导数各种题型方法总结
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）
与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
（请同学们参看2010省统测2）
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足的任何一个实数函数在区间上都为凸函数的最大值.解:由函数得
（1）在区间上为“凸函数”，
则在区间[0,3]上恒成立
解法二：分离变量法：
∵当时,恒成立,时,恒成立等价于）恒成立，
而（）是增函数
(2)∵当时在区间上都为凸函数则时恒成立在恒成立
请同学们参看2010第三次周考：
例2：设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）
令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）
∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.
（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数. （9分）
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于
又∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
解：（Ⅰ）∴，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减
又
∴的值域是
（Ⅲ）令
思路1：要使恒成立，只需，即分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知函数如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；
如果函数是上的单调函数，求的取值范围．解：（Ⅰ）∵是偶函数，∴此时，
令，.
列表如下：
(－∞,－2) －2 (－2,2) 2 (2,+∞) + 0 － 0 + 极大值 极小值 可知：的极大值为的极小值为（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，，在给定区间R上恒成立判别式法
则解得：综上，的取值范围是
（I）求的单调区间；
（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
（I）
1、
当且仅当时取“=”号，单调递增。
2、
单调增区间：
单调增区间：
（II）当则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增符合题意
2、，
综上，a的取值范围是[0，1]。
三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
例6、已知函数，，且在区间上为增函数．
求实数的取值范围；
若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．
解：（1）由题意∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立（分离变量法）
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
（2）设，
令得或由（1）知，
①当时，，在R上递增，显然不合题意…
②当时，，随的变化情况如下表：
— ↗ 极大值 ↘ 极小值
↗ 由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得
综上，所求的取值范围为
根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数
（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；
（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网
解：（1）∵的图像过原点，则，
又∵是的极值点，则
（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，
等价于有含的三个根，即：
整理得：
即：恒有含的三个不等实根
（计算难点来了：）有含的根，
则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，
十字相乘法分解：
恒有含的三个不等实根
等价于有两个不等于-1的不等实根。
题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
（1）由题意得：
∴在上；在上；在上
因此在处取得极小值
∴①②，③
由①②③联立得：∴
（2）设切点Q
过
令，
求得：，方程有三个根。
需：
故：因此所求实数的范围为：在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：根分布或判别式法
例8、
解：函数的定义域为（Ⅰ）x3－x2＋10x，
＝x2－7x＋10，令，解得或.
令，解得
可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．
（Ⅱ）y＝＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则，解得m＞3
例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．
当时，令解得，令解得，
所以的递增区间为，递减区间为.
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.
（2）有且仅有3个极值点=0有3个根，则或，
方程有两个非零实根，所以
或
而当或时可证函数有且仅有3个极值点上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）=0,得
因为，所以可得下表：
0 + 0 - ↗ 极大 ↘
因此必为最大值,∴因此，，
即，∴，∴
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，
为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子）
（1）已知函数(Ⅰ)若函数在时有极值处的切线与直线平行,求的解析式；
在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.
解：(Ⅰ).由,函数在时有极值
∴
∵∴
又∵在处的切线与直线平行,故
∴…………………….7分
(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,
∴即令,则
∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得,,,,,
同时DE为△ABC的中位线,
∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,
由得点F的横坐标为:
由得点G的横坐标为:
∴即
解得:或(舍去)故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分
(Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,
∴即令,则
∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得,,,,,
同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,
由得直线L与AC交点为:
∵,,
∴所求直线方程为:或
3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式；
（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。
解：由题知：
（Ⅰ）由图可知 函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0
得
（Ⅱ）依题意 =–3且f(2)=5
解得a=1,b=–6
所以f(x)=x3–6x2+9x+3
（Ⅲ）依题意 f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a＞0)
=3ax2+2bx–3a–2b 由=0b=–9a ①
若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当 满足f(5)＜8a＜f(1)②
由①② 得–25a+3＜8a＜7a+3＜a＜3
所以当＜a＜3时，方程f(x)=8a有三个不同的根。…………12分
4、（根的个数问题）已知函数
（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；
（2）若，讨论曲线与的交点个数．
解：（1）
………………………………………………………………………2分
令得
令得
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分
（2）由题得
即
令……………………6分
令得或……………………………………………7分
当即时
－
此时，，，有一个交点；…………………………9分
当即时，
＋ — ,
∴当即时,有一个交点；
当即时，有两个交点；
当时，，有一个交点．………………………13分
综上可知，当或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
（Ⅰ）若函数在处有极值，求的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．
-2
2
3a
a
a
3a
a-1
-1
-1
1
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