八卦卦複數的圖像和趣味性質
TrigramComplexNumbers,ImagesAnd
InterestingProperties
何世強HoSaiKeung
提要:八卦可以以一個複數來表示,稱為「卦複數」。卦複數和普通的複數一様,
可以標示在座標紙上;八卦卦點同在一直線,稱為八卦卦線或S32卦線。
含這類卦線的圖稱為「卦線圖」。八卦分陽卦和陰卦,這兩類卦複類的和有
一些有趣的性質。
Abstract:Atrigramcanberepresentedbyacomplexnumber,so-called‘Linegram
﹝卦﹞ComplexNumber’(LCN)bytheauthor.ALinegramComplex
Numberisjustlikeanordinarycomplexnumberwhichcanbeplottedona
graphpaper.Theeighttrigrampointslieonastraightlinewhichisknownas
‘TrigramLine’.Adiagramwithatrigramline(orotherLinegramLine)is
knownasLinegramLineDiagram.TherearefourYinLinegrams﹝陰卦﹞
andfourYangLinegrams﹝陽卦﹞inthesetoftrigrams.WhentheYinand
YangLinegramsarerepresentedbyLCNs,thesumsoftheirLCNshavecertain
interestingpropertiesrespectively.
關鍵詞:卦複數、八卦卦線、卦線圖、陰卦和陽卦
KeyTerms:LinegramComplexNumber(LCN),TrigramLine,TrigramLineDiagram,
YinLinegramsandYangLinegrams
很多人都知道易卦和2進制數學有關,因為當陽爻和陰爻分別以1和0代
替時,又當易卦依卦序﹝伏羲卦序﹞排列時,以1和0代替的易卦便成為有次序
的2進制數,所以便說「易卦和2進制數學有關」。
近世有很多學者曾經在這方面作出研究,但因為易卦有不同的爻數,換言之這
些易卦所代表的2進制數有不同的位數,不同位數的2進制數經加或減﹝排除乘
和除﹞的運算後所得的結果很難與易卦扯上關係,在這種情況下,易卦和2進制
數學的關係便顯得薄弱,所以很多學者只能局限在把易卦改寫成1和0的領域內
而無法向前邁進。
筆者經過多年的研究,易卦和2進制數的關係可以突破爻數限制的範疇,不
論多少爻的卦﹝甚至0爻卦的太極﹞均可以以一個複數來表示,筆者稱之為「易
卦複數」﹝或簡稱為「卦複數」﹞,陽儀的卦複數是1+i,陰儀的卦複數是2,
i是虛數單位√–1,複數的實數部份是卦序﹝伏羲卦序﹞,虛數是卦的01表示法
﹝即2進制數﹞所化成的10進制數,這兩個數可以唯一地表示一個易卦。最重要
的是易卦複數可以作有限度的運算。
現在以八卦為例,我們先用「01表示法」來表達八卦。最下一爻的0或1排
在最左,最上一爻的0或1排在最右。八卦的圖如下所示﹝卦上的阿拉伯數目是卦
序﹞:
(1)(2)(3)(4)
________1______0________1______0
________1________1______0______0
________1________1________1________1
乾【111】兌【110】離【101】震【100】
10進制數:710進制數:610進制數:510進制數:4
(5)(6)(7)(8)
________1______0________1______0
________1________1______0______0
______0______0______0______0
巽【011】坎【010】艮【001】坤【000】
10進制數:310進制數:210進制數:110進制數:0
八卦的「01表示法」﹝下標ii表示2進制﹞化為10進制數時可列式如下:
1.乾:111(ii)=1×22+1×21+1×20=7,(伏羲卦序號是1),
2.兌:110(ii)=1×22+1×21+0×20=6,(伏羲卦序號是2),
3.離:101(ii)=1×22+0×21+1×20=5,(伏羲卦序號是3),
4.震:100(ii)=1×22+0×21+0×20=4,(伏羲卦序號是4),
5.巽:011(ii)=0×22+1×21+1×20=3,(伏羲卦序號是5),
6.坎:010(ii)=0×22+1×21+0×20=2,(伏羲卦序號是6),
7.艮:001(ii)=0×22+0×21+1×20=1,(伏羲卦序號是7),
8.坤:000(ii)=0×22+0×21+0×20=0,(伏羲卦序號是8)。
從上面的算式可以看出,伏羲八卦序號和該卦2進制數﹝「01表示法」﹞所
化成的10進制數的和必定是8。這八卦的卦序的說法可能始於邵雍,宋朱熹沿用
之而稱之為「伏羲八卦次序」。朱熹引邵雍曰:
乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。
從上面八式可知乾的10進制數最大,列第一,坤的10進制數最小,列最後。
這些10進制數倒排,故《說卦傳》曰:「易,逆數也。」,這個「逆數」的說法
和10進制數的倒排不謀而合。
任何一易卦包括了兩個數:一個是它的伏羲卦序,另外的一個是該卦以「01
表示法」所對應的10進制數。這兩個數可以確定唯一的易卦﹝只有卦序或只有該
卦的10進制數不能決定一易卦﹞。
於是,八卦的複數可以唯一地表示如下表﹝卦序和10進制數見前﹞:
八卦01表示法卦複數八卦01表示法卦複數
乾1111+7i巽0115+3i
兌1102+6i坎0106+2i
離1013+5i艮0017+i
震1004+4i坤0008
上表卦複數的實部和虛部的和必定是8﹝即是32,注意3是爻數﹞,亦可依
次序表達為:
1+(8–1)i、2+(8–2)i、3+(8–3)i、4+(8–4)i、5+(8–5)i、6+(8–6)i、
7+(8–7)i、8+(8–8)i。
亦可寫成:
1+(32–1)i、2+(32–2)i、3+(32–3)i、4+(32–4)i、5+(32–5)i、
6+(32–6)i、7+(32–7)i、8+(32–8)i。
上述的書寫方式看來有點累贅,但是在卦複數的運算來說,在某些情況下,是
須要寫成上面的方式的。
八卦的10進制數是乾七、兌六、離五、震四、巽三、坎二、艮一與坤零,邵
雍的《皇極經世?觀物外篇下》有類似記載:
乾七子,兌六子,離五子,震四子,巽三子,坎二子,艮一子,坤全陰故無
子。
雖然邵雍所說的不是「10進制數」,而是指其下所「生」的卦﹝即乾之下有
七卦,兌之下有六卦,其餘可類推﹞,不過這種「下生卦數」與10進制數符合。
《皇極經世?觀物外篇下》注曰:
「子」,云者或指所生之卦而言也。卦凡有八,乾一統七,兌二統六,離三統
五,震四統四,巽五統三,坎六統二,艮七統一;子之數如此,至坤為全陰,
後生卦,故云無子。
因為卦數有八,乾的下面有七卦,或說成「乾卦統領七卦」,這七卦算是乾的
子卦,所以說「乾七子」;兌之下有六卦,或說成兌卦統領六卦,六卦算是兌的子
卦,所以說「兌六子」,其餘可類推。坤為全陰卦,準備生他卦﹝生爻數多一的
卦,即生四爻的卦﹞,所以說無子卦。這些子卦的數目剛好就是該卦的10進制
數,不過「統領」的說法比「生卦」的說法好。我們可得這樣的結論:一易卦的
10進制數等於它的子卦的數目。
假如卦複數的實部是橫座標X軸,虛部是縱座標Y軸,那麼一個卦複數便可
標示在座標紙上。下面便是兩儀、四象和八卦卦線圖:
8i
乾1+7i
Y7i
兌2+6i
6i
離3+5i
軸5i
震4+4i
4i
太陽1+3i巽5+3i
虛3i
少陰2+2i坎6+2i
數2i
1+I少陽3+i艮7+i
i
2太陰4坤8
0012345678
實數X軸
太兩四八
極儀象卦
兩儀、四象和八卦卦線圖
八卦又分為四陽卦和四陰卦。四陽卦是乾、坎、艮和震;乾代表7、坎2、艮
1、震4;四陰卦是巽、離、坤和兌,而巽代表3、離5、坤0、兌6﹝這些數都是
01表示法所化成的10進制數,見前﹞;乾、坎、艮、震四數的和是14,巽、離、
坤、兌的和亦是14,陰卦和陽卦剛好各佔一半,由於兩者的和都是14,這給人一
種陰、陽實力均衡的印象。下圖是〈文王八卦次序圖〉,朱子《周易本義》收錄此
圖:
談到匹配方面,我們很容易想到,老父配老母,中男配中女,長男配長女,少
男配少女;這樣的匹配令兩者的10進制數的和都是7,如下表所示:
陽卦陰卦和
乾老父7坤老母07
震長男4巽長女37
坎中男2離中女57
艮少男1兌少女67
和14和1428
上述的匹配,特別是在數目字方面,筆者是覺得是奇妙的,因為7是一個奇特
的數字。注意上表陰陽四卦的排列次序和〈文王八卦次序圖〉相同,此圖以乾和坤
為首,其餘三卦次序從右至左分別為震、坎、艮和巽、離、兌,這相當於上表的從
上至下排列。
陽卦數有兩個奇數﹝7和1﹞和兩個偶數﹝4和2﹞,陰卦數也有兩個奇數﹝3
和5﹞和兩個偶數﹝0和6,0算是偶數﹞,這也是一種奇妙的配對。
若老母0為極陰,增加3變長女,長女增加2變中女,中女增加1變少女;數
目愈大,陰性越低,成反比。若老父7為極陽,減3變長男,長男減2變中男,中
男減1變少男,即數目愈大,陽性越大,成正比,這是陽卦數和陰卦數的最大分
別。
如果把上表的數目換成卦複數,我們可得下表:
陽卦陰卦和
乾老父1+7i坤老母8+0i9+7i
震長男4+4i巽長女5+3i9+7i
坎中男6+2i離中女3+5i9+7i
艮少男7+i兌少女2+6i9+7i
和18+14i和18+14i36+28i
不難發覺,陽卦和陰卦的卦序和都是18﹝複數是18+14i﹞。乾坤、震巽、坎
離和艮兌的卦序和都是9﹝卦複數是9+7i﹞,陽卦卦序有兩奇兩偶,1、7和4、
6,陰卦卦序也有兩奇兩偶,5、3和8、2。陽卦卦序從小至大,陰卦卦序從大至
小,這是陽卦和陰卦的性質,也是筆者常常所說的「陽順陰逆」。
參考文獻:
[1]宋?朱熹《周易本義》[M]。
[2]宋?邵雍《皇極經世?觀物外篇下》[M]。
[3]何世強《易學與數學》[M]?香港?中國哲學文化協進會?1999。
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