绵阳市高中2010级第三次诊断性考试
数学(理)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页,第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效j在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后,将答题卡收回。
第I卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U=R,集合A={x||x|≤1},B={x|x≤1},则等于
A.{x|x≤-1}B.{x|x<-1}
C.{-1} D.{x|-1 2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q:.则下列命题为真命题的是
AB
CD
3. 已知曲线的渐近线方程为,则该曲线的离心率为
ABCD
4. 函数f(x)=log2x+x的零点所在的一个区间是
A(0,)B(,)
C(,1)D(1,2)
5. 函数f(x)=x-sinx的大致图象可能是
6.一个多面体的直观图和三视图如图所示,M是AB的中点,一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞,则它飞入几何体F-AMCD内的概率为
ABCD
7.如图所示,在ΔABC中,D为BC的中点,BP丄DA,垂足为P,且BP=2,则=
A.2 B.4
C.8 D.16
8. 已知E为不等式组,表示区域内的一点,过点E的直线l与圆M:(x-1)2+y2=9相交于A,C两点,过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点,当AC取最小值时,四边形ABCD的面积为
A.B.C.D.12
9. 如果正整数M的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M为“幸运数”,则四位正整数中的“幸运数”共有
A.45个B.41个C.40个D.38个
10. 已知函数f1(x)=x2-2|x|,f2(x)=x+2,设;,若a,b∈[-2,4],且当x1,x2时,恒成立,则b-a的最大值为
A.6 B.4 C.3 D.2
第II卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11. 若复数z满足z.i=1+2i(i为虚数单位),则复数z=________
12. 执行如图所示的程序框图,则输出的S=______.
13. 已知,则sinxcosx的值是______
14. 已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,O、F分别为C的顶点和焦点,若,则k=______
15. 若数列{an}满足:对任意的nN,只有有限个正整数m使得am ①数列{}的“星数列”的前100之和为5050;
②(a5)=2;
③数列的前n2项和为2n2-3n+1;
④{an}的“星数列”的“星数列”的通项公式为=n2
以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号)
三、解答題:本大題共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小題满分12分)
绵阳某汽车销售店以8万元A辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出,当售价定为10万元/辆时,每年可销售100辆该品牌的汽车,当每辆的售价每提高1千元时,年销售量就减少2辆.
(I)若要获得最大年利润,售价应定为多少万元/辆?
(II)该销售店为了提高销售业绩,推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车,若一次性付款,其利润为2万元;若分2期或3期付款,其利润为2.5万元;若分4期或5期付款,其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计,统计结果如下表.
若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值,求X的分布列和数学期望.
17. (本小题满分12分)
如图,已知平面PAB丄平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AD:AB=3:2,ΔPAB为等边三角形,F是线段BC上的点且满足CF=2BF.
(I)证明:平面PAD丄平面PAB
(II)求直线DF与平面PAD的所成角的余弦值.
18. (本小题满分12分)
函数的部分图象如图示,将y=f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=f(x)的图象.
(I)求函数y=g(x)的解析式;
(II)在ΔABC中,它的三个内角满足,且其外接圆半径R=2,求ΔABC的面积的最大值.
19. (本小题满分12分)
已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+8.
(I)求公差d的值;
(II)若a1=1,设Tn是数列的前n项和,求使不等式对所有的n∈N恒成立的最大正整数m的值;
(III)设bn=/若对任意的n∈N,都有bn≤b4成立,求a1的取值范围.
20. (本小题满分13分)
已知椭圆C:的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.A、B是椭圆的左右顶点,直线l过B点且与x轴垂直,如图.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于P,Q两点,如果(O为坐标原点),且满足,求实数t的取值范围.
21. (本小题满分14分)
已知函数.的定义域为(0,+)(e是自然对数的底数).
(I)求函数y=f(x)在[m,m+2](m>0)的最小值;
(II)若x>1时,函数y=f(x)的图象总在函数的图象的上方,求实数t的取值范围;
(III)求证:
绵阳市高2010级第次诊断性考试2小题,每小题5分,共50分.
BDACABCDBC
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.2-i 12.1113.14.15.②④
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.解:(Ⅰ)设销售价格提高了0x万元/辆,年利润为y万元.
年销售量为100-x,
∴y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245.
故当x=时,y取最大值.
此时售价为10+0×15=11.5万元/辆.
∴当售价为115万元/辆时,年利润最大.(Ⅱ)
∴P(X=0)=;
P(X=0.5)=P(X=1)=.
∴X的分布列为:
X 0 0.5 1 P
X的数学期望E(X)=×0+×0.5+×1=.
∴X的数学期望为.17.解:(Ⅰ)取AB的中点为O,连接OP,
∵△PAB为等边三角形,∴PO⊥AB.①
又平面PAB⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD,
∴PO⊥AD.∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥AB.②
∵AB与PO交于点O,
由①②得:AD⊥平面PAB,
∴平面PAD⊥平面PAB.(Ⅱ)以AB的中点O为原点,OB所在直线为x轴,过O平行于BC所在直线为y轴,OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2,AD=3,
∴F(1,1,0),A(-1,0,0),P(0,0,),D(-1,3,0).
∴=(2,-2,0),=(1,0,),=(0,3,0),
可求得平面ADP的法向量=(,0,-1,
若直线DF与平面PAD的所成角为θ,则
sinθ=|cos<,>|=,
又由图形可知,θ为锐角,
∴cosθ=
∴直线DF与平面PAD的所成角的余弦值为.18.解:(Ⅰ),解得ω=2.
∵,
∴,即.
由,得.
∴.
∴,
即函数y=g(x)的解析式g(x)=.………………………………6分
(Ⅱ)∵=,
∴1-cos(A+B)=1+sin(2C+),
∵cos(A+B)=-cosC,sin(2C+)=cos2C,
于是上式变为cosC=cos2C,即cosC=2cos2C-1,整理得2cos2C-cosC-1=0,
解得cosC=或1(舍),
∴C=.
由正弦定理得:=2,=2,
于是由余弦定理得:cosC==∴a2+b2=12-ab≥2ab,
∴ab≤4(当且仅当a=b时等号成立).
∴S△ABC=absinC=ab≤.
∴△ABC的面积.………………………………………12分
19.解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,
∵S4=2S2+8,即4a1+6d=2(2a1+d)+8,化简得:4d=8d=2.(Ⅱ)a1=1,d=2,an=2n-1,
∴=.
∴Tn==
=≥,
又∵不等式Tn对所有的n∈N恒成立,
∴≥化简得:m2m-6≤0,解得:≤m≤6.
∴m的最大正整数值为.(Ⅲ)d=2,得an=a1+2n-2,
又∵,
又函数在和上分别是单调减函数,
且时y<1;时y>1.∵对任意的n∈N,都有bn≤b4成立,
∴3<<4,
解得-6 ∵以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切,
∴=b,解得b=1.
再由a2=b2+c2,可解得:a=2.
∴椭圆的标准方程.……………………………………………5分
(Ⅱ)当直线的斜率为0时,[,],不成立;
∵直线的斜率不为0,设P(x1y1)(y1>0),Q(x2,y2)(y2<0),
直线的方程为x=my+1,
代入椭圆方程得:(m2+4)y2+2my-3=0
∴y1+y2=,y1y2=,
而x1x2=(my1+1)(my2+1)=,
∴=x1x2+y1y2=,即≤,解得≤m2≤1∵;;
又∵∴
,
∴当≤m2≤1时,解得.…………………………………13分
21.解:(Ⅰ)=,
∴当2x-1>0,即x>时,>0,于是f?(x)在上单调递增;
∴当2x-1<0,即x<时,<0,于是?(x)在上单调递减.
∵m>0,∴m+2>2.
①m≤≤m+2,即0 f?(x)在(m,)上单减,在(,m+2)上单增,∴f?(x)min=f?()=2e;
②当m>时,f?(x)在[m,m+2]上单调递增,∴f?(x)min=f?(m)=;
∴综上所述:当0时,f?(x)min=.
……………………………………………………………………4分
(Ⅱ)?(x)-g(x)(x>1),
则由题意得F(x)=(x>1),
==(x>1),
①当t≤e2时,e2x-t≥0成立,则x>1时,≥0,
即F(x)在上单增,
∴F(1)=e2-2t≥0,即t≤,故t≤.
②当t>e2时,=0得x=或lnt.
∴F(x)在1,lnt上单减,在lnt,+上单增∴F(x)min=F(lnt)=-2tln(lnt)-t<0.∴不成立.
∴综上所述:t≤.………………………………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,当x>0时,≥2e∴≤(x>0),
∴≤.
∴
≤
<
=
=
<.………………………………………………………………14分
C
D
P
F
A
B
z
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|