绝密★启用前
2013年学而思综合能力测评（全国）
六年级数学
考
生
须
知
1.本试卷共8页，20题
2.本试卷满分150分，考试时间90分钟
3.在试卷密封线内填写学校、班级、姓名
一．填空题（每题5分，共20分）
1.盒子里有10只黑球，20只白球，30只红球．那么，至少摸__________只球，才能保证出现2只红
球．
【难度】☆
【答案】32
【考点】最不利原则
【分析】要保证出现2个红球，先取完黑球和白球，再取两个红球，得20+10+2=32.
2.如图，长方形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F分别为BC、CD的中点，
阴影部分面积为__________．
【难度】☆
【答案】9
【考点】图形面积计算
【分析】本题考点较多，直接计算也可以出结果，当然知道梯形的一半模型也是非常迅速的.
如下图：梯形AECD，F为CD的中点，则三角形AEF是梯形AECD一半.
11(6443)922?????或者直接算111644332629222???????????.
3.宫保、艾迪、薇儿一共有525张积分卡，宫保卡数的2倍和薇儿的2
3
一样多，艾迪的卡数比宫保的
多25%．宫保有__________张积分卡．
【难度】☆☆
【答案】100
F
E
D
CB
A
F
E
D
CB
A
【考点】比例应用题
【分析】宫保的2倍等于薇儿的2
3
，可得之比是：2:21:3
3?
，所以宫保、薇儿、艾迪的比是：
1:3:1.254:12:5?，一共412521???份，故宫保有525214100???张积分卡.
4.在1到2013中，除以6余4的数有__________个．
【难度】☆☆
【答案】335
【考点】简单带余除法
【分析】直接表示满足条件的是：642013a??，20134
6a??
，20134334
6????????
，a可以取0，故共有
3341335??个.
二．填空题（每题6分，共24分）
5.一个304060??的长方体水箱，里面装有一定量的水，把不同的面贴着地面放置会有三种不同的水
深．其中两种放置方式的水深分别是15、20．在三种放置方式中，水深最大值为__________．
【难度】☆☆☆
【答案】30
【考点】立体几何——长方体体积
【分析】长方体的体积一般认为是??长宽高，这个公式可以理解成：?底面积高，不同的底面积对应
的高也是不一样的.长方体水箱里的水是一定量的，水的体积一定。
121520SS?（1S、2S分别表示不同的底面积）
得12:20:154:3SS??，而长方体是304060??，底面积可以是6040?、6030?、3040?，在这里：
(6040):(6030)4:3???，所以水的体积是：60401536000???，
水深的最大值是：36000(3040)30???
6.甲、乙两支工程队共同承担地铁某个站点的修筑工作．原计划甲先工作一周，之后乙队也参与进来，
还需再工作8周完成．结果乙队因设备问题延迟了7周才开工，之后两队又共同工作了4周．若只由
甲队单独完成，则共需__________周．
【难度】☆☆☆
【答案】15
【考点】工程问题
【分析】设甲的工作效率为a、乙的工作效率为b，根据题意得：
（注意，乙原计划就比甲晚一周，这又推迟7周，共晚8周）
8()84()aabaab?????
化简得到：34ab?，直接用具体的数表示：4a?、3b?；
工程总量是：48(43)60????，所以甲单独做：60415??周.
7.喜羊羊和懒羊羊分新买的一袋陀螺．如果懒羊羊给喜羊羊6个，那么喜羊羊分到的是懒羊羊的2倍；
如果喜羊羊给懒羊羊8个，那么懒羊羊分到的是喜羊羊的4倍．这袋陀螺总共有__________个．
【难度】☆☆☆
【答案】30
【考点】应用题
【分析】由题意可以得下表：设懒羊羊初始为a,
懒羊羊喜羊羊
初始a2(6)6a??
第一次操作6a?2(6)a?
第二次操作8a?2(6)68a???
第二次操作之后得：84[2(6)68]aa?????
解的16a?
陀螺整体是：(166)330???
【小技巧】第一次操作后给：喜羊羊是懒羊羊的2倍，则整体是3的倍数；
第二次操作后给：懒羊羊是喜羊羊的4倍，则整体是5的倍数;
所以整体是15的倍数，枚举也可以得出结果.
8.A、B两个自然数的和是2013，最大公因数是33，A、B两数的差的最大值是__________．
【难度】☆☆
【答案】1947
【考点】因倍问题
【分析】可以得到：33()2013ab??，（a、b互质）
可得61ab??，A、B两数的差最大也就是a与b的差最大，最大的差为60159??，所以差最大是：
59331947??
三．填空题（每题7分，共28分）
9.艾迪班上同学集体坐火车出游．火车完全通过一座长1000米的海湾大桥要花25秒，完全通过一条
长500米的隧道要花15秒．得到这些信息之后，聪明的艾迪算出了火车的长度，那么火车长为
__________米．
【难度】☆☆
【答案】250
【考点】火车过桥
【分析】火车过桥，火车走的路程=桥长+车长
25秒1000+车长
15秒500+车长
火车速度不变，上下两个条件做减法，即为10秒钟火车走了500米的路程，火车的速度是：
(1000500)(2515)50????（米/秒），火车长：5015500250???米.
10.小明为学生会（StudentUnion）设计会徽，如图所示．已知会徽是由一个圆和4个半圆组成，它们的
直径都在图中的虚线上，其中虚线长为5，虚线在图中被截成长为2:1:2的三段．把会徽沿曲线剪开
成三部分，这三部分的周长之和为__________π．
【难度】☆☆
【答案】15
【考点】圆、周长公式
【分析】如下图所示：求三部分的周长之和，中间的粗线加了两次
三部分周长之和为：52(23)15???????
11.有一杯盐水，先倒一半到甲碗里，并往杯里加满水；再从杯里倒一半到乙碗里，并把甲碗盐水倒回
杯里；最后倒掉半杯盐水，并把乙碗盐水倒回杯里．此时杯里盐水的浓度为15%，则开始时杯里盐
水的浓度为__________%．
【难度】☆☆☆
【答案】24
【考点】浓度问题
【分析】设这杯盐水最开始的时候盐为a，盐水的量为1，在下表中显示的都是盐:
杯甲碗乙碗
盐盐水盐盐水盐盐水
a1
2a
1
2
2a
1
2
2a
1
2a
1
2
4a
1
2
2a
1
2
4a
12
34a14a12
38a124a12
58a1
得515%
8a?
，则24%a?
1
2
2
12.本次“学而思杯”举行的时间为2013年4月6日，下面是一个除法竖式数字谜，那么除数为__________．
【难度】☆☆
【答案】139
【考点】数字谜
【分析】直接看数字谜的第5行：3??
四到六行可得：1346abcde??，由上下关系可以填出，
101997346??；
而三行中的的百位为1，商的第一位数字是1，
对973分解质因数，9731397??，所以直接除数是139.
四．填空题（每题8分，共32分）
13.如图，有一个由26个小正方体组成的空心大正方体，这个大正方体中包含__________个由小正方体
构成的实心长方体（包括正方体）．
【难度】☆☆☆
【答案】152个
【考点】几何计数
【分析】分类讨论：因为没有中心的小正方体，只有组成一层
111??：26个
121??：每个顶点各3个，每个面中心各4个，共：
834648????个
131??：12条棱，每个面过中心两个，共:122624???个
221??：每个面各4个，6424??个
231??：每个面各4个，6424??个
331??：6个
一共：26482424246152??????个.
14.学而思组织获奖学员出游，交通工具有小巴和中巴．其中小巴每辆可坐15人，租金600元；中巴每
辆可坐20人，租金750元．如只选择小巴，租金要11400元；如只选择中巴，租金要10500元．但
统计了人数之后，发现还存在更省钱的方案．那么最佳方案需租金__________元．
【难度】☆☆☆
【答案】10350
【考点】构造和最值
【分析】由题意得：小巴租金11400，1140060019??（辆）小巴，人数范围：271~285
中巴租金10500，1050075014??（辆）小巴，人数范围：261~280
综上，学员人数在：271~280之间.
□□
□□□２□０□
□□□
□□１□
□□３
４６
题目上给出“统计人数之后，发现还有更省钱的方案”说明人数是275人.
275201315???,即13辆中巴，1辆小巴.
租金：1375060010350???（元）.
15.如图，ABCD为正方形，90BEC???，35BE?，21CE?，则阴影部分面积为__________．
【难度】☆☆☆☆
【答案】300
【考点】弦图、风筝、等高模型
【分析】题目中给出的条件是无法直接求出阴影部分面积.
由于90BEC???，也就是在正方形ABCD的外部有一个直
角三角形，联想到弦图。构造弦图。如下图：
欲求阴影三角形BEF?的面积，需要求出:BFFC，根据风筝模型：
11::35(2135):212140:922DBEDECBFFCSS??????????
根据等高模型，404013521300
409492BEFBECSS??????????
16.有一类四位的完全平方数，末两位数是一个两位的完全平方数，这类数有_________个．
【难度】☆☆☆☆
【答案】22个
【考点】完全平方数、构造，奇偶
【分析】两位数完全平方数分别是：16、25、36、49、64、81
对应的是24、25、26、27、28、29；
根据题意得，四位的完全平方数减去末两位数，为100的倍数；
即：22()()100mnmnmnk?????（mn?，k为两位数，n取值是：4到9）
mn?与mn?奇偶性相同，100k是偶数，mn?与mn?是偶数；且为100的因数.
分类讨论：
（1）100mn
mnk???????
n对应4~9,所以m对应着：96~91；
35
21
2135
F
E
D
CB
A
F
E
D
CB
A
（2）50
2mnmnk???????
n对应4~9,所以m对应着：46~41；
（3）2
50mnkmn???????
n对应4~9,所以m对应着：54~59；
（4）此外，还有某位是5的，对应的有：35、65、75、85；
共计：36422???个.
五．解答题（每题8分，共16分）
17.下列算式的计算结果是（每小题4分，共8分）：
⑴15110111.11108
48411?????
【难度】☆☆
【答案】90.2或190
5
或451
5
【考点】分小混合运算、提取公因式
【分析】原式=11.1(11+8.25+62.5)=1.182=90.2
4??
评分标准：（有过程，且过程、答案无误即给满分；答案错误或没有过程不给分）；
⑵1235122447712???????
【难度】☆☆
【答案】11
12
【考点】分数裂项11ba
abab????
【分析】原式=1111111111
2244771212????????
评分标准：（有过程，且过程、答案无误即给满分；答案错误或没有过程不给分）；
18.解下列方程或方程组（每小题4分，共8分）：
⑴6714235xx???
【难度】☆☆
【答案】3.5或7
2
【考点】分数方程
【分析】解：5(67)14(23)xx???
30352842xx???
72x?
评分标准：（有过程，且过程、答案无误即给满分；答案错误或没有过程不给分）；
⑵79599753xyxy???????
【难度】☆☆
【答案】2
5xy?????
【考点】解二元一次方程组
【分析】解：两方程相加得：16()112xy??
7xy??①
两方程相减得：2()6yx??
3yx??②
①和②式相加得，
25xy?????
评分标准：（有过程，且过程、答案无误即给满分；答案错误或没有过程不给分）；
六．解答题（每题15分，共30分）
19.在一个边长为84米的正方形跑道上，一只猫和一只老鼠同时从同一个顶点背向出发，猫的速度为6
米/秒，老鼠的速度为8米/秒．每当老鼠发现猫出现在正前方跑道上时，立马掉头逃跑，并且由于过
度害怕，速度下降1米/秒．那么，
（1）出发多少秒后，老鼠第一次掉头？（5分）
（2）出发多少秒后，猫能抓到老鼠？（10分）
【难度】☆☆☆☆☆
【答案】21秒；330秒
【考点】环形跑道追及和相遇
【分析】如下图（一）所示：假定，老鼠和猫都在正方形ABCD的A点，老鼠是逆时针，猫是顺时针；
第一问：老鼠的速度开始快，老鼠最先跑完两条边，(8484)821???秒，此时猫走了216126??秒，此
时猫走的路程：1268442??，即猫走了一条边，过D点42米，如图（二）；
评分标准：0分/3分/5分。答案对，过程对，给5分。答案不对，大部分过程对，给3分。答案不对，
大部分过程不对，给0分。
第二问：图（二），老鼠的速度是7米/秒，此时，老鼠追猫，老鼠离猫的距离是84848442???米，但
是老鼠看见猫，就要掉头回跑，先计算(84+84+42)(76)=210??秒，此时老鼠走的路
程是21071470??，14708417??条边余42米，说明此时老鼠还没有看见猫，还需要
(8442)76???秒，此时老鼠走了18条边，到达A点；如图（三），此时，猫从开始
到现在共走的路程是(212106)61422????米，128416??条边余78米（图三所
示）；老鼠在A点掉头，速度是6米/秒，猫先到达C点，猫的速度和老鼠速度一样，
走了(846)615???秒，老鼠走了84847890???米（图四）；
图四，老鼠的速度是5米/秒，猫的速度是6米/秒，追及问题：
78(65)78???秒.
此时一共走了：2121061578330?????秒。
评分标准：0分/4分/7分/10分。答案对，过程对，给10分。答案不对，绝大部分过程对，给7分。答
案不对，有些过程对，给4分。答案不对，绝大部分过程也不对，给0分。
20.有一个25人的班，学生的座位排成了5行5列的方阵．“学而思杯”成绩公布后，这25个同学都获得
了一个班内排名，没有相同排名．如果某学生在所处的行或列中排名前2，他就会很开心；如果在
所处的行或列中排名垫底，他就会很郁闷．如果一个学生既开心又郁闷，我们称他为“纠结的人”．请
问最多有多少个“纠结的人”？请给出说明过程，并在下表中举一个例子（填上排名，并圈出“纠结的
42
A
BC
D
猫
老鼠
（二）（一）
老鼠
猫
D
CB
A
6
78
（四）
老鼠
猫
D
CB
A
78
A
BC
D
猫
老鼠
（三）
人”）．
【难度】☆☆☆☆☆
【答案】4个
【考点】构造与论证
【分析】将纠结的人分为两类：一类是在横排中成绩领先、竖排里落后，另一类相反；只考虑第一类，
若存在三个在不同横排的第一类人，那他们一定不在同一竖排，设他们为A、B、C。那么要么
他们都不属于同一行，要么有两者同行。
（1）若有两人同行，那么不妨设为A、B。如图1所示找到和AB同行C同列的F，和C行里
与AB同列的D、E，如图所示。由纠结定义，DE里必有一个小于C，设为是D，那么有
C＞D＞A，又A＞F＞C，矛盾。故而不可能出现此种情况。
若三人均不同行，找到三人每个人行里与其他两人同列的两个人，如图2所示。
不妨设CA小于A，那么若AC小于C，则A＞CA＞C，C＞AC＞A，矛盾。
故而一定有AC＞C，即BC＜C。同理可得，若CB小于B则会产生矛盾，故而CB＞B。
从而A＞CA＞C＞BC＞B＞AB＞A，矛盾。
故而第一类人不超过2个。同理，第二类人也不超过2个，故而纠结的人最多有4个。
构造如下：（红色为纠结）
12345
678910
（1行4、5；四行16；五行21为纠结）
评分标准：只有答案给4分，给出具体例子再给5分。论证部
分为6分，评分档为0分/3分/6分。
1112131415
1617181920
2122232425
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