第十四章一次函数
§14．1变量与函数
课题§14．1．1变量
教学目标
（一）教学知识点１．认识变量、常量．
２．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．
（二）能力训练要求１．经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．
２．逐步感知变量间的关系．
（三）情感与价值观要求１．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．
２．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．
教学重点１．认识变量、常量．２．用式子表示变量间关系．
教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
１．请同学们根据题意填写下表：
t/时 1 2 3 4 5 s/千米 ２．在以上这个过程中，变化的量是________．变变化的量是__________．
３．试用含t的式子表示s．
通过本节课的学习，相信大家一定能够解决这些问题．
Ⅱ．导入新课
我们首先来思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答．
这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时．
[活动一]
活动内容设计：
１．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?
２．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？
设计意图：
让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量．
教师活动：
引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．
学生活动：
在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论．
活动结论：
１．早场电影票房收入：150×10=1500（元）
日场电影票房收入：205×10=2050（元）
晚场电影票房收入：310×10=3100（元）
关系式：y=10x
２．挂1kg重物时弹簧长度：1×0．5+10=10．5（cm）
挂2kg重物时弹簧长度：2×0．5+10=11（cm）
挂3kg重物时弹簧长度：3×0．5+10=11．5（cm）
关系式：L=0．5m+10
[师]通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量．
其次通过尝试运算，猜想探究找出变量间的变化规律，并加以验证，才能保证写出准确无误的关系式．
[活动二]
活动内容设计：
１．要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？
２．用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积为Ｓcm2．怎样用含有x的式子表示Ｓ？
设计意图：
进一步熟悉巩固前面总结的探究方法，并学会利用以前所学的一些公式来帮助分析解决问题．
教师活动：
引导学生熟悉巩固前面所总结的探究方法，提醒他们可以应用有关公式来帮助分析解决问题．
学生活动：
利用上面总结的经验探究规律，并能利用有关公式顺利完成题目要求．
活动过程及结论：
１．要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出S=r2r=
面积为10cm2的圆半径r=≈1．78（cm）面积为20cm2的圆半径r=≈2．52（cm）关系式：r＝
２．因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm．
若长为1cm，则宽为5-1=4（cm）
据矩形面积公式：Ｓ＝1×4=4（cm2）
若长为2cm，则宽为5-2=3（cm）
面积Ｓ＝2×（5-2）=6（cm2）
……
若长为xcm，则宽为5-x（cm）
面积S=x·（5-x）=5x-x2（cm2）
[师]从以上两个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．
Ⅲ．随堂练习
１．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．
２．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h变化关系式，并指出其中常量与变量．
解：１．买1支铅笔价值1×0．2=0．2（元）
买2支铅笔价值2×0．2=0．4（元）
……
买x支铅笔价值x×0．2=0．2x（元）
所以y=0．2x
其中单价0．2元／支是常量，总价y元与支数x是变量．
２．根据三角形面积公式可知：
当高h为1cm时，面积Ｓ＝×5×1=2．5cm2
当高h为2cm时，面积Ｓ＝×5×2=5cm2
……
当高为hcm，面积Ｓ＝×5×h=2．5hcm2
其中底边长为5cm是常量，面积Ｓ与高h是变量．
Ⅳ．课时小结
本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义．
１．确定事物变化中的变量与常量．
２．尝试运算寻求变量间存在的规律．
３．利用学过的有关知识公式确定关系区．
Ⅴ．课后作业
课后思考题、练习题．
课后反思：
§14．1．2函数
教学目标
（一）教学知识点１．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．毛
２．进一步理解掌握确定函数关系式．
３．会确定自变量取值范围．
（二）能力训练要求１．经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力．
２．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．
（三）情感与价值观要求１．积极参与活动、提高学习兴趣．
２．形成合作交流意识及独立思考的习惯．
教学重点１．进一步掌握确定函数关系的方法．
２．确定自变量的取值范围．
教学难点认识函数、领会函数的意义．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？
这将是我们这节研究的内容．
Ⅱ．导入新课
我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．
由以上回顾我们可以归纳这样的结论：
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．
其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：
（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？
（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？
中国人口数统计表
年份 人口数／亿 1984 10．34 1989 11．06 1994 11．76 1999 12．52 我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．
从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．
[活动一]
活动内容设计：
１．在计算器上按照下面的程序进行操作：
填表：
x 1 3 -4 0 101 y 显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？
２．在计算器上按照下面的程序进行操作．
下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：
x 1 2 3 0 -1 y 3 5 7 2 -1 所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．
设计意图：
通过在计算器上操作及填表分析，进一步认识函数意义，经过对表中数据分析推理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法．
教师活动：
引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．
学生活动：
在教师引导下，１．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻理解函数意义．２．通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法．
活动结论：
１．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．
２．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是这两个键，且每个x的值都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+1
[师]通过以后活动，我们对函数意义认识更深刻了，并完善掌握了函数关系式确定的方法．为了进一步学好函数，我们再来完成一个问题．
[活动二]
活动内容设计：
一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．
１．写出表示y与x的函数关系式．
２．指出自变量x的取值范围．
３．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？
设计意图：
通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．
教师活动：
注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围的方法．
学生活动：
通过活动，感知体会函数意义，学会确立函数关系式及自变量取值范围，并能掌握其一般方法．
活动过程及结果：
１．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．
行驶里程x时耗油为：0.1x
油箱中剩余油量为：50-0.1x
所以函数关系式为：y=50-0.1x
２．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0．1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0．1x≤50，x≤500．
因此自变量x的取值范围是：
0≤x≤500
３．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，将x=200代入y=50-0．1x得：y=50-0．1×200=30
汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．
通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．
Ⅲ．随堂练习
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
１．改变正方形的边长x，正方形的面积Ｓ随之改变．
２．秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化．
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力．
Ⅴ．课后作业
习题14．1．1－1、2、3、4题．
课后反思：
§14．1．3函数图象
教学目标
（一）教学知识点１．学会用列表、描点、连线画函数图象．毛
２．学会观察、分析函数图象信息．
（二）能力训练要求１．提高识图能力、分析函数图象信息能力．
２．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．
（三）情感与价值观要求１．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．
２．认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识．
教学重点１．函数图象的画法．
２．观察分析图象信息．
教学难点分析概括图象中的信息．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．
即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．
我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．
Ⅱ．导入新课
我们先来看这样一个问题：
正方形的边长x与面积Ｓ的函数关系是什么？其中自变量x的取值范围是什么？计算并填写下表：
x 0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5 S 大家思考一下，表示x与Ｓ的对应关系的点有多少个？如果全在坐标中指出的话是什么样子？可以讨论一下，然后发表你们的看法，建议大家不妨动手画画看．
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象．
函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．
[活动一]
活动内容设计：
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？
如有条件，你可以用带有温度探头的计算机（器），测试、记录温度和绘制表示温度变化的图象．
活动设计意图：
１．通过图象进一步认识函数意义．
２．体会图象的直观性、优越性．
３．提高对图象的分析能力、认识水平．
４．掌握函数变化规律．
学生活动：
在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．
活动结论：
１．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．
２．这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃．
３．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．
４．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．
５．如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温变化规律．
[活动二]
下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
根据图象回答下列问题：
１．菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
２．小明给菜地浇水用了多少时间？
３．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？
４．小明给玉米地锄草用了多长时间？
５．玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？
学生活动：
在教师引导下，积极思考、大胆参与、探求答案．
活动结论：
１．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分钟．
２．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．
３．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12分钟．
４．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．
５．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：2÷25=0．08（千米／分钟）．
[师]我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？
例：在下列式子中，对于x的每个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．请画出这些函数的图象．
１．y=x+0．5２．y=（x>0）
解：１．y=x+0．5
从上式可看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值．列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 … 根据表中数值描点（x，y），并用光滑曲线连结这些点．
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0．5随之增大．
２．y=（x>0）
自变量的取值为x>0的实数，即正实数．
按条件选取自变量值，并计算y值列表：
x … 0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5 4 … y … 12 6 4 3 2.4 2 1.7 1．5 … 据表中数值描点（x，y）并用光滑曲线连结这些点，就得到图象．
从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y＝随之减小．
[师]我们来总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤，好吗？
[生]由以上例题可以知道：
第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．
第三步：连线．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
Ⅲ．随堂练习
P114练习
Ⅳ．课时小结
本节通过两个活动，学会了分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想．
Ⅴ．课后作业
习题14．1─5、6、7题．
课后反思：
§14．1．4函数的表示方法
教学目标
（一）教学知识点
１．总结函数三种表示方法．毛
２．了解三种表示方法的优缺点．
３．会根据具体情况选择适当方法．
（二）能力训练要求
１．经历回顾思考，训练提高归纳总结能力．
２．利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力．
（三）情感与价值观要求
１．积极参与活动，提高学习兴趣．
２．形成合作交流意识及独立思考习惯．
教学重点１．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点．
２．能按具体情况选用适当方法．
教学难点函数表示方法的应用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的方法表示了一些函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．
那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？
这就是我们这节课要研究的内容．
Ⅱ．导入新课
我们首先思考刚才提出的第一个问题．
说出了三种表示方法的优点，那么他们又各有什么不足之处呢？
我们就从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点．请同学们根据自己的看法填表：
表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性 列表法 × ∨ ∨ × 解析式法 ∨ ∨ × × 图象法 × × ∨ ∨ 从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
我们来共同看一个例子．
例：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t/时 0 1 2 3 4 5 … y/米 10 10．05 10．10 10．15 10．20 10．25 … １．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．
２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
分析：记录表中已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系．我们现在需要从这些数值找出这两个表量之间
的一般联系规律，由它写出函数解析式来，再画出函数图象，进而预测水位．
[师]就上面的例子中我提几个问题大家思考：
１．函数自变量t的取值范围：0≤t≤7是如何确定的？
２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？
３．函数的三种表示方法之间是否可以转?
Ⅲ．随堂练习
甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．
解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是：
甲车为：20x乙车为：25x
两车行驶路程差为：25x-20x=5x
两车之间距离为：500-5x
所以：y随x变化的函数关系式为：
y=500-5x0≤x≤100
用描点法画图：
x … 10 20 30 40 y … 450 400 350 300
x 50 60 70 80 … y 250 200 150 100 …
Ⅳ．课时小结
通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化，为下面学习数形结合的函数做好了准备．
Ⅴ．课后作业
习题14．1─8、9、11、12题．
课后反思：
§11．2．1正比例函数
教学目标
（一）教学知识点
１．认识正比例函数的意义．
２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．
４．能利用所学知识解决相关实际问题．
（二）能力训练要求
１．经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
２．体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题．
３．体会解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新意识．
（三）情感与价值观要求
１．积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．
２．形成合作交流、独立思考的学习习惯．
教学重点
１．理解正比例函数意义及解析式特点．
２．掌握正比例函数图象的性质特点．
３．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点正比例函数图象性质特点的掌握．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
我们来共同分析：
一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：
y=200x（0≤x≤127）
这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
y=200×45=9000（km）
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．
Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
１．根据圆的周长公式可得：L=2r．
２．依据密度公式p=可得：m=7．8V．
３．据题意可知：h=0．5n．
４．据题意可知：T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportionalfunc-tion），其中k叫做比例系数．
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
[活动一]
画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．
１．y=2x２．y=-2x
学生活动：
利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识．
活动过程与结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -6 -4 -2 0 2 4 6 画出图象如图（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6 画出图象如图（2）．
３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．
不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第二、四象限．
[活动二]
经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
学生活动：
在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由．
活动过程及结论：
经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．
Ⅲ．随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
１．y=x２．y=-3x
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．
Ⅴ．课后作业
习题14．2─1、2、6题．
课后反思：
§11．2．2一次函数
教学目标
（一）教学知识点１．掌握一次函数解析式的特点及意义．毛
２．知道一次函数与正比例函数关系．
３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．
４．会用简单方法画一次函数图象．
（二）能力训练要求１．通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性．
２．进一步提高分析概括、总结归纳能力．
３．利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．
（三）情感与价值观要求
１．积极思考、勇跃发言，养成良好学习习惯．
２．独立思考、合作探究，培养科学的思维方法．
教学重点１．一次函数解析式特点．
２．一次函数图象特征与解析式联系规律．
３．一次函数图象的画法．
教学难点１．一次函数与正比例函数关系．
２．一次函数图象特征与解析式的联系规律．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y与x的关系．
分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为：
y=15-6x（x≥0）
当然，这个函数也可表示为：y=-6x+15（x≥0）
当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．
这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．
Ⅱ．导入新课
我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？
１．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C的值约是t的7倍与35的差．
２．一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值．
３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．
４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．
通过思考分析，可以得到这些问题的函数解析式分别为：
１．C=7t-35．２．G=h-105．
３．y=0．01x+22．４．y=-5x+50．
它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．
确实如此，如果我们用b来表示这个常数的话．这些函数形式就可以写成：
y=kx+b（k≠0）
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linearfunction）．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
尝试练习：
１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y=-8x．（2）y=．
（3）y=5x2+6．（3）y=-0．5x-1．
２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．
（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？
（2）求第2．5秒时小球的速度．
３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？
解答：
１．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数．
２．（1）v=2t，它是一次函数．
（2）当t=2．5时，v＝2×2．5=5
所以第2．5秒时小球速度为5米／秒．
３．函数解析式：y=50-5x
自变量取值范围：0≤x≤10
y是x的一次函数．
[活动一]
画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象．并比较两个函数图象，探究它们的联系及解释原因．
学生活动：
在教师引导下，顺利完成并准确理解所得结论．
活动过程与结论：
列表：
x -2 -1 0 1 2 y=-6x 12 6 0 -6 -12 y=-6x+5 17 11 5 -1 -7 描点画图：
观察思考得出结论：
这两个函数的图象形状都是直线，并且平行，即倾斜程度相同；函数y=-6x的图象经过原点．函数y=-6x+5的图象与y轴交于点（0，5），它可以看作由直线y=-6x向上平移５个单位长度而得到．
比较两个函数解析式．联系它们图象的特征，我们不难看出自变量x的系数相同是它们图象平行的原因，而常数项不同正是造成图象与y轴交点的不同．
其实，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，其中k决定直线倾斜程度，b决定直线与y轴交点位置，直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；b<0时，向下平移）．
[活动二]
画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象．由它们联想：一次函数解析式y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？
学生活动：
用简单画法画出函数图象，并在教师指导下观察发现图象特征、变量变化规律及与解析式中k值的联系．
活动过程与结论：
图象：
规律：
当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降．
性质：
当k>0时，y随x增大而增大．
当k<0时，y随x增大而减小．
Ⅲ．随堂练习
１．直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_________，图象经过第________象限，y随x增大而_________．
２．分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？
（1）k>0b>0（2）k>0b<0
（3）k<0b>0（4）k<0b<0
Ⅳ．课时小结
本节学习了一次函数的意义，知道了其解析式、图象特征，并学会了简单方法画图象，进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数图象特征与解析式的联系，这使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性．
Ⅴ．课后作业
习题14．2─3、4、8题．
课后反思：
§11．2．3一次函数应用
教学目标
（一）教学知识点１．学会用待定系数法确定一次函数解析式．毛
２．具体感知数形结合思想在一次函数中的应用．
３．利用一次函数知识解决相关实际问题．
（二）能力训练目标１．经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能．
２．体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题．
３．体会解决问题方法多样性，发展创新实践能力．
（三）情感与价值观要求１．积极参与活动，提高学习兴趣．
２．养成实事求是、具体问题具体分析的习惯．
教学重点１．待定系数法确定一次函数解析式．
２．灵活运用知识解决相关问题．
教学难点灵活运用有关知识解决相关问题．
教学过程
１．提出问题，创设情境
我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？
这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？
Ⅱ．导入新课
有这样一个问题，大家来分析思考，寻求解决的办法．
[活动一]
已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？
学生活动：
在教师指导下经过独立思考，研究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程．
活动过程及结论：
分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．
设这个一次函数解析式为y=kx+b．
因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以
解之，得
故这个一次函数解析式为y=2x-1。
结论：
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
尝试练习：
１．已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值．
２．已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值．
解答：
１．当x=5时y值为4．
即4=5k+2，∴k=
２．由题意可知：
解之得，
[师]下面我们来学习一次函数的应用．
[例]小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．
分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．
解：y=
[师]我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
[活动二]
Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？
学生活动：
在教师指导下，经历思考、讨论、分析，找出影响总运费的变量，并认清它们之间的关系，确定函数关系，最终解决实际问题．
活动过程及结论：
通过分析思考，可以发现：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：
若设Ａ──Ｃx吨，则：
由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ，200─x吨．
由于Ｃ乡需要240吨：Ｂ─Ｃ，240─x吨．
由于Ｄ乡需要260吨：Ｂ─Ｄ，260─200+x吨．
那么，各运输费用为：
Ａ──Ｃ20x
Ａ──Ｄ25（200-x）
Ｂ──Ｃ15（240-x）
Ｂ──Ｄ24（60+x）
若总运输费用为y的话，y与x关系为：
y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．
化简得：
y=40x+10040（0≤x≤200）．
由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．
因此，从Ａ城运往Ｃ乡0吨，运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ乡240吨，运往Ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040元．
[师]若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？
[生]解题方法与思路不变，只是过程有所不同：
Ａ──Ｃx吨Ａ──Ｄ300-x吨
Ｂ──Ｃ240-x吨Ｂ──Ｄx-40吨
反映总运费y与x的函数关系式为：
y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．
化简：y=4x+10140（40≤x≤300）．
由解析式可知：
当x=40时y值最小为：y=4×40+10140=10300
因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ乡260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨，运往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．
[师]你是如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？
[生]由于Ｂ城运往Ｄ乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且Ａ城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．
Ⅲ．随堂练习
从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出水14万吨．从Ａ地到甲地50千米，到乙地30千米；从Ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨·千米）最少．
Ⅳ．课时小结
本节课我们学习待定系数法根据图象确定函数解析式，总结出了函数解析式与图象转化的规律，并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性．
Ⅴ．课后作业
习题14．2─7、9、11、12题．
课后反思：
§14．3．1一次函数与一元一次方程
教学目标
（一）教学知识点
１．用函数观点认识一元一次方程．
２．用函数的方法求解一元一次方程．
３．加深理解数形结合思想．
（二）能力训练目标
１．培养多元思维能力．
２．拓宽解题思路．
３．加深数形结合思想的认识与应用．
（三）情感与价值观要求
１．经过活动，会从不同方面认识事物本质的方法．
２．培养学生实事求是，一分为二的分析思维习惯．
教学重点１．函数观点认识一元一次方程．
２．应用函数求解一元一次方程．
教学难点用函数观点认识一元一次方程．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们来看下面两个问题：
１．解方程2x+20=0
２．当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
这两个问题之间有什么联系吗？
我们这节课就来研究这个问题，并学习利用这种关系解决相关问题的方法．
Ⅱ．导入新课
我们首先来思考上面提出的两个问题．在问题１中，解方程2x+20=0，得x=-10．解决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值．这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10．因此这两个问题实际上是一个问题．
从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（-10，0），这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为-10，即方程2x+20=0的解是x=-10．
[活动一]
由上面两个问题的关系，大家来讨论思考，归纳概括出解一元一次方程与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？
学生活动：
在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这两个具体问题中的一般规律，从而经过讨论，归纳概括出较完整的关系，还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的．
规律：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
我们来试着看个问题，如何用函数的观点解决它．
[例]一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？
[解]方法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17
解之得：x=6．
方法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．
当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6．
方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．
从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．
总结：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．
[活动二]
利用图象求方程6x-3=x+2的解．
学生活动：
在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合．
活动过程与结论：
方法一：
我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0．
然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴的交点在哪儿，坐标是什么，由交点横坐标即可知方程的解．
由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1．
方法二：
我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，交点的横坐标即是方程的解．
由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1．
Ⅲ．随堂练习
1．2x-3=x-2．2．x+3=2x+1．
Ⅳ．课时小结
本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法．虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用．
Ⅴ．课后作业
习题14．3─1、2、5、8题．
课后反思：
11．3．2一次函数与一元一次不等式
教学目标
（一）教学知识点
１．认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系．毛
２．学会用图象法求解不等式．
３．进一步理解数形结合思想．
（二）能力训练要求
１．培养提高从不同方向思考问题的能力．
２．探究解题思路，以便灵活运用知识．
３．提高问题间互相转化的技能．
（三）情感与价值观要求
１．积极参与活动，培养学习兴趣．
２．形成合作交流的意识及独立思考的习惯．
教学重点１．理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系．
２．掌握用图象求解不等式的方法．
教学难点图象法求解不等式中自变量取值范围的确定．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们来看下面两个问题有什么关系？
１．解不等式5x+6>3x+10．
２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？
在问题１中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，解这个不等式得x>2．
解问题２就是要解不等式2x-4>0，得出x>2时函数y=2x-4的值大于0．因此这两个问题实际上是同一个问题．
那么，是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象上的表现是什么？如何通过函数图象来求解一元一次不等式？
以上这些问题，我们本节将要学到．
Ⅱ．导入新课
我们先观察函数y=2x-4的图象．可以看出：当x>2时，直线y=2x-4上的点全在x轴上方，即这时y=2x-4>0．
由此可知，通过函数图象也可求得不等式的解为x>2．
由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系，实质上是同一个问题．
由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．
[活动一]
用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．
学生活动：
在教师指导下，顺利完成作图，观察求出答案，并能归纳总结出其特点．
活动过程及结论：
方法一：原不等式可以化为3x-6<0，画出直线y=3x-6的图象，可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方．即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为：x<2．
方法二：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10可以看出，它们交点的横坐标为2．当x>2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上的相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为：x<2．
以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低．
从上面两种解法可以看出，虽然像上面那样用一次函数图象来解不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数．一元一次不等式之间的联系，能直观地看出怎样用图形来表示不等式的解．这种函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．
巩固练习
１．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件？
①y=-7．②y<2．
２．利用图象解出x：
6x-4<3x+2．
１．求当自变量x取值范围为什么时，函数y=2x+6的值满足以下条件？
①y=0；②y>0．
２．利用图象解不等式5x-1>2x+5．
Ⅳ．课时小结
本节我们学会了用一次函数图象来解一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观看到怎样用图形来表示不等式的解，对我们以后学习很重要．
Ⅴ．课后作业
习题14．3─3、4、7题．
课后反思：
14．3．3一次函数与二元一次方程（组）
教学目标
（一）教学知识点
１．学会利用函数图象解二元一次方程组．毛
２．通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性．
（二）能力训练要求
１．经历观察、思考等数学活动，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述观点．
２．体验数形结合思想意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．
３．体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神．
（三）情感与价值观要求
１．积极参与活动，提高学习兴趣及求知欲．
２．养成实事求是的态度及独立思考的习惯．
教学重点１．归纳图象法解二元一次方程组的具体方法．
２．灵活运用函数知识解决实际问题．
教学难点灵活运用函数知识解决相关实际问题．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-x+，并且直线y=-x+上每个点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解．
由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线．
那么解二元一次方程组
可否看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交点坐标呢？如果可以，我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？
我们这节课就来解决这些问题．
Ⅱ．导入新课
我们先来研究刚才那个二元一次方程组，同学们认真思考一下，讨论讨论，发表一下自己的看法，好吗？
大家不妨试着用图象法解一下这个二元一次方程组，并检验一下是否确实是它的解．
[师]你能归纳出图象法求解二元一次方程组的具体方法吗．
一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这个值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．
由此可以看出，一次函数与二元一次方程（组）有密切的关系．
[活动一]
一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分钟0．1元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？
学生活动：
在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解．
活动过程及结论：
过程一：
设上网时间为x分钟，若按方式Ａ收费，y=0．1x元；若按Ｂ方式收费，y=0．05x+20元．
在同一直角坐标系中分别画出这两个函数图象．
解方程组：
得
所以两图象交于点（400，40），从图象上可以看出：
当0
当x=400时，0．1x=0．05x+20，
当x>400时，0．1x>0．05x+20．
因此，当一个月内上网时间少于400分钟时，选择方式Ａ省钱；当上网时间等于400分钟时，选择方式Ａ、Ｂ没有区别；当上网时间多于400分钟时，选择方式Ｂ省钱．
方法二：
设上网时间为x分钟，方式Ｂ与方式Ａ两种计费的差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：
y=（0．05x+20）-0．1x
化简：y=-0．05x+20．
在直角坐标系中画出函数的图象．
计算出直线y=-0．05x+20与x轴交点为（400，0）．
由图象可知：
当00，即选方式Ａ省钱．
当x=400时，y=0，即选方式Ａ、Ｂ没有区别．
当x>400时，y<0，即选方式Ｂ省钱．
由此可得如方法一同样的结论．
联系以前所学方程（组），不等式与函数都是基本的数学模型，它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决实际问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用．
[活动二]
两种移动电话计费方式如下：
全球通 神州行 月租费 50元/月 0 本地通话费 0.40元/分 0.60元/分 用函数方法解答如何选择计费方式更省钱．
学生活动：
在教师引导下，掌握解决具体问题的方法，灵活、有机地运用各种数学模型，提高分析、解决问题能力．
活动过程及结论：
方法一：
设每月通话时间累计x分钟，则全球通月消费y=0．40x+50元；神州行月消费：y=0．60x元．
在同一坐标系中画出两个一次函数的图象．
解方程组：得
所以两图象交于点（250，150）．
由图象可以看出：
当00．60x，
当x=250时0．40x+50=0．60x，
当x>250时0．40x+50<0．60x．
因此，当一个月通话时间少于250分时，选择神州行省钱；当一个月通话时间等于250分钟时，选择全球通与神州行没有区别；当一个月通话时间多于250分钟时，选择全球通省钱．
方法二：
设一个通话时间累计为x分，全球通与神州行两种计费差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：
y=（0．40x+50）-0．60x
化简为：y=-0．20x+50
在直角坐标系中画出这个函数图象．
计算出直线y=-0．20x+50与x轴的交点为（250，0）．
由图象可以看出：
当00，即选神州行省钱．
当x=250时，y=0，即选神州行与全球通没有区别．
当x>250时，y<0，即选全球通省钱．
由此可以得到与方法一相同的结论．
Ⅲ．课时小结
本节课从二元一次方程与一次函数关联谈起，得出利用函数图象解决二元一次方程（组）的具体方法及步骤，并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系，且通过函数观点把它们统一起来，根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用，为我们解决有关实际问题提供了更大的便利．
Ⅳ．课后作业
习题14．3─6、9、10、11题．
课后反思：
§11．4一次函数应用
教学目标
（一）教学知识点１．巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．
２．熟练掌握一次函数与方程，不等式关系，有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．
（二）能力训练要求经历活动过程，让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．
（三）情感与价值观要求
１．体会数学与生活的联系，了解数学的价值，增强对数学的理解和学好数学的信心．
２．认识数学是解决实际问题的重要工具，了解数学对促进人类理性精神的作用．
教学重点１．根据变量变化趋势，写出函数式，预估人口数．
２．灵活运用数学模型解决实际问题．
教学难点运用一次函数知识解决实际问题．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面我们学习了有关一次函数的一些知识，认识了变量间的变化情况，并系统学习了一次函数的有关概念及应用，且用函数观点重新认识了方程及不等式，利用函数观点把方程（组）、不等式有机地统一起来，使我们解决实际相关问题时更方便了．
下面我们将通过两个活动对所学有关知识作一回顾．
Ⅱ．导入新课
[活动一]
活动内容设计：
中国人口统计表：
年份 人口数／亿 年份 人口数／亿 1964 7．04 1984 10．34 1969 8．06 1989 11．06 1974 9．08 1994 11．76 1979 9．79 1999 12．52 １．根据上表的数据在直角坐标系中画出人口增长曲线图．
２．选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，写出它的解析式．
３．按照这样的增长趋势，试估计2004年我国的人口数．
学生活动：
经过建立坐标系、描点、连线，熟悉函数作图的一般过程，并在教师指导下确立近似一次函数解析式，推测人口增长趋势及结果，提高预估能力．
活动过程及结论：
１．作图：
２．如图我们近似取1989年人口数与1999年人口数确定一次函数，从图象上看较准确表示以后几年的人口发展趋势．
1989～1999年人口数增长了12.52－11.06=1.46亿．
平均每年增长了1．46÷10=0.146亿．
那么从1989年开始每过一年人口数增加0.146亿，所以人口总数y与年份x之间有函数关系：y=（x-1989）×0.146+11.06
化简为：y=0．146x-279.334（x>1989）．
３．按照这样的增长趋势，到2004年我国人口数
y=0．146×2004-279．334=13．25亿．
估计2004年我国人口数将达到13．25亿．
[师]用数学方法解决实际问题时，为了利用数学模型，常对问题作技术处理．就如上个活动一样，要想用一次函数问题解决这个问题，必须近似认为它的图象是一条直线．而选择哪条直线代表这个函数更合适是解决这个问题的关键，这要具体问题具体对待．活动中之所以取1989与1999这两个点来确定一条直线，是因为这条直线能比较准确地表示近几年以至后几年的人口变化趋势．而问题中就让我们估测2004年人口数，所以选这条直线更好些．
在以后解决实际问题时，希望大家注意具体问题具体对待，灵活运用．
[活动二]
活动内容设计：
下表是“全球通”移动电话的几种不同收费方案：
方案
代号 月租
费／元 免费
时间／元 超过免费时间
的通话费元／元 0 50 0 0．40 1 30 48 0．60 2 98 170 0．60 3 168 330 0．50 4 268 600 0．45 5 388 1000 0．40 （1）分别写出方案0、3、5中月话费（月租费与通话费的总和）y（元）与通话时间x（分）的函数关系式；
（2）如果月通话时间为300分钟左右，选择哪个方案最省钱？
（3）通过图象比较方案0、1、2和3，由此你对选择方案有什么建议？
学生活动：
独立思考、合作讨论、分析探究、寻求结果，在教师指导下顺利完成活动．
活动过程及结论：
１．据题意可知：月话费y（元）与通话时间x（分）的函数关系分别是：
0方案：y=0.40x+50．
3方案：y=168（0
y=（x-330）×0.50+168（x>330）．
5方案：y=388（0
y=（x-1000）×0.40+388（x>1000）．
２．如果月通话时间为300分钟的话，0方案话费为：170元，1方案话费为：181.2元，2方案话费为：176元，3方案话费为：168元……故选择3方案最省钱．
３．根据题意画出0、1、2、3方案图象如下：
由图象可以清楚看出：
如果每月通话时间不超过161分钟的话，应选择1号方案省钱．
如果每月通话时间超过161分钟而小于287分钟的话，应选择2号方案省钱．
如果每月通话时间超过287分钟而小于470分钟的话，应选择3号方案省钱．
如果每月通话时间大于470分钟的话，应选择0号方案省钱．
原因是：
当0
当161
当287
当x>470时，0号图象在最下方．
故有以上建议．
同学们经过以上两个活动后，有什么启发或感想，讨论后，发表一下看法，好吗？
(通过以上活动，我们更加意识到函数知识的重要性，函数图象的形象直观性在解决实际问题，特别是决策性问题中更显出其优越性，使我们进一步理解了数形结合思想在数学中的应用广泛性、重要性．它通过函数的观点把方程（组）不等式有机地统一起来，为我们解决问题提供了很大的便利)．
(函数的观点在解决实际问题中有很大的优越性．不可否认，它也有缺陷．它的图象直观、形象地让我们很容易看出变量的变化趋势及规律，但在确定界点值上常要利用方程的知识来求解．所以在应用过程中应该灵活、有机地应用各种数学模型来解决问题．)
很好！看来我们今天的收获的确不小啊！
Ⅲ．课时小结
本节课通过两个活动巩固了一次函数的知识，熟悉了用不同数学模型解决实际问题的方法，感受到数形结合的重要性，更加激发了我们学习数学的积极性．希望大家在以后的学习中更加努力．
Ⅳ．课后作业
复习题14─1、2、3、4、5、6、8题．
课后反思：
找教案www.zhaojiaoan.com
|
|
