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《微积分》《微积分》《微积分》《微积分》上册上册上册上册综合练习题综合练习题综合练习题综合练习题2一一一一、、、、填空题（每小题填空题（每小题填空题（每小题填空题（每小题2分，共分，共分，共分，共20分分分分））））：：：：
1.设11(1),()2-11xffxxxx?==?则。1111111
(1),1,,(),()121111211?=?=====?+???+ftxftfxxxxttxt解由令
2．函数)12ln(2712arcsin)(2??+?=xxxxxf的定义域区间。解
12(,1)(1,2]∪3．已知函数
2()2=?fxxx的单增区间是（0，1）。解
222''()0,1,(0,1)''()022?===∈>?xfxxxfxxx当时，，单增区间是（0，1）4．
)1(1)(2??=xxexfx的可去间断点为=0x0；补充定义=)(0xf-2时，则函数在
0x处连续。22
00111212limlim2,limlim(1)(1)(1)(1)xxxxxxexexxxxxxxxx→→→→??==?==∞????解5．若)(xf在x=a处可微，则[]hhafhaf
h)()(lim0??+→＝。[][])(''2)()()()(lim)()(lim
00afhhafafafhafhhafhafhh=??+?+=??+→→解6．如果()(1)2)(3)(4)fxxxxx=????则方程()0fx′=有3个实根。
解由罗尔定理可得。7．曲线
1222()arctan2xxfxexx=???有2条渐近线。
解12220lim()limarctan0,lim()2→∞→∞→=?==∞??∵xxxxxfxefxxx8．已知函数)(xf任意阶可导，且
2()[()]fxfx′=，则)(xf的n（n≥2）
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阶导数=)()(xfn
1![()]nnfx+。解
231()[()],''()2[()],,![()]nfxfxfxfxnfx+′′==∴?9．若∫∫=?+=dxxxfCxdxxf)1(,ln)(
2则21ln(1)2??+xC。
212211(1)(1)(1)ln(1)22?=???=??+∫∫xfxdxfxdxxC解10.()()()
102(),-1fxfxxftdtfxx=+=∫设是连续函数，且则。解设
110011(),2222AftdtAxdxAAAA==+?=+?=?∫∫()1fxx∴=?
二、单项选择（每小题2分，共10分）：1．函数)1ln()(
2++=xxxf为（A）。（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既
是奇函数又是偶函数2.函数1()sinfxxx=，则)(xf（B）。
（A）单调（B）有界（C）为周期函数（D）关于原点对称
3．当0→x时，下列函数那个是其它三个的高阶无穷小（D）。（A）2x（B）1cosx?（C）)1ln(2x+（D）
xxtan?
2220
2200
1cos10,ln(1),lim2tan1seclimlim0
2tan→→→
?→～+=??==
∴?
∵x
xx
xxxxxxxx
xxxx解当时而，是其它三个的高阶无穷小。
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4.设?????≤+>=0,0,1sin)(2xbaxxxxxf在x=0处可导，则（C）。（A）
1,0==ab（B）0,=ab为任意常数（C）0,0==ab（D）1,=ab为任意常数
200
2
00
1lim()limsin01sin
limlim0?+?+→→→→
+===+?
===xxxx
axbbxxxaxbbx
axx
解
5．2)2(10=+∫dxkx，则k=(C)。(A)2(B)0(C)1
(D)1?)2(2ln12xxddx=
三三三三、、、、计算题（每小题计算题（每小题计算题（每小题计算题（每小题7分，共分，共分，共分，共56分分分分））））：：：：1.求极限
20sintansinlimxxxxx?→。
22002
22200
sintantan(cos1)limlimsinsin10,sin,cos1,tan
21()sintan12limlim
sin2
xx
xx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
→→
→→
??=→～?～?
???∴==??∵～
解
2．已知函数2,1(),1+>?=?≤?axbxfxxx有连续的导数，求a，b。
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()(10)(10)1,1(1)1''()()'',1''()2
(1)(1)2(2)2,1
fxffabxfxaxbaxfxx
ffaab+?
?=+=?+=>=+=<=
=?=∴==?
∵解可导必连续，当时，当时，
而由可导及连续有:联立(1),(2)求解得
3．已知2ln(1)xxyee=++，求y′。
解y′=xxxxxeeeee2221122++++=xxxxxxeeeeee222111+++++=xxee21+4．设y=f(arctanx)，且f(x)二阶导数连续，求"y。
解y′=211)(arctan''xxf+?"y=
222)1(2)(arctan'')1)((arctan"xxxfxxf+??+
5．求函数()?=xfxxe的单调区间、极值点、凹性、拐点。''()(1)01,"()(2)02??=?=?==?=?=∵xxfxexxfxexx解
x(,1)?∞1(1,2)2(2,)+∞''()fx+––
"()fx––+
()fx↑,∩极大值↓,∩拐点↑,U
所以(,1)?∞是单调增区间，(1,)+∞是单调减少区间，极大值点是
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x=1,拐点是2(2,2)?e
6.已知)(sinxfxx为的一个原函数，求不定积分(2)xfxdx′∫。
2
1''(2)[(2)(2)]2sinsin2()(2)
2sincossin()()''
112cos2sin2sin2''(2)[(2)()][2222cos2sin2
2
∵xfxdxxfxfxdxxxfxfxdxCxx
xxxxfxxxxxxxxfxdxxfxfxdxC
xxxxxx
=?=
?==?∴=?=?
?=
∫∫∫
∫∫
解由已知为的一个原函数，＋
]＋＋C
7．计算不定积分211dxx+?∫。
22
222
sin,coscos1cos1cos1cossin11
sin1cotsinsinsin11sin
xtdxtdtdxtdtdttttdttttx
dtdttttCtttxarcxC
xx
==?==+=++++?
=+?=?++?=?++∫∫∫∫∫∫
解令
8.当k为什么值时，广义积分()2lnkdxxx+∞∫收敛？当k为什么值时，广义积分发散？
解解解解因为1222(ln)(ln)(ln)lim1(ln)bkkkbxdxxdxkxx?+∞+∞?→∞==?∫∫而当1=k时，广义积分发散；
当1
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当1>k时，112211lim(ln)(1)(ln)(1)(ln2)bkkkbdxxxkxk+∞??→∞?==??∫所以当1≤k时，积分发散；当1>k时，广义积分收敛于
11(1)(ln2)kk??.
四四四四、、、、应用题（应用题（应用题（应用题（本题本题本题本题8分分分分））））：：：：已知某产品的成本函数为2=++CaQbQc，需求函数为
1()=?QdPe，其中Q为需求量，C为成本，P为单价，a,b,c,d,e都是常数，且>db。
求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；（3）需求对价格的弹性的绝对值为1时的产量。
22
max
1()()()()()()()''()2()()
2()"()2()0,2()
(
LxRxCxPQCdeQQaQbQceaQdbQcdbLxeaQdbQ
eadbLxeaQea
dL
=?=?=??++=?++???=?++??=
+?=?+<∴=+
?=
解（）
驻点唯一，当时，利润最大,最大利润是2)
4()bea+1''11'',()
,2QdeQQdeQeeQeQQdQeηη?=?∴=??=∵（2）＝-(3)当=1时＝
五五五五、、、、证明题证明题证明题证明题：：：：（（（（本题本题本题本题6分）分）分）分）证明：当xxxxx+>+>1ln)1ln(,1时。
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()(1)ln(1)ln1''()ln(1)0,(1)()1+
(1)2ln20ln(1)()(1)ln(1)ln01,ln1
fxxxxxfxxfxx
fxxfxxxxxxxx
=++?=+>>∴∞
=>+=++?>>>+∵
证明当时，在（，）内单调增加，
且故，即时
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