胡寿松自动控制原理习题解答第五章
5-2若系统单位阶跃响应为
)0(8.08.11)(
94
≥+?=
??
teeth
tt
试确定系统的频率特性。
解：对单位阶跃响应取拉氏变换得：
)9)(4(
36
9
8.0
4
8.11
++
=
+
+
+
?
ssssss
即：
)9)(4(
36
)(
)(
)(
++
==
ss
sG
sR
sC
所以系统的频率特性为：
)(
)(
)9)(4(
36
)(
ω?
ω
ωω
ω
j
eA
jj
jG=
++
=
其中：
81)(16)(
36
)(
22
++
=
ωω
ωA
9
arctan
4
arctan)(
ωω
ω???=
5-3设系统结构图如图5-49所示，试确定输入信号
R(s)
C(s)
1
s+1
－
)452cos()30sin()(
00
??+=tttr
作用下，系统的稳态误差。)(te
ss
解：系统的闭环传递函数为：
2
1
1
1
1
1
1
)(
+
=
+
+
+
=
s
s
s
sG
根据公式（5-16）和公式（5-17）
得到：))(sin()()(ω?ωωjGtjGAtc
ss
∠++=
所以
)4.3sin(447.0)6.2630sin(
5
1
))(sin()()(
000
111111
+=?+=
∠++=
tt
jGtjGAtc
ss
ω?ωω
1
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
)902cos(354.0)45452cos(
8
1
))(sin()()(
000
222222
??=???=
∠++=
tt
jGtjGAtc
ss
ω?ωω
所以：
)902cos(354.0)4.3sin(447.0
)()()(
00
21
??+=
+=
tt
tctctc
ssssss
)452cos()30sin()902cos(354.0)4.3sin(447.0)()()(
0000
?++???+=?=tttttrtcte
ssss
5-4典型二阶系统的开环传递函数
)2(
)(
2
n
n
ss
sG
ζω
ω
+
=
当取r时，系统的稳态输出ttsin2)(=
)45sin(2)(
0
?=ttc
ss
试确定系统参数ζω,
n
。
解：根据公式（5-16）和公式（5-17）
得到：))(sin()()(ω?ωωjGtjGAtc
BBss
∠++=
其中：
22
2
2
)(
nn
n
B
ss
s
ωζω
ω
++
=G
所以：
222
2
)2()(
)(
ωζωωω
ω
ω
nn
n
B
jG
+?
=
22
2
arctan)(
ωω
ωξω
ω
?
?=∠
n
n
B
jG
根据题目给定的条件：1=ω2=A
所以：1
)2()1()2()(
)(
22
2
222
2
=
+?
=
+?
=
nn
n
nn
n
B
jG
ζωω
ω
ωζωωω
ω
ω（1）
0
222
45
1
2
arctan
2
arctan)(?=
?
?=
?
?=∠
n
n
n
n
B
jG
ω
ξω
ωω
ωξω
ω（2）
由式（1）得
224
)2()1(
nnn
ζωωω+?=
即：（3）0142
222
=??
nn
ωζω
2
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
由式（2）得
0
2
45
1
2
arctan=
?
n
n
ω
ξω
即：（4）012
2
=??
nn
ζωω
联立方程（3）和（4），解方程得：848.1=
n
ω6532.0=ξ
5-5已知系统开环传递函数
0,,;
)1(
)1(
)()(
2
>
+
+
=TK
Tss
sK
sHsGτ
τ
试分析并绘制T>τ和τ>T情况下的概略开环幅相曲线。
解：相频特性为
ωτωω?Tarctanarctan180)(
0
?+?=
(1)T>τ时，概略开环幅相曲线如下
0
180)(?>ω?
(1)T<τ时，概略开环幅相曲线如下
0
180)(?<ω?
5-6已知系统开环传递函数
)2)(1(
1
)()(
++
=
sss
sHsG
ν
3
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
试分别绘制4,3,2,1=ν时系统的概略开环幅相曲线。
解：
（1）1=ν时系统的概略开环幅相曲线如下：
（2）2=ν时系统的概略开环幅相曲线如下：
（3）3=ν时系统的概略开环幅相曲线如下：
5-7已知系统开环传递函数
0,,;
)1(
)1(
)(
21
1
2
>
+
+?
=TTK
sTs
sTK
sG
当取1=ω时，∠，
0
180)(?=ωjG5.0)(=ωjG。当输入为单位速度信号时，系统的稳
态误差为0.1，试写出系统开环频率特性表达式。
解：10)(lim
0
===
→
KssGK
s
V
当1=ω时5.0
1)(
1)(10
1)(
1)(
)(
2
1
2
2
2
1
2
2
=
+
+
=
+
+
=
T
T
T
TK
jG
ω
ω
ω
4
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
0
21
210
21
0
21
0
180
1
arctan90arctanarctan90
arctanarctan90)(
?=
?
+
??=???=
???=∠
TT
TT
TT
TTjGωωω
即：10
21
=?TT
2
1
1
T
=T代入到5.0
1)(
1)(10
)(
2
1
2
2
=
+
+
=
T
T
jG中得到：
20
1
2
=TT20
1
=
所以系统的开环传递函数为：
)120(
)120/(10
)(
+
+?
=
ss
s
sG
系统开环频率特性表达式为：
)120(
)120/(10
)(
+
+?
=
ωω
ω
ω
jj
j
jG
5-8已知系统开环传递函数
)15.0)(12(
10
)()(
2
+++
=
ssss
sHsG
试分别计算5.0=ω和2=ω时，开环频率特性的幅值)(ωA和相位)(ω?。
解：
2222
)5.0()1(14
10
)(
ωωωω
ω
+?+
=A
2
0
1
5.0
arctan2arctan90)(
ω
ω
ωω?
?
???=
（1）5.0=ω时
86.17
625.025.0
10
)5.0()1(14
10
)(
2222
==
+?+
=
ωωωω
ωA
0000
2
0
4.1534.184590
1
5.0
arctan2arctan90)(=???=
?
???=
ω
ω
ωω?
（2）2=ω时
383.0
10172
10
)5.0()1(14
10
)(
2222
==
+?+
=
ωωωω
ωA
00000
2
0
6.3274.181807690
1
5.0
arctan2arctan90)(=+???=
?
???=
ω
ω
ωω?
5-9已知系统开环传递函数
)14/)(1(
10
)()(
2
++
=
sss
sHsG
试绘制系统概略开环幅相曲线。
5
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
解：
5-10已知系统开环传递函数
?
?
?
?
?
?
?
?
++
?
?
?
?
?
?
+
+
=
1
39
1
2
)1(
)()(
2
sss
s
s
sHsG
要求选择频率点，列表计算)(ωA，)(ωL和)(ω?，并据此在对数坐标纸上绘制系统开环
对数频率特性曲线。
解由题给传递函数知，系统的交接频率依次为1，2，3。低频段渐近线的斜率
为-20，且过（1,0dB）点。
系统相频特性按下试计算
9/1
3/
2
90)(
2
ω
ωω
ωω?
?
??+?=arctgarctgarctg
o
令ω为不同值，将计算结果列表如下
ω
0.10.51357101520
)(ω?
o
89?
o
2.87?
o
1.92?
o
164?
o
216?
o
5.234?
o
246?
o
254?
o
258?
ω
3050100
)(ω?
o
262?
o
265?
o
7.267?
作系统开环对数频率特性图，求得1=
c
ω,系统的穿越频率18=
r
ω
系统的幅值裕度和相角裕度为512.0
)(
1
==
c
jGω
h
oo
1.16)(180?=+=
r
ω?γ
6
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
L（ω）（dB）
60-20
40-40
20-20
0-40
0.1121020100ω
-60
ω
o
0
o
90?
o
180?
5-11绘制下列函数的对数幅频渐进特性曲线：
（1）
)18)(12(
2
)(
++
=
ss
sG
（2）
)110)(1(
200
)(
2
++
=
sss
sG
（3）
)1
2
)(1(
)1
1.0
(8
)(
2
+++
+
=
s
sss
s
sG
（4）
)1
1.0
)(1(
)1
10400
(10
)(
2
++
++
=
s
ss
ss
sG
解：（1）系统的交接频率为0.125和0.5，低频段渐近线的斜率为-0，且过（0.125,6dB）
点，截止频率为25.0=
c
ω。
对数幅频渐进特性曲线如下：
7
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
L(ω)
ω
-20
-40
0.125
0.25
0.5
（2）系统的交接频率为0.1和1，低频段渐近线的斜率为-40，且过（0.1,66dB）
和（1,6dB）点，截止频率为1.2=
c
ω。
对数幅频渐进特性曲线如下：
L(ω)
ω
-60
-40
-80
0.1
1
66
6
（3）系统的交接频率为0.112，低频段渐近线的斜率为-20，且过（0.1,38dB）
点，截止频率为43.5=
c
ω。
对数幅频渐进特性曲线如下：
L(ω)
ω
-20
-60
-40
0.112
38
26
（4）系统的交接频率为0.1120，低频段渐近线的斜率为-20，且过（0.1,40dB）
8
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
点，截止频率为1=
c
ω。
对数幅频渐进特性曲线如下：
L(ω)
ω
-20
-40
-60
-20
0.1
1
20
40
-26
5-12已知最小相位系统的对数幅频渐进特性曲线如图5-50所示，试确定系统的开环传递函
数。
解：
（a）
)1/)(1/(
)1/(100
)(
31
2
++
+
=
ωω
ω
ss
s
sG
由图（a）得到100
3
=ω
12
1000ωω=
所以：
)1100/)(1/(
)1/001.0(100
)(
1
1
++
+
=
ss
s
s
ω
ω
G
（b）
)1/(
)1/(10
)(
2
2
1
+
+
=
ω
ω
ss
s
sG
（c）
)110/)(2(
)(
22
22
+++
=
sss
Ks
sG
nn
n
ωξω
ω
5-13试用奈氏判据分宾判断题5-5，5-6系统的闭环稳定性。
解：5-5
（1）T>τ时系统闭环稳定。
（2）τ>T时系统闭环不稳定。
5-6
（1）1=ν时系统闭环稳定。
（2）4,3,2=ν时系统闭环不稳定。
9
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
5-14已知下列系统开环传递函数（参数6,,2,1;0,,L=>iTTK
i
）：
（1）
)1)(1)(1(
)(
321
+++
=
sTsTsT
K
sG
（2）
)1)(1(
)(
21
++
=
sTsTs
K
sG
（3）
)1(
)(
2
+
=
Tss
K
sG
（4）
)1(
)1(
)(
2
2
1
+
+
=
sTs
sTK
sG
（5）
3
)(
s
K
s=G
（6）
3
21
)1)(1(
)(
s
sTsTK
s
++
=G
（7）
)1)(1)(1)(1(
)1)(1(
)(
4321
65
++++
++
=
sTsTsTsTs
sTsTK
sG
（8）
1
)(
?
=
Ts
K
sG
（9）
1
)(
+?
?
=
Ts
K
sG
（10）
)1(
)(
+
=
Tss
K
sG
其系统开环幅相曲线分别如图5-51（1）～（10）所示，试根据奈氏判据判定各系统的闭环
稳定性，若系统闭环不稳定，确定其s右半平面的闭环极点数。
解：（1）系统闭环稳定
（2）系统闭环稳定
（3）系统闭环不稳定
（4）系统闭环稳定
（5）系统闭环不稳定
（6）系统闭环稳定
（7）系统闭环稳定
（8）系统闭环稳定
（9）系统闭环稳定
（10）系统闭环不稳定????
5-15根据奈氏判据确定题5-9系统的闭环稳定性。
闭环不稳定。
5-16已知系统开环传递函数
10
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
0,;
)1)(1(
)(>
++
=TK
sTss
K
sG
试根据奈氏判据，确定其闭环稳定条件：
（1）2=T时，K值的范围。
（2）时，10=KT值的范围。
（3）TK,值的范围。
解：
（1）2=T时
0
2
00
180
21
2
arctan90arctan2arctan90)(?=
?
+
??=???=
ω
ωω
ωωω?
解以上方程得
2
1
=ω
代入1
114
)(
22
=
++
=
ωωω
ω
K
A得到5.1=K
所以：时系统闭环稳定5.1
（2）时10=K
0
2
00
180
1
arctan90arctanarctan90)(?=
?
+
??=???=
ω
ωω
ωωω?
T
T
T
解以上方程得
T
1
=ω
代入1
11
)(
22
=
++
=
ωωω
ω
T
K
A中1
12
10
1
11
1
10
)(=
+
=
++
=
T
T
TT
T
T
Aω得到
1518.0=T
所以时系统闭环稳定1518.0
（3）
0
2
00
180
1
arctan90arctanarctan90)(?=
?
+
??=???=
ω
ωω
ωωω?
T
T
T
解以上方程得
T
1
=ω
代入1
11
)(
22
=
++
=
ωωω
ω
T
K
A得到
1
121
11
1
)(=
+
=
++
=
T
KT
TT
T
KT
Aω
解以上方程得到：
11
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
T
T
K
12+
<时系统闭环稳定
5-17试用对数稳定判据判定题5-10系统的闭环稳定性。
系统闭环不稳定。
5-19若单位反馈系统的开环传递函数
1
)(
8.0
+
=
?
s
Ke
sG
s
试确定使系统稳定的K值范围。
解：（1）时0>K
πωωω??=??=arctan8.0)(
以上方程变形得到：
2
8.0arctan
π
ωπω
得到ω<9365.1
解方程（1）得到4483.2=ω代入
1
)(
2
+
=
ω
ω
K
A中得到
1
14483.2
)(
2
=
+
=
K
Aω解得645.2=K
所以：时系统闭环稳定645.20<
（2）时0
ωωπω?arctan8.0)(???=
所以：时系统闭环稳定01<
5-20若单位反馈系统的开环传递函数
4
2
)1(
5
)(
+
=
?
s
es
sG
sτ
试确定闭环系统稳定时，延迟时间τ的范围。
解：
1
)1(
5
)(
22
2
=
+
=
ω
ω
ωA
解方程得到：618.2
2
1
=ω382.0
2
2
=ω
即：62.1
1
=ω618.0
2
=ω
πωτωπω??=??=arctan4)(
12
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
以上方程变形得到：τωπω?=2arctan4
即
2
4/arctan
π
τωω=+（1）
即：4/
1
τω
ω
=arctan（2）
将代入式（2）中得到618.0
2
=ω
584.6=τ
将584.6=τ、代入相频表达式中得到：618.0
2
=ω
ππω??=??=618.0arctan4618.0584.6)(
满足相频表达式
将代入式（2）中得到62.1
1
=ω
366.1=τ
将366.1=τ、代入相频表达式中得到：62.1
1
=ω
ππω??≠?=??=0938.362.1arctan462.1336.1)(
不满足相频表达式。
所以取、618.0
2
=ω584.6=τ
即584.6<τ时系统闭环稳定。
5-21设单位反馈控制系统的开环传递函数
2
1
)(
s
as
sG
+
=
试确定相角裕度为时参数的值。
0
45a
解：1
1
)(
2
22
=
+
=
c
c
c
a
A
ω
ω
ω（1）
00
135arctan180)(?=+?=
cc
aωω?（2）
解方程（2）得到
c
a
ω
1
=代入（1）中得到
4
2=
c
ω
所以：84.0
2
1
4
==a
5-22对于典型二阶系统，已知参数7.0,3==ζω
n
，试确定截止频率
c
ω和相角裕度γ。
解：典型二阶系统的开环传递函数
13
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
)1/()12/(
2/
)2(
)(
1
2
+
=
+
=
+
=
ωζω
ζω
ζω
ω
ss
K
ssss
sG
n
n
n
n
由于：7.0,3==ζω
n
ζω2/
n
K=
n
ζωω2
1
=
所以：143.24.1/32/===ζω
n
K2.437.022
1
===
n
ζωω
所以试确定截止频率143.2=
c
ω
相频表达式为：
000
1
0
1172790arctan90)(?=??=??=
ω
ω
ω?
c
c
相角裕度为：
0000
63117180)(180)(=?=+=
cc
ω?ωγ
5-23对于典型二阶系统，已知st
s
3%,15%==σ，试计算相角裕度γ。
解：典型二阶系统的开环传递函数
)1/()12/(
2/
)2(
)(
1
2
+
=
+
=
+
=
ωζω
ζω
ζω
ω
ss
K
ssss
sG
n
n
n
n
15.0%
2
1/
==
???π?
σe
解得：517.0=?
3
517.0
5.35.3
===
nn
s
t
ω?ω
所以：26.2=
n
ω
由于：517.0,26.2==ζω
n
ζω2/
n
K=
n
ζωω2
1
=
所以：19.2)517.2/(26.22/===ζω
n
K34.226.2517.022
1
===
n
ζωω
所以试确定截止频率19.2=
c
ω
相频表达式为：
000
1
0
1334390arctan90)(?=??=??=
ω
ω
ω?
c
c
相角裕度为：
0000
37143180)(180)(=?=+=
cc
ω?ωγ
5-24根据题5-11所绘对数幅频渐进特性曲线，近似确定截止频率
c
ω，并由此确定相角裕
度γ的近似值。
解：（1）截止频率为25.0=
c
ω
0
908arctan2arctan)(?=??=
ccc
ωωω?
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胡寿松自动控制原理习题解答第五章
00
90)(180)(=+=
cc
ω?ωγ
（2）截止频率为1.2=
c
ω
00
8.33110arctanarctan180)(?=???=
ccc
ωωω?
00
8.151)(180)(?=+=
cc
ω?ωγ
（3）截止频率为43.5=
c
ω
0
2
0
7.248
1
1
arctan5.0arctan10arctan90)(?=
?
??+?=
c
ccc
ω
ωωω?
00
7.68)(180)(?=+=
cc
ω?ωγ
（4）截止频率为1=
c
ω
0
2
0
6.213
400/1
10/
arctanarctan10arctan90)(?=
?
+???=
c
c
ccc
ω
ω
ωωω?
00
6.33)(180)(?=+=
cc
ω?ωγ
15
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