三角形
7.1.1.三角形的边
教学目标
知识与技能
1、结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素。
2、会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类
3、理解三角形任何两边之和大于第三边的性质，并会初步运用这一性质来解决问题。
过程与方法
在探索三角形三边的过程中，让学生经历观察、实验、推理、交流等活动，培养学生的空间观念和推理能力。
情感态度与价值观
在学习过程中，培养学生的学习兴趣和良好的与他人沟通的能力
教学重点：三角形三边的关系
教学难点：三角形的三边关系
教学过程：
创设情景，引入新课
教师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题：
在小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？
教师出示教具，提出问题。让学生观察教具，然后给出三角形的定义。
三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
三角形的有关概念
1、三角形的顶点及符号表示方法。
2、三角形的内角。
3、三角形的边。
教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念，学生注意记忆相关的概念。
探究三角形的分类
问题1：小学中已经学过如何将三角形进行分类？分类标准是什么？
三角形按角分类如下:
三角形直角三角形
斜三角形锐角三角形
钝角三角形
三角形按边分类如下:
三角形不等三角形
等腰三角形底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
做一做
画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?
同学们在画图计算的过程中,展议论,并指定回答以上问题:
(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.
a.从B→C
b.从B→A→C
(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.
从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.
经过测量可以说BA+AC>BC,可以说这两条路线的长是不一样的议一议
1）在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?
2）在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?
3）三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边）且，△ABC是_______三角形。
六、课堂小结：今天我们学了哪些内容:
1.三角形的有关概念(边、角、顶点)
2.会用符表示一个三角形.
3.通过实践了解三角形的三边不等关系(AB+BC+AC).
2、设△ABC的三边a,b,c的长度都是自然数,且a≤b≤c,a+b+c=13,则以a,b,c为边的三角形共有几个?
3、已知：a、b、c是⊿ABC的三边，且a=4,b=6.若三角形的周长是小于18的偶数，（1）求c的长，（2）判断⊿ABC的形状。
7.1.2三角形的高、中线与角平分线
7.1.3三角形的稳定性
教学目标：
知识与技能：
1、掌握三角形的高、中线、角平分线的定义体现出来的性质。
2、会画三角形的高、中线、角平分线。
3、理解三角形的稳定性。
过程与方法：
通过画图等实践过程认识三角形的高、中线、角平分线。
情感态度与价值观：
培养学生乐于动手实践的精神。
教学重点：
了解三角形三角形的高、中线、角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线。
教学难点：
1、三角形的角平分线与角的平分线的区别，三角形的高线与垂线的区别。
2、钝角三角形的高的画法及不同三角形的高的位置关系。
教学过程：
创设情景，探究三角形的高的概念及画法
1、如何求三角形的面积？
2、什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
（1）三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线条叫做三角形的高线,简称三角形的高
（2）学生操作：画三个不同的三角形，即锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，然后分别作出它们的高，并观察三角形的三条高有什么位置关系？
（3））1、教材第66页第2题。
2、如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC
于点E，若∠BAC=58°则∠ADE=_______
3、有一块三角形的草地，要把它平均分给四个牧民，且每个牧民分得的草地都是三角形，你有几种不同的分法。
五、课堂小结
谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识。
教师引导学生从概念、图形归纳三角形的高、中线、角平分线的相关性质。
六、布置作业：教材第69页第3、4、8、9题。
提高训练：
1、如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线,则△ACE与△ABE的面积比为______
2、已知等腰三角形ABC中，AB=AC,BD是AC边上的中线，BD将
△ABC的周长分成9厘米和12厘米两部分，求△ABC的边长。
3、已知等腰三角形ABC中，AB=AC,BD是AC边上的中线，BD将
△ABC的周长分成6厘米和15厘米两部分，求△ABC的边长。
7.2.1三角形的内角
教学目标：
知识与技能：
理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题
过程与方法：
经历实验活动的过程，得出三角形内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理
情感态度与价值观：
在动手操作，活动探究中培养学生的学习兴趣
教学重点：三角形的内角和定理
教学难点：三角形的内角和定理的推理过程
教学过：
一、创设情景，引入新课
我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个定理的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？
二、动手探究
1、在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码
2让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出的度数，可得到
（图1）
3剪下，按图2拼在一起，从而还可得到
（图2）
4把和剪下按图3拼在一起，用量角器量一量的度数，会得到什么结果。
教师在学生完成后，提出问题：
在图（1）、（2）中的直线CM与AB有什么位置关系？
在图（3）、中的直线MN与BC有什么位置关系？
你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗？
三、证明三角形内角和定理
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC
求证：∠A﹢∠B﹢∠C=180°
教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法，然后规范地写出证明过程，注意向学生提示辅助线要用虚线。
想一想，还有其他的方法吗？
四、三角形内角和定理的应用
例：如图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？
五、学生练习
1、教材第74页练习第1、2题。
2、判断
（1），那么这个三角形是锐角三角形
（2）一个等腰三角形一定是锐角三角形。
（3）（1）举例说明什么是三角形的外角（上黑板画图说明）
（2）如图：∠ADB,∠BPC,∠BDC,
∠DPC分别是哪个三角形的外角
2、探究三角形外角的性质。
教师学生自学教材74页探究的内容，然后同学间进行交流、讨论，并归纳三角形的外角有什么性质，并提出以下问题：
你能否用证明的方法说明你归纳的性质？
让学生先自己去尝试说一说，互相讨论交流。然后抽学生发言，师生共同纠正过程中的不当之处，并归纳总结出结论：
（1）、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（2）、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、巩固应用
例：如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
(教师出示教材例2，先让学生观察，讨论，让学生在小组内进行交流，解决，然后抽学生发言，师生共同解决，发现问题及时纠正。然后师生共同写出规范的解答过程。)
例题处理完成以后，教师需要对方法、思路做总结性的讲解，教给学生解决问题的思路与方法。
四、练习与小结
练习：教材练习:教材第75页练习题
备选补充练习：
1、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数。
2、如图，∠B=45°，∠A=30°,∠C=45°,求∠ADC的度数。
3、如图，D是△ABC中BC边的延长线上一点，点E在CA的延长线上，试判断∠ACD与∠AFE的大小。
小结：谈谈本节课的收获
教师引导学生从三角形外角的定义，性质以及解决问题的方法思路等方面进行小结。
五，布置作业
教材第76页习题7.2第3，5，6，8题，选做题：第10题。
7.3.1多边形
教学目标：
知识与技能
了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念。
过程与方法:
通过对多边形概念的探究，使学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
情感态度与价值观
通过对多边形的学习，感受数学与生活的联系。
教学重点：
多边形及有关概念。
教学难点：
区分凸凹多边形
教学过程：
一、复习引入
1、什么是三角形，什么是三角形的边、内角？
2、前面我们已经研究过三角形的有关概念,性质,那么边数大于三的多边形的概念和性质是什么呢?它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢?让我们一起来探究一下
二、探究多边形的有关概念
1、学生观察教材79页的图7.3.1，它们是由哪些基本图形组成的？
（学生观察图片，并进行讨论、交流后，抽学生发言）
2、你能说出生活中的多边形吗？
3、教师讲解多边形的有关概念。
（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．按组成多边形的线段的条数分为三角形，四边形，五边形……如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）
对概念的认识上，要让学生认识到“在平面内”这一点，三角形的概念中是没有这四个字的，这里多了几个字，想一想这是为什么？
（2）多边形的内角和外角：
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
如图：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的内角，∠1是
ABCDE是五边形ABCDE的一个外角。
三、探究多边形的对角线的条数
1、学生阅读教材第80页第一自然段，理解多边形的对角线的定义。
2、教师提出问题：三角形有几条对角线，四边形呢？五边形，六边形，n边形呢？
先由学生自己动手操作，交流讨论，然后抽学生回答，师生共同归纳多边形对角线的条数：
四、凸、凹多边形的概念及正多边形的概念
1、先让学生阅读教材第80页第二自然段的内容，然后教师讲解凸、凹多边形的概念。强调凸、凹多边形的概念区别，教师画几个多边形让学生进行凸、凹多边形的区分。
2、正多边形的概念
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
五、练习：
1、教材第81页练习第1、2题。
2、判断题．
（1）由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（）
（2）由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（）
（3）在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（）
六、课堂小结
引导学生总结本节课的相关概念。
七、布置作业：教材第84页习题7.3第1题。
补充作业：
1、已知一个多边形的对角线的条数是其边数的3倍，求这个多边形的边数。
2．今年寒假，实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成3个组，每组派一名教师作为指导老师，为了加强同学间的协作，学校要求各班每两人之间（包括指导老师）每周至少通一次电话，现知八年级五班共有学生50名，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？
3、如图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？
4、如图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
5、如图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
7.3.2多边形的内角和
教学目标：
知识与技能
1、掌握多边形外角和及内角和公式。
2、通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
过程与方法:
1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。
2、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。
情感态度与价值观
通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质。。
教学重点：
探索多边形内角和公式及外角和。
教学难点：
如何把多边形转化成三角形，用分割多边形的方法推导多边形的内角和与外角和。
教学过程：
一、复习引入
1、提出问题：你知道三角形的内角和是多少度吗？
2、引入课题：你想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和。
二、探究多边形的内角和
1、判断下列图形，从多边形上任取一顶点c，作对角线，判断分成三角形的个数。
边形边形边形
2、①从多边形的一个顶点出发，可以引多少条对角线？他们将多边形分成多少个三角形？②总结多边形内角和，你会得到什么样的结论？
3、把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？
总结多边形的内角和公式
一般的，从n边形的一个顶点出发可以引____条对角线，他们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180o×______。
三、巩固应用
例1、已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D=？
例2、求20边形的内角和度数。
四、探索多边形的外角和
问题1：小明家有一张六边形的地毯，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，并面对他出发时的方向，他的身体转动了多少度/
例3：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
分析：（1）任何一个外角同于他相邻的内角有什系？
（2）六边形的六个外角加上与他们相邻的内角所得总和是多少？
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
问题2：如果将例中六边形换成n边（n≥3）,可以得到同样的结果吗？
也可以理解为：从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。由于在这个运动过程中身体共转动了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个______角。所以多边形的外角和等于_________o。
结论：多边形的外角和=___________o。
五、学生练习：教材第83页练习第1、2、3题。
补充练习：1、小明有一个设想：2008年奥运会在北京召开，他想设计一个内角和2008°的多边形图案，他的想法能实现吗？
2、一个多边形的内角和与它的一个外角的度数之和是1350°，求这个多边形的边数。
六、课堂小结：
本节课你有哪些收获？(n边形的内角和公式、外角和)
七、布置作业：
教材P84：习题7.3的第2、4、5、6、7题
7.4课题学习镶嵌
教学目标：
知识与技能
了解平面图形镶嵌的条件，会用一个三角形、四边形、正六边形平面镶嵌，形成美丽的图案，积累一定的审美体验。
过程与方法:
由多边形的内角和公式说明三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面
观察常见的地板砖密铺，综合运用所学的知识技能解决平面镶嵌的条件，增强应用意识。
情感态度与价值观
平面镶嵌是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面，通过探索多边形平面图形的镶嵌并且欣赏美丽图案，从而感受数学与现实生活的密切联系。
教学重点：
利用多边形进行镶嵌。
教学难点：
哪些正多边形能够组合进行镶嵌。
教学准备：
学生事先准备好若干相同的正三角形，正方形，正五边形，正六边形，若个相同的任意三角形，四边形
教学过程：
一、引入课题
学生观察教材第87页的图片7.4-1和图7.4-2，教师指出：用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖，从数学角度去分析，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题。
二、分组进行探究操作
1、尝试用手中的正三角形、正方形、正五边形、正六边形进行平面镶嵌。
2、用正三角形与正方形镶嵌成一个平面图案，用正三角形与正六边形镶嵌成一个平面图案。
3、用任意三角形或任意四边形镶嵌成一个平面图案。
学生动手操作，教师巡回指导，对不同的拼图方法给予肯定。
三、关于镶嵌的归纳
1、镶嵌，作为数学学习的一项探究性活动，主要有以下两个方面的原因：
（1）如果用“数学的眼光”观察事物，那么用正方形的地砖铺地，就是“正方形”这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。
（2）“几何“中研究图形性质时，也常常要把图形拼合。比如，两个全等的直角三角形可以拼合成一个等腰三角形，或一个矩形，或一个平行四边形；又如，六个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形，四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等边三角形等。
2、各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360°。
（1）用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌。比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°，所以这些正多边形都不能镶嵌。
（2）用正三角形与正方形可以进行镶嵌，用正三角形与正六边形可以进行镶嵌，用正六边形与正方形不能进行镶嵌
（3）用一种任意相同的若干三角形或四边形可以进行镶嵌。
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