高三年级数学寒假作业（3）
答案
一、填空题
1．；
【解析】
2．③；3．；
【解析】
4．2；【解析】
5．3；【解析】
6．2；【解析】因为,所以,即边的长度为2．
7．；
所以
而，
将一骰子抛掷两次共有36个不同的结果，其中满足的共有30个，
所以所求概率为
8．6000；
所以,总调查人数为10000，而图甲乙算法表示的为S=A2+A3+……+A6=6000．．[0，+）；若
综上所得，．2；【解析】所表示的区域
如右图所示（包括边界），
=x+y
令z=x+y，经过点(2，1)和(1，2)时z有最大值．
11．；
【解析】由，
得，．
不等式表示的平面区域如右图所示
，
．
12．3；①、②、③正确
13．；据题意可得,故因此，
据题意令＜，易验证知满足不等式的最大正整数值为3．
14．满足当时，恒成立在(0,+∞)上单调递增，又因为满足对任意的都有是偶函数．等价于．当时，，所以f(x)在x=1时有最小值-2．，，f(x)max==2
f(x)min==2．，．15．解：（1）若，则·＝0，
cosxsinα＋sinxcosα＝0，sin(x＋α)＝0，
所以cos(2x＋2α)＝1－2sin2(x＋α)＝1.
（）证明：假设和平行，则cosxsinx－sinx(cosx＋2)＝0，
即2sinx＝0，sinx＝0，而x时，sinx>0，矛盾．
故假设不成立，所以和不可能平行．
（）若α＝0，则c＝(0,1)，则f(x)＝·(－2c)
＝(cosx，sinx)·(cosx＋2，sinx－2)
＝cosx(cosx＋2)＋sinx(sinx－2)
＝1－2sinx＋2cosx＝1＋4sin，所以f(x)max＝5，此时，x＝2kπ－，kZ.
16．解：（1）由意得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，
即x2－500x≤0，又x>0，所以0
即最多调整出500名员工从事第三产业．
（）从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工创造的年总利润为
10(1000－x)万元，
则10x≤10(1000－x)，
所以ax－≤1000＋2x－x－x2，
所以ax≤＋1000＋x，
即a≤＋＋1恒成立，
因为＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝500时等号成立．
所以a≤5，又a>0，所以0
即a的取值范围为(0,5]．17．解：（1）的斜率存在，
因为直线过点：．
因为两点上，所以，
因为，所以.
所以所以到直线的距离等于．
所以，得.
所以直线的方程为或．
（）与的面积相等，所以，
设，，所以，．
所以即（），两点在圆上，所以
把（）代入得所以
故直线的，即．
18．解：（1），，
当,,单调递减，
当，单调递增.
①当无解；
②当，即时，；
③当即时，在上单调递增，；
所以
（2），对一切恒成立.
设，则，
当单调递减，
当单调递增.
在上，有唯一极小值，即为最小值.
所以，因为对一切恒成成立，
所以.
19．解：（1）（舍），
当时，，，
当时，，
当时，，
，
因为，所以，
综上所述，不等式的解集为。
（2），所以，
恒成立。
令，则即恒成立，
当且仅当时取“=”。故
即的取值范围为
20．解：（1）时，总有满足①
当时，满足②
所以函数为函数（2）函数是函数①有，
根据②有
因为，
所以，，其中和不能同时取到，
于是，
所以，即，
于是
另解：因为函数是函数①有，
根据②有
取得
于是
（3），原方程可以化为，
由，
令，则，
由图形可知：当时，方程有一解；
当时，方程无解；
因此，方程不存在两解。
21．由题设得,设是直线上任意一点,
点在矩阵对应的变换作用下变为,
则有,即,所以
因为点在直线上,从而,即：
所以曲线的方程为
22．将直线的参数方程化为普通方程为：
将圆C的极坐标方程化为普通方程为：
从圆方程中可知：圆心C（1，1），半径，
所以，圆心C到直线的距离
所以直线与圆C相交．
23．以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
依题意得
（1）
所以异面直线与所成的角的大小为.（5分）
（2）
又由题设，平面的一个法向量为
24.（1）易求：
（2）用数学归纳法证明：
（ⅰ）时，由题设
（ⅱ）假设时，
则当时，
由（1）知：在(0，1)上是增函数，又，
所以
综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意，
所以
即>.
高三数学试卷(3)答案第8页共8页
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1
1
x
O
y
y
x
O
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