作业3.x2＋y2＋2x－4y＝0－12
8.189.或10.-11.12.
13.[1,5]14.(,1)
二、解答题
15.椭圆的两个焦点为、，M是椭圆上一点，且满足．（1）求离心率的取值范围；（2）当离心率取得最小值时，点到椭圆上的点的最远距离为，求此时椭圆的方程。
解解：（1）设点M的坐标为(x，y)，则，。
由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。①
又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。
∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，
解得≤＜1。又∵0＜＜1，∵≤＜1。……8分
（2）当离心率取最小值时，椭圆方程可表示为。
设点H(x，y)是椭圆上的一点，则
|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18(-b≤y≤b)。
若0＜b＜3，则0＞-b＞-3，当y=-b时，|HN|2有最大值b2+6b+9。
由题意知：b2+6b+9=50，b=或b=-，这与0
若b≥3，则-b≤-3，当y=-3时，|HN|2有最大值2b2+18。
由题意知：2b2+18=50，b2=16，∴所求椭圆方程为。……分
因为所以
令得所以点的坐标为.
由得解得（舍）
所以点的坐标为.
因为，所以且
（2）因为是直角三角形，
所以的外接圆的圆心为，半径为
所以圆的方程为.
因为为定值，所以当的面积最大时点到直线的距离最大.
过作直线的垂线，则点为直线与圆的交点.
直线与联立得（舍）或
所以点的坐标为(0,-)
17.解：(1)依题意，圆心G到定点F(，0)的距离与到直线l：x＝－的距离相等，
∴曲线E是以F(，0)为焦点，直线l：x＝－为准线的抛物线.
∴曲线E的方程为y2＝6x.
(2)当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y＝kx＋b(k≠0).
由消去x得ky2－6y＋6b＝0，Δ＝36－24kb>0.
y1y2＝，x1x2＝·＝＝.·＝x1x2＋y1y2＝＋＝－9，
∴b2＋6kb＋9k2＝0，(b＋3k)2＝0，b＝－3k，满足Δ>0.
∴直线AB方程为y＝kx－3k，即y＝k(x－3)，∴直线AB恒过定点(3,0).
当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x＝3，也过点(3,0).
综上，直线AB恒过定点(3,0).
18.解：因为点到直线的距离为，………………………2分
所以圆的半径为，故圆的方程为……………4分
设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，即，……………6分
，
当且仅当时取等号，此时直线的方程为．………10分
设，，则，，，
直线与轴交点，，
直线与轴交点，，…………………14分
，
故为定值2．…………………16分
，又椭圆的离心率得，
即，由得，所以，
故所求椭圆方程为。（6分）
（2）设，则，设，∵HP=PQ，∴
即，将代入得，
所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上。
又A（－2，0），直线AQ的方程为，令，则，
又B（2，0），N为MB的中点，∴，，
∴
，∴，∴直线QN与圆O相切。（16分）
|
|
