北京市朝阳区2012～2013学年度高二年级第一学期期末统一考试
数学理科试卷2013．1
(考试时间l00分钟满分l00分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，填涂在机读卡上)
1．已知命题，下列说法正确的是
A．B．．
C．D．
2．已知直线和不重合的两个平面，，且，有下面四个命题：
①若∥，则∥；②若∥，则∥；
③若，则；④若，则
其中真命题的序号是
A．①②B．②③C．②③④D．①④
3．已知过原点的直线与圆C：无公共点，则直线的斜率的取值范围是
A．(，)B．(，][，+∞)
C．(，)D．(，)[，+∞)
4．已知△AOB的顶点O在坐标原点，A，B两点在抛物线上，且抛物线焦点F是△AOB的垂心(三角形三条高线的交点)，则△AOB的面积等于
A．2B．5C．10D．25
5．空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的表面积为
A．32+10
B．20+5
C．57
D．42
6．如图，在三棱柱ABC-A1BlC1中，A1A平面ABC，ABAC，且AB=AC=AA1=1．则二面角D—AB1—B的余弦值是
A．B．C．D．
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在一点P，使F1PF2=120°，则椭圆离心率的范围是
A．（0，]B．[,1）C．（0，]D．[,1）
8．在正方体ABCD—AlB1C1D1中，P是正方体的底面AlB1C1D1(包括边界)内的一动点(不与A1重合)，Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有
A．1个B．2个
C．3个D．无数个
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把正确答案填在答题卡上)
9．命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是▲，该否命题的真假性是▲．(填“真”或“假”)
10．已知圆C1的方程为，圆C2的圆心在原点，若两圆相交于A，B两点，线段AB中点D的坐标为(2，2)，则直线AB的方程为▲．
11．一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则该四棱锥的体积为▲，侧视图的面积为▲．
12．已知双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率e=▲；若双曲线C过点(2，l)，则双曲线c的标准方程是▲．
13．已知O为坐标原点，圆C的方程为，点A(2，0)，点B在圆C上运动，若动点D满足，则点D的轨迹方程是▲；的取值范围是▲．
14．已知正六边形ABCDEF如图，给出下列四个命题：
①点C在以A，B为焦点，且经过点D的椭圆上；
②若以A，C为焦点，经过点E的椭圆的离心率为e，则e=；
③若以A，B为焦点，分别过点C，D，E的椭圆的离心率依次为e1，e2，e3，则el
④若以A，D为焦点，经过点B，C，E，F的椭圆的离心率为e1，以A，D为焦点，经过点B，C，E，F的双曲线的离心率为e2，则e1e2=2．
其中所有真命题的序号是▲．
三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上)
15．(本题满分l0分)
已知圆E经过定点A(-2，0)，B(8，0)，C(0，4)，直线平行于AC，且与圆E相交于M，N两点．
(I)求圆E的方程；
(II)若|MN|=|BC|，求直线的方程．
16．(本题满分l0分)
如图，DC平面ABC，EA//DC，AB=AC=AE=DC，M为BD的中点。
(I)求证：EM∥平面ABC；
(II)求证：平面AEM平面BDC．
17．(本题满分l2分)
如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BAD=90°，PA平面ABCD，且PA=AD=AB=1。
(I)若BC=3，求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
(II)若BC=2，求证：平面BPC平面PCD；
(III)设E为PC的中点，在线段BC上是否存在一点F，使得EFCD?请说明理由．
18．(本题满分l2分)
已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1。
(I)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C相交于点Q(异于点B)．
(i)求的值；
(ii)求证：A，Q，N三点共线．
请在答题卡上作答，在试卷上答题无效
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