例谈《几何画板》的作图演示功能
崇明县民本中学李斌
我国《基础教育课程改革纲要（试行）》指出，要“大力推进信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具”。借着“二期课改”的东风，上海广大教师围绕学科课程与信息技术的有机整合展开了积极的实践和研究，如何科学地实施学科课程与信息技术的有机整合已经成为教学的热点话题之一。笔者认为，科学实施学科课程与信息技术有机整合应该以贴合学科实际为前提，以讲究实效为目标。笔者任教高中数学学科，在信息技术不断更新、教学辅助软件层出不穷的背景下，《几何画板》以其朴素的外表、强大的功能、简单易学的操作和运行时对系统的低要求依然让我对其情有独钟。
众所周知，数形结合是数学学科最重要的思想方法之一，是联系数学直观和抽象的主要工具。高中数学中除几何板块（如平面解析几何、立体几何等）本身研究“形”之外，即便是传统意义上的代数板块（如函数、数列等）以及一些介于代数与几何之间的边缘章节（如复数、向量等），都无不彰显“形”的作用。如函数（包括数列）的图像，复数与复平面上点的对应，向量的有向线段表示等等都无处不显“形”的身影。而传统手工作图误差大、运算繁、无法动态作图等弊端大大制约了数形结合的可行性。尽管能借助TI图形计算器使之得到了一些改进，但个人电脑运行《几何画板》软件提供的屏幕尺寸和分辨率相比TI图形计算器较小的屏幕和较低的分辨率仍然有其强大的优势。根据笔者平时教学过程中应用《几何画板》的实践，结合本人的思考，对《几何画板》的作图演示功能功能与读者作一点肤浅的交流。
作图演示功能是几何画板最基本、最常用的功能，由于其简便的操作、清晰的界面、易于开发的环境以及和其他软件良好的图片兼容性而深得广大数理教师的喜欢。几何画板的演示作图功能按作图过程中涉及的数学思维的深浅笔者将其分为绘图功能和数学作图功能两类。
1、绘图功能。笔者所谓的绘图功能，通俗的讲，就是把几何画板当作画图板使用。画图过程中基本不需要较多的数学知识来支撑，就如同一个即使从来并没有学过数学的人用笔在纸上画图，只不过现在是利用几何画板提供的画点、画圆（圆弧）、画线（直线、射线、线段）工具当作笔，电脑屏幕当作纸而已。区别可能就在于纸上的图要通过扫描才能成为数字文档，从这个意义上讲，它的功能类似于windows自带的画图板。如图1-1-1中精美的图形都由几何画板画得。
当然，几何画板在动态作图方面是画图板不可比拟的。如立体几何中研究长（正）方体中点、线、面关系的时候，可利用几何画板画出一个可以旋转的长（正）方体，帮助学生从不同角度观察研究立体图形，逐步提高学生的空间想象力。如图1-1-2。
2、数学作图功能。不夸张的讲，几何画板的数学作图功能才是真正体现了几何画板的数学价值。这里所谓的数学作图，是指最大程度地运用几何画板提供的各种工具，借助一定的数学知识，通过数学化的设计、构造，作出体现某个数学原理、或为理解某个数学原理服务的数学图形。如果说纯粹画图是站在画家的角度讲究画得像不还是不像的话，那么数学作图则是站在一个数学家的角度，更多的是体现作图过程中数学知识的渗透，是为理解、探究某个数学概念或原理，运用已知的一些数学知识有意识地、可预见地构思和设计作图过程，最终通过构造作图，达到帮助理解数学概念或原理的目的。从作图的侧重点来看，纯粹作图主要侧重最后作出的图形结果，而数学作图更加侧重作图中的数学设计过程。可以说，一个没有较好数学素养的人，是用不好几何画板的。从这个意义上讲，在运用几何画板进行数学作图的过程本身也是一个数学知识应用、探究和学习的过程。几何画板的数学作图功能几乎是为数学学科度身定做的，尤其体现在二维作图方面，例如：
案例1：直接作出函数图像。在直角坐标系环境下通过输入形如“y=f(x)或x=f(y)”或在极坐标系环境下输入形如“r=f(θ)或θ=f(r)”格式的函数解析式，可直接作出函数图像，同时，通过控制函数解析式中参数的变化，可动态展示图像的变化。例如在二次函数最值问题的教学中：利用“图表”菜单中“新建参数”功能给出参数、、，再利用“新建函数”功能给出函数解析式，鼠标右击函数解析式，利用“绘制函数”功能，可直接画出函数的图像。进一步借助参数，可画出函数在限定区间上的图像。如图1-2-1，图中函数的图像（整个二次函数图像上较粗的那段）即为函数的图像，（式中的“”主要是为了构造定义域，事实上，类似也可画出其他定义域上的图像）。这样，通过控制参数、、、的变化（选中相应参数后可用键盘+/-控制或直接利用“参数动画”实现），可直观演示二次函数在限定区间上“区间定函数动”和“函数定区间动”两类常见的值域（最值）问题。
案例2：作参数方程对应曲线。通过“显示”菜单中的“追踪动点”功能可轻松显示参数方程的轨迹。例如极坐标系中，可利用等速螺线的参数方程轻松模拟等速螺线：设等速螺线参数方程为：，如图1-2-2，先新建参数，利用“度量”菜单中的“计算”功能分别计算和，依次选中计算结果和，利用“图表”菜单中的“绘制点”功能画出点，选中此点，利用“显示”菜单中的“追踪点”功能追踪此点，通过变化参数（选中参数后可用键盘+/-控制或直接利用“参数动画”实现），即可动态演示此点的轨迹为等速螺线。
案例3：利用“轨迹”菜单作轨迹。过“作图”菜单中的“轨迹”功能，可直接作出类如所求动点随另一动点运动而运动所形成的轨迹。例如解析几何中，利用椭圆参数方程中参数的几何意义——离心角，根据已知的椭圆长、短轴长、画出椭圆：如图1-2-3，给出参数、，以为圆心，分别以、为半径画出大圆和小圆，在大圆上任取一点，作射线交小圆于点，过作轴的平行线交过与轴平行的直线于，由于当在大圆上运动时，点的轨迹即为以为长轴、以为短轴的椭圆，故依次选中点和点（两点全部选中），利用“构造”菜单中的“轨迹”功能可直接作出点的轨迹——以为长轴、以为短轴的椭圆。通过控制参数、可随意作出已知长、短轴长的椭圆。
事实证明，《几何画板能有效地激发学生的学习兴趣，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变成对数学喜爱并乐意学数学做数学实验去探索。
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图1-1-2
图1-2-1
R
图1-2-3
图1-2-2
图1-1-1
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