2001年第12期中学数学
求明影部分面积前十二种方法
100051北京市181信箱国松
2707r·402
面积问题是中学数学的重要内容之一，二二二一二二二
解S扇)OOA.B12007c,
每年全国各省市中考数学试题中，都有求阴13601
-又
影部分面积的试题.因此，重视和加强阴影部SAAOB-2一·OA·OB二2-402=800，
分面积的解法技巧的教学是十分必要的.为
S弓形ArrtB=S扇形。，，。。+SoAOB
了帮助同学们学习，本文小结了计算阴影部=12007c+800
分面积的几种常用方法.=1200X3.14+800
1直接法=4568(cm2).
运用规则图形(如圆、扇形、弓形、正方3求差法
)
形、矩形、菱形、平行四边形、三角形、梯形等若不能直接计算出阴影部分的面积，可
的面积计算公式计算出阴影部分的面积，这将含阴影部分的整个图形(规则图形)的面积
种计算面积的方法叫做直接法.这是求图形减去这个图形中非阴影部分(规则图形)的面
面积的基本方法，其他图形的面积问题常转积，便得阴影部分的面积.这种求面积的方法
化成规则图形来解决.叫做求差法.
例1如图1，已知△ABC内接于00,例3如图3，有一直径是lm的圆形铁
且AB=BC=CA=6cm，求图中阴影部分的皮，要从中剪出一个最大的圆心角是900的扇
面积(结果保留7(和根号).形ABC，求被剪掉阴影部分的面积(结果可用
(1999年海南省中考题)二表示).(1999年辽宁省中考题)
分析过点O作OD土BC于D，由BC解连结BC,-.艺BAC=900,
二6cm，不难求得乙OBC=300,OB=_、、，。，。，。汽厂2
pi仟ALS今月七=一n，
2/-3cm，ZBOC=1200，乙
120n·(2、/了)“S阴影二Sp。一S扇形，BC
SMV=SlfVOBC360
睿?=47r(cm2).颧
功图3图4
4等积法
图I图2若图形的面积不易直接计算，可将其转
2求和法化为与它面积相等且易于计算面积的图形，
若阴影部分的面积不能直接求得，可将这种转化的方法叫做等积变形法，简称等积
其分成几个规则的图形，分别计算出它们的法.
面积，然后求出这些面积的和，即得所求阴影例4如图4，已知半圆的直径BC=10,
部分的面积.这种求面积的方法叫做求和法.弦AD//BC,匕ACD=400，则图中阴影部分
例2如图2，水平放着的圆柱形的排水的面积等于
管的截面为00，其半径为40cm.AmB为截(1995年呼和浩特市中考题)
面上有水的弓形，已知乙AOB=900，求弓形解连结OA,OD，由AD//BC知
AOB的面积(二取3.14).△OAD与△CAD等积.
(1996年甘肃省中考题)又匕AOD=2艺ACD=800，
中学数学2001年第12期
SMV=SMT,OAD式表示，不易判断其结果的正误时，可用特殊
807r·52数值代替某些字母，从而使结果得到简化，易
360于判断，这种方法叫做特值法.
5重委法例7如图7，在半圆的直径AB上取一
若阴影部分由几个图形重叠而成，其面点C，分别以AC,CB为直径在图形内作半圆，
积等于这几个图形面积的和再减去重叠部分过点C作CD土AB交圆于D,CD的长为h,
的面积，这种求面积的方法称之为重叠法.则阴影部分的面积为().
例5如图5，正方形的边长为2，以各边(1996年桂林市竞赛题)
为直径在正方形内画半圆，则所围成图形(阴
影部分)的面积等于().(A)告7ch2(B)告7ch2
(1993年南京市中考题)青
(A)27c一4(B)4一7C(C)音TCh2(D)?Ch2
分析题中供选择的
(C)27r一2(D)4一晋四个答案，都是用含字母
解阴影部分可看成是四个同样的半圆的代数式表示的，不能判
重叠而成，它的面积等于这四个半圆面积的断其正误，于是考虑特殊
和再减去正方形ABCD的面积.即值法.令直径AB=4且C
与半圆圆心O重合，则
S阴影=
告普一。1、_，1、_，1
4XTC)222S，二=-7rX2`一-7(X1`一-7rX1`=7C,
27t一4.一。二2一‘’一2‘’一2
故应选(A).因C与0重合，所以h=2,
，。1
一当-h-=一2’时“，”只有“令47rh`=7r,
故应选(B).
8移位法
若直接计算图形的面积比较困难，但只
要变换一下图形的位置，把图形从一般位置
6拼赛法移到特殊位置上，即可求得阴影部分的面积，
对比较分散而不易直接计算面积的图这种方法叫做移位法.
形，只要把它们拼凑在一起即可求出阴影部例8如图8，两个半圆中，长为4的弦
分面积的方法叫做拼凑法(或拼接法).AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图
例6如图6,OA,OB.OC两两不相中阴影部分的面积等于_.
交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形(即(2000年广西中考题)
三个阴影部分)的面积之和为().
(2001年江西省中考题)
晋。t产。
(A)鑫cm2(B)cm2AB
/户、兀2(D)番cm2图8
ku)万CLI1-分析为了便于计算，可将小半圆移动，
解显然，图6中三个扇形的圆心角恰使其圆心与大半圆圆心重合(如图9)，此时阴
是三角形的三个内角，其和为1800.因此，把影部分的面积与原阴影部分的面积相等，则
三个扇形拼接在一起就是一个半圆，即三个MB=2.
阴影部分的面积之和等于半圆的面积.于是S，影一合二(OBZ一。M2)
S阴影今.(0.5)2
音“，-=粤MB，一27r.
艺
晋(cm2)9翻转法
故应选(B).将图形以某条直线为轴翻转1800，便于
特值法考查图形的特点和图形间的关系，这种法
当阴影部分的面积是用含有字母的代叫做翻转法.
2001年第12期中学数学
例9如图10，圆的半径为R，分别以圆例11已知正方形的边长为1，分别以
周上三个三等分点为圆心，以R为半径在圆A,B,C,D四点为圆心，1为半径画弧，则所得
内作弧，则阴影部分的面积是_，四个扇形的公共部分的面积是().
(1995年安徽省中考题)
(17r990年浙1江省竞赛题)
+矛了B、
-少-
(A)1一I/万3、4
(C)晋一‘(D)2一汀一晋
解由对称性，用x,y,z分别表示曲边
形的面积(如图14)，则
1
图10图11|
1x十3y+2z=7.
解将圆O与圆上三个三等分点分别连|4’
夕
结，再将圆内三条弧翻转与圆重合(如图n)，1y十2z=
那么，阴影部分的面积等于圆面积减去圆内1一万
接正六边形的面积.则|1/3
x+2y+z-粤+粤一
b匕4
S阴影=S，一S正六边形S，一6S正三角形兀
1+-
=71,-一匕.下二RZ。sin600解之，得x=1一了了6
乙
I/万故应选(A).
二(兀竺~兰..-止立)R2
10旋转法
将图形绕其某顶点旋转相应的角度后，
便于考查图形的特点和图形间的关系，这种
方法叫做旋转法.
例10如图12，正方形的边长为2，分别
以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧，则图图14图15
中阴影部分的面积是().12三角法
(2000年贵阳市中考题)运用三角函数的知识求得阴影部分面积
(A)4一27c($)2n一4的方法，叫做三角法.
(c)7T一2(D)2(4一7()例12如图15，两条宽度都为1的纸条，
交叉重叠放在一起，且它们的交角为a，则它
们重叠部分(图中阴影部分)的面积为().
(2000年黄冈市中考题)
1
(A)--之一
BtD)sina(B)co1sa
A”霸WCAL‘一-种-一一-J‘B
(C)sina(D)1
图12图13
15,ABCD
分析连结AC，直接计算虽可求出弓形解如图由条件易知四边形
AC的面积，但这样计算比较麻烦.观察图形，是菱形，且匕ABC=a,
过点A作AH土BC交BC于H,
发现图中两段弧的度数和为1800，若将扇形
在Rt△ABH中，‘:AH=1，
DAC绕着点C逆时针方向旋转900(如图13),
Smv_SSDAA''CAB二BC=二
此时1不难得到半圆一sin
一一_。1、，、_1
27T.乙-一二二.入斗入乙=2二一4，故应选(B).
乙SmV=BC·AH
1sina
方程组法故应选(A).
将整个图形中不同形状的图形按大小分以上介绍了求阴影部分面积的12种方
类，并设其对应的面积为未知，从而根条法，关键是要掌握其中的要领.这样，在解题
件建立程组，通过解此程组求得阴影部时才能真正做到融会贯通，灵活运用.
分面积的法，叫做程组法，(收稿日期:20010910) |
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