（二）要设计几种地板图案，必须解决如下问题：1.如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种多边形能镶嵌成一个平面?2.如果允许用几种正
多边形组合起来镶嵌,由哪几种多边形组合起来能镶嵌成一个平面?这种情况上次课已经讨论下面研究这种情况分别讨论如下：(1)正三
角形与正方形因此这样的平面镶嵌存在。(一)用两种正多边形镶嵌：设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正方形的角。那么这些角
的和应满足方程：m·60°+n·90°=360°即：2m+3n=12m=3n=2这个方程的整数解为：想一想，在它的每一
个顶点周围有几个正三角形和几个正方形。由计算知：一个顶点周围有3个正三角形和2个正方形。其镶嵌图形如下例：例1例2例3由
上例可以看到：其镶嵌图形中，虽然镶嵌方式有所不同，但在每一个顶点周围有3个正三角形和2个正方形。(2)正三角形与正六边形因此这
样的平面镶嵌存在。设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正六边形的角。那么这些角的和应满足方程：m·60°+n·120°=3
60°即：m+2n=6m=4n=1这个方程的整数解为：想一想，在它的每一个顶点周围有几个正三角形和几个正方形。由计算知
：一个顶点周围有4个正三角形和1个正六边形或有2个正三角形和2个正六边形。其镶嵌图形如下例：或m=2n=2顶点处有两个正三
角形和两个正六边形顶点处有四个正三角形和一个正六边形以上两例的混合镶嵌例1例2例3想一想:1、如果用正三角形与正十二
边形作平面镶嵌，有几种可能的情况？为什么？设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正十二边形的角。那么这些角的和应满足方程：m
·60°+n·150°=360°即：2m+5n=12m=1n=2这个方程的整数解为：1、如果用正四边形与正八边形作平面镶
嵌，有几种可能的情况？为什么？设在一个顶点周围有m个正四边形的角、n个正八边形的角。那么这些角的和应满足方程：m·90°+n·
135°=360°即：2m+3n=8m=1n=2这个方程的整数解为：(二)假如用三种不同的正多边形镶嵌，同样，必须在一个
顶点处，正多边形的内角之和为360°，如果正多边形的边数分别为n1、n2、n3，且每一个顶点处一种正多边形只有一个，则根据平面镶嵌
的条件，必须有：(n1－2)×180°n1++=360°(n2－2)×180°n2(n3－2)×180
°n3n1－2n1++=360°×180°()n3－2n3n2－2n21n1++=2()
3－21n21n3∴121n1++=1n21n3∴∴上式的正整数解见下表：6651
0105598848126472054612123515103418933
2483242731n3n2n1N0 |
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