数理统计课程
辅导提纲
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抽样分布
一、内容提要
§1.1引言
§1.2基本概念
总体；样本；频率直方图；经验分布函数；统计量。
§1.3抽样分布
分布；分布；分布；正态总体样本均值和方差的分布；概率分布的分位数。
二、重点内容
总体、样本的概念；经验分布函数及其性质。
样本均值；样本方差；样本标准差。
分布、分布、分布及其性质。
正态总体样本均值和方差的分布。
三、典型例题
例1.试证，其中。
证：
例2.设和为的样本均值和方差。作变换：。试证：。其中和为的均值和方差。
证：
例3.设是来自正态总体的样本，，分别为样本均值和样本方差，试证明：。
证：由线性代数知：存在第一行为的阶正交矩阵，作正交变换：
则有：，即
且：
即：
由正态分布的不变性知：
且相互独立，故：
四、思考题，作业题：
参数估计
一、内容提要
§2.1引言
点估计；区间估计。
§2.2点估计量的求法
矩估计法；最大似然估计法。
§2.3估计量的评选标准
无偏性；
有效性；
充分性；
相合性（一致性）。
§2.4区间估计
单个正态总体的均值与方差的置信区间；
两个正态总体，均值差和方差比的置信区间。
非正态总体的均值和标准差的置信区间。
二、重点内容
1.用矩估计法求未知参数的估计量。
2.求未知参数的最大似然估计量。
3.判断某个估计量的“优劣”。即判断其是否具有无偏性，有效性，充分性或相合性。
4.单个正态总体的均值与方差的置信区间。
设是来自总体的样本。则有：
求的置信区间时：
（1）已知时，采用统计量；
（2）未知时，采用统计量：
（或）
求的置信区间时：
（1）当已知时，采用统计量：
（2）未知时，采用统计量：
三、典型例题
例1.设有容量为的样本，求密度函数：
中参数的矩估计。
解：
由得的矩估计为：
例2.设总体服从均匀分布，其密度函数为：
试求参数的矩估计量。
解：
从而有：
解得的矩估计量为：
例3.设总体服从负指数分布，其分布密度为：
试用来自的样本求的矩估计量。
解：
由得矩估计量为：
例4.设总体服从泊松分布：
试求参数的最大似然估计。
解：似然函数为：
于是令
解得
又
故知为的最大似然估计。
例5设随机变量的密度函数为：
为来自总体的一个样本，试求的最大似然估计量。
解似然函数为：
令：，得似然方程为：
解得的最大似然估计为：。
例6.设总体，试求和的最大似然估计量。
解：设为的样本，似然函数为：
令：
解得，的最大似然估计为：
例7.设是取自参数为的泊松分布的一个子样，试证明：是参数的无偏估计。
证：
故是的无偏估计。
例8.设为取自参数为的泊松分布的一个子样，试证明和都是的无偏估计，并且对任一值，也是的无偏估计。
证：
即，，均是的无偏估计。
例9.设总体，为样本，试证明是有效估计。
证：的密度函数为：
于是参数的无偏估计量的方差下界为：
但无偏估计量的方差：
达到了下界。故是的有效估计。
例10.设为独立同分布的随机变量，其分布为二点分布：
其中，证明为的充分统计量。
证：的联合分布函数为：
若取
则：
故由因子分解定理知为的充分统计量。
例11.设是独立同分布随机变量，都服从几何分布：
则是的充分统计量。
证：的联合分布密度为：
取：
则
故由因子分解定理知：是的充分统计量。
例12.设是的相合估计，为常数序列，满足：
证明也是的相合估计。
证：因，故对任意的，存在，使得当时，
令，则当时，于是：
，对一切
因而有：对一切
故也是的相合估计。
例13.设总体，未知，若已知样本容量，样本均值，样本方差，试求的置信区间（置信系数为）。
解：因未知，故采用统计量：
因，故。查表知:
故的置信区间为
例14设总体，未知。若已知样本容量为，样本方差，试求当时，的置信区间。
解因未知，故采用统计量
查表知：
故的置信区间为：
例15设总体。若使的置信系数为0.95的置信区间长度为5，试问样本容量最小应为多少？
解因已知，故采用统计量
因为，故
查表知：
故的置信系数为0.95的置信区间长度为：
即：
∴
故样本容量最小应为62。
四、思考题、作业题。
第三章假设检验
一、内容提要
§3.1引言
假设检验的理论根据;
假设检验的两类错误;
假设检验的实施步骤.
§3.2关于正态总体的参数假设检验
单个正态总体的均值检验;
单个正态总体的方差检验;
两个正态总体,的均值检验;
两个正态总体,的方差检验.
§3.3一致最优检验
奈曼—皮尔逊引理;
正态总体参数的UMP检验;
正态总体参数的UMPU检验.
§3.4非参数检验
皮尔逊检验法;
K—C检验法.
二、重点内容
1.单个正态总体的均值检验:
当已知时,采用统计量
当未知时,采用统计量
2.单个正态总体的方差检验:
当已知时,采用统计量
当未知时,采用统计量
3.两个正态总体,的均值检验:
当已知时,采用统计量
当未知时,采用统计量
其中:
三、典型例题
例1设某产品指标服从正态分布,它的根方差已知为150小时。今在一批产品中随机抽查了26个,测得指标的平均值为1637小时,问在的显著性水平下,能否认为这批产品的指标为1600小时?
解母体.按题意,需检验假设
因,故采用统计量
观察值为
当时,查表知
因,故接受.即认为这批产品的指标为1600小时。
例2下面是某工厂随机抽取的20只部件的装配时间(单位:分钟)
10.29.810.410.69.69.79.910.911.19.6
10.39.69.911.210.69.810.510.110.59.7
设装配时间的总体服从正态分布.是否可以认为装配时间的均值显著地大于10(取)?
解设装配时间的总体均值为.按题意,需检验
,
因总体方差未知,故采用统计量：
的拒绝域为
由所给数据得,,因而观察值为
因,故拒绝,即认为装配时间的均值显著地大于10.
例3某种导线,要求其电阻的标准差不得超过.今在生产的一批导线中取样品9根,测得,设总体为正态分布.问在水平下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?
解按题意,需检验假设
,
因均值未知,故采用统计量：
其拒绝域为
由题得的观察值为
因为,故拒绝,即认为这批导线的标准差显著地偏大。
四、思考题、作业题
3-1,3-3,3-4,3-8.
第四章回归分析
一、内容提要
§4.1引言
§4.2一元线性回归
中参数的点估计;
估计量的分布及其性质;
的区间估计和假设检验;
预测.
§4.3一元曲线回归
双曲线型;
幂函数曲线型;
指数曲线型;
倒指数曲线型;
对数曲线型;
型曲线.
§4.4多元线性回归
多元线性回归中参数的估计及估计量的性质;
多元线性回归的假设检验;
最优回归方程的选择;
多项式回归;
预测.
二、重点内容
一元线性回归中参数的最小二乘估计;
一元线性回归中参数的区间估计和假设检验;
多元线性回归中参数的最小二乘估计;
多元线性回归中的假设检验.
三、典型例题
例1为研究温度对某个化学反应过程的生产量的影响,收集到如下数据(规范化形式):
x -5-4-3-2-1012345 y 1547108913141318 假定和之间满足关系:
(1)求的最小二乘估计;
(2)利用检验法检验由(1)得到的线性回归方程的效果是否显著()?
解由表中数据得:
(1)
(2)采用检验法,其观察值为：
当时,
由于3.2498<9.7789.故拒绝.即认为线性回归效果显著.
例2.设
各相互独立,且均服从.
写出系数矩阵X;
求的最小二乘估计;
证明当m=2n时,不相关.
解:(1)
(2)
记则:
从而的最小二乘估计为:
(3)当m=2n时,的非对角元为0,故知与不相关.
例3对某矿体的8个采样进行测定，得到该矿体含铜量与含银量的数据如下：
x 37 34 41 43 41 34 40 45 y 1.9 2.4 10 12 10 3.6 10 13
(1)建立对的回归直线方程；
(2)做线性相关性检验（，用检验）。
解由题设数据可得：
，
，
(1)因为：
因而对的回归直线方程为：
(2)线性相关性检验即检验假设：
因为
故由前计算可得：
故：
对，查表得：
由于，故拒绝假设，即认为与之间有显著的线性相关性。
四思考题作业题:
4-1,4-2,4-4.
方差分析
一内容提要
5.1引言
5.2单因子方差分析;
等重复试验的方差分析;
不等重复试验的方差分析;
双因子方差分析
双因子试验的数学模型;
非重复试验的方差分析;
等重复试验的方差分析.
二重点内容
等重复试验的单因子方差分析;
不等重复试验的单因子方差分析.
三典型例题
例1.某印刷厂为了考察染整工艺对缩水率的影响,对一批由同种原料织成的布,用六种不同的染工艺各自处理了四块布样,测得缩水率的分数如下:
工艺
试验
123456 1
2
3
4 4.82.23.23.05.04.7
4.43.94.23.62.44.3
5.71.64.32.12.73.6
3.93.34.12.04.85.0
试问染整工艺对缩水率有无显著影响()?
解:这是单因子等重复试验,重复数k=4,水平数p=6,因而n=kp=24.
用变换,对数据进行变换得:
工艺
试验
123456 1
2
3
4 8-18-8-10107
4-12-4-163
17-243-19-13-4
-1-71-20810 计算如下:;
;
.
从而
查表知:
因,故拒绝,即认为染整工艺对缩水率的影响是显著的.
例2设有三台同样规格的机器，用来生产厚度为的铝板。今要了解各台机器生产产品的平均厚度是否相同，取样测至千分之一厘米，得结果如下：
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262
试问这三台机器在水平下有无显著的差异?
解：分别以，，记三台机器生产的铝板总体均值。则我们要检验：
令，将数据简化如下：
Ⅰ Ⅱ Ⅲ -14 7 8 -12 3 14 -2 5 9 -5 4 17 -7 11 12
计算得方差分析表如下:
方差来源 平方和 自由度 均方 F值 机器之间 2 误差 12 总和 14
当时.查表得：
因为，故拒绝,即认为这三台机器在水平下的差异是显著的。
例3.某灯泡厂用四种不同材料的灯丝制成四批灯泡.今在每批灯泡中分别随机抽取若干只进行寿命试验(单位:小时),其结果如下:
灯
泡
种
类
,,,,,,
,,,,,
,,,,,,,
,,,,,
试问灯丝材料对灯泡寿命有无显著影响()?
解:这是单因子不等重复试验,水平数p=4,
.
因而,
利用不等重复试验的方差分析公式计算,其结果如下:
方差来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 组间 3 组内 22 总方差 25
当时.
因为.故接受,即认为灯丝材料对灯泡寿命无显著影响。
四.思考题,作业题
5-2,5-3,5-4.
时间序列分析
内容提要
引言
时间序列的线性模型;
平稳时间序列;
平稳时间序列常用数字特征;
三种线性模型AR(p),MA(q),ARMA(p,q);
平稳域和可逆域;
三种模型的自相关函数及其性质;
偏相关函数.
模型的识别与检验
样本自相关函数与样本偏相关函数;
模型识别;
模型的参数估计
AR(p),MA(q),ARMA(p,q)的参数估计;
时间序列的预报
AR(p),MA(q),ARMA(p,q)模型的预报.
重点内容.
平稳时间序列常用的数字特征;
三种线性模型及其平稳域,可逆域;
三种线性模型的识别;
三种线性模型的预报.
典型例题
例1.判断线性模型是否满足平稳条件?
解:模型的特征方程为:
解得:
由于,故知满足平稳条件.
例2.判断线性模型是否满足平稳条件、可逆条件?
解:模型的特征方程为:
解得:
由于,故知满足平稳条件。
又由特征方程：解得：。
由于,故知满足可逆条件.
例3.对AR(2)模型:
试求一步,二步和三步预报公式
解:一步预报公式:
二步预报公式:
三步预报公式:
例4.求MA(1)模型的预报.
解:将模型改写为:
由此得:
;
;
;
故其预报为:
例5求ARMA(p,q)模型的递推预报.
解:
故有:;
;
当L>2时,
以上的,由样本数据计算.
思考题作业题
6-1,6-6,6-7
|
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