二次函数1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？它的对称轴、顶点坐标各是什么？答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠
0)，y叫做x的二次函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=,顶点坐标是（，
）。2、二次函数的解析式有哪几种？有三种：⑴一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
⑵顶点式：y=a(x-h)2+k顶点为(h,k)⑶交点式：y=a(x
-x1)(x-x2)与x轴两交点:(x1,0),(x2,0)例1：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（3，0），
（1，-5），求函数解析式。解法一设所求二次函数解析式为：y=ax2+bx+c.又抛物线过点（-1，0），（3，
0），（1，-5），依题意得a–b+c=09a+3b+c=0a+b+c=-5解得∴所
求的函数解析式为。解法二∵点（-1，0）和（3，0）是抛
物线与x轴的两个交点，故可设二次函数解析式为：y=a(x+1)(x-3),又抛物线过点（1，-5），有-5=a（1+1）（1-
3）解得∴，即所求的函数解析式为
。解法三∵点（-1，0）和（3，0）是关于直线x=1对称，显然（1，-5）是抛
物线的顶点坐标，故可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2-5,又抛物线过点（3,0），0=a(3-1)2-5,解得
,∴,即所求的函数解析式为
。解法四经上述分析，点（1，-5）是抛物线的顶点坐标，依题意得：
解得
即所求的函数解析式为。
a-b+c=0（三）知识升华抛物线位置与系数a，
b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上
a＜0开口向下⑵c决定抛物线与y轴交点的位置：
①??c＞0＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；②??c=0＜＝＞图象过原点；
③??c＜0＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x=
）①???a，b同号＜＝＞对称轴在y轴左侧；②???b=0
＜＝＞对称轴是y轴；③a，b异号＜＝＞对称轴在y轴右侧⑷顶点坐标是（，
）。⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：①??△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；
②??△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；③?△＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例2、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，x=为该图象的对称轴，根据图象信息你能得
到关于系数a，b，c的一些什么结论？
-101x
y【分析与参考答案】首先观察到二次函数的图象为抛物线，其对称轴为直线x
=，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标其一大于1，另一个介于-1与0之间，抛物线开口向上，顶点的纵坐标及抛物线与y轴的交
点的纵坐标均介于-1与0之间，由此可得如下结论：⑴a＞0;⑵-1＜c＜0;⑶b2-4ac＞0;⑷∵
,∴2a=-3b;⑸由⑴，(4)得b＜0;⑹由⑴,⑵,⑸得abc＞0;⑺考虑x=1时y＜0，所以有a+b+c＜
0;⑻又x=-1时y＞0，所以有a-b+c＞0;⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜c-＜-1。-1(
四)练习：（巩固知识）y?438
x1、如图所示：求抛物线的解析式。由图象得：抛物线过（8，0），（0，4）对称轴是直线x=3
，从而可得抛物线又过（-2，0）。解法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，依题意得：c=4
解得4a-2b+c=0c=4∴所求的函数解析式为:
64a+8b+c=0解法二：设抛物线的解析式为：y=a（x-3）2+k，依题意得：
a（0-3）2+k=4k=∴所求的函数解析式为:
。a（8-3）2+k=0解得解法三：设抛物线的解析式为：y=a（x-8）（x+2），依题意得：4=a（0-8）（0+2）解得∴所求的函数解析式为:。 |
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