高三年级数学寒假作业（5）
答案
一、填空题
1．②④
2．
解析：设外接球半径为则，．
3．
解析：设三棱长分别为，则，三式相乘得
，，则．
4．；
5．①②
解析：③错误，相交或平行；④错误，与可以垂直，不妨令，则在内存在
6．②③④
解析：由①∥，可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得到两直线垂直．
7．24
解析：取棱为基量，正方体与所在的直线异面的有直线，因为各棱具有相同的位置，且正方体有12条棱，所以异面直线共有对．
8．
解析：因为，
则，故．
9．
解析：，
所以
10.
解析：因为为线段上的一点，所以，又因为为线段上的一点，所以点到的距离为１，所以．
11．
12．
13.
14．
二、解答题
15．证明：（1）∵四边形是矩形，∴，
又平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
又，，
平面，平面，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面．
（2）取中点，连结，
∵是的中点，∴是的中位线，
∴∥，，又∵∥，
∴∥，∴四边形是平行四边形，
∴∥，又平面，平面，
故平面∥．
16．证明：（1）取中点，连结.
在矩形中，，又，则，
连结，于是四边形为平行四边形.
又平面，平面，∴∥平面
（2）证明：连结，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△中，
且.
因此平行四边形为菱形，从而而，
∴⊥平面，从而.而，所以⊥平面.
17．证明：⑴延长、相交于,连,
菱形,并且为中点，
∥,
为中点，为线段中点
∥,面,面
直线∥面;
⑵垂直,理由如下
由菱形,及角为，得三角形为正三角形，
为中点，⊥,⊥,
平面和平面垂直，并且交线为，在面中，
⊥平面
面,面⊥面.
18．证明：（1）连结,
因为,为的中点，
而,
所以.又因为是正方形对角线的交点，
所以又因为
所以平面.
(2)取的中点，在中，因为是的中点，
所以，且
又因为是的中点，所以，且
所以四边形是平行四边形，所以
又因为平面，平面,所以∥平面.
19．解：,连接是的中点，∵是中点∴在中，∥，∵平面，平面，
∴∥平面．平面平面,,平面平面
平面,又平面,
又，,平面,
在中，为的中点，
,平面，
又平面，平面平面．
20．证明：(1)
又是平面内两条相交直线，
平面．
（2）由（1）知平面平面平面，且，
则过作平面的垂线，垂足必在上，
是与平面所成角，
∵，且，∴是等边三角形，
即，是等腰直角三角形，
设，则，且，
所以四棱锥的高，
设直线与平面所成角为，则．
高三数学（5）答案第1页共4页
E
F
C
D
A
B
G
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