速算公式
【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为
（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc
=102a2+10a（b+c）+bc
=100a2+100a+bc
＝a（a+1）×100+bc。
根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。
例如，72×78=（7×8）×100+2×8
=5616
45×45=（4×5）×100+5×5
=2025
首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如
256×254
可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得
256×254=[25×（25+1）]×100+6×4
=[25×26]×100+24
=65024
又如，155×155=（15×16）×100+5×5
=24025
【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为
（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2
＝100ab+10c（a+b）+c2
=100ab+100c+c2
=（ab+c）×100+c2。
根据这一公式，两个“末同首合十”的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积（末位数的平方）。
例如，34×74=（3×7+4）×100+42
=25×100+16
=2516
【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上的数字分别是a和b，则它们的积是
（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+12
＝10a×10b+（a+b）×10+1
由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘，然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后在后面添上1。
例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1
=3500+12091
=3621。
这样的题目，口算的方法可以是：
【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数，个位上的数字分别是a和b，则它们的积是：
（10+a）（10+b）＝100+10a+10b+ab
=（10+a+b）×10+ab。
由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末位数，所得的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。
例如，17×16=（17+6）×10+7×6
=230+42
=272。
【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算方法。
（1）两个超过100的数相乘。
设两个超过100的数分别为a和b，它们与100的差分别为h和k，则a=100+h，b=100+k。它们的积是
a·b＝（100+h）（100+k）
=（100+h）×100+100k-hk
=（100+h+k）×100+hk
=（a+k）×100+hk。
由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个数与100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补充数）的乘积。
例如，108×112=（108+12）×100+8×12
=12000+96
=12096。
快速口算的思考方法可以是：
103×102=（103+2）×100+3×2
=10500+6
=10506
快速口算的思考方法可以是
2）两个不足100的数相乘。
设两个不足100的数一个为a=100-h，另一个为b=100-k，则它们的积是
a·b=（100－h）（100－k）
=（100-h）×100-100k+hk
=（100-h-k）×100+hk
=（a-k）×100+hk。
由这个公式可知，两个不足100的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差，然后将所得结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（两个补充数）的乘积。
例如，89×97=（89-3）×100+11×3
=8600+33
=8633
快速口算的思考方法可以是
89×88=（89-12）×100+11×12
=7700+132
=7832。
快速口算的思考方法可以是
3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘。
设一个因数a比100大h，即a=100+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，则它们的积是
a·b=（100+h）（100-k）
=（100+h）×100-100k+hk
=（100+h-k）×100+hk
＝（a-k）×100-hk。
由这个公式可知，一个超过100、一个不足100的两个数相乘，可以先从大于100的因数中，减去另一个因数与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的乘积。
例如，104×97=（104-3）×100-4×3
=10100-12
=10088
快速口算思考方法可以是
【平方差公式】两个数的和，乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。平方差公式用字母表达就是：
（a+b）（a-b）=a2-b2
运用平方差公式计算，可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。例如
362-262=（36+26）×（36-26）
=62×10=620
672-522=（67+52）×（67-52）
=119×15
=1190+595=1785
872-762=（87+76）×（87-76）
=163×11
=1630+163
=1793
这个公式反过来，也可以运用于两数相乘的速算。但其前提是：两个因数必须能化成同样的两个数的和与差。例如
17×23=（20-3）×（20+3）
=（20+3）×（20-3）
=202-32
=400-9
=391
94×86=（90+4）×（90-4）
=902-42
=8100-16
=8084
以上两例的特点是：首位相差1，末位数字之和是10。这样两个数相乘，可用较大数的十位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后运用平方差公式进行速算。
【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相乘，可先将一个乘数的个位数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的积。即
（10a+b）（10a+c）=（10a+b+c）×10a+bc
例如，43×46=（43+6）×40+3×6
=1978
84×87=（84+7）×80+4×7
=7308
【一因数两数字和是10，另一因数为11的倍数的两数乘法公式】一个因数的两个数字为a和b，且a+b=10，另一个因数为11的倍数，这样的两个两位数相乘，可先将前一个乘数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积。即
（10a+b）（10c+c）=（a+1）c×100+bc。
例如，73×44＝（7+1）×4×100+3×4
=3212。
【个位数相同的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两个十位数字相乘，再乘以100，再加上一个因数与另一个因数十位数值的和，然后乘以另一因数的个位数。即
（10a+c）（10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c。
例如，42×32=4×3×100+（42+30）×2=1344。
【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘，可将几十几的十位数值乘以十几的个位数数字，再加上几十几的10倍，然后加上两个个位数字之积。即
（10a+b）（10+c）=10a×c+（10a+b）×10+bc。
例如，65×17=60×7+650+5×7
=1105。
【末两位为25的三位数自乘公式】末两位为25的三位数自乘时，可以用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字的1000倍，然后加上625。即
（100a+25）2=（10a+5）×1000a+625。
例如，7252=（70+5）×7000+625
=525625
如果直接写答案，可以是
7252=525625
↑↑
75×7252
又如，3252=105625
↑↑
35×3252
【末两位为75的三位数自乘公式】末两位为75的三位数自乘时，可用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字与1的和的积的1000倍，再加上625。即
（100a+75）2=（10a+5）×（a+1）×1000+625。
例如，8752=（80+5）×（8+1）×1000+625
=765625
如果直接写答案，可以是
8752=765625
↑
85×9
又如，3752=140625
↑
35×4
|
|
