高中数学定理证明汇总
必修1
P64分数指数幂的定义、根式解释：
一般的，给定正实数a,对于任意给定的正整数m,n,存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的次幂，记作，它就是正分数指数幂。
有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即（a>0）
P81对数的运算性质：
证明：设logaM=p,logaN=q,则由对数定义得ap=M,aq=N.
因为MN=apaq=ap+q，所以p+q=loga(MN)
即loga(MN)=logaM+logaN
P84换底公式：
证明：设x=logbN,根据对数定义，有N=bx.两边取以a为底的对数，得logaN=logabx.
而logabx=xlogab,所以logaN=xlogab.
由于b≠1,则logab≠0，解出x,得x=,
因为x=logbN,所以logbN=
很容易由换底公式得到logba=
必修2
P24平面的基本性质的推论：
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
证明：设，在直线a上取点B，且A、B不重合，在直线b上取点C，且A、C不重合。因为A、B、C不重合则有且仅有一个平面经过A、B、C因为点A、B都在直线a上所以直线a在平面内同理直线b也在平面内所以经过两条相交直线只有一个平面任取点Aa，取点C，三点定一个平面再任取C以外一点D假设两条有两个或以上平面即面ABC面ABD是两个不同的平面且相交于AB，且C、D不在AB上得出ABCD是异面直线与冲突所以，假设错误''是经过点O与a平行的直线。
因为a∥b'',a⊥平面,所以，b''⊥平面。
这样，经过同一点O的直线b,b''都垂直于平面，这是不可能的。
因此，a∥b。
P40定理6．4如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
在一般情况下，平面α⊥平面β，=MNB，这时，直线AB和平面α垂直吗？
如图，在平面α内作直线BCMN，则ABC是二面角α-MN-β的平面角，因为平面α⊥平面β，所以ABC=90°，即AB⊥BC，又已知AB⊥MN,从而AB⊥α。
P47
P73△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B,C不重合），且|AB|2=|AD|2+|BD|?|DC|.求证：△ABC为等腰三角形。
解：作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系。
设A（0，a）,B（b，0）,C（c，0）,D（d，0）,
因为|AB|2=|AD|2+|BD|?|DC|，所以，由距离公式可得
b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),
即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d)
又d-b≠0,
故-b-d=c-d
即-b=c.
所以|AB|=|AC|,即△ABC为等腰三角形。
P75
例19用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。
证明：在△ABC中，AB=AC,P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E，CF⊥AB于F.以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。
设A（0，b）,B(-a,0）,C(a,0）(a>0,b>0),则直线AB方程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0,取P（x0,0）,使x0>a,则点P到直线AB,AC的距离分别为
，
点C到直线AB的距离为，
则|PD|-|PE|==|CF|.
必修4
P83
平面向量基本定理如果el，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的仟一向量a，存在一对实数，使．
我们把不共线的向量el，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
如果el，e2是同一平面内的两个不共线向量，a这一平面内的任一向量，那么a与el，e2之间有什么关系呢?
如图2—25，在平面内任取一点O．作=el，=e2，=a．过点C分别作平行于OB，OA的直线,交直线OA于点M，交直线OB于点N，则有且只有一对实数，使得，
因为所以
P94
P97
P99
P100
P116
P122
P127
必修5
P15
P27
P45
P48
P49
P83
P88
如果a>0,,M>0,N>0,则
loga(MN)=logaM+logaN;
logaMn=n·logaM(nR)；
loga=logaM-logaN.
logbN=(a,b>0,a,b≠1,N>0)
S球面=4πR2，V球=πR3
1
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