5-5质数合数分解质因数
本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
1．质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.
考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.
2．质因数与分解质因数
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
互质数公约数只有1的两个数，叫做互质数..其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
3．唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.
例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.
4.部分特殊数的分解
；；；；；；；；.
5.判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.
例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.
例题：
模块一、质数合数的基本概念的应用
下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再
按要求编号排序，并画出质数号码：
美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；
1234567891011121314
杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；
1516171819202122232425262728
九天九霄志凌云，九七共庆手相握；
2930313233343536373839404142
聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．
4344454647484950515253545556
将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．
(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．
最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能所要求的数组中．可参照下表：大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，．注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．
(2004年全国小学奥林匹克)自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有个
这样的自然数有4个：23，37，53，73．
两个质数之和为，求这两个质数的乘积是多少.
因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是，另一个是，乘积为.我们要善于抓住此类题的突破口。
如果a，b均为质数，且，则______.
根据题意a,b中必然有一个偶质数2，，当时，，当时不符合题意，所以.
A，B，C为3个小于20的质数，，求这三个质数.
因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是，另两个奇质数之和为，又因为这三个数都要小于，所以只能为和，所以这三个质数分别是，，.
已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？
最小的合数是4，其平方为16．我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2，那么其余2个的和是14，只能一个是3一个是11，因此这3个质数的乘积是．
小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数(和是两个数字)．具有这种形式的数共有个
若两位数、均为质数，则、均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．
(“祖冲之杯”小学数学邀请赛)九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？
仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人(个)．
(俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？
因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．
(第五届“华杯赛”口试第15题图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之
问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?
(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？
“L数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L—质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L—质数”是31．
9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组
我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109是4个质数。
(我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．
除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．
从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样的数有几组？
考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9.若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53.这样的数只有一组.
用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.
要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数。
有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.
抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31.
某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.
有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47.
7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？
因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样.
从以内的质数中选出个，然后把这个数分别写在正方体木块的个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？
小于的质数有，，，，，，，，其中.每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是，最大是，经试验，三个数的和可以是从到的所有奇数，所有可能的不同值共有个。
将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？
A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）
首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值为29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。
4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？
由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是瓶油(连瓶)重量之和的倍，即瓶油(连瓶)共重()(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于是唯一的偶质数，只有两种可能：⑴油重之和为千克，瓶重之和为千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为(千克)．⑵油重之和为千克，瓶重之和为千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为(千克)，这与油重之和千克矛盾．因此最重的两瓶内共有千克油。
将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少
最大的质数必大于5，否则10个质数之和将不大于50，又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2个2的和为60，故其中最大的质数是7．
将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？
若要求最大的质数尽可能大，则其余9个质数应尽可能小，最佳的方案是9个2。但是此时剩余的数为32，不是质数，所以退而求其次，另其余9个数为8个2，1个3，那么第10个数为31
将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？
1.数不大，种类比较少
2.没有规律，不能用排列组合等方法
3.能有方法做的时候建议不采用枚举的方法
37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19
7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17
共有10种不同的拆法，其中3×5×29=435最小
如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？
首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分界线”。我们知道最小的三个不同合数是4,6,8，它们的和是18,则比18小的数一定都不是智康数，而比18大的数中，我们可以分为与18的差是“奇数”或者是“偶数”。如果与18的差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数，可以写作4+6+(8+2n),如果与18的差是一个奇数，那么可以写作4+(6+2n)+(8+1)也不是一个智康数，所以最大的智康数为17。
模块二、分解质因数
两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少?
分解质因数：()()，所以和为.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的。
三个连续自然数的乘积是，求这三个数是多少？
分解质因数：，可知这三个数是、和。
把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组.
要保证每组中的任意2个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3组.
把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。
，，，，，，，，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2，第一组含有40，第二组含有44，78，再看，第一组应有40，99，65，再看5第二组应有44，78，45，105，最后看7，第一组应有40，99，65，63．
4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？
将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.
将1～9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？
分解质因数，，.
在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、?
如下图，设长、宽、高依次为、、c，有正面和上面的和为+ab=209．
+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．当=11时，+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶2，+b=2+17;
当=19时，c+11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘?
39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘34×34×34最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有33×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：2×(长×宽+宽×高高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数3236中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×(++)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么?
我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数它们的和为6+9+37=52(厘米)．岁，他们四个人年龄的乘积是。问他们四个人的年龄各是几岁？
题中告诉我们，是四个人年龄的乘积，只要我们把分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。
，由此得出这四个人的年龄分别
是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，
当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为的个位数字不是0，显然这四个数中，没有
个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为，而，
所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。
甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大？
个位与十位数字之和为13，那么这样的质数在两位数中只有67，三位数中为167，再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为40,27岁，或者90，77岁，所以乙的年龄可能为27岁或77岁。
甲数比乙数大，乙数比丙数大，三个数的乘积是，求这三个数？
将分解质因数，，则其中必有一个数是或的倍数；经试算，，，恰好，所以这三个数即为，，.一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里不符合要求，下一个该考虑，再下一个该考虑，依此类推．
如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？
4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14。
四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？
分解质因数，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数.若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，经检验6、7、8、9恰符合.
的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？
首先分解质因数，，其中最大的质因数是167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.，，，，所以，，都没有4个2，不满足题意.说明167不可行.尝试，，，，包括了中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005.
三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.
设这三个质数分别是、、，满足，则可知、、中必有一个为11，不妨记为，那么，整理得()()，又，对应的、或、或、(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11.
三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
设这三个质数分别是、、，满足，则可知、、中必有一个为7，不妨记为，那么，整理得，又，对应的2、9(舍去)或3、5，所以这三个质数可能是3，5，7
个质数的倒数之和是，则这个质数之和为多少．
设这个质数从小到大为、、，它们的倒数分别为、、，求和得到的分数为、、或它们之间的积现在和为，分母，所以一定是，，，检验所以这个质数的和为，倒数第三小的是。
一个分数，分母是，分子是一个质数．现在有下面两种方法：分子和分母各加一个相同的一位数分子和分母各减一个相同的一位数．．那么原来分数的分子是多少．
因为新分数约分后分母是，而原分母为，由于，所以分母是加上或者减去．若是前者则原来分数分子为，但，不是质数；若是后者则原来分数分子是，而是质数．所以原来分数分子为．
在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正75×24=1800．所以原来的积为1755或1800．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整?
这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．19953×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．，五个人的年龄和为125岁。
模块三、质数合数综合型题目
是质数，，，都是质数．求是多少？
由题意知是一个奇数，因为，，所以是3的倍数，所以
已知是质数，也是质数，求是多少？
是质数，必定是合数，而且大于1．又由于是质数，大于1，一定是奇质数，则一定是偶数．所以必定是偶质数，即．
有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少．
根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2开始的第13个质数要大。从2开始数的13个质数分别是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。那么这个数一定要比41大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从3开始的质数的差只要都是一个大于2的偶数即可满足条件。
如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？
如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数为21的条件下数量尽可能多，且比21大的质数只能有一个。21以下的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，则说明这些质数最多可能有8+1=9个，则大于21的那个数为21+19+18+16+14+10+8+4+2=112，但112不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了21以外的奇数19，使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有2，否则无法使得比21大的数是质数。去掉2再次求和为112-19=93，仍然不是质数，则可以做微调93-4=89，即在原来的一组质数中再去掉一个17即可，这组数为3，5，7，11，13，19，89，最大的一个是89。
求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？
考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4合数合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4(2n)＋合数即8n合数(其中n＞1即可)
当该数被8整除时，该数可表示为4(2n)8，n＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示
当该数被8除余1时，该数可表示为4(2n)9，n＞1,所以大于等于25的被8除余1都可表示
当该数被8除余2时，该数可表示为4(2n)10，n＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示
当该数被8除余3时，该数可表示为4(2n)27，n＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示
当该数被8除余4时，该数可表示为4(2n)4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示
当该数被8除余5时，该数可表示为4(2n)21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示
当该数被8除余6时，该数可表示为4(2n)6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示
当该数被8除余7时，该数可表示为4(2n)15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示
综上所述，不能表示的最大的数是
经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35
已知P,Q都是质数，并且，则=
本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P和Q中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能Q是2，解出P=199,P×Q=398。
将1到9这9个数字在算式的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?
本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有，即有，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。符合原式的填法为。
三个质数△、、○，如果△1，△○，那么△△1，所以△2
有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？
两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了.把九个三位数分解：、、、、、、、、.把两个因数相加，只有()和()的两位数字相同.所以满足题意的答案是74和3，37和18.
两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是936.如果正确的乘积不能被6整除，那么它等于多少？
注意936中有质因数13，故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有，，，，这5种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数字相同.经枚举可知，他们所抄错的算式可能是(，)，(，)，(，)或(，).对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数字，正确的算式应是或，后者乘积是6的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正确的乘法算式是.对后三种情况作类似分析，可得出种可能的原乘法算式，但它们的结果都是6的倍数，不合题意.因此676即为所求.
如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数
由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数的两倍，即此幸运数为2，则的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是2-1的所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件①，2-1应为质数，因此2-1只可能为13，37，61或73。再由条件③知2-1除以9所得的余数应为4，于是2-1只可能是13，从而这个幸运数只能是2=14。
如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这1991，具有如下两个性质：①1991是个回数．②1991可以分解成一个两位质数回数和一个三位质数回数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的1011111，111311441，1115l1661．
两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17，19可得到一个四位数1719,由19，17也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。
设这2个两位质数分别是和，则这个四位数是，根据条件可知：,即()|()，设，则（），化简得()()，因此,其中是整数，和均为两位质数，设,，则两式相加得()，注意到和都是质数即也是奇数，所以是的约数.，由于、都是两位不同的质数，因为中的偶数，所以
有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．
例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．
写出10个连续自然数，它们个个都是合数．
在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．
老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．
如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又，m3，，m11是11个连续整数，故只要m是2，3，，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，，11这10个数的最小公倍数．m2，m3，m4，，m11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，411的最小公倍数27720，分别加上2，3，411，得出十个连续自然数27722，27723，2772427731，他们分别是2，3，411的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出(其中n！123n)这10个连续合数来．同样，是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：
|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页
5-5.质数合数分解质因数.题库 教师版page12of16
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