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线cbxaxy++=2与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个
点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画
出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的
图像。
考点二、二次函数的解析式（10~16分）
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：)0,,(2≠++=acbacbxaxy是常数，
（2）顶点式：)0,,()(2≠+?=akhakhxay是常数，
（3）当抛物线cbxaxy++=2与x轴有交点时，即对应二次好方程02=++cbxax有实根1x和2x存在时，根
据二次三项式的分解因式))((212xxxxacbxax??=++，二次函数cbxaxy++=2可转化为两根式
))((21xxxxay??=。如果没有交点，则不能这样表示。
考点三、二次函数的最值（10分）
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2?=时，
a
bacy
4
42?=
最值。
如果自变量的取值范围是21xxx≤≤，那么，首先要看ab2?是否在自变量取值范围21xxx≤≤内，若在此范围
内，则当x=ab2?时，abacy44
2?
=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx≤≤范围内的增减性，如果在
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此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx=时，cbxaxy++=222最大，当1xx=时，cbxaxy++=121最小；如果
在此范围内，y随x的增大而减小，则当1xx=时，cbxaxy++=121最大，当2xx=时，cbxaxy++=222最小。
考点四、二次函数的性质（6~14分）
1、二次函数的性质
函数
二次函数
)0,,(2≠++=acbacbxaxy是常数，
a>0a<0
图像
y
0x
y
0x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=ab2?，顶点坐标是（ab2?，
a
bac
4
42?）；
（3）在对称轴的左侧，即当x
的增大而减小；在对称轴的右侧，即当
x>ab2?时，y随x的增大而增大，简记左减
右增；
（4）抛物线有最低点，当x=ab2?时，y有最小
值，abacy44
2?
=最小值
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=ab2?，顶点坐标是（ab2?，
a
bac
4
42?）；
（3）在对称轴的左侧，即当x
的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
x>ab2?时，y随x的增大而减小，简记左
增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=ab2?时，y有最
大值，abacy44
2?
=最大值
2、二次函数)0,,(2≠++=acbacbxaxy是常数，中，cb、、a的含义：
a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上a<0时，抛物线开口向下
b与对称轴有关：对称轴为x=ab2?
c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）
3、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的ac4b2?=?，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
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当?>0时，图像与x轴有两个交点；
当?=0时，图像与x轴有一个交点；
当?<0时，图像与x轴没有交点。
补充：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
y
如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为()()221221yyxx?+?A
2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，
对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）0x
左加右减、上加下减（函数值加减上下移、自变量加减左右移）B
第四单元：图形的认识
1立体图形的认识
考点一、直线、射线和线段（3分）
1、几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
3、直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。
4、射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。
5、线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。
6、点、直线、射线和线段的表示：在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示。
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
注意：
（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。
（2）直线和射线无长度，线段有长度。
（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
（4）点和直线的位置关系有线面两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
7、直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
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（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
8、线段的性质
（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
考点二、投影与视图（3分）
1、投影
投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯
视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
考点三、立体图平面展开图
2角、相交线与平行线
考点一、角（3分）
1、角的相关概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的
边。
当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。
平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。
2、角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3、角的度量：角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1
度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’=60”
4、角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
5、角的平分线及其性质：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：
（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
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考点二、相交线（3分）
1、相交线中的角：两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有
公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补
角。
临补角互补，对顶角相等。
直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构
成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像
这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在
EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并
侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直
线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
考点三、平行线（3~8分）
1、平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读
作“AB平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定
平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直
线平行。
平行线的两条判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）垂直于同一条直线的两直线平行。
（3）平行线的定义。
4、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
3三角形
（1）三角形的基本认识
考点一、三角形（3~8分）
1、三角形的概念：由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做
三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
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3、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产
生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。
5、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
不等边三角形
三角形底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
8、三角形的面积：三角形的面积=21×底×高
9、三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
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（2）等腰三角形
考点一、等腰三角形（8~10分）
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上
的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2b
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2180A∠?°
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于
证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质等腰三角形判定
中
线
1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；
2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点
与底边两端点距离相等。
1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；
2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平
分这个边的对角），那么这个三角形是等腰
三角形
角
平
分
线
1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；
2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点
到底边两端点的距离相等。
1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对
边（平分对边），那么这个三角形是等腰三
角形；
2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三
角形是等腰三角形。
高
线
1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；
2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和
底边两端点距离相等。
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平
分这条边的对角），那么这个三角形是等腰
三角形；
2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
角等边对等角等角对等边
边底的一半<腰长<周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形
（3）直角三角形
考点一、直角三角形的性质（3~5分）
1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
可表示如下：}309012ACBCAB∠=∠=?=oo
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3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
可表示如下：}9012ACBDCDABBDAD∠=?===o为AB的中点
4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
222cba=+
5、常用关系式：由三角形面积公式可得：AB?CD=AC?BC
考点二、直角三角形的判定（3~5分）
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系222cba=+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念（3~8分）
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记为sinA，即casin=∠=斜边的对边AA
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记为cosA，即cbcos=∠=斜边的邻边AA
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即batan=∠∠=的邻边的对边AAA
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即abcot=∠∠=的对边的邻边AAA
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数0°30°45°60°90°
sinα02122231
cosα12322210
tanα03313不存在
cotα不存在31330
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
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（2）平方关系：1cossin22=+AA
（3）倒数关系：tanA?tan(90°—A)=1
（4）弦切关系：tanA=AAcossin
5、锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
考点四、解直角三角形（3~5）
1、解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中
除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：222cba=+（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
b
aB
a
bB
c
aB
c
bB
a
bA
b
aA
c
bA
c
aA========cot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin
3、仰角、俯角；坡度（坡比）、坡角；方位角
（4）全等三角形
考点一、全等三角形（3~8分）
1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边
叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边
所成的角。
2、全等三角形的表示和性质：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全
等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边
和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
4、全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
4四边形
（1）多边形的认识
考点一、四边形的相关概念（3分）
1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。
2、凸四边形：把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四
边形。
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3、对角线：在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
4、四边形的不稳定性：三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形
的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。
5、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于??)2(n180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6、多边形的对角线条数的计算公式：设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为2)3(?nn。
7、平面图形镶嵌
（2）平行四边形
考点一、平行四边形（3~10分）
1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这
两条直线二等分此平行四边形的面积。
（5）平行四边形四中心对称图形
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah
（3）特殊的平行四边形
考点一、矩形（3~10分）
1、矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab
考点二、菱形（3~10分）
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1、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
考点三、正方形（3~10分）
1、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形一条对角线分成两个全等等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；
再证明它是菱形（或矩形）；
最后证明它是矩形（或菱形）
4、正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=2
2
2ba=
考点四、几种特殊平行四边形的联系
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（4）梯形
考点一、梯形（3~10分）
1、梯形的相关概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分类如下：
一般梯形
梯形直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
3、等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形的对角线相等。
（3）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平
分线。
4、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
5、梯形的面积
（1）如图，DEABCDSABCD?+=)(21梯形
（2）梯形中有关图形的面积：
①BACABDSS??=；
②BOCAODSS??=；
③BCDADCSS??=
6、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
5圆
考点一、圆的相关概念（3分）
1、圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A
随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
考点二、弦、弧等与圆有关的定义（3分）
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）
直径等于半径的2倍。
（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
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弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
考点三、垂径定理及其推论（3分）
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
考点四、圆的对称性（3分）
1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3分）
1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所
对应的其余各组量都分别相等。
考点六、圆周角定理及其推论（3~8分）
1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点七、点和圆的位置关系（3分）
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d
d=r?点P在⊙O上；
d>r?点P在⊙O外。
考点八、过三点的圆（3分）
1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：圆内接四边形对角互补。
考点九、直线与圆的位置关系（3~5分）
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交?d
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直线l与⊙O相切?d=r；
直线l与⊙O相离?d>r；
考点十、切线的判定和性质（3~8分）
1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
考点十一、切线长定理（3分）
1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
考点十二、三角形的内切圆（3~8分）
1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
考点十三、圆和圆的位置关系（3分）
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离?d>R+r
两圆外切?d=R+r
两圆相交?R-r
两圆内切?d=R-r（R>r）
两圆内含?dr）
4、两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的
连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
考点十四、正多边形和圆（3分）
1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个
正多边形的外接圆。
考点十五、与正多边形有关的概念（3分）
1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
考点十六、正多边形的对称性（3分）
1、正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形
的中心。
2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
考点十七、弧长和扇形面积（3~8分）
1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为180rnlp=
2、扇形面积公式：lRRnS213602==p扇（其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。）
3、圆锥的侧面积：rlrlSpp=?=221（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。）
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4、22360lSnrrpp==
o
o
补充：（此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助）
1、相交弦定理：⊙O中，弦AB与弦CD相交与点E，则AE?BE=CE?DE（图a）
2、弦切角定理
弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：∠BAC=∠ADC（图b）
3、切割线定理：PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，则PCPBPA?=2（图c）
图a图b图c
6尺规作图
考点一、尺规作图
1、定义：用没有刻度的直尺和圆规作图。
2、基本图形做法：
（1）做一条线段等于已知线段
（2）做一个角等于已知角
（3）做角的角平分线
（4）做线段的垂直平分线
（5）过一点作已知直线的垂线
（6）作线段的中点
3、常见的图形做法：
（1）已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边做三角形
（2）如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆
（3）N等分线段
第五单元：图形与变换
1轴对称
考点一、轴对称（3~5分）
1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴
对称，该直线叫做对称轴。
2、性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3、判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图
形，这条直线就是它的对称轴。
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2平移
考点一、平移（3~5分）
1、定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形
的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2、性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
（3）对应线段平行或在同一直线上
3旋转
考点一、旋转（3~8分）
1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
考点二、中心对称（3分）
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个
图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。（平行四边形、圆、线段）
4相似
考点一、比例线段（3分）
1、比例线段的相关概念：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的
比是nmba=或写成a：b=m：n
在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
若四条a，b，c，d满足dcba=或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线
段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbba=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
2、比例的性质
（1）基本性质：①a：b=c：d?ad=bc
②a：b=b：cacb=?2
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
dbca=（交换内项）
?=dcbaacbd=（交换外项）
abcd=（同时交换内项和外项）
（3）反比性质（交换比的前项、后项）：cdabdcba=?=
（4）合比性质：ddcbbadcba±=±?=
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（5）等比性质：banfdbmecanfdbnmfedcba=++++++++?≠++++====LLLL)0(
3、黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金
分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=215?AB≈0.618AB
考点二、平行线分线段成比例定理（3~5分）
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形
的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
考点三、相似三角形（3~8分）
1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相
似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原
三角形相似。
用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
相似三角形的等价关系：
（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；
（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC
（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为
两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形
相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述
为三边对应成比例，两三角形相似
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这
两个直角三角形相似
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、相似三角形的性质
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（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形
对应边的比叫做相似比（或相似系数）
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
6、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫
做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
第六单元：图形与坐标
考点一、坐标系中点的变换的特征（3分）
1、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称
点为P’（-x，-y）
2、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）
关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）
关于y轴的对称点为P’（-x，y）
4、点的平移特征：点P（x，y）沿x轴正方向平移a个单位得P1（x+a，y）；沿y轴正方向平移b个单位得P2（x，
y+b）；沿x轴正方向平移a个单位y轴正方向平移b个单位得P3（x+a，y+b）。
5、点的旋转、位似变换
第七单元：图形与证明
1命题与证明
考点一、命题、定理、证明（3~8分）
1、命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子；
（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）
命题
假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3、公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4、定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6、证明的一般步骤：（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
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2综合法证明
考点一、逆命题
1、定义：将原命题的题设改为结论，并把结论改为题设，便可得到原命题的逆命题。
原命题与逆命题是相对的，如果把其中一个命题成为原命题，那么另一个命题就是逆命题。
原命题是正确的，它的逆命题未必正确，反过来逆命题正确，原命题不一定正确。
2、逆定理：如果一个定理的逆命题页是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理
的逆定理
考点二、综合法证明
综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其
特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
（分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把
要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公里等）为止，这种证明方法称为分析法）
综合法称为顺推，分析法为逆推，通常我们的证明题先采用分析法分析，在用综合法证明（逆推顺写）
考点三、反证法（3分）
先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这
种证明方法叫做反证法
第八单元：概率
考点一、确定事件和随机事件（3分）
1、确定事件：必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
考点二、随机事件发生的可能性（3分）
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评
判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要
看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
考点三、概率的意义与表示方法（5~6分）
1、概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常
数p就叫做事件A的概率。
2、事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为()PAp=.
考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系（3分）
1、确定事件概率
（1）当A是必然发生的事件时，()1PA=
（2）当A是不可能发生的事件时，()0PA=
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系
事件发生的可能性越来越小
01概率的值
不可能发生必然发生
事件发生的可能性越来越大
考点五、古典概型（3分）
1、古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结
果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
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2、古典概型的概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事
件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为()mPAn=
考点六、列表法求概率（10分）
1、列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2、列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有
可能的结果，通常采用列表法。
考点七、树状图法求概率（10分）
1、树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地
列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
考点八、利用频率估计概率（8分）
1、利用频率估计概率：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，
可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数：在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称
为随机数。
第九单元：统计
考点一、平均数（3分）
1、平均数的概念
（1）平均数：一般地，如果有n个数,,,,21nxxxL那么，)(121nxxxnx+++=L叫做这n个数的平均数，x读
作“x拔”。
（2）加权平均数：如果n个数中，1x出现1f次，2x出现2f次，…，kx出现kf次（这里nfffk=++L21），
那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为nfxfxfxxkkL++=2211，这样求得的平均数x叫做加权
平均数，其中kfff,,,21L叫做权。
2、平均数的计算方法
（1）定义法：当所给数据,,,,21nxxxL比较分散时，一般选用定义公式：)(121nxxxnx+++=L
（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：nfxfxfxxkkL++=2211，其中
nfffk=++L21。
（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：axx+=''。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，axx?=11''，axx?=22''，…，axxnn?=''。
)''''''(1''21nxxxnx+++=L是新数据的平均数（通常把,,,,21nxxxL叫做原数据，,'',,'',''21nxxxL叫做新数据）。
考点二、统计学中的几个基本概念（4分）
1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。
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3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
考点三、众数、中位数（3~5分）
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组
数据的中位数。
考点四、方差（3分）
1、方差的概念：在一组数据,,,,21nxxxL中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方
差。通常用“2s”表示，即：])()()[(1222212xxxxxxnsn?++?+?=L
2、方差的计算
（1）基本公式：])()()[(1222212xxxxxxnsn?++?+?=L
（2）简化计算公式（Ⅰ）：])[(12222212xnxxxnsn?+++=L
也可写成2222212)][(1xxxxnsn?+++=L
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
（3）简化计算公式（Ⅱ）：]'')''''''[(12222212xnxxxnsn?+++=L
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的
常数a，得到一组新数据axx?=11''，axx?=22''，…，axxnn?=''，那么，2222212'')]''''''[(1xxxxnsn?+++=L
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
（4）新数据法：原数据,,,,21nxxxL的方差与新数据axx?=11''，axx?=22''，…，axxnn?=''的方差相等，
也就是说，根据方差的基本公式，求得,'',,'',''21nxxxL的方差就等于原数据的方差。
3、标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
])()()[(1222212xxxxxxnssn?++?+?==L
考点五、频率分布（6分）
1、频率分布的意义：在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比
例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：①计算极差（最大值与最小值的差）；②决定组距与组数；③决定分点；
④列频率分布表；⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念
①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。
第十单元：课题学习（略）
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附录Ⅰ：初中数学定义、定理、公理、公式汇编
直线、线段、射线
1.过两点有且只有一条直线.（简：两点决定一条直线）
2.两点之间线段最短
3.同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.
4.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
5.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段
最短.（简：垂线段最短）
平行线的判断
1.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条
直线平行.
2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相
平行（简：平行于同一直线的两直线平行）
3.同位角相等，两直线平行；4.内错角相等，两直线平行.
5.同旁内角互补，两直线平行.
平行线的性质
1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等.
3.两直线平行，同旁内角互补.
三角形三边的关系
1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三
边.
三角形角的关系
1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.
2.直角三角形的两个锐角互余.
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
4.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
全等三角形的性质、判定
1.全等三角形的对应边、对应角相等.
2.边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两
个三角形全等.
3.角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两
个三角形全等.
4.推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个
三角形全等.
5.边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等.
6.斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等.
角的平分线的性质、判定
性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
判定：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分
线上.
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等
(即等边对等角).
2.推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于
底边.
3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合.
4.推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等
于60°.
等腰三角形判定
1等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
线段垂直平分线的性质、判定
1.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的
距离相等.
2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上.
3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所
有点的集合.
轴对称、中心对称、平移、旋转
1.关于某条直线对称的两个图形是全等形
2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连
线的垂直平分线
3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长
线相交，那么交点在对称轴上
4.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么
这两个图形关于这条直线对称.
5.关于中心对称的两个图形是全等的.
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，
并且被对称中心平分.
6.若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称.
7.平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特
殊形式。
勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边
c的平方，即a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角①直角三角形中，如果
一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.
n边形、四边形的内角和、外角和
1.四边形的内角和等于360；2.四边形的外角和等于360
3.多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）180.
４.推论任意多边的外角和等于360°.
平行四边形性质
1.平行四边形的对角相等.2.平行四边形的对边相等.
3.夹在两条平行线间的平行线段相等.
4.平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
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2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5.一组对边平行相等的四边形是平行四边形
矩形性质
1.矩形的四个角都是直角.2.矩形的对角线相等.
矩形判定
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
3.对角线相等的平行四边形是矩形.
菱形性质
1、菱形的四条边都相等.
2.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组
对角.
3、菱形面积=对角线乘积的一半，即abs21=
菱形判定
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.四边都相等的四边形是菱形
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
正方形性质
1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对
角线平分一组对角.
正方形判定
1.四个角都是直角，四条边都相等的四边形是正方形
2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
等腰梯形性质
1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.
2.等腰梯形的两条对角线相等.
等腰梯形判定
1.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
2.对角线相等的梯形是等腰梯形.
①经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.
②经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第
三边.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且
等于它的一半.
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两
底和的一半)(
2
1bal+=，S=Lh
比例的基本性质如果a:b=c:dad=bc
相似三角形判定
1.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构
成的三角形与原三角形相似.
2.两角对应相等，两三角形相似.
3.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
4.三边对应成比例，两三角形相似
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直
角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直
角三角形相似.
相似三角形性质
1.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分
线的比都等于相似比.
2.相似三角形周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
4.位似图形是相似图形的特殊形式。位似比等于相似比。
圆
1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径.的点的集
合.
3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集
合.
4.同圆或等圆的半径相等.
5.不在同一直线上的三点确定一个圆。
垂径定理
1.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条
弧.
推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧.
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧.
3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦相等，所对的弦的弦心距相等.
5.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或
两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各
组量都相等.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半.
①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆
中，相等的圆周角所对的弧也相等.
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°
的圆周角所对的弦是直径.
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形.
三角形的外心，三角形外接圆的圆心，它是三边的中垂线
的交点，到三个顶点的距离相等.
三角形的内心，三角形内切圆的圆心，它是三个内角的平
分线的交点，到三边的距离相等.
直角三角形三边为a、b、c，c为斜边，则外接圆的半径
2
cR=；内切圆的半径
2
cbar?+=
直线和圆的位置关系
①直线L和⊙O相交d＜r；②直线L和⊙O相切d=r
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③直线L和⊙O相离d＞r
切线的判定：经过半径的外端且垂直于这切线
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径①经过圆心
且垂直于切线的直线必经过切点.
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
圆和圆的位置关系
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
①两圆外离d＞R+r；②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切d=R-r(R＞r)；⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
正多边形和圆
①依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n
边形n(n≥3):
②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多
边形是这个圆的外切正n边形.定理任何正多边形都有
一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
正n边形的每个内角都等于°?=180)2(1n
na
定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等
的直角三角形.
正三角形面积2
4
3as=，a表示边长.
扇形弧长：
180
rnlp=
扇形面积：21360
2
==rnsprrn180plr21=
圆拄的侧面积rhsp2=
圆拄的表面积222rrhspp+=
圆锥的侧面积rlrlspp==2.
2
1
圆锥的表面积2rrlspp+=
幂的运算：①a≠0时a0=1，a-p=pa1
②aman=am+n；（am）n=amn③0的0次幂没有意义
平方差：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2
推广：a2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab
一次函数y=kx+b（k≠0）
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减少
正比例函数y=kx（k≠0）
①k>0，y随x的增大而增大,直线y=kx经过（0，0），
（1，k）,经过第一、三象限
②k<0，y随x的增大而减少,直线y=kx经过（0，0），
（1，k），经过第二、四象限
反比例函数xky=（k≠0）
①k>0，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随x的
增大而减少.
②k<0，双曲线在第二、四象限，在每个象限内，随x的
增大而增大当
一元二次方程ax2+bx+c=0（b2-4ac≥0）根为
a
acbb
2
4x2
1
?+?=
a
acbb
2
4x2
2
???=
a
b
a
acbb
a
acbb?=???+?+?=+
2
4
2
4xx22
21
a
c
a
acbb
a
acbb=?????+?=?
2
4
2
4xx22
21
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.
b2-4ac=0方程有两个相等的实根.
b2-4ac>0方程有两个不等的实根.
b2-4ac<0方程没有实根.
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）。
b2-4ac=0抛物线与x轴只有一个公共点.
b2-4ac>0抛物线与x轴有两个交点
b2-4ac<0抛物线与x轴有没有公共点.
①抛物线的一般式：y=ax2+bx+c。（a≠0）
②抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k。
顶点（h，k），对称轴为直线h
a
bx=?=
2
最大（小）值为
a
bac
4
42?（左同右异）
③抛物线的两根式：y=a（x-x1）（x-x2）
常见的勾股数（整数）3，4，5；6，8，10；5，12，13;
8，15，17，9，40，41等。
常见的无理数；p，23，等等
2≈1.4143≈1.7325≈2.236
锐角三角函数
a0°30°45°60°90°
sina02122231
cosa12322210
tana03313/
有效数字：从左边第一个不是0的数起，到最后一个数止。
如0.03120有效数字为3、1、2、0共4个有效数字。
中位数：把一列数从大到小（或从小到大）排列，若有奇
数个数，中间一个为中位数，若有偶数个数，中间两个的
平均数为中位数.
（2）方差公式：2222121[()()()]nsxxxxxxn=?+?++?L．
五个连续整数的方差是2，标准差为2
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附录Ⅱ：初中数学知识点归纳（顺口溜）.
有理数的加法运算
同号两数来相加，绝对值加不变号。
异号相加大减小，大数决定和符号。
互为相反数求和，结果是零须记好。
【注】“大”减“小”是指绝对值的大
小。
有理数的减法运算
减正等于加负，减负等于加正。
有理数的乘法运算符号法则
同号得正异号负，一项为零积是零。
合并同类项
说起合并同类项，法则千万不能忘。
只求系数代数和，字母指数留原样。
去、添括号法则
去括号或添括号，关键要看连接号。
扩号前面是正号，去添括号不变号。
括号前面是负号，去添括号都变号。
解方程
已知未知闹分离，分离要靠移完成。
移加变减减变加，移乘变除除变乘。
平方差公式
两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
完全平方公式
二数和或差平方，展开式它共三项。
首平方与末平方，首末二倍中间放。
和的平方加联结，先减后加差平方。
完全平方公式
首平方又末平方，二倍首末在中央。
和的平方加再加，先减后加差平方。
解一元一次方程
先去分母再括号，移项变号要记牢。
同类各项去合并，系数化“1”还没好。
求得未知须检验，回代值等才算了。
解一元一次方程
先去分母再括号，移项合并同类项。
系数化1还没好，准确无误不白忙。
因式分解与乘法
和差化积是乘法，乘法本身是运算。
积化和差是分解，因式分解非运算。
因式分解
两式平方符号异，因式分解你别怕。
两底和乘两底差，分解结果就是它。
两式平方符号同，底积2倍坐中央。
因式分解能与否，符号上面有文章。
同和异差先平方，还要加上正负号。
同正则正负就负，异则需添幂符号。
因式分解
一提二套三分组，十字相乘也上数。
四种方法都不行，拆项添项去重组。
重组无望试求根，换元或者算余数。
多种方法灵活选，连乘结果是基础。
同式相乘若出现，乘方表示要记住。
【注】一提（提公因式）二套（套
公式）
因式分解
一提二套三分组，叉乘求根也上数。
五种方法都不行，拆项添项去重组。
对症下药稳又准，连乘结果是基础。
二次三项式的因式分解
先想完全平方式，十字相乘是其次。
两种方法行不通，求根分解去尝试。
比和比例
两数相除也叫比，两比相等叫比例。
外项积等内项积，等积可化八比例。
分别交换内外项，统统都要叫更比。
同时交换内外项，便要称其为反比。
前后项和比后项，比值不变叫合比。
前后项差比后项，组成比例是分比。
两项和比两项差，比值相等合分比。
前项和比后项和，比值不变叫等比。
解比例
外项积等内项积，列出方程并解之。
求比值
由已知去求比值，多种途径可利用。
活用比例七性质，变量替换也走红。
消元也是好办法，殊途同归会变通。
正比例与反比例
商定变量成正比，积定变量成反比。
正比例与反比例
变化过程商一定，两个变量成正比。
变化过程积一定，两个变量成反比。
判断四数成比例
四数是否成比例，递增递减先排序。
两端积等中间积，四数一定成比例。
判断四式成比例
四式是否成比例，生或降幂先排序。
两端积等中间积，四式便可成比例。
比例中项
成比例的四项中，外项相同会遇到。
有时内项会相同，比例中项少不了。
比例中项很重要，多种场合会碰到。
成比例的四项中，外项相同有不少。
有时内项会相同，比例中项出现了。
同数平方等异积，比例中项无处逃。
根式与无理式
表示方根代数式，都可称其为根式。
根式异于无理式，被开方式无限制。
被开方式有字母，才能称为无理式。
无理式都是根式，区分它们有标志。
被开方式有字母，又可称为无理式。
求定义域
求定义域有讲究，四项原则须留意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
指是分数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，满足多个不等式。
求定义域要过关，四项原则须注意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
分数指数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，不等式组求解集。
解一元一次不等式
先去分母再括号，移项合并同类项。
系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。
先去分母再括号，移项别忘要变号。
同类各项去合并，系数化“1”注意了。
同乘除正无防碍，同乘除负也变号。
解一元一次不等式组
大于头来小于尾，大小不一中间找。
大大小小没有解，四种情况全来了。
同向取两边，异向取中间。
中间无元素，无解便出现。
幼儿园小鬼当家，(同小相对取较小)
敬老院以老为荣，(同大就要取较大)
军营里没老没少。(大小小大就是它)
大大小小解集空。(小小大大哪有哇)
解一元二次不等式
首先化成一般式，构造函数第二站。
判别式值若非负，曲线横轴有交点。
a正开口它向上，大于零则取两边。
代数式若小于零，解集交点数之间。
方程若无实数根，口上大零解为全。
小于零将没有解，开口向下正相反。
用平方差公式因式分解
异号两个平方项，因式分解有办法。
两底和乘两底差，分解结果就是它。
用完全平方公式因式分解
两平方项在两端，底积2倍在中部。
同正两底和平方，全负和方相反数。
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分成两底差平方，方正倍积要为负。
两边为负中间正，底差平方相反数。
一平方又一平方，底积2倍在中路。
三正两底和平方，全负和方相反数。
分成两底差平方，两端为正倍积负。
两边若负中间正，底差平方相反数。
用公式法解一元二次方程
要用公式解方程，首先化成一般式。
调整系数随其后，使其成为最简比。
确定参数abc，计算方程判别式。
判别式值与零比，有无实根便得知。
有实根可套公式，没有实根要告之。
用常规配方法解一元二次方程
左未右已先分离，二系化“1”是其次。
一系折半再平方，两边同加没问题。
左边分解右合并，直接开方去解题。
该种解法叫配方，解方程时多练习。
用间接配方法解一元二次方程
已知未知先分离，因式分解是其次。
调整系数等互反，和差积套恒等式。
完全平方等常数，间接配方显优势
【注】恒等式
解一元二次方程
方程没有一次项，直接开方最理想。
如果缺少常数项，因式分解没商量。
b、c相等都为零，等根是零不要忘。
b、c同时不为零，因式分解或配方，
也可直接套公式，因题而异择良方。
正比例函数的鉴别
判断正比例函数，检验当分两步走。
一量表示另一量，有没有。
若有再去看取值，全体实数都需要。
区分正比例函数，衡量可分两步走。
一量表示另一量，是与否。
若有还要看取值，全体实数都要有。
正比例函数的图象与性质
正比函数图直线，经过和原点。
K正一三负二四，变化趋势记心间。
K正左低右边高，同大同小向爬山。
K负左高右边低，一大另小下山峦。
一次函数
一次函数图直线，经过点。
K正左低右边高，越走越高向爬山。
K负左高右边低，越来越低很明显。
K称斜率b截距，截距为零变正函。
反比例函数
反比函数双曲线，经过点。
K正一三负二四，两轴是它渐近线。
K正左高右边低，一三象限滑下山。
K负左低右边高，二四象限如爬山。
二次函数
二次方程零换y，二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调正相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次方程零换y，就得到二次函数。
图像叫做抛物线，定义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
【注】基础抛物线
直线、射线与线段
直线射线与线段，形状相似有关联。
直线长短不确定，可向两方无限延。
射线仅有一端点，反向延长成直线。
线段定长两端点，双向延伸变直线。
两点定线是共性，组成图形最常见。
角
一点出发两射线，组成图形叫做角。
共线反向是平角，平角之半叫直角。
平角两倍成周角，小于直角叫锐角。
直平之间是钝角，平周之间叫优角。
互余两角和直角，和是平角互补角。
一点出发两射线，组成图形叫做角。
平角反向且共线，平角之半叫直角。
平角两倍成周角，小于直角叫锐角。
钝角界于直平间，平周之间叫优角。
和为直角叫互余，互为补角和平角。
证等积或比例线段
等积或比例线段，多种途径可以证。
证等积要改等比，对照图形看特征。
共点共线线相交，平行截比把题证。
三点定型十分像，想法来把相似证。
图形明显不相似，等线段比替换证。
换后结论能成立，原来命题即得证。
实在不行用面积，射影角分线也成。
只要学习肯登攀，手脑并用无不胜。
解无理方程
一无一有各一边，两无也要放两边。
乘方根号无踪迹，方程可解无负担。
两无一有相对难，两次乘方也好办。
特殊情况去换元，得解验根是必然。
解分式方程
先约后乘公分母，整式方程转化出。
特殊情况可换元，去掉分母是出路。
求得解后要验根，原留增舍别含糊。
列方程解应用题
列方程解应用题，审设列解双检答。
审题弄清已未知，设元直间两办法。
列表画图造方程，解方程时守章法。
检验准且合题意，问求同一才作答。
添加辅助线
学习几何体会深，成败也许一线牵。
分散条件要集中，常要添加辅助线。
畏惧心理不要有，其次要把观念变。
熟能生巧有规律，真知灼见靠实践。
图中已知有中线，倍长中线把线连。
旋转构造全等形，等线段角可代换。
多条中线连中点，便可得到中位线。
倘若知角平分线，既可两边作垂线。
也可沿线去翻折，全等图形立呈现。
角分线若加垂线，等腰三角形可见。
角分线加平行线，等线段角位置变。
已知线段中垂线，连接两端等线段。
辅助线必画虚线，便与原图联系看。
两点间距离公式
同轴两点求距离，大减小数就为之。
与轴等距两个点，间距求法亦如此。
平面任意两个点，横纵标差先求值。
差方相加开平方，距离公式要牢记。
矩形的判定
任意一个四边形，三个直角成矩形；
对角线等互平分，四边形它是矩形。
已知平行四边形，一个直角叫矩形；
两对角线若相等，理所当然为矩形。
菱形的判定
任意一个四边形，四边相等成菱形；
四边形的对角线，垂直互分是菱形。
已知平行四边形，邻边相等叫菱形；
两对角线若垂直，顺理成章为菱形。
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