5-1奇数与偶数
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
知识点
一、奇数和偶数的定义
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
三、两个实用的推论
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶
模块一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质
的和是奇数还是偶数？
在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.
得数是奇数还是偶数？
偶数。原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数个。
得数是奇数还是偶数？
200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。
的计算结果是奇数还是偶数，为什么？
特殊数字：“”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有是奇数，又因为奇数偶数奇数，所以这个题的计算结果是奇数．
的和是奇数还是偶数？为什么？
在算式中，都出现了次，所以是偶数，而也是偶数，所以
的和是偶数．
东东在做算术题时，写出了如下一个等式：，他做得对吗？
等式左边是偶数，是奇数，是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．
能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由
（1）或
能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数和等于22。则接下来可以分类讨论3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么可以发现最多只能有1个奇数。
已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。求证：是一个偶数
因为在a,b,c中有2个是奇数，1个是偶数，那么说明a,c两个数中至少有一个是奇数，那么和中至少有一个是偶数，所以中至少有一个因数是偶数，结果为偶数.
小红写了四个不同的非零整数a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式：
但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明的结论吗？
由小红的提出的等式组，我们可以得到，，，，发现如果每个等式的结果都是一个奇数，那么要求四个数都是奇数，因为只有奇数与奇数相乘才能得奇数，这样中任意三个数的乘积也为奇数，导致等四个差均为偶数，乘积结果只能得偶数，发生矛盾。
设,,,,,,都是整数，试说明：
在中，必有奇数个偶数．
加数中奇数的个数决定和的奇偶性，反过来，和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，所以我们考虑这7个数的和．
，和是偶数，,,,,,,中，必有偶数个奇数，因而必有奇数个偶数．
有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．
入手点：最小的两位奇数是，最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和最大数都是奇数．首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是．其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数．由，，可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：，，，．
甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一．
甲手中的8张卡片上分别写了6，8和10．甲知道其余张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中．因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言．而这就意味着，这4张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是奇数．但是由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而只能都是奇数．于是3张写着偶数的卡片全都落入甲的手中．答案是唯一的．
甲同学一手握有写着的纸片，另一只手握有写着的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以，右手中的数乘以，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗，右手握的数为，乙同学请甲计算所得结果为，则．⑴若为奇数，则为奇数，所以左手握的数是奇数．⑵若为偶数，则为偶数，所以左手握的数是偶数．因此，从的奇偶性就可以断定左手握的数的奇偶性，从而确定左手握的数是23还是32．在本题中，为奇数，因此合于第(1)种情况，是奇数，即左手中握的是23．
在一张行列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如．问：填入的个数字中是奇数多还是偶数多
此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多个．所以前行中奇偶数一样，余下第行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．
如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：．问填入的81个数中是奇数多还是偶数多？
奇数行奇数多1个，偶数行全是偶数，显然偶数多。
模块三、奇偶模型与应用题
试找出两个整数，使大数与小数之和加等于．如果找得出来，请写出这两个数，如果与两个数的差的奇偶性相同，所以的和是偶数．由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．
你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数
不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题，其实不是。1到9中共有5个奇数，分别分成3组后会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个奇数，从而需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有5个奇数，所以无法填入。
你能不能将整数数0到8分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数?
不能。分析过程与例7类似。
任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？
不能。2个三位数的和为999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么999的数字之和是27，而原来的2个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以a记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为a，则会有2a=27的矛盾式子出现。说明原式不成立。
两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？
不能。本题为上一例题的拓展练习。
有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的各位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？
不会。观察前4个数，奇偶性排列次序为奇奇偶奇，而一个数的奇偶性仅与它的个位数字有关，所以之后的第5个数为奇数，第6个为偶数，第7个为奇数，第8个为奇数，整体的出现规律为奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶……，所以不肯能有两个连续的偶数，所以1、9、8、8不会出现。
数列，，，，，，，，的排列规律前两个数是，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做数列，在数列前个数中共有个偶数，所以前个数有个偶数.
黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？
黑板上的数起初为一奇一偶，按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数，第四个数如果选择仍由一奇一偶写出来的，那么仍然是奇数；另一种可以选择两个奇数开始，那么“奇×奇＋奇＋奇=奇”，所以不论如何增写，新增的数一定是奇数，所以不可能出现2008。
在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好．主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？
⑴握偶数次手的人：不管奇数个人还是偶数个人．总次数偶数次人数偶数⑵握奇数次手的总次数握手总次数偶数次握手总次数，即偶偶偶，而偶奇数次人数人数为偶数，由此证明．
元旦前夕，同学们相互送贺年卡．每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？
此题初看似乎缺总人数．但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关．由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次．那么贺年卡的总张数应能被整除，所以贺年卡的总张数应是偶数．
送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数．另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数偶数偶数偶数．他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数．所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数
桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的5只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动(6×奇数)偶数次杯子；按规定每次同时翻动5只杯子，因为5是奇数，由奇数偶数偶数可知，要想翻动总次数也是偶数，需要将5只杯子翻动偶数次．因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下．
桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？
不能，杯子要翻过来得翻奇数次，5个杯子都要翻过来，要把所有杯子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动4个，那总次数是偶数，奇数不可能等于偶数，因此不能把5个杯子的开口全都向下．
桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动(6×奇数)偶数次杯子；按规定每次同时翻动4只杯子，因为4是偶数，所以翻动有限次后，翻动次数的总和也是偶数．因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下．
在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？
按要求每次拨动4个不同房间的开关，而4是偶数，所以，这样的一次操作，拨动房间开关次数是偶数．那么经过有限次拨动后，拨动各房间开关次数总和是偶数．可是，要使7个房间的灯由开变为关，需要拨动各个房间开关奇数次；第8个房间的开关仍为关，需要这个房间拨动开关偶数次．这样，需要拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和，是奇数．所以按照要求不能把全部房间的灯关上．
沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．
不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.
四个人一道去郊游，他们年龄的和是97岁，最小的一人只有10岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大7岁．问：⑴年龄最大的人是多少岁？⑵另外两人的岁数的奇偶性相同吗？
先将四个人的岁数暂时分为两组进行分析，如果将97岁减去7岁，则两组人的岁数和相等（可以按照和差问题求出大小数），然后再求出年龄最大的人的岁数，再说明另外两人的岁数的奇偶性．⑴另外两人的岁数和是：（岁）年龄最大的人的岁数：（岁）⑵因为另外两人的年龄和是45岁，是一个奇数，那么他们中一个的岁数是奇数，另一个人的岁数是偶数，也就是他们的岁数的奇偶性不同．
在“”的方格中放棋子，每格至多放枚棋子．若要求行、列、条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数．那么“”的方格中最多可以放多少枚棋子？
如图，观察向左下倾斜的条斜线，其中的方格数依次是：，，，，，，，，，，，其中有个奇数，表明有条斜线中必须至少缺一个棋子．同理右下倾斜的斜线中，也有条必须缺一个棋子．这样，总共至少缺个子．下图表明缺个棋子的时候是可以办到的，其中黑点占据的空格表示不放棋子的空格．
盏灯，因此东阅览室的灯的总数一定是偶数．由于两个阅览室里灯的总数是奇数，因此西阅览室的灯的总数一定是奇数．又因为西阅览室里每张桌子上有盏灯，可知西阅览室的桌子数是奇数．由于两个阅览室里的总的桌子数是奇数，因此东阅览室的桌子数是偶数．所以，只有西阅览室的桌子数是奇数．
四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共道，评分标准分，不答给分，答错倒扣分请你说明：该，是偶数；有一道题未答，则他将丢2分，也是偶数；答错一道题，则他将丢4分，还是偶数；所以不论这位同学答的情况如何，他的成绩将是150减一个偶数，还将是偶数．所以，全班同学得分总和一定是偶数．
师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在只箩筐中，只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只只，只，只，只，只，只．根据上面，那另一筐放有产品(只)．所以，标明“82只”和“87只”这两筐中的产品是徒弟制造的．
在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，，．问：原来写的，，(每堆都有苹)才能保证找到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数(种)情况．根据抽屉原理，必须最少分成9堆，才能保证有两堆，这两堆中三种水果的奇偶性完全相同．根据奇数与偶数的加法运算性质，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．
有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、、14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？
先将偶数页的文章(2页、4页、、14页)编排，这样共有7篇文章的第一页都是奇数页码．然后将奇数页的文章(1页、3页、5页、7页、9页、11页、13页和15页)依次编排，这样编排的1页、5页、9页和13页的4篇文章的第一页都是奇数页码．因此每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是(篇)．
有一个袋子里装着许多玻璃球．这些玻璃球或者是黑色的，或者是白色的．假设有人从袋中取球，每次取两只球．如果取出的两只球是同色的，那么，他就往袋里放回一只白球；如果取出的两只球是异色的，那么，他就往袋里放回一只黑球．他这样取了若干次以后，最后袋子里只剩下一只黑球．请问：原来在这个袋子里有奇数个还是偶数个黑球？
无论这个人取同色和异色的两个球黑色球总是减少0个或2个，即减少偶数个，而剩下一个黑球，则原来袋子里必有奇数个黑球．
有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋和枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑子放大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内．次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？
通过上面分析可知，每操作一次棋子的总数都要减少1枚，所以在不断操作下去的过程中，总棋子数将越来越少．摸了1999次棋子后，大盒内的棋子要减少1999枚，此时大盒内还剩：(枚)，
接下来要分析这2枚棋子会是什么颜色呢？
注意到每操作一次黑子数不是增加一枚就是减少一枚，而相邻两个自然数的奇偶性不同．所以，开始时有1000枚黑子，是一个偶数，那么，第一次操作后黑子数目将变为奇数，接下来黑子数目又将变为偶数这样一来，黑子数目的奇偶性将呈现下列规律：
显然，根据上述规律，第1999次操作后黑子数将有奇数枚．而此时大盒中仅剩2枚棋子，所以必然是1枚白子1枚黑子．
|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页
5-1.奇数与偶数.题库 教师版page11of12
｛枚白子，枚黑子｝
｛取枚同色棋子｝
｛取枚异色棋子｝
｛取枚白子｝
｛取枚黑子｝
⑴此时白子减少枚，黑子增加枚．
⑵此时棋子总数减少枚．
⑴此时白子数目不变，黑子减少枚．
⑵此时棋子总数减少枚．
⑴此时白子数目不变，黑子减少枚．
⑵此时棋子总数减少枚．
|
|
