分数，百分数的应用知识梳理
分数，百分数应用题通常分为三类：
已知一个数，求它的几分之几（百分之几）是多少，通常用乘法做。
单位“1”的量×分率=对应的量
求一个数是另一个数的几分之几（百分之几），用除法做。
对应的量÷单位“1”的量=分率
已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数，用方程或者除法做。
单位“1”的量×分率=对应的量
对应的量÷分率=单位“1”的量
例题讲解
分数，百分数应用题
一本书60页，第一天看了它的，第二天看了它的，两天一共看了多少页？第一天比第二天少看多少页？还剩下多少页没看？
解：60×（+）=35(页)
60×（-）=5（页）
60×（1--）=25（页）
答：两天共看了35页，第一天比第二天少看5页，还剩25页没看。
智慧点拨：两天看的页数为“总页数的（+）”，第一天比第二天少看了总页数的（-），还剩下总页数的（1--）。
六年级一班有男同学25名，女同学20名。
男同学人数是女同学人数的几倍？
女同学是男同学人数的几分之几？
男同学比女同学多百分之几？
女同学比男同学少百分之几？
女同学比男同学少的人数是全班人数的百分之几？
问题 对应的量 单位“1”的量 分率 1 男同学的人数 女同学的人数 25÷20=1 2 女同学的人数 男同学的人数 = 3 男同学比女同学多的人数 女同学的人数 4 女同学比男同学少的人数 男同学的人数 5 女同学比男同学少的人数 全班人数 答：（1）男同学人数是女同学的1倍，（2）女同学人数是男同学的，（3）男同学比女同学多25%，（4）女同学比男同学少20%，（5）女同学比男同学的人数约约是全班的11.1%
智慧点拨：例题中5个问题都是一个数是另一个数的几分之几或百分之几，解题方法是：对应的量÷单位“1”的量，关键是找准谁是比较量，谁是单位“1”的量。
某水果店有一批橘子，售出后，又购进2.4吨，这时现有的橘子是原有橘子的80%，原有多少橘子？
解法一：设原有橘子x吨
答：原有橘子12吨。
解法二：2.4÷=12(吨)
答:原有橘子12吨。
智慧点拨：解法一是利用方程解决问题，利用方程就要在题目中找到等量关系。在题目的等量关系是原有的橘子-售出的橘子+购进的橘子=原来的橘子的80%
解法二是要进行单位“1”的转化，把2.4吨转化成原来橘子重量的几分之几。
光学小学原来体育达标人数是没达标人数的，后来又有60名同学达标，这时达标人数是没达标人数的。光明小学共有学生多少人？
解：
答：光明小学共有学生800人
智慧点拨：题中的两个分率和的单位“1”都是没达标的人数，但是没达标的人数发生的变化，因此两个分率不能相加减。在解决此类稍复杂的分数实际问题时，应抓住不变的量，一般可把不变的量看做单位“1”,将题中的分率进行转化。本题中学校人数是不变的量，可以把学校的总人数看做单位“1”的量。
六年级一班有男同学20人，比女同学多25%，男同学比女同学多多少人？
解：女同学占男同学的，则女同学20×=16（人）
20-16=4（人）
答：男同学比女同学多4人。
智慧点拨：由男同学比女同学多25%可知，女生人数为单位“1”。女生人数未知，所以本题的关键是进行单位“1”的转化。
一堆碎石，第一次运走它的，第二次运走的是第一次的，第三次运走了余下的，这时还剩下8吨。这堆碎石原来有几吨？
解：（1）第二次运走一堆碎石的几分之几
（2）第三次运走一堆碎石的几分之几
（3）这堆碎石有多少吨？
（吨）
答：这堆碎石有32吨。
智慧点拨：剩下的吨数÷对应分率=碎石总量。题中的三个分数的单位“1”不同，必须转化为都以一堆碎石为单位“1”的分数。
基础练习
分数应用题（一）
只列式不计算
一条公路长30米，已修了全长的，已修了多少米？
一条公路长30米，已修了全长的，还剩下几分之几？
一条公路长30米，已修了全长的，还剩下多少米？
一条公路长30米，已修了全长的，已修的比剩下的多多少米？
一条公路长30米，已修了全长的，那么全长是没修的几分之几？
先找出对应分率，再列式，不用计算
一本书30页，已读了，
全书的分率（）；已读的分率（）；
剩下的分率（）；已读的比剩下的少分率（）
红花有60朵，白花是红花的，
红花的分率（）；白花的分率（）；
白花比红花少的分率（）两种花一共的分率（）
3花有60朵，白花比红花多，
红花的分率（）；白花的分率（）；
白花比红花多的分率（）；两种花一共的分率（）
红花有60朵，红花比白花少，
红花的分率（）；白花的分率（）；
红花比白花少的分率（）；两种花一共的分率（）。
分数应用题（二）
高年级有300人，中年级是高年级的，低年级是中年级的，低年级有学生多少人？
高年级有600人，高年级的等于中年级，中年级的等于低年级，低年级有学生多少人？
一本书300页，第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩下多少页？
一本书300页，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，第二天看了多少页？
分数应用题（三）
看图列式（不计算）
2、
3、
4、
应用题
一批货物，第一次运走了28吨，第二次运走了总数的，还有52吨没运走，这吨货物一共有多少吨？
一批货物，第一次运走了总量的，第二次运走了总数的，第一次比第二次多运70吨，这批货物一共有多少吨？
王大伯把500元存入银行，存期一年，到期时他领到的本金和利息共536元，问银行年利率多少？
生产队今年亩产496千克，比去年增产，今年比去年亩产多多少千克？
小明读一本书，第一天读了，第二天读了余下的，还有40页没有读，这本书共有多少页？
某工厂生产一种产品，每件成本37.4元，比原来降低了15%，原来产品多少钱？
新华书店出售一批儿童读物，卖出80%后，又买进745本，这样现有的书比卖出的还多25本，原有儿童读物多少本？
小学奥数—07巧用单位“1”
巧用单位“1”
在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。
分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位
答：这本故事书共有240页。
分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现了3个不同的单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，
看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的
共有多少本图书？
分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分率，
这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。
本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，可以以
图书室原来共有图书
分析与解：与例3类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。
例5公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？
分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”，设这段距离为单位“1”。由“走了10分钟，小轿车追上了货车”，可知小轿
可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段距离的
两班各有多少人？
乙班有84-48=36（人）。
练习7
树上原有多少个桃？
剩下的部分收完后刚好又装满6筐。共收西红柿多少千克？
7.六年级两个班共有学生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本
答案与提示
1.35个。
2.60个。
3.64吨。
4.384千克。
6.男生15人，女生21人。
7.一班45人，二班49人。
?
小学数学知识点百分数的总结
（一）百分数的基本概念
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。
2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。
3．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100。
4．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
5．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（二）百分数应用题
百分数应用题（一）
求增加百分之几？减少百分之几？
公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例如：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
2、45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分：5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，不知道但可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米”知道水是少的，冰是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米
第二步：增加的部分：5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
百分数应用题（二）
比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。
例如1、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）
算式：80×（1+25%）
2、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）
算式：80×（1-25%）
3、矣得小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）
算式：100÷（1+25%）
4、矣得小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）
算式：100÷（1-25%）
百分数应用题（三）列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？
解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式：第一天—第二天=20页
方法1：解：设这本书一共有X页。
由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示为25%X，由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”可以列方程为：25%X—20%X=20
方法2：“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：20÷(25%—20%)
2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页。
方程法：解：设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
方程列为：25%X+20%X=20
算术法：由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：20÷(25%+20%)
3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，还剩20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：一本书—第一天—第二天=20页
方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
列方程为：X—25%X—20%X=20
算术法：20÷（1-25%X-20%）
4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20页，这本书一共有多少页？
方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为（25%X+10）页。
列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20
百分数应用题（四）利息的计算
1.本金：存入银行的钱叫做本金。
2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
3．2008年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。国债的利息不纳税。2008年10月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明，就不在计算利息税。
4．利率：利息与本金的比值叫做利率。
5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×（１－20％）
6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
7．本息：本金与利息的总和叫做本息。
8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。
9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？
解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：本金+利息：2000+414=2414元。
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%来上税）
解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：算税后利息：414×（1—20%）=331.2元
本金+利息：2000+331.2=233.2元。
小学奥数—09百分数
百分数
百分数有两种不同的定义。
（1）分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。
（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。
百分数通常不写成分数形式，而采用符号“％”来表示，叫做百分号。
在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：
比较数÷标准数=分率（百分数），
标准数×分率=比较数，
比较数÷分率=标准数。
根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有关的应用题。
例1纺织厂的女工占全厂人数的80％，一车间的男工占全厂男工的25％。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？
分析与解：因为“女工占全厂人数的80％”，所以男工占全厂人数的1-80％=20％。
又因为“一车间的男工占全厂男工的25％”，所以一车间的男工占全厂人数的20％×25％=5％。
例2学校去年春季植树500棵，成活率为85％，去年秋季植树的成活率为90％。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？
分析与解：去年春季种的树活了500×85％=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了75-20=55（棵），活了55÷（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年学校共种活425+495=920（棵）。
例3一次考试共有5道试题。做对第1，2，3，4，5题的人数分别占参加考试人数的85％，95％，90％，75％，80％。如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？
分析与解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不妨设总量即参加考试的人数为100。
由此得到做错第1题的有100×（1-85％）=15（人）；
同理可得，做错第2，3，4，5题的分别有5，10，25，20人。
总共做错15+5+10+25+20=75（题）。
一人做错3道或3道以上为不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是说至少有75人及格，及格率至少是75％。
例4育红小学四年级学生比三年级学生多25％，五年级学生比四年级学生少10％，六年级学生比五年级学生多10％。如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？
分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125％，五年级是三年级的125％×（1-10％），六年级是三年级的125％×（1-10％）×（1+10％）。因为已知六年级比三年级多38人，所以可根据六年级的人数列方程。
解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程：
x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，
x×125％×90％×110％=x+38，
1.2375x=x+38，
0.2375x=38，
x=160。
三年级有160名学生。
四年级有学生160×125％=200（名）。
五年级有学生200×（1-10％）＝180（名）。
六年级有学生160+38=198（名）。
160+200+180+198=738（名）。
答：三至六年级共有学生738名。
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量，
溶质含量=溶质重量÷溶液重量，
溶液重量=溶质重量÷溶质含量，
溶质重量=溶液重量×溶质含量。
溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶
例5有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？
分析与解：在600克含糖量为7％的糖水中，有糖（溶质）600×7％=42（克）。
设再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此时溶质有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程
需要再加入20克糖。
例6仓库运来含水量为90％的一种水果100千克，一星期后再测，发现含水量降低到80％。现在这批水果的总重量是多少千克？
分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重
100×（1-90％）=10（千克）。
一星期后含水量变为80％，“果”与“水”的比值为
因为“果”始终是10千克，可求出此时“水”的重量为
所以总重量是10+40=50（千克）。
1.某修路队修一条路，5天完成了全长的20％。照此计算，完成任务还需多少天？
2.服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少20％，三车间人数比二车间多30％。已知三车间有156人，全厂有多少人？
3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80％，第三块地的面积比第二块多20％，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。
4.某工厂四个季度的全勤率分别为90％，86％，92％，94％。问：全年全勤的人至少占百分之几？
5.有酒精含量为30％的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24％的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？
6.配制硫酸含量为20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18％和23％的硫酸溶液各多少克？
7.有一堆含水量14.5％的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10％，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？
答案与提示
1.20天。
解：5÷20％-5=20（天）。
2.600人。解：156÷[(1-20％)×(1+30％)]÷25％=600（人）。
3.第一、二、三块依次为25，20和24公顷。解：第一块地的面积为69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25（公顷），第二块地为25×80％=20（公顷），第三块地为69-25=24（公顷）。
4.62％。解；设全厂有100人，则四个季度没有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。当四个季度没有全勤的人互不相同时，全年没有全勤的人最多，为38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少为62％。
5.20％。
解：设酒精含量为30％的酒精溶液有100克，则溶质为30克。稀释成酒精含量为24％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25（克）。若再加入25克水，则酒精含量变为30÷(100+25+25)=20％。
6.600克，400克。
提示：设需要18％的溶液x克，则需要23％的溶液(100-x)克。根据溶质重量可得
x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。
7.95％。
解：设原有100吨煤，则有水份14.5吨。又设风干掉水份x吨，则由含
现在煤的重量为100-5=95（吨），是原来的95％。
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