2011年第4期
在平面图形的学习中，经常会遇到计算求阴影部分面
积的问题。面对复杂多变的图形,不少同学是老虎吃天,无处
下爪,可谓是束手无策。那么怎样才能快速准确地求解阴影
部分的面积呢?我在平时的教学中,总结出如下几种常用的
方法。
1.直接法。根据已知条件，从整体出发，运用平面图形
面积计算公式,直接求出阴影部分的面积。
例1.下图中，大小正方形的边长分别为5厘米和3厘米，
求图中阴影部分的面积。
分析与解：此图中的阴影部分恰
好是一个底3厘米，高5厘的三角形，所
以，可不管两个正方形的面积，用三角
形面积计算公式就能直接求出阴影部
分的面积。即：S
阴影
=5×3÷2=7.5(平方厘
米)。
2.观察法。有些图形,是由最基本、最简单的几个图形叠
加组合而成，不需割补、剪拼，直接通过观察，就能获得解题
的方法。这种方法叫做观察法。
例2.已知梯形的上底是4厘米,下底是7厘米,求阴影部
分的面积.
分析与解：通过观察左图，我
们发现，阴影部分面积可直接用梯
形面积减去半圆的面积，由于梯形
的高恰好是半圆的半径，所以阴影
部分的面积=梯形的面积-半圆的
面积=（4+7）×2÷2-3.14×（
4
2
）
2
÷2=4.72（平方厘米）。
3.添线法。有些图形的计算，从表面上看好像有点棘
手，但只要加上一条或几条适当的辅助线，就可使隐藏的条
件明朗起来，从而就能很快找到解题的方法，迅速求出阴影
部分的面积。
例3.已知正方形ABCD和正方形DEFG，且正方形ABCD
的边长为8厘米。求阴影部分的面积。
分析与解：观察左图，可知阴
影部分是个三角形，从已知条件
看，要想求出其底和高，再求面积
是不现实的，也是不可能的，但我
们可通过添加一条辅助线，再进行
分析解答。就可使复杂的问题简单化。
连接DF，由三角形面积计算公式可得S
△ADF
=AD×FG÷2，
S
△FDC
=DC×EF÷2，又因为AD=DC，FG=EF，所以S
△ADF
=S
△FDC
，
即：即三角形AFD的面积-三角形FDH的面积=三角形FDC
的面积-三角形FDH的面积，S
△AFH
=S
△DHC
，因此，阴影部分面
积=正方形面积ABCD的一半=8×8÷2=32（平方厘米）。
4.割补法。有些阴影部分比较零散，且又不规则，通
过图形的巧妙割补，把要计算的分散的面积集中在一起，
将不规则的图形割补拼成规则
的图形。这种方法叫割补法。
例4.求右图阴部分的面积。
分析与解：将图中上半弓形
阴影部分割下来，补到半圆的左
下角，这时阴影部分恰好成为一个三角形，所以阴影部分的
面积=三角形的面积=6×3÷2=9（平方厘米）。
5.重组法。根据具体情况和计算的需要，把原来图形拆
拼、重组成一个新的图形，然后再通过观察分析思考，很快
求出阴影部分的面积。
例5.已知下图是边长4厘米的正方形，求阴影部分的面
积。
分析与解：把正方形下半部
分，沿中线剪开，再将其图形旋
转、拼凑，重组成一个新的图形，
这时就很容量看出，阴影部分的
面积=正方形的面积-圆的面积=
4×4-3.14×2
2
=16-12.56=3.44（平方
厘米）。
6.平移法。某些图形，纵横交错，相互重叠，很难直接求
出它的面积，但我们可通过平移、重新整合，使其变得简单
明了。
例6.一块白色的正方形手帕，它的边长是12厘米，手帕
上横竖各有两道红条（图中阴影部分），红条宽都是2厘米，
那么，手帕的红色部分（阴影部分）的面积是多少平方厘米。
分析与解：假设手帕上
的红条（也就是阴影部分的
面积）能够平移，我们将竖
着的两个红条移到手帕的
最左边，横着的两个红条移
求阴影部分面积的常用方法
高金军
（华池县教育局教研室甘肃庆阳745600）
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到手帕的最下边，这时，阴影部分的位置虽然变了，但它的
面积并没有变。因此，红色手帕阴影部分的面积=大正方形
的面积-小正方形的面积=12×12-（12-4）×（12-4）=144-64=
80（平方厘米）。
7.扩倍法。某些图形直接求解感觉到非常困难，但若将
其扩大一定的倍数，就可顺利获解。
例7.如图扇形的半径6厘
米，求阴影部分的面积。
分析与解：由图可知，阴影
部分的面积等于扇形面积减去
三角形的面积，而三角形的面积
由已知条件无法求出，我们只要将原图形扩大2倍，就很容
易看出，阴影部分的面积=（扇形面积-大三角形的面积）÷2
即：（3．14×6
2
×
1
4
-6×6÷2）×
1
2
=10.26×
1
2
=5.13（平方厘米）。
8.旋转法。有些图形，如果直接求其面积，可能无法找
到解题思路和解题办法，但只要我们应用变化运动的观点，
将静止的图形运动起来，通过旋转图形或某一部分，就能很
快找到解题的突破口。
例8.下图中ABC为等腰直角三角形，且BD=DC，左右两
面是两个大小相等的扇形，求
阴影部分的面积。
分析与解：将右半部分的
扇形绕大三角形底边上的中
点按顺时针方向旋转180度，
得到第二个图，这样就可很快
求出阴影部分的面积。
分析与解:通过旋转,我们可以发现,阴影部分的面积正
好等于半圆的面积-三角形的面积=S
阴影
=3.14×6
2
×
1
2
-6×6÷
2=38.52（平方厘米）。
9.等积变形法。有些图形，表面上看，题中的条件十分隐
蔽，但我们可利用等积变
形，将图形巧妙进行转化，
从而求解。
例9.如图：OA、OB分别
是两个小半圆的直径，且
OA=OB=8厘米，∠BOA=
90度，求阴影部分的面积。
分析与解：由图可知，阴影部分是一个不规则的图形，
直接计算其面积是行不通的，但我们可采用等积变形的方
法巧妙予以解决。连接AC、BC、OC，再巧妙加以分割,拼凑,
很容易发现,阴影部分经过变形后,恰好是一个边长为8厘米
的等腰直角三角形,所以,阴影部分的面积=8×8÷2=32（平方
厘米）。
10.取值法。对于某些特殊图形,我们可在不改变题意的
情况下,附以特定数值,巧妙求出阴影部分的面积。
例10.如图:梯形ABCD内三角形AOD和三角形OBC的面
积分别是6平方厘米和15平
方厘米,且梯形ABCD下底是
上底的3倍,那么,阴影部分的
面积是多少?
分析与解:假设梯形
ABCD的上底为1厘米,则下
底的长就是3厘米,因为三角形AOD和三角形BOC的面积
分别是6平方厘米和15平方厘米,所以,我们很快可以求出
它们底边AD和BC所对应的高分别是6×2÷1=12厘米和15×
2÷3=10厘米,又因为梯形ABCD的高正好等于这两个三角
形高的和,所以,梯形ABCD的面积就是(1+3)×(12+10)÷2=44
(平方厘米),从而求得阴影部分的面积=梯形面积-两个三
角形的面积=(1+3)×(12+10)÷2-6-15=4×22÷2-6-15=44-
21=23(平方厘米)。
11.对称法。根据对称原理，利用轴对称图形的有关知
识，巧妙将图形对折，从而求解。
例11.求下图阴影部
分的面积。
分析与解:由于圆是
轴对称图形,因此,可利用
对称知识将上半圆对折,
巧妙将图1转化为图2,从
中可以看出,阴影部分恰好是一个三角形,所以阴影部分的
面积=15×6÷2=45(平方厘米)。
12.转化法。有些图形，直接计算相当困难，但我们如果
稍加转化，就会熟练求解。
例12.如图，三角形ABC有面积是18平方厘米，BE=EF=
FC，AD=DE，求阴影部分的面积。
分析与解：此题阴影部分是个梯形，要想直接计算其面
积，乍一看，好像是不大可能
的，但我们可通过添加一条
辅助线的方法找到解题的突
破口。连接AF，将阴影部分分
成三角形ADF和三角形AFC
两部分。
因为在三角形ABC中，
BE=EF=FC，所以ABE、AEF、AFC等底等高，又因为AD=
DE，所以，可知ADF和DEF也是等底等高，由此可知，AFC
的面积正好是ABC面积的三分之一，ADF的面积是ABC面
积的六分之一，由此我们可直接求出阴影部分的面积=18×
（
1
3
+
1
6
）=18×
1
2
=9（平方厘米）。
综上所述,只要同学们仔细分析,认真观察,熟记平面图
形面积计算公式,灵活应用以上多种方法,巧妙将图形加以
分割,便可快速准确地解答有关求阴影部分的面积,不妨一
试。
（责任编辑：崔建民）
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图1图2
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