152
第七章微积分应用
§7.1定积分的几何应用
1．平面图形的面积
定积分的应用，关键是把问题写成∫b
a
dxxf)(的形式，这时关键是把)()(xdFdxxf=
的意义搞清楚，这个观点称为微元法。
比如要求以ax=，)(babx<=，)(xfy=，)(xgy=所围图形的面积，其中
)(xf，)(xg连续，且)()(xgxf≥。我们考虑从x到dxx+这个微元，它的面积可看成一
个矩形，高近似地取)()(xgxf?，其面积)())()((xdAdxxgxf=?=。所以所围图形面
积为[]∫?b
a
dxxgxf)()(。
α
如果函数由极坐标给出，我们要求向径aq=，bq=)(ba<和函数)(qrr=围成
的面积（如右上图）。考虑从q到qqd+这个微元，它近似地可看成是个扇形，面积微元
qqqdrdA)(21)(2=，所以总面积∫b
a
qqdr)(212。
例1求曲线)1(42??=xy与)2(22??=xy围成的图形面积。
解画图如下，恰如“月上柳梢头，人约黄昏后”的一弯新月，切记做这类问题都要
画图，一是便于理解掌握，二是“诗配画”的意境是一个整体，绝不是单单几个公式一个答
案所能涵盖的。
这里把)1(42??=xy写成)4(412yx?=，)2(22??=xy写成)4(212yx?=，它
们是有两个交点2±=y的两条抛物线。
153
dyyyS∫
???
??
?
????=2
2
22)4(
4
1)4(
2
1
[]38)4(41)4(2122
0
22=???=∫dyyy。
)4(212yx?=
4
p
)4(412yx?=
例2求双纽线q2cos22ar=所围成的图形面积。
解作图如右上。24
0
22cos
2
14adaS=?=∫pqq。
例3求心脏线)cos1(q+=ar)0(>a围成的面积。
(1cos)faq=+
∫+?=pqq
0
22)cos1(
2
12daS
∫++=pqqq
0
22)coscos21(da
∫+++=pqqq
0
2)
2
2cos1cos21(da
223ap=。
由参数方程)()()(ba≤≤
??
?
=
=t
tyy
txx，
??
?
=
=
)()(
)()(
ba
ba
yy
xx围成的封闭图形，选点
x
y
02a
154
)0,0(，),(yx，),(dyydxx++围成的三角形作为微元，其面积
)(2121
1
1
100
2
1ydxxdy
dydx
yx
dyydxx
yxdS?==
++
=。
所以[]∫∫′?′=?=b
a
b
a
dttxtytytxydxxdyS)()()()(2121。
y
(x+△x,y+△y)
(x,y)
(0,0)x
例4求旋轮线
??
?
?=
?=
)cos1(
)sin(
tay
ttax)20(p≤≤t与x轴围成的面积。
解[]∫′?′=p2
0
)()()()(21dttxtytytxS??
?
?
???
?
=
=
0)(
)(
ty
ttx
[]∫′?′?p2
0
)()()()(21dttxtytytx??
?
?
???
?
?=
?=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
∫∫???=pp2
0
22
0
22sin)sin(
2
1)cos1(
2
1dttttadtta
23ap=。
2体积，弧长，侧面积
A(x)
abx
设一物体位于平面ax=和bx=之间)(ba<，如果对任何bxax≤≤:，垂直于x
轴的平面与该物体相交的截面积)(xA为已知，考虑从x到dxx+微元，其体积微元为
155
dxxA)(，故∫=b
a
dxxAA)(。
y=f(x)
2ypA(x)=
如果有一曲边梯形，沿x轴转o360，得一旋转体，其体积微元dxxf)(2p，故
∫=badxxfA)(2p。若该曲边曲线由参数方程)()()(ba≤≤???==ttyytxx给出，则
∫∫′==babappdttxtytdxtyA)()()()(22。
y
dsdy
dx
Ox
考虑一段从),(yx到),(dyydxx++弧长微元，勾股定理给出222dydxds+=故弧长
∫∫′+′=+=b
a
b
a
dttytxdydxS2222)()(。
特别地，曲线由)(xfy=给出时，∫′+=b
a
dxxfS2)(1。
由参数方程
??
?
=
=
)(
)(
tyy
txx定义的一段曲线，绕x轴旋转一周所得的旋转体，其表面积
微元dsyp2，故表面积∫′+′=b
a
pdttytxtyP22)()()(2。
若曲线由)(xfy=定义，则旋转体侧表面积∫′+=b
a
dxxfxfP2)(1)(2p。
若曲线由极坐标方程)(qrr=定义，则旋转体侧表面积
156
∫′+=b
a
qqqqqpdrrrP22)()(sin)(2。
这是因为这时可看成参数方程
??
?
=
=
qq
qq
sin)(
cos)(
ry
rx，2222)()()()(qqqqrryx′+=′+′。
例5求两个半径相等，其轴垂直相交的圆柱面222ayx=+与222azx=+所围成
的立体的体积。
z
a
x
a
a
xy
解在八个卦限中立体是对称的，我们只要在第一卦限中体积再乘以8即可。过点
)0,0,(x作垂直于x轴的平面，它于该立体在第一卦限所截图形为一正方形，边长
22xa?=，其面积为22)(xaxP?=，故体积为3
0
22
3
16)(8adxxaSa=?=∫。
例6求抛物面222yxaz+=与上半球面22223azyx=++)0(>a，0>z所围
成的立体的体积。
z
a
Oy
x
解两曲面都是绕z轴旋转体，两曲面交线是一个圆。位于az=平面上，由
?
?
???
=+
=++
azyx
azyx
2
3
22
2222
，2232aazz=+，22)2()(aaz=+，0>z
得az=。
157
∫∫?+=a
a
adzzaazdzV322
0
)3(2pp)536(3
3
?=ap。
例7求旋轮线
??
?
?=
?=
)cos1(
)sin(
tay
ttax)20(p≤≤t之弧长。
解)cos1()(tatx?=′，tatysin)(=′，
∫+?=p2
0
2222sin)cos1(dttataS
∫?=p2
0
)cos1(2dtta
adtta82sin22
0
==∫p。
例8求星形线（铜钱线）?
?
???
=
=
tay
tax
3
3
sin
cos的弧长。
y
Oax
解考虑20:p→t，ttatxsincos3)(2?=′，ttatycossin3)(2=′。
∫+=20242242cossin9sincos94
p
dtttattaS
∫=2
0
sincos12
p
tdtta∫=2
0
sinsin12
p
tdta
ata6sin6202==
p
。
例9求椭圆
??
?
=
=
tby
tax
sin
cosp20≤≤t周长。
解tatxsin)(?=′，tbtycos)(=′，
∫+=2
0
2222cossin4
p
dttbtaS
158
∫??=2022
22
cos14
p
dttabaa
∫?=2
0
22cos14
p
edtta。
其中221baa?=e是椭圆的离心率，它是“椭圆积分”，不能用初等方法积出来。考虑
∫?=qeq022cos1)(dttf，其反函数称为“椭圆函数”，在数论中具有基本的重要性。
椭圆的面积：taxcos=，tbysin=，
abdtttabydxxdySppp=+=?=∫∫2
0
222
0
)sin(cos221。
例10求旋轮线
??
?
?=
?=
)cos1(
)sin(
tay
ttax)20(p≤≤t绕x轴旋转所得旋轮体的侧表面积
解dttads2sin2=，
∫??=pp2
02sin2)cos1(2dt
tataP
∫?=pp2
0
2
2sin)cos1(4dt
tta
∫=pp2
0
32
2sin8dt
ta
∫=pp
0
32sin16udua
∫??=pp
0
22cos)cos1(16udua
203312364)cos(cos16auuappp=??=。
例11求旋转椭圆体的表面积。
解设椭圆体是由12
2
2
2
=+byax)(ba>绕x轴旋转而得，这时
22
2
22x
a
bby?=，x
a
byy
2
2
?=′
及24
4
2
2
2
2222)(1x
a
bx
a
bbyyyyy+?=′+=′+
159
22222
22
2xa
a
bx
a
baa
a
be?=??=。
其中aba
22?
=e为椭圆的离心率。
∫
?
?=a
a
dxxaabP2222ep
∫?=adxxaab
0
2224ep
a
a
xaxax
a
b
0
)arcsin221(4
2
222e
eep+?=
)arcsin(2eepabb+=。
如果此椭圆绕y轴旋转，则
∫
?
′+=b
b
dxxxP2112p
∫??+=bbdxxababba22
22
22p
b
xbbaxbba
xbbaxbba
ba
b
b
a
0
1ln
12
2
4
22
2
22
2
4
22
2
22
22
3
?
?
?
?
+?+?+
?
?
?
?+??
?
=p
??
?
?
???
?+?
?
+=baba
ba
baa22
22
2
ln2p。
§7.2定积分的物理应用
1．曲率
设计铁路转弯时，里外两轨要有一定高度差，这由设计车速和曲率来决定，所以计算
曲线曲率是很重要的一件工作。
令a表示曲线斜率正切对应的角度，s表弧长，则曲率定义为sk
s?
?=
→?
a
0
lim。
如果曲线由参数方程
??
?
=
=
)(
)(
tyy
txx给出，
dt
ds
dt
d
k
a
=，由)()(txtytg′′=a，)()(txtyarctg′′=a
160
及22)()(tytxdtds′+′=，得
2
3)(
1
''
22
22
2yx
yxyx
yxxy
x
y
dt
ds
dt
d
k
′+′
′′′?′′′=
′+′??
?
?
???
?
??????′′+
??????′′
==
a
。
如果曲线由)(xfy=给出，则
2
3
2)1(y
yk
′+
′′=。
如果曲线由极坐标)(qrr=给出，则
2
3
22
22
)(
2
rr
rrrrk
′+
′′?′+=。
曲率的倒数，kR1=，称为曲线在该点的曲率半径，过该点与曲线有相同一阶，二阶
导数的圆周C称为曲率圆。
R
M
2质心（重心）
平面简单曲线
??
?
=
=
)(
)(
tyy
txx)(ba≤≤x，如果其上定义一个线密度)(tr，则曲线Γ
的质量公式∫′+′=b
a
rdttytxtM22)()()(。
曲线Γ对y轴和x轴的静力矩是
∫′+′=b
a
rdttytxtxtMy22)()()()(，
∫′+′=b
a
rdttytxtytMx22)()()()(。
Γ的质心
∫′+′==b
a
rdttytxtxtMMMxy22)()()()(1，
∫′+′==b
a
rdttytxtytMMMyx22)()()()(1。
特别地，当曲线质量是均匀分布的，不妨设1)(=tr，则
161
∫=lxdslx
0
1，∫=lyds
ly0
1。
由最后一式可得
∫=lydsly
0
22pp。
古鲁金定理平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周，生成的旋转体侧面积等
于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长。
y
y=f(x)
y=g(x)
Oxx+dxx
例：求)()(222RaRayx>=?+绕x轴转动所成圆环侧面积。
aRRaS2422ppp=?=
现考虑平面图形的质心。
质量微元dxxgxfdM)]()([?=，
关于y轴的静力矩微元dxxgxfxdMy)]()([?=，
关于x轴的静力矩微元dxxgxfxgxfdMx)]()([)]()([21?+=
dxxgxf)]()([2221?=。
所以平面图形质心的坐标为：
∫
∫
?
?
==b
a
b
ay
dxxgxf
dxxgxfx
M
Mx
)]()([
)]()([
；
∫
∫
?
?
==b
a
b
ax
dxxgxf
dxxgxfx
M
My
)]()([
)]()([2122
由上式，我们得∫∫?=?b
a
b
a
dxxgxfdxxgxfy)]()([)]()([222pp，即VSy=?p2。
其中S是平面图形的面积，V是该平面图形绕x轴旋转所得立体的体积。
162
古鲁金定理一平面图形绕与其不相交的轴（可以是它的边界）旋转所得立体的体积
等于该平面图形面积与重心绕轴旋转的周长的乘积。
3旋转惯量
质点m到定轴u的距离为r，转动的角速度w为常数，则质点动能
2222212121wwuImrmvE===
我们称2mrIu=为质点对u轴的转动惯量。
例求曲线)(txx=，)(tyy=关于y轴及x轴的转动惯量。
解dsxdIyr2=)(trr=为曲线密度，
dsydIxr2=。
∫∫′+′==b
a
rrdttytxttxdsxIly222
0
2)()()()(，
∫∫′+′==b
a
rrdttytxttydsyIlx222
0
2)()()()(。
静力矩计算中，用到∫b
a
dxxxf)(型积分，数学上我们称为一阶矩；转动惯量计算中，
用到∫b
a
dxxfx)(2型积分，数学上我们称之为二阶矩；一般地在数学上可定义n阶矩：
∫bandxxfx)(。
4引力和功
两个质点1m，2m，相距r，则其间万有引力为221rmmGF=。如果有一均匀细棒，
长l2，质量M，在其延长线上离中心距离为)(laa>处有一质点A，质量为单位1，则棒
对它引力元
l?0la2)(
12
xaGdF
l
Mdx
?
?
=，∫
??
=?=l
lla
GMdx
xa
lGMF
222)(
2。
力)(xF沿它作用方向运动dx，作功为FdxdW=，则从a到b作功∫=b
a
dxxFW)(。
如果有三维物体V，体密度为),,(zyxr，则对其外单位质量质点引力
kFjFiFFzyx++=为
[]∫∫∫?+?+?
?=
V
xzzyyxx
dxdydzxxzyxkF
2
32
0
2
0
2
0
0
)()()(
))(,,(r，
163
[]∫∫∫?+?+?
?=
V
yzzyyxx
dxdydzyyzyxkF
2
32
0
2
0
2
0
0
)()()(
))(,,(r，
[]∫∫∫?+?+?
?=
V
zzzyyxx
dxdydzzzzyxkF
2
32
0
2
0
2
0
0
)()()(
))(,,(r。
我们有必要研究多元微积分学。
§7.3定积分在经济学中的应用
例1：已知生产某商品x件时的边际收入是25100)(xxr?=（元/件）。试求生产此
种商品1000件时总收入和平均收入以及生产1000件到2500件时增加的收入和平均收入。
解：∫∫=?==1000
0
1000
0
80000)25100()()1000(dxxdxxrR（元）
801000)1000()1000(==RR（元/件）
45000)25100()1000()2500(2500
1000
=?=?∫dxxRR（元）
3010002500)1000()2500(=??RR（元/件）
例2：设某产品的总成本C（单位：万元）的边际成本是产量x（单位：百台）的函
数44)(xxC+=′。总收入R（单位：万元）的边际收入是产量x的函数xxR?=′9)(。
（1）求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各增加了多少？
（2）已知固定成本1)0(=C万元，分别求出总成本，总收入，总利润与产量x的
函数关系式。
解：（1）19)44()(5
1
=+=∫dxxxC（万元）
24)9(5
1
=?=∫dxxR（万元）
（2）∫′+=xdttCCxC
0
)()0()(
2
08
141)
44(1xxdt
tx++=++=∫……总成本函数。
2
02
19)9()(xxdttxRx?=?=∫……总收入函数。
1855)()()(2??=?=xxxCxRxL……总利润函数。
又最大利润：0)(=′xL，4=x，0)4(<′′L，故4=x（百台）时利润最大，9)4(=L（万
元）。此时总成本19)4(=C（万元），总收入28)4(=R（万元）。
164
例3：某地区的人口数y与时间t有关，且人口增长率与)(yN?成正比。若初始化
时刻0=t时的人口数0)0(yy=，求人口数y与时间t的函数关系。
解：)(yNkdtdy?=通解为：ktCeNy??=
0)0(yy=得)(0yNC?=，kteyNNy???=)(0
当0>k时，Ny
t
=
∞→
lim;
当00时，+∞=
∞→
y
t
lim，人口爆炸！
§7.4无穷小量与无穷大量之比较
定义：设)(xf，)(xg都是)(00xU上无穷小量，且0)(≠xg。
1）若Axgxf
xx
=
→)(
)(lim
0
，∞≠A，0，则称)(xf，)(xg为同阶无穷小量，若1=A，
称它们为等价无穷小量，记作)(xf～)(xg（0xx→）。
2）若0)()(lim
0
=
→xg
xf
xx
，则称)(xf是较)(xg的高阶无穷小量，记作))(()(xgoxf=
（0xx→）。
3）若M?，使得|)(||)(|xgMxf≤，)(00xUx∈，则记作))(()(xgOxf=
（0xx→）。
由定义我们有：xsin～x（0→x），xcos1?～221x（0→x），
xx1sinsin～)(xO（0→x）。
类似的对无穷大量，我们也有
定义设)(xf，)(xg都是)(00xU上无穷大量，且0)(≠xg。
1）若Axgxf
xx
=
→)(
)(lim
0
，∞≠A，0，则称)(xf，)(xg为同阶无穷大量，若1=A，
称它们为等价无穷大量，记作)(xf～)(xg（0xx→）。
165
2）若0)()(lim
0
=
→xg
xf
xx
，则称)(xf是较)(xg的低阶无穷大量，记作))(()(xgoxf=
（0xx→）。
3）若M?使得|)(||)(|xgMxf≤，)(00xUx∈，则记作))(()(xgOxf=
（0xx→）。
由定义我们有：
n～1+n（+∞→n），)(2xox=（+∞→x），
)(sinxOxx=（+∞→x）。
当0xx→时，我们称与kxx)(0?同阶的无穷小量为k阶无穷小；当+∞→x时，我
们称与kx1同阶的无穷小量为k阶无穷小。类似的可以定义k阶无穷大量。
关于o与O的运算，我们有如下三原则：
1）))(())(())((xgoxgoxgo=±（0xx→），
2）))()(())(())((2121xgxgoxgoxgO?=?（0xx→），
3）))(()))(((xgoxgOo=（0xx→），
4）))(()))(((xgoxgoO=（0xx→）。
注这里的等式与通常等式意义不同，它只表明极限运算的性质，即从左边推出右边，
反之不成立。
1）的证明令))(()(xgox=a，))(()(xgox=b，（0xx→），即
0)()(lim
0
=
→xg
x
xx
a，0
)(
)(lim
0
=
→xg
x
xx
b。
则0)()(lim)()(lim)()()(lim
000
=±=±
→→→xg
x
xg
x
xg
xx
xxxxxx
baba，
即))(()()(xgoxx=±ba（0xx→）。
2）的证明令))(()(1xgOx=a，))(()(2xgox=b，（0xx→），
即|)(||)(|1xgMx≤a，0)()(lim
20
=
→xg
x
xx
b
166
则0)()()()(lim
210
=?
→xgxg
xx
xx
ba，即))()(()()(
21xgxgoxx=?ba，（0xx→）。
3）的证明令))(()(xgOx=a，))(()(xoxab=，（0xx→），
即|)(||)(|xgMx≤a，0)()(lim
0
=
→x
x
xxa
b。
则0)()()()(lim)()(lim
00
==
→→xxg
xx
xg
x
xxxxa
bab，即))(()(xgox=b（
0xx→）。
4）的证明类似于3），省略。
例当0→x时，求)cos(sin1x?的等价无穷小量。
解)(21cos122xoxx+=?
)(sin)(sin21)cos(sin122xoxx+=?
))(()]([2122xOoxox++=
)()()()(2122xoxoxoxoxx+?+?+=
)(2122xox+=
所以)cos(sin1x?～221x。
§7.5Taylor公式
1.积分余项的Taylor公式
我们已经得到积分余项的Taylor公式：),()(001hxhxCxfn+?∈+，则
∑
=
+?=
n
k
n
k
k
xRxxkxfxf
0
0
0
)(
)()(!)()(
其中∫?=+x
x
nn
ndttxtfnxR
0
))((!1)()1(，hxx
对)(xRn的积分表达式用微分第一中值定理，
∫?=+x
x
nn
ndttxfnxR
0
)()(!1)()1(x10
)1(
)()!1()(+
+
?+=n
n
xxnfx
167
x介于0x与x之间。这称为Lagrange余项。这里),()(001hxhxCxfn+?∈+，要求)(xf
的1+n阶导数连续，太强了些，事实上1+n阶导数存在即可。
在Lagrange余项Taylor公式中，其余项显然满足
()nnnnxxoxxnfxR)()()!1()()(010
)1(
?=?+=+
+x
这样的余项称为Peano余项，实际上关于Peano余项的Taylor公式也不需要这么强的条件。
在下两个小节中我们给出合适的光滑条件的带Peano余项的Taylor公式和带Lagrange余项
的Taylor公式。
2．Peano余项的Taylor公式
函数在0x点可微，等价于在0x点可导，依定义有
())())(()()(0000xxoxxxfxfxf?+?′+=
从逼近观点，))(()(000xxxfxf?′+是个一阶多项式（即线性函数），上式表明，在
可导条件下，)(xf可以用这一阶多项式逼近（线性逼近），误差是相对)(0xx?的高阶无穷
小。现在我们想推广到n阶多项式逼近，误差为高于n阶的无穷小量：
()nnnxxoxxaxxaaxf)()()()(00010?+?++?+=L
定理1若()nnnxxoxxaxxaaxf)()()()(00010?+?++?+=L成立，则逼近多
项式唯一。
证设()nnnxxoxxaxxaaxf)()()()(00010?+?++?+=L
()nnnxxoxxbxxbb)()()(00010?+?++?+=L。
我们来证kkba=，nk,,1,0L=。
令0xx→，我们得00ba=，等式两边消去常数项，除以)(0xx?，得
()1010021)()()(???+?++?+nnnxxoxxaxxaaL
()1010021)()()(???+?++?+=nnnxxoxxbxxbbL。
再令0xx→，我们得11ba=，如此进行，我们得kkba=，直到nk=。
定理2设)(xf在0x点的n阶导数存在，则
168
L+?′′+?′+=200000)(!2)()(!1)()()(xxxfxxxfxfxf
()nnnxxoxxnxf)()(!)(000
)(
?+?+。
证要证
0)(!)()()(1lim
0
0
0
)(
00
=
?
??
?
?????=∑
=→
n
k
k
k
nxxxxk
xfxf
xxI)()((00
)0(xfxf=，)1!0=
)(xf在0x点的n阶导数存在，意味着0x在点某邻域),(0hxU上有直到)1(?n阶导数，且
连续，用)1(?n次del''Hospitale法则
0)()()(!1lim0)(
0
0
)1()1(
0
=?
?
?
??
??
?
?=??
→
xfxxxfxfnIn
nn
xx
。
公式中()nxxo)(0?称Peano余项，∑
=
?
n
k
k
k
xxkxf
0
0
0
)(
)(!)(称为n阶Taylor多项式。
当00=x时，)(!)0(
0
)(
n
n
k
k
k
xoxkf+∑
=
也称为带Peano余项的Maclaurin公式，)(xf在0x点
有n阶导数是Taylor公式成立的充分条件，而非必要，这一点与一阶时不同，有如下反例：
)()(1xDxxfn+=，)(xD为Dirichlet函数，在0=x连续，0≠x间断，当然不可导，
但)(000)(nnxoxxxf++++=L，即Taylor公式却成立！
3．Lagrange余项的Taylor公式
定理3设()[,]nfxCab∈，在(,)ab上(1)n+阶导数存在，0,[,]xxab?∈，则有
200
000
()(1)
10
00
()()()()()()
1!2!
()()()()
!(1)!
nn
nn
fxfxfxfxxxx
fxfxxx
nn
x++
′′′=+?+?++
?+?+
L
其中x介于x与0x之间。
证明作两个辅助函数：
()
2()()()()()[()()()()]
1!2!!
n
nftftftFtfxftxtxtxt
n
′′′=?+?+?++?L
1()()nGtxt+=?
169
容易验证它们在0[,]xx上连续，在内部0(,)xx可导，且
(1)()
()()!
n
nftFtxt
n
+
′=??
()(1)()nGtnxt′=?+?
及()()0FxGx==，现在我们用Cauchy中值定理
1
00
00
()()()()()
()()()()(1)!
nFxFxFxFf
GxGxGxGn
xx
x
+′?
===′?+
由此我们得
200
000
()(1)
10
00
()()()()()()
1!2!
()()()()
!(1)!
nn
nn
fxfxfxfxxxx
fxfxxx
nn
x++
′′′=+?+?++
?+?+
L
注：定理3中条件改为()fx在(,)ab上(1)n+阶导数存在，0,[,]xxab?∈，定理结论
仍然成立。
推论设()fx在(,)ab上有(1)()0nfx+=，则()fx为一至多n次多项式。
证明取0(,)xab∈，(,)xab?∈，由Lagrange余项的Taylor公式，我们有
()
2000
0000
()()()()()()()()
1!2!!
n
nfxfxfxfxfxxxxx
n
′′′=+?+?++?L
它是一个至多n次的多项式函数。
当00x=时，带Lagrange余项的Taylor公式也称为带Lagrange余项的Maclaurin公
式。
4．Taylor展开
求一个函数的Taylor展开，关键是计算高阶导数，下面我们给出常见函数的Maclaurin
展开。
例11
0)!1(!
+
=+
+=∑n
xn
k
n
xx
n
e
k
xeq，10<
例212
12
1
53
)!12(
cos)1(
)!12()1(!5!3sin
+
?
?
+?+??+++?=
nn
n
nx
n
x
n
xxxxxqL，
170
10<
例3221
242
)!22(
cos)1(
!2)1(!4!21cos
++
+?+?+++?=
nn
n
nx
n
x
n
xxxxqL，
10<
例412
1253
)!12()!12(!5!3
+
?
++?++++=
n
n
xnxchnxxxxshxqL，
10<
例522
242
)!22(!2!4!21
+
++++++=
n
n
xnxchnxxxchxqL，
10<
例61
1
1
32
)1)(1()1()1(32)1ln(+
+
?
++?+?+?+?=+n
n
n
n
n
xn
x
n
xxxxx
qL，
10<
例7nxnnxx!)1()1(1)1(+??+++=+aaaaaLL
11)1(!)()1(+??+??+nnxxnnaqaaaL。10<
有些函数)()(xfn计算很难，但)0()(nf可以很容易求出来，这时我们得到Peano余项
Taylor展开。
例8arctgxxf=)(，我们已经知道0)0()2(=kf，)!2()1()0()12(kfkk?=+，所以
)()!12()1(!5!312
1253
+
+
++?+++?=n
n
nxo
n
xxxxarctgxL。
例9)(!)!2(!)!12(121!!4!!351!!2131arcsin121253+++?+++++=nnxoxnnnxxxxL。
还有的函数，一般地计算)(0)(xfn也比较复杂，但前n项导数的计算也可实现，这时
我们可以计算指定阶数的Taylor展开。
例10xecos展开到4x项的Taylor展开。
解1coscos??=xxeee
?
?
?
??
??+?+?+=))1((cos
!2
)1(cos
!1
1cos122xoxxe
171
?
?
?
??
?+
???
?
???
?+?+
???
?
???
?++?+=))(()(
!2!2
1)(
!4!21
222
2
4
42
xooxoxxoxxe
?
?
?
??
?++?=)(
621
4
42
xoxxe
)(62442xoxexee++?=。
例11展开)sin1ln(2x+到4x项的Taylor公式。
解)sin1ln(2x+)(sinsin21sin442xoxx+?=
)()]([21)](!31[44233xoxoxxoxx++?+?=
)(65442xoxx+?=。
例12求极限]23[lim233xxxxI
x
??+=
+∞→
。
解??
?
?
?
?
?
?
??????????????+=+∞→2
1
3
1
2
2131lim
xxxxIx
?
??
?
??????????????+???????????????+?+=+∞→xoxxxoxxx1221113311lim22
?
?
?
??
??+?
?
??
?
?+=
+∞→
)1(111limoxox
x
1=。
例131)1ln()(121?++=nnna，求它的等价无穷小。
解113121121332??
?
?
??
??
?
??
?
?++??
?
??
?
?+=
nonnnnan
1141211312112222??
?
?
??
??
?
??
?
?+?+?
?
??
?
?++?=
nonnnonn
?
?
??
?
?+=
22
1
12
1
non。
所以2121~nan。
5．Lagrange插值多项式
172
函数)(xf定义在],[ba上，对区间],[ba给定一个分割bxxxan=<<<=L10，我
们的目标是找一个n次多项式)(xPn，使)()(iinxfxP=。
)(xPn有)1(+n个未知系数，条件)()(iinxfxP=，ni,,1,0L=，有)1(+n个线
性方程，可以解出)1(+n个未知系数来，但我们有更简单的方法解这个问题：构造)1(+n个
插值多项式)(xiw，ni,,1,0L=，使得1)(=iixw，0)(=ijxw对ji≠。则
∑
=
=
n
i
iinxxfxP
0
)()()(w即为所求。)(xiw构造如下：
)())(()(10nxxxxxxx???=Lw为)1(+n次多项式，
ixx
x
?
)(w为n次多项式，它在
jx上为0，在ix上为)(1
)(lim)(lim
ixx
ixx
xxxxx
ii
www′=′=?
→→
。取)()()()(
ii
ixxx
xx
w
ww
′?=，即
为所求。
逼近误差设],[baCfn∈，f在),(ba为)1(+n阶可导，则
)()!1()()()()(
)1(
0
xnfxxfxf
nn
i
iiw
xw
++=
+
=
∑
Taylor逼近用多项式是在一点局部逼近一个函数，Lagrange插值是在一个区间],[ba上
用多项式，比较均匀地逼近一个函数，优缺点各有千秋。
§7.6函数的升降与极值，凸凹与拐点
1．函数的升降
定理1设],[)(baCxf∈，在),(ba上可导，则
1）)(xf在],[ba是上升的),(,0)(baxxf∈?≥′?。
2）)(xf在],[ba是下降的),(,0)(baxxf∈?≤′?。
证只证1）
必要性设)(xf在],[ba上升，),(bax∈?，
173
0)()(≥???+xxfxxf，),(baxx∈?+
令0→?x，得0)(≥′xf。
充分性1x?，],[2bax∈，21xx<，在],[21xx用Lagrange定理
0))(()()(1212≥?′=?xxfxfxfx，)(21xx<
所以)()(12xfxf≥。
定理2设],[)(baCxf∈，在),(ba可导。则)(xf在],[ba严格上升（下降）充要
条件是：
1）),(,)0)((0)(baxxfxf∈?≤′≥′，
2）)(xf′不在),(ba的任一子区间上恒为0。
证必要性设)(xf在],[ba严格上升，由定理1知),(,0)(baxxf∈?≥′。用反
证法证2），如果],[),(ba??ba使得0)(=′xf，ba<
与)(xf严格上升矛盾。
充分性设0)(≥′xf知)(xf在],[ba上升。用反证法证严格上升，如果不然，?a，
],[ba∈b，ba<，使)()(baff=，f为上升的，所以)()(afxf=，ba<
那么0)(=′xf，ba<
2．函数的极值
定理3设)(xf在);(0dxU可导，0)(0=′xf，)(0xf′′存在，则
1）当)(0xf′′0<时?)(0xf为严格极大值；
2）当)(0xf′′0>时?)(0xf为严格极小值。
证Fermat定理说)(0xf是极值，必有0)(0=′xf，本定理则给出判定极值点的充分
条件，由Taylor公式
))(()(!2)())(()()(20200000xxoxxxfxxxfxfxf?+?′′+?′+=
174
2000)()1(2)()(xxoxfxf??
?
?
??
?+′′+=。
当0xx→时，)1(o为无穷小量，),0(1dd∈?，使得当);(100dxUx∈时，)1(2)(0oxf+′′
与)(0xf′′同号，故当)(0xf′′0>时，)()(0xfxf>，);(100dxUx∈?，即)(0xf为严格
极小值，当)(0xf′′0<时，)()(0xfxf<，);(100dxUx∈?，即)(0xf为严格极大值。
例1证1?≥x时，xxxx≤+≤+)1ln(1，且等号成立当且仅当0=x。
证0=x时显然等号成立。只要证01<x时严格不等式成立。
先证xx<+)1ln(。考虑函数)1ln()(xxxf+?=，0)0(=f，xxf+?=′111)(=
x
x
+1。当0>x时，0)(>′xf，所以)(xf在),0[+∞严格上升，故0)0()(=>fxf，即
xx<+)1ln(。当01<
0)0(=f，即xx<+)1ln(。
再证)1ln(1xxx+<+。当0>x时，110<+
)1ln()11ln(1xxxxx+?=+?>+?，即)1ln(1xxx+<+。
当01<+?xx，)11ln(1xxxx+?>+?，也得)1ln(1xxx+<+。
3．函数的凸凹性
定义设)(xf定义于],[ba，1x?，],[2bax∈，若
)()1()())1((2121xftxtfxttxf?+≤?+，10<
则称)(xf为],[ba上的凸函数，若12xx≠时严格不等号成立，称为严格凸函数；不等号
反过来分别称为凹函数和严格凹函数。
直观连接两点),(11yx和),(22yx的直y
线段方程为
??
?
?+=
?+=
21
21
)1(
)1(
yttyy
xttxx
，10≤≤t。
如曲线)(xfy=任意两点间弧段，总位于连接
两点的直线段之下，则称它为凸的。Ox1x2x
凸凹性都是从下往上看得来的概念。
在曲线上任取三点))(,(11xfx，))(,(22xfx，))(,(33xfx，自变量按顺序<<21xx
175
3x，则量
1)(
1)(
1)(
33
22
11
xfx
xfx
xfx
=?
代表连接这三点的三角形的有向面积。
yy
Ox1x2x3xOx1x2x3x
0>?表明这三角形是正旋的，即)(xf为凸函数；
0
在此行列式中，第二行减去第一行乘t再减去第三行乘以)1(t?，我们得到
1)(
0)()1()()(0
1)(
33
312
11
xfx
xftxtfxf
xfx
???=?
))](()1()()([31312xxxftxtfxf????=
即f凸当且仅当凸213()()(1)()fxtfxtfx≤+?，f严格凸当且仅当
213()()(1)()fxtfxtfx<+?。
另外一个凸函数充要条件为：<<21xx3x时，
23
23
12
12)()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
?
?<
?
?
这表明两边斜线斜率是递增的，读者可以自己证明这个充要条件。
注：f凸，),(bax∈，)(xf在x左右导数存在，所以在x点连续，但在a，b处可
以不连续。
176
比如：
??
?
≤<
==
10
01)(
2xx
xxf
定理4设)(xf],[baC∈，在),(ba可导，则)(xf为凸函数充要条件为：)(xf′在
),(ba内上升；)(xf为严格凸函数充要条件为：)(xf′在),(ba严格上升。
证必要性，1x?，),(2bax∈，21xx<，要证)()(21xfxf′≤′，令0>h，使
hx?1，),(2bahx∈+。由凸性有
hxfhxfxxxfxfhhxfxf)()()()()()(22
12
1211?+≤
?
?≤??，
令0→h，得)()()()(2
12
12
1xfxx
xfxfxf′≤
?
?≤′。
若)(xf严格凸，在),(21xx中任取一点?x，这时有
?
?
?
?
?<
?
?
xx
xfxf
xx
xfxf
2
2
1
1)()()()(
h
xfhxf)()(22?+<，
令0→h得
)()()()()()(2
2
2
1
1
1xfxx
xfxf
xx
xfxfxf′≤
?
?<
?
?≤′
?
?
?
?
，)()(21xfxf′<′。
充分性要证)(xf凸，只要对1x，],[32baxx∈，，<<21xx3x时，有
23
23
12
12)()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
?
?≤
?
?。
由Lagrange中值定理，)()()(1
12
12xf
xx
xfxf′=
?
?，)()()(
2
23
23xf
xx
xfxf′=
?
?，
2211xx<<
23
23
12
12)()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
?
?≤
?
?。若
)(xf′严格上升，严格不等号成立，)(xf严格凸。
x0
1
1
177
定理5设)(xf],[baC∈，在),(ba上二阶可导，则)(xf凸的充要条件为
0)(≥′′xf；)(xf严格凸的充要条件为1）0)(≥′′xf，2）)(xf′′不在),(ba任一子区间
上恒为零。
例2)(xf是],[ba上凸函数，],[baxi∈，0>it，1
1
=∑
=
n
i
it，则有
)()()()(221111nnnnxftxftxftxtxtfLL++≤++。
)(xf严格凸，ix),,2,1(niL=不全相等，则上式严格不等号成立。
证2=n，这是凸函数定义。
设kn=成立，要证1+=kn也成立，设0>it，1,,2,1+=kiL，1
1
1
=∑
+
=
k
i
it。取
11+?
=
k
i
it
tl，ki,,2,1L=，有
)(112211++++++kkkkxtxtxtxtfL
]))(1[(1122111+++++++?=kkkkkxtxxxtflllL
)()()1(1122111+++++++?≤kkkkkxftxxxftlllL
)())()()()(1(1122111+++++++?≤kkkkkxftxfxfxftlllL
)()()()(112211+++++=kkkkxftxftxftxftL。
)(xf严格凸时，)1,,2,1(+=kixiL不全相等，分两种情况，kxxx,,,21L不全相等，由
归纳法假设，可得严格不等号成立；kxxx,,,21L相等，但不等于1+kx，则
12211+≠+++kkkxxxxlllL，严格不等号也成立。
例3设0>ia，（ni,,2,1L=）不全相等，证明当0≠x时
0lnlnln1
1
11>++?
++
++
n
aa
aa
aaaaxxnx
x
n
x
n
x
n
xL
L
L。
证要证的不等式等价于
naanaaaanaan
x
n
xx
n
x
x
n
x
n
xx++++>++LLL11
11lnln
1ln1，
178
令xxxfln)(=，1ln)(+=′xxf，01)(>=′′xxf)0(>x，所以)(xf是),0(+∞
上严格凸函数，又xia),,2,1(niL=不全相等，有
)(1)(111xnx
x
n
x
afnafnnaaf++
?
?
???
?++LL，
这正是所要的。
例4设ia),,2,1(niL=不全相等，证明xnaaxf
x
n
x
1
1)(??
?
?
???
?++=L是),(+∞?∞上严
格增函数。
证nn
x
aaaxfL21
0
)(lim=
→
，令nnaaafL21)0(=，则),()(+∞?∞∈Cxf。l0≠
时，对)(lnxf求导，得
?
?
?
??
?++?
++
++=′
n
aa
aa
aaaax
xxf
xfxnx
x
n
x
n
x
n
xL
L
L1
1
11
2ln
lnln1
)(
)(，
因为0)(>xf，得0≠x时，0)(>′xf。故)(xf在实轴上严格递增。
注意
naa
nf
11
1
)1(L+=?，称为),,,(21naaaL的调和平均，
nnaaafL21)0(=称为),,,(21naaaL的几何平均，
naaafnL++=21)1(称为),,,(21naaaL的算术平均，
),,,min()(21naaafL=?∞，
),,,max()(21naaafL=+∞。
我们有)()1()0()1()(+∞<<
例5设0>ia，0>ib，ni,,2,1L=。证明
qn
i
q
i
pn
i
p
i
n
i
iibaba
1
1
1
11
?
?
??
?
??
?
??
?
?≤∑∑∑
===
，
其中∞<
此不等式称为lderoH&&不等式，当2==qp时，称为Schwartz不等式或Cauchy不等
179
式，它表明两个n维空间的向量夹角余弦之绝对值1≤。
证令qxxf
1
)(=，0111)(
21
?
?
???
??=′′?qx
qqxf，)(xf为凹函数，若0>ix，0>it，
1
1
=∑
=
n
i
it，取
∑
=
=n
i
p
i
p
i
i
a
at
1
，p
i
q
i
ia
bx=，代入，得
qn
i
p
i
qqq
n
i
p
i
nn
a
bb
a
baba
1
1
1
11
1
11)(
?
?
??
?
?
+≤+
∑∑
=
=
LL
即
qn
i
q
i
pn
i
p
i
n
i
iibaba
1
1
1
11
?
?
??
?
??
?
??
?
?≤∑∑∑
===
。
4．拐点
定义函数)(xf在);(0dxU上连续，如果它在0x的左右侧凹凸性相反，称0x为一个
拐点。
定理6如果0x是)(xf的拐点，)(0xf′′存在，则0)(0=′′xf。
证)(0xf′′存在表明)(xf′在0x附近存在，)(xf在0x的左右凹凸性相反，表明
)(xf′在0x的左右升降性相反，即0x是)(xf′一个极值点，由Fermat定理，0)(0=′′xf。
定理7如果)(xf在);(0dxU二阶可导，0)(0=′′xf且)(0xf′′′存在不为零，则0x是
)(xf拐点。
证对)(xf′′用Taylor公式，
。)))(1()(())(())(()()(
00
0000
xxoxf
xxoxxxfxfxf
?+′′′=
?+?′′′+′′=′′
所以dd
在0x左右符号相反，即)(xf在0x左右凸凹性相反，所以0x是拐点。
5．函数作图
180
计算机作图是],[ba把分得充分细，在每个ix点上计算)(ixf，描点))(,(iixfx，当分
辨率达到一定程度时，我们就看见)(xfy=的图形，本书中图全部是这样做出来的。作出
图形后我们可以直观地研究函数各种性质。
手工作图不能这样，计算量太大。反过来我们先把函数各种性质尽可能的搞清楚，然
后再作出草图，具体步骤如下：
1）求出函数的定义域；
2）研究函数的有界性，奇偶性，周期性；
3）解方程0)(=′xf，列表求出函数升降区间和极值点；
4）解方程0)(=′′xf，列表求出函数的凸凹区间和拐点；
5）求出函数的斜渐近线与垂直渐近线；
6）重要点上（如0=x点）函数值。
例1用计算机作2xey?=的图形，并研究它的奇偶性，升降性和凸凹性。
解2xey?=定义域为),(+∞?∞，且为偶函数，它在概率上很重要。物理上做个实
验，立着的平面上放一漏斗向下漏小绿豆，则小绿豆在下面堆成一堆，边缘曲线即是
2xey?=。
由于0lim2=?
±∞→
xe
x
，所以x轴为一水平渐近线，022=?=′?xxey，其解为0=x。
x)0,(?∞0),0(+∞
y′+0-
y
1
极大
0)12(222=?=′′?xexy，解为21±=x。
181
x)2
1,0(
2
1),
2
1(+∞
y′′-0+
y
6.0
拐点
例2描绘2
3
)1(
)1()(
+
?=
x
xxf的草图。
解除1?=x外，)(xf在实轴上都有意义。?∞=
?→
)(lim
1
xf
x
，因此1?=x是垂直
渐近线。又1)(lim=
∞→x
xf
x
，5))((lim?=?
∞→
xxf
x
，所以5?=xy是另一条渐近线，斜的。
0)1(=f。
3
2
)1(
)5()1()(
+
+?=′
x
xxxf，0)1(=′f，0)5(=?′f。
4)1()1(24)(+?=′′xxxf，0)1(=′′f。
x)5,(??∞5?)1,5(??)1,1(?1),1(+∞
y′+0-+0+
y′′----0+
y极大拐点
y
-105x
y=x-5
-5
习题：
182
7.1求下列曲线所围图形的面积：
（1）2xy=与5+=xy；
（2）xy22=与5=x；
（3）2221xxy?+=与1=+yx；
（4）1922=+yx；
（5）xy=与)0(sin2p≤≤+=xxxy。
7.2求下列用极坐标表示的曲线所围成图形的面积：
（1）j2cos22ar=；
（2）j3sinar=；
（3）)(cosabbar≥+=q。
7.3求下列用参数方程表示的曲线所围成图形的面积：
（1）22ttx?=，322tty?=；
（2）)sin(ttax?=，)20()cos1(p≤≤?=ttay以及x轴；
（3）tax3cos=，tay3sin=；
（4）)sin(costttax+=，)cos(sintttay?=，)20(p≤≤t。
7.4求下列曲面所围成的体积：
（1）椭球面：12
2
2
2
2
2
=++czbyax；
（2）正圆台：其上下底分别为半径为a与b的圆，而其间的距离为h；
（3）正长方台：上底的长与宽为1a，1b，下底的长与宽为2a，2b，而两底的间距为
h；
（4）抛物面222yxz+=与球面3222=++zyx所围成的部分。
7.5求下列旋转体的体积：
（1）旋转抛物体，其底面积为S，高为H；
（2）椭圆12
2
2
2
=+byax与直线)(ahhx<=，所围成部分绕x轴旋转产生的旋转
183
体；
（3）双曲线12
2
2
2
=?axby与直线hx±=所围成的图形绕x轴旋转产生的旋转体；
（4）摆线)sin(ttax?=，)20()cos1(p≤≤?=ttay绕x轴旋转产生的旋转体。
7.6求下列曲线分别绕Ox轴与Oy轴旋转所成曲面包围的体积：
（1）xysin=，0=y，p≤≤x0；
（2）2)(axby=，axby=，0,>ba
7.7求下列曲线的弧长：
（1）3xy=，10≤≤x；（2）xey=，21≤≤x；
（3）yyxln21412?=，ey≤≤1；（4）3
2
3
2
3
2
ayx=+；
（5）)cos1(q+=ar，20≤≤q，0>a；
（6）)sin(costttax+=，)cos(sintttay?=，0>a；p20≤≤t。
7.8求下列曲线的曲率及曲率半径：
（1）0,22>=ppxy；（2）)cos1(),sin(tayttax?=?=；
（3）)cos(sin),sin(costttaytttax?=+=；
（4）)cos1(q+=ar；（5）q2cos22ar=。
7.9（1）求证：用极坐标表示的曲线)(qrr=在),(qr点的曲率为：
2/322
22
)(
2
rr
rrrrK
′+
′′?′+=
。
（2）求qbaer=的曲率。
7.10求下列曲线旋转体的表面积：
（1）pqq20),cos1(≤≤+=ar，绕极轴旋转；
（2）)sin(ttax?=，)cos1(tay?=，0>a，p20≤≤t，绕直线ay2=旋转；
（3）tax3cos=，tay3sin=，绕x轴旋转；
184
（4）12
2
2
2
=+byax，ba>，绕x轴旋转。
7.11求下列曲线的质量（设密度为1）与重心坐标：
（1）21xy?=，11≤≤?x；
（2）)sin(ttax?=，)cos1(tay?=，0>a，p20≤≤t；
（3）jcosax=，jsinay=，4pj≤。
7.12（1）求半圆220xRy?≤≤的重心；
（2）求半圆周)(22RxxRy≤?=的重心。
7.13应用重心公式计算定积分
dxxx∫+p
02cos1
。
7.14质量为m的物体，以初速0v发射使其脱离地球，求证：
（1）物体脱离地球时（即引力自RR′到做功，再令∞→′R）所做的功为
RmMGW=，
其中RM,分别为地球的质量及半径，G是引力常数；
（2）gRv20=；
（3）若6370=R公里，2/8.9秒米=g，求0v（即第二宇宙速度）。
7.15求下列量的等价无穷小量)0(→x：
（1）)1ln(x+；（2）1?xe；
（3）11?+nx；（4）xxx++。
7.16求下列量的等价无穷大量：
（1）)(653223∞→+?+xxxx；（2）)(+∞→++xxxx；
（3）)0(3212→?++xxxx；（4）)0(2→xxarctgx。
7.17写出下列函数在0=x的带有皮亚诺余项的泰勒展开式：
（1）xe2；（2）2cosx；
（3）)1ln(x?；（4）2)1(1x+；
185
（5）112
3
?
++
x
xx；（6）x3sin。
7.18写出下列函数在0=x的泰勒展开式至所指的阶数：
（1）)(132xxx+?；（2）)(cos4xxex；
（3）)(sin4xxx；（4）)()sinln(cos4xxx+；
（5）)(1232xxxx?+；（6）)(1142
2
xxxxx+?++；
（7）)()1ln(632xxxx+++；（8）)(211lnnxxx?+。
7.19在0=x处将下列函数展开到4x：
（1）
2
2
1xx
x
+?
；（2）
421
1
xx+?
。
7.20求下列极限：
（1）)sin11(lim
0xxx
?
→
；（2）xxe
x
x6
3
0sin
1lim3??
→
；
（3）]23[lim233xxxx
x
??+
+∞→
；（4）)11ln()21(limnn
n
++
+∞→
。
7.21（1）把多项式322531)(xxxxP?++=表成)1(+x的幂的多项式；
（2）把多项式532)(23++?=xxxxP表成)1(?x的幂的多项式。
7.22设2)(xexf=
（1）求证：2)()()(xnnexPxf=，其中)(xPn为n次多项式，满足1)(0=xP，
xxP2)(1=，)(2)(2)(11xnPxxPxPnnn?++=；
（2）求)0()(nf的值。
7.23用泰勒公式求证：
（1）)10(2)1ln(0
2
≤<<+?
（2）∑
=+∞→
??
?
??
?+?n
knkk1
)11ln(1lim存在。
7.24求证：
186
（1）)10()!1(!1!31!2111<<+++++++=q
q
n
e
neL；
（2）e是无理数。
7.25设)(xf在],[ba上有二阶导数，且0)()(=′=′bfaf，则),(bac∈?，使
)()()(4)(2afbfabcf??≥′′
提示：在2bax+=点写出函数的展开式。
7.26设)(xf在],[ba上二次连续可微，且0)()(==bfaf。求证：
（1）)(max)(81)(max2xfabxf
bxabxa
′′?≤
≤≤≤≤
；
（2）)(max)(21)(maxxfabxf
bxabxa
′′?≤′
≤≤≤≤
。
提示：在最大点写出函数的展开式。
7.27设)(xf在),(+∞?∞上二次可微，且),(+∞?∞∈?x时，有0)(Mxf≤，
2)(Mxf≤′′。
（1）写出)(hxf+，)(hxf?的泰勒展开式；
（2）求证：0>?h，有202)(MhhMxf+≤′；
（3）求202MhhM+在),0(+∞上的最小值；
（4）求证：202)(MMxf≤′。
7.28设)(xf在),0(+∞上二次可微，且0)(Mxf≤，)0()(2>≤′′xMxf。求证：
)0(2)(20>≤′xMMxf。
7.29若)(xf在],[ba上定义，并满足
],[,)()(2bayxyxkyfxf∈??≤?。
求证：≡)(xf常数。
7.30求证下列不等式：
（1）)20(2sinpp<<>xxx；（2）)0(21cos
2
≠?>xxx；
187
（3）)0(1≠+>xxex；（4）)0(1122≠+
（5）)10(112≤≤≤+??xexxx。
7.31求证下列不等式：
（1）)1(1)1(2ln>+?>xxxx；（2）)0(1cossin2>?+>+xxxxx；
（3）)0(1)1ln(≥+≥+xxarctgxx。
7.32（1）求证：xxxfsin)(=在),0(p上单调下降；
（2）求证：圆内接正n边形的面积随边数的增加而增加。
7.33求证：
（1）xx)11(+在0>x上单调上升；
（2）xx++1)11(在0>x上单调下降；
（3）)0()11()11(1>+<<++xxexxx。
7.34求下列函数的最大值：
（1）)0()(222axxaxxf≤≤?=；
（2）),,10()1()(为正整数mnxxxxfmn≤≤?=；
（3）),0()(2为正整数nxexxfnx≥=?；
（4）)0,0(1ln)(>>=aaxxxxf。
7.35求证：)0,0(2>>+babxa为凸函数。
7.36求四次多项式是凸函数的条件。
7.37设)(),(xgxf是),(ba上的凸函数，求证：))(),(max(xgxf也是),(ba上的凸函数。
7.38求证：
（1）)1()(21>+≥+?pbabapppp；
（2）)10()(21<<+≤+?pbabapppp。
7.39设)(xf在],0[a上二次可导，且0)0(=f，0)(<′′xf。
求证：xxf)(严格单调下降。
7.40设2≥n，0>r，)()(xfn在],[rara+?上连续，并设)11(0)()(?≤≤=nkafk，
188
0)()(≠afn，求证：
（1）当n为偶数时，a是极值点；
（2）当n为奇数时，a是拐点。
7.41作下列函数的图形：
（1）3
3
)1(
)1(
+
?=
x
xy；（2）
3
4
)1(x
xy
+=；
（3）2
3
)1(2?=x
xy；（4）
1
1
2+
+=
x
xy。
7.42作下列函数的图形：
（1）2)1(2xexy?+=；（2）xexy?=3
2
。
7.43作下列函数的图形：
（1）)20(cossin33p≤≤+=xxxy；
（2）)0(33sin22sinsinp≤≤++=xxxxy。
7.44作123+??=xxxy的图形，方程023=+??kxxx当k取何值时有三个实根？
7.45已知某商品每周生产x单位时，总费用的变化率124.0)(?=xxf（元/单位），求总
费用)(xF。如果这种商品的销售单价是20元，求总利润)(xL。每周生产多少产
品才能得到最大利润？
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