八卦卦複數的圖像和趣味性質
TrigramComplexNumbers,ImagesAnd
InterestingProperties
何世強HoSaiKeung
提要：八卦可以以一個複數來表示，稱為「卦複數」。卦複數和普通的複數一様，
可以標示在座標紙上；八卦卦點同在一直線，稱為八卦卦線或S32卦線。
含這類卦線的圖稱為「卦線圖」。八卦分陽卦和陰卦，這兩類卦複類的和有
一些有趣的性質。
Abstract:Atrigramcanberepresentedbyacomplexnumber,so-called‘Linegram
﹝卦﹞ComplexNumber’(LCN)bytheauthor.ALinegramComplex
Numberisjustlikeanordinarycomplexnumberwhichcanbeplottedona
graphpaper.Theeighttrigrampointslieonastraightlinewhichisknownas
‘TrigramLine’.Adiagramwithatrigramline(orotherLinegramLine)is
knownasLinegramLineDiagram.TherearefourYinLinegrams﹝陰卦﹞
andfourYangLinegrams﹝陽卦﹞inthesetoftrigrams.WhentheYinand
YangLinegramsarerepresentedbyLCNs,thesumsoftheirLCNshavecertain
interestingpropertiesrespectively.
關鍵詞：卦複數、八卦卦線、卦線圖、陰卦和陽卦
KeyTerms:LinegramComplexNumber(LCN),TrigramLine,TrigramLineDiagram,
YinLinegramsandYangLinegrams
很多人都知道易卦和2進制數學有關，因為當陽爻和陰爻分別以1和0代
替時，又當易卦依卦序﹝伏羲卦序﹞排列時，以1和0代替的易卦便成為有次序
的2進制數，所以便說「易卦和2進制數學有關」。
近世有很多學者曾經在這方面作出研究，但因為易卦有不同的爻數，換言之這
些易卦所代表的2進制數有不同的位數，不同位數的2進制數經加或減﹝排除乘
和除﹞的運算後所得的結果很難與易卦扯上關係，在這種情況下，易卦和2進制
數學的關係便顯得薄弱，所以很多學者只能局限在把易卦改寫成1和0的領域內
而無法向前邁進。
筆者經過多年的研究，易卦和2進制數的關係可以突破爻數限制的範疇，不
論多少爻的卦﹝甚至0爻卦的太極﹞均可以以一個複數來表示，筆者稱之為「易
卦複數」﹝或簡稱為「卦複數」﹞，陽儀的卦複數是1+i，陰儀的卦複數是2，
i是虛數單位√–1，複數的實數部份是卦序﹝伏羲卦序﹞，虛數是卦的01表示法
﹝即2進制數﹞所化成的10進制數，這兩個數可以唯一地表示一個易卦。最重要
的是易卦複數可以作有限度的運算。
現在以八卦為例，我們先用「01表示法」來表達八卦。最下一爻的0或1排
在最左，最上一爻的0或1排在最右。八卦的圖如下所示﹝卦上的阿拉伯數目是卦
序﹞：
(1)(2)(3)(4)
________1______0________1______0
________1________1______0______0
________1________1________1________1
乾【111】兌【110】離【101】震【100】
10進制數：710進制數：610進制數：510進制數：4
(5)(6)(7)(8)
________1______0________1______0
________1________1______0______0
______0______0______0______0
巽【011】坎【010】艮【001】坤【000】
10進制數：310進制數：210進制數：110進制數：0
八卦的「01表示法」﹝下標ii表示2進制﹞化為10進制數時可列式如下：
1.乾：111(ii)=1×22+1×21+1×20=7，(伏羲卦序號是1)，
2.兌：110(ii)=1×22+1×21+0×20=6，(伏羲卦序號是2)，
3.離：101(ii)=1×22+0×21+1×20=5，(伏羲卦序號是3)，
4.震：100(ii)=1×22+0×21+0×20=4，(伏羲卦序號是4)，
5.巽：011(ii)=0×22+1×21+1×20=3，(伏羲卦序號是5)，
6.坎：010(ii)=0×22+1×21+0×20=2，(伏羲卦序號是6)，
7.艮：001(ii)=0×22+0×21+1×20=1，(伏羲卦序號是7)，
8.坤：000(ii)=0×22+0×21+0×20=0，(伏羲卦序號是8)。
從上面的算式可以看出，伏羲八卦序號和該卦2進制數﹝「01表示法」﹞所
化成的10進制數的和必定是8。這八卦的卦序的說法可能始於邵雍，宋朱熹沿用
之而稱之為「伏羲八卦次序」。朱熹引邵雍曰：
乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。
從上面八式可知乾的10進制數最大，列第一，坤的10進制數最小，列最後。
這些10進制數倒排，故《說卦傳》曰：「易，逆數也。」，這個「逆數」的說法
和10進制數的倒排不謀而合。
任何一易卦包括了兩個數：一個是它的伏羲卦序，另外的一個是該卦以「01
表示法」所對應的10進制數。這兩個數可以確定唯一的易卦﹝只有卦序或只有該
卦的10進制數不能決定一易卦﹞。
於是，八卦的複數可以唯一地表示如下表﹝卦序和10進制數見前﹞：
八卦01表示法卦複數八卦01表示法卦複數
乾1111+7i巽0115+3i
兌1102+6i坎0106+2i
離1013+5i艮0017+i
震1004+4i坤0008
上表卦複數的實部和虛部的和必定是8﹝即是32，注意3是爻數﹞，亦可依
次序表達為：
1+(8–1)i、2+(8–2)i、3+(8–3)i、4+(8–4)i、5+(8–5)i、6+(8–6)i、
7+(8–7)i、8+(8–8)i。
亦可寫成：
1+(32–1)i、2+(32–2)i、3+(32–3)i、4+(32–4)i、5+(32–5)i、
6+(32–6)i、7+(32–7)i、8+(32–8)i。
上述的書寫方式看來有點累贅，但是在卦複數的運算來說，在某些情況下，是
須要寫成上面的方式的。
八卦的10進制數是乾七、兌六、離五、震四、巽三、坎二、艮一與坤零，邵
雍的《皇極經世?觀物外篇下》有類似記載：
乾七子，兌六子，離五子，震四子，巽三子，坎二子，艮一子，坤全陰故無
子。
雖然邵雍所說的不是「10進制數」，而是指其下所「生」的卦﹝即乾之下有
七卦，兌之下有六卦，其餘可類推﹞，不過這種「下生卦數」與10進制數符合。
《皇極經世?觀物外篇下》注曰：
「子」，云者或指所生之卦而言也。卦凡有八，乾一統七，兌二統六，離三統
五，震四統四，巽五統三，坎六統二，艮七統一；子之數如此，至坤為全陰，
後生卦，故云無子。
因為卦數有八，乾的下面有七卦，或說成「乾卦統領七卦」，這七卦算是乾的
子卦，所以說「乾七子」；兌之下有六卦，或說成兌卦統領六卦，六卦算是兌的子
卦，所以說「兌六子」，其餘可類推。坤為全陰卦，準備生他卦﹝生爻數多一的
卦，即生四爻的卦﹞，所以說無子卦。這些子卦的數目剛好就是該卦的10進制
數，不過「統領」的說法比「生卦」的說法好。我們可得這樣的結論：一易卦的
10進制數等於它的子卦的數目。
假如卦複數的實部是橫座標X軸，虛部是縱座標Y軸，那麼一個卦複數便可
標示在座標紙上。下面便是兩儀、四象和八卦卦線圖：
8i
乾1+7i
Y7i
兌2+6i
6i
離3+5i
軸5i
震4+4i
4i
太陽1+3i巽5+3i
虛3i
少陰2+2i坎6+2i
數2i
1+I少陽3+i艮7+i
i
2太陰4坤8
0012345678
實數Ｘ軸
太兩四八
極儀象卦
兩儀、四象和八卦卦線圖
八卦又分為四陽卦和四陰卦。四陽卦是乾、坎、艮和震；乾代表7、坎2、艮
1、震4；四陰卦是巽、離、坤和兌，而巽代表3、離5、坤0、兌6﹝這些數都是
01表示法所化成的10進制數，見前﹞；乾、坎、艮、震四數的和是14，巽、離、
坤、兌的和亦是14，陰卦和陽卦剛好各佔一半，由於兩者的和都是14，這給人一
種陰、陽實力均衡的印象。下圖是〈文王八卦次序圖〉，朱子《周易本義》收錄此
圖：
談到匹配方面，我們很容易想到，老父配老母，中男配中女，長男配長女，少
男配少女；這樣的匹配令兩者的10進制數的和都是7，如下表所示：
陽卦陰卦和
乾老父7坤老母07
震長男4巽長女37
坎中男2離中女57
艮少男1兌少女67
和14和1428
上述的匹配，特別是在數目字方面，筆者是覺得是奇妙的，因為7是一個奇特
的數字。注意上表陰陽四卦的排列次序和〈文王八卦次序圖〉相同，此圖以乾和坤
為首，其餘三卦次序從右至左分別為震、坎、艮和巽、離、兌，這相當於上表的從
上至下排列。
陽卦數有兩個奇數﹝7和1﹞和兩個偶數﹝4和2﹞，陰卦數也有兩個奇數﹝3
和5﹞和兩個偶數﹝0和6，0算是偶數﹞，這也是一種奇妙的配對。
若老母0為極陰，增加3變長女，長女增加2變中女，中女增加1變少女；數
目愈大，陰性越低，成反比。若老父7為極陽，減3變長男，長男減2變中男，中
男減1變少男，即數目愈大，陽性越大，成正比，這是陽卦數和陰卦數的最大分
別。
如果把上表的數目換成卦複數，我們可得下表：
陽卦陰卦和
乾老父1+7i坤老母8+0i9+7i
震長男4+4i巽長女5+3i9+7i
坎中男6+2i離中女3+5i9+7i
艮少男7+i兌少女2+6i9+7i
和18+14i和18+14i36+28i
不難發覺，陽卦和陰卦的卦序和都是18﹝複數是18+14i﹞。乾坤、震巽、坎
離和艮兌的卦序和都是9﹝卦複數是9+7i﹞，陽卦卦序有兩奇兩偶，1、7和4、
6，陰卦卦序也有兩奇兩偶，5、3和8、2。陽卦卦序從小至大，陰卦卦序從大至
小，這是陽卦和陰卦的性質，也是筆者常常所說的「陽順陰逆」。
參考文獻：
[1]宋?朱熹《周易本義》[M]。
[2]宋?邵雍《皇極經世?觀物外篇下》[M]。
[3]何世強《易學與數學》[M]?香港?中國哲學文化協進會?1999。
|
|
