熟练常见曲线画法，创造性应用几何画板
石新茂鲁东大学物理与电子工程学院山东，烟台264025
许多老师会用几何画板进行简单的课件制作，但遇到较复杂的问题就力不从心了。根据体会，如果加强常见曲线的绘制，并进行数理现象的模拟训练，可促使我们熟悉基本的绘图技能，发现规律性的绘图技巧，丰富解决问题的思路。
一、绘制常见曲线
常见曲线这里主要指圆锥曲线和三角函数曲线。以下通过举例（文中所有举例严格符合从空白画板文件开始绘制的实际情况）的形式说明常见曲线的画法，由于各例在技巧上均有特色，所以能反映几何画板中作图的一些基本技巧。
画椭圆两法
第一种方法（图1）的思路源于椭圆的定义：到两定点的距离之和为一个定值。线段AB之长不变，C点在线段AB上运动时线段AC和线段CB之和也就为定值。只要分别以焦点D、E为圆心，以线段AC和线段CB为半径画圆，两圆的交点F、G肯定是椭圆上的点。当C点在线段AB上运动时，交点F、G的轨迹就是椭圆。
其绘制步骤为：画线段AB，并在其上取点C；选中点A、C，按“Ctrl＋L”构造线段AC；同样,构造线段CB；画出椭圆的焦点D、E，目测D、E之间的距离使之小于线段AB的长度；选中点D和线段AC，构造/以圆心和半径画圆（文中菜单命令和选项均用斜体）；同样，以点E和线段CB作圆；点击两圆相交处，出现交点F和G；选中点F和C，构造/轨迹；选中点G和C，构造/轨迹。当然，也可以选中点F、G，执行显示/轨迹跟踪，然后选中点C和线段AB执行编辑/按钮/动画，通过动画显示椭圆的轨迹。
第二种方法（图2）巧妙地利用垂直平分线将固定长度的半径分隔成两部分，使交点F到两个定点D、A的距离之和总等于圆的半径。其绘图步骤是：
画出一个较大的圆，圆心为A；在圆上和圆内分别画点C、D；连接点C和点D；连接点C和圆心A；选择线段CD，构造/中点E；选择线段CD及其中点E，构造/垂直线；点击垂线和线段AC相交之处，画出交点F；选中点F、C，构造/轨迹，即得椭圆。
画抛物线两法
第一种方法（图3）的思路是让以焦点C为圆心的圆随点D的移动不断改变半径的大小，而通过测算值使线EF与x轴的距离始终等于圆C的半径，这样，线EF与圆交点的轨迹就是抛物线。其画法如下：
执行图面/建立坐标轴，隐藏点B；在y轴上画点C、D；以C为圆心，线段CD为半径画圆；选择点C和点D，测算/距离；选中测算值，执行图面/划出测算值，选中在垂直(y)轴选项后确认，得到x轴的平行线，点击它和圆的相交之处，得到两交点E、F；选择点E和点D，构造/轨迹；选择点F和点D，构造/轨迹。
第二种方法（图4）十分简明。C点是x轴上移动的点，D点是焦点,线段CD的垂直平分线和竖直线CF的交点便是椭圆的轨迹。其画法如下：
执行图面/建立坐标轴，隐藏点B；在x轴上画任意点C，y轴上画点D，并将它们连成线段；作线段CD的垂直平分线；过点C作x轴的垂线，并画出它和CD垂直平分线的交点F；选中点C、F，构造/轨迹。
画双曲线
画出两个点A、B；以A为圆心画圆（半径小于A、B间的距离）；在圆上画任意点D；过点A和点D作直线；连接点D和点B；选择线段DB，构造/中点E；选择点E和线段DB，构造/垂直线；点击垂线和直线DA相交处，画出交点F；选择点F和点D，构造/轨迹，得到双曲线（图5）。
划正弦曲线
执行显示/设置参数，将角度单位设置为弧度；建立坐标系，并隐藏点B；在x轴上画点C，并测算出它的坐标；选中测算值，测算/计算，在值中选择点C的x,确认；选择点C的x轴坐标，测算/计算，点击函数，选择sin[函数，再点击值选中x[C]，按右括号键（英文状态下）后确认；依次选择“xC”和“sin(xC)”的测算值，执行图面/画点-根据(x,y)，得点D；选中点C和点D，构造/轨迹，即得正弦曲线（图6）。
其实，每一种曲线的画法都很多，努力尝试不同的画法可以熟悉几何画板作图的基本技巧，丰富解决问题的思路，为创造性地使用几何画板打好基础。
二、模拟数理现象
模拟数理现象是自学几何画板的难点，是指利用几何画板对一些现象进行模拟，不仅再现过程，起到演示作用，而且精确显示变化中的数理关系，起到模拟规律的作用。它是几何画板富有创造性的应用，要通过不断的创造实践逐步提高创造能力。以下是几个有代表性的举例，望能有启发。
凸透镜成像
执行图面/建立坐标轴，隐藏点B，将点A符号改为O；画一水平线段CD，长度约0.5cm（模拟透镜焦距大小）；选中线段CD，测算/长度，再用手形文本工具双击测算结果，在对话框中选文本格式，将等号左面的内容全部替换成“焦距f”；选中测算值，执行变换/标识距离；选择坐标中心O，执行变换/平移，选中根据极坐标向量和根据标识的向量，偏移方向设置为0度，确认后创建点O’，将符号O’改为f；双击点O标识其为旋转中心，选择点f，执行变换/旋转，旋转角度设置为180度，确认后创建点f’，将符号f’改为f；在x轴负半轴上画点E；选中点E，测算/坐标；选中坐标的测算值，测算/计算，选择函数中的abs[函数，选择值中的点E的x横坐标,按右括号后确认，得测算值“|xE|”；用文本工具将测算值“|xE|”等号左面的内容全部替换为“物距u”；选中测算值“物距u”和“焦距f”，算出“物距u焦距f/(物距u-焦距f)”的值,并用文本工具将其等号左边改为“像距v”；隐藏点E坐标的测算值；选择测算值“像距”，执行图面/划出测算值，在x轴上画y轴的平行线，其与x轴的交点为F；过点E作x轴的垂线，在垂线上画点G，而后隐藏此垂线；过点G和坐标中心O画虚线，交y轴平行线于点H；将点G和点H设置为绿色，用红色线段标出线段EG和线段FH，隐藏y轴的平行线；拖动线段EG观看效果（图7）。
平抛运动
执行图面/建立坐标轴，并向左上方拖动坐标中心A，让第四象限占据较大屏幕；拖动坐标缩放点B,使坐标出现10以上刻度；画射线AC,C点落在x轴上，画完后射线AC处于选中状态，接着构造/目标上的点得点D；隐藏点C、A、B；测算点D的横坐标，而后用文本工具将测算值等号左边改为“t”，并加上单位“秒”；画一线段EF，测算出其长度后再将长度乘1；用文本工具将乘1后的测算值左边改为“加速度a”，取消显示单位，在数值后写入“米/(秒秒)”；同时选中测算值“t”和“加速度a”，计算出“（1－2）加速度att/2”，将其等号左边改为“s”,单位改为“米”；选中测算值“t”和“s”，据此画点G；选择点G，执行显示/轨迹跟踪；拖动点D即可得平抛运动轨迹，改变线段EF的长度，可设置加速度的大小（图8）。
小球振动
画圆A，并在其上画点C，隐藏点B；按住Shift画水平线DE；过点C作线DE的平行线；选择点C和圆A，执行编辑/按钮/动画，设置点C绕圆单向运动后点击动画便出现“动画”按钮；画竖直线FG与线DE的平行线交于点H；在点H左上方的位置画点I；在word中用多边形工具画折线并将其加粗作弹簧，用椭圆工具画圆，并填充成从中心渐变的立体小球；选择点I和点H，将弹簧复制并粘贴到点I和H之间；将点H水平向左平移一定的距离（为了使小球和弹簧竖直对齐）后产生点H’；选择点H’，将小球拷贝并粘贴到点H’的右下角；双击“动画”按钮观察动画效果，单击鼠标结束动画（图9）；隐藏不需要的对象。
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图8
图7
图6
图5
图4
图3
图2
图1
图9
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