整数加减法速算与巧算
本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。
一、基本运算律及公式
一、加法
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。即：a＋b＝b＋a
其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.
总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。
即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).
总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。
二、减法
在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．
在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．
如：a＋（b－c）＝a＋b－c
a－（b＋c）＝a－b－c
a－（b－c）＝a－b＋c
在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
如：a＋b－c＝a＋（b－c）
a－b＋c＝a－（b－c）
a－b－c＝a－（b＋c）
二、加减法中的速算与巧算
速算巧算的核心思想和本质：凑整
常用的思想方法：
分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．
2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．
3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．
4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）
模块一：分组凑整
计算： （1）117＋229＋333＋471＋528＋622
（2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）
（3）756－248－352
（4）894－89－111－95－105－94【考点】分组凑整【难度】1星【题型】计算
在这个例题中，主要让学生掌握加、减法分组凑整的方法。几个数相加，可以先把可以凑整的几个数分成一组；一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加凑整，再用这个数减去后两个数的和．具体分析如下：
（1）式 ＝（117＋333）＋（229＋471）＋（528＋622）
＝450＋700＋1150
＝（450＋1150）＋700
＝1600＋700＝2300
（2）式 ＝1350＋249＋468＋251＋332＋1650
＝（1350＋1650）＋（249＋251）＋（468＋332）
＝3000＋500＋800＝4300
（3）式 ＝756－（248＋352）
＝756－600
＝156
（4）式 ＝（894－94）－（89＋111）－（95＋105）
＝800－200－200
＝400
【答案】（1）2300（2）4300（3）156（4）400
计算．
【考点】分组凑整【难度】1星【题型】计算【关键词】2010年学而思杯
原式
计算：．
【考点】分组凑整【难度】1星【题型】计算
原式
同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！也当一次小老师！⑴⑵⑶⑷
【考点】分组凑整【难度】1星【题型】计算
⑴原式()()；⑵原式()()；
⑶原式()；
⑷原式()()()；
【答案】（1）347（2）20159（3）1800（4）700
【考点】分组凑整【难度】1星【题型】计算
原式.
【答案】600
计算
【考点】分组凑整【难度】2星【题型】计算
原式
【答案】11106
计算： （1）1348－234－76＋2234－48－24
（2）1847－1936＋536－154－46
（3）264+451-216+136-184+149
【考点】分组凑整【难度】1星【题型】计算
在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算分组凑整的方法，在凑整的过程中，要注意运算符号的变化或者带着符号搬家．具体分析如下：
（1）式 ＝（1348－48）＋（2234－234）－（76＋24）
＝1300＋2000－100
＝3200
（2）式 ＝1847－（1936－536）－（154＋46）
＝1847－1400－200
＝247
（3）式 .
【答案】（1）3200（2）247（3）600
【考点】分组凑整【难度】2星【题型】计算【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛
配对简算：，所填数
【答案】55
看谁的方法最巧呢？
⑴
⑵
【考点】分组凑整【难度】2星【题型】计算
⑴通过观察这道题我们会发现，所有的加数是一些连续的数按顺序排列着，每相邻两数的差都相等，求这列连续数的和．可采用“移位分组”的方法解．我们把1和20，2和19，3和18……两个数一组；每组两个数的和都是21；有20个数，每两个数一组，共有10组．因此，解法有二．
（方法一）原式．一般地，像这样一类题，一列数的第一个数称为首项，最后一个数称为末项，这列数的个数称为项数．可归纳为一列连续数的和＝(首项+末项)×项数÷2．
（方法二）原式．
⑵这列数的首项是4，末项是36．每相邻两数的差都是2，这列数一共有17个数，故项数是17．这道题是求相邻差为2的17个连续自然数的和，可以这样解．
原式．
【答案】（1）210（2）340
计算：
【考点】分组凑整【难度】3星【题型】计算
将后四项每四项分为一组，每组的计算结果都是0，后2004项的计算结果都是0，剩下第一项，结果是2005.
计算：。
【考点】分组凑整【难度】2星【题型】计算
【关键词】2008年，学而思杯，2年级
【分析】原式
计算．
51
【考点】分组凑整【难度】2星【题型】计算
【关键词】2010年，学而思杯，2年级
原式
计算：100-99+98-97+96-95+……+4-3+2-1=________。【考点】分组凑整【难度】2星【题型】计算【关键词】20年，杯，年级原式=(100-99)+(98-97)+(96-95)+……(4-3)+(2-1)=1+1+1+……+1+1=50
（2＋4＋6＋……＋2006）－（1＋3＋5+7+……2005）＝【考点】分组凑整【难度】2星【题型】计算【关键词】20年，杯，年级原式＝（2-1）+（4-3）+（6-5）+……+（2006-2005）
＝1+1+1+……+1
＝1×（2006÷2）
＝1003
计算：
【考点】分组凑整【难度】星【题型】计算从1989开始，每6个数一组，，以后每一组6个数加、减后都等于9..最后剩下三个数3，2，1，.因此，原式
.
仔细考虑，相信你可以找到巧妙算法的．
【考点】分组凑整【难度】星【题型】计算先观察算式，看看算式中的数有什么规律？符号有什么规律？再进行计算．根据题目的特征，我们把算式从左至右每两个数作为一组，每组的计算结果均为1：，，，…，．整个算式成了求100个1的和，因此整个算式的结果等于100．原式
看到下面的算式不要害怕，仔细考虑，相信你可以找到巧算的方法的.
【考点】分组凑整【难度】星【题型】计算算式中只有加减法运算，可以去掉括号重新组合，1～99共99个数，奇数有50个，偶数有49个，除1以外，将剩余的49个奇数和49个偶数两两分组重新组合，这样每相邻的两个数的差都是1．
原式
计算
【考点】分组凑整【难度】星【题型】计算算式中只有加减法运算，可以去掉括号重新组合，1～1999共1999个数，奇数有1000个，偶数有999个，除1以外，将剩余的999个奇数和999个偶数两两分组重新组合，这样每相邻的两个数的差都是1．
原式
计算：
【考点】分组凑整【难度】星【题型】计算这道题若按运算顺序计算，计算量较大，去掉小括号，适当的改变运算顺序，看看能否巧算呢？我们先把所有的小括号去掉，然后把差为1000的每两个数作一组，便可很快巧算出结果来.
原式
张老师带着600元钱去商店买文具用品，依次花掉50元、90元、80元、70元、60元、50元、40元、30元、20元、10元，你能快速算出最后张老师还剩多少钱吗？
【考点】分组凑整【难度】星【题型】计算这道题可用移位凑整法来速算，题中的十个减数可移位凑成五个100．
原式
【考点】分组凑整【难度】星【题型】计算这道题用“移位凑整”的方法来速算就简单多了．把题目的18个减数移位后凑成9个100，从而达到巧算的目的．
原式
在加减法混合算式与连减算式中，将减数先结合起来，集中一次相减，可简化运算．
模块二、加补凑整
计算 （1）298＋396＋495＋691＋799＋21
（2）195＋196＋197＋198＋199＋15
（3）98－96－97－105＋102＋101
（4）399＋403＋297－501
【考点】加补凑整【难度】星【题型】计算在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下：
（1）（法1）原式 ＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1
＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）
＝300＋400＋500＋700＋800
＝2700
（法2）原式 ＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21
＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21
＝2700
（2）（法1）原式 ＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）
＝200＋200＋200＋200＋200
＝1000
（法2）原式 ＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15
＝200＋200＋200＋200＋200
＝1000
（3）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）
＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1
＝3
（4）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）
＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1
＝598
注：在（1）中，在加100时多加了1，所以要减去，这样保证结果不变，所以“多加的要减去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多减了2，所以要加上，所以“多减的要加上”；（4）中，少减了3，后面要再减去3，所以“少减的要再减”．
【答案】（1）2700（2）1000（3）3（4）598
计算：所得和数的数字之和是多少？
【考点】加补凑整【难度】星【题型】计算原式
故所得数字之和等于.
___________。
【考点】加补凑整【难度】星【题型】计算【关键词】2005年，第3届，走美杯，3年级，决赛
本题利用加法凑整的原则进行计算
计算：__________．
【考点】加补凑整【难度】星【题型】计算【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛
根据凑整的原则将10进行拆分为
同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！也当一次小老师！⑴1⑵
【考点】加补凑整【难度】星【题型】计算⑴（方法一）
由于此题的各个加数恰好接近整十、整百、整千……把每个加数加上1后就凑成了整十、整百、整千……然后从总和中减去5个补数的和．
原式
（方法二）
把加数19分解成，然后运用加法交换律和结合律进行巧算
原式
．
⑵原式．(没有凑整的条件，我们可以创造凑整的条件)
【答案】（1）（2）
计算： （1）9+99+999+……+999999999
（2）
【考点】加补凑整【难度】星【题型】计算（1） 本题可以把所有的加数均看成整十、整百、整千……的数，最后再进行补数
原式＝10+100+1000+……+10000000000-9
＝1111111110-9
＝1111111101
（2） 原式＝
＝
【答案】（1）1111111101（2）
计算下面各题
⑴
⑵
【考点】加补凑整【难度】星【题型】计算（1）原式
（2）原式
【答案】（1）（2）
计算：
【考点】加补凑整【难度】星【题型】计算利用凑整求和的思想来计算．
原式
【答案】(1997年“全国小学数学奥林匹克”竞赛试题)计算：
．
【考点】加补凑整【难度】星【题型】计算方法一
原式
方法二
原式
模块三、位值原理
求算式的计算结果的各位数字之和．
【考点】【难度】星【题型】计算
，
数字和为：．
计算：．
【考点】【难度】星【题型】计算原式()()()()()()
()
计算：
【考点】【难度】星【题型】计算仔细观察我们可以发现1、2、3、4、5、6分别在个、十、百、千、万、十万6个数位上各出现过一次，所以原式[()()()()()()][()]．
计算：
【考点】【难度】星【题型】计算原式
计算：
【考点】【难度】星【题型】计算【关键词】第五届，希望杯
原式()()．
【考点】【难度】星【题型】计算因为每个数位上都出现了1、2、3、4、5，所以
原式
计算：
【考点】【难度】星【题型】计算括号内的7个加数，都是由1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成，换句话说，这7个数的每一位也分别是1、2、3、4、5、6、7，它们的和是28，即如果不进位，每一位的和都是28．所以
原式
计算：
【考点】【难度】星【题型】计算2004年，陈省身杯观察可知5、6、7、8、9在万、千、百、十、个位各出现过一次，所以，
原式．
计算：
【考点】【难度】星【题型】计算
计算：()．
【考点】【难度】星【题型】计算()
()
()．(这里没有把先算出来，而是运用了除法中的巧算方法)
计算：()()
【考点】【难度】星【题型】计算原式()()
计算:
【考点】【难度】星【题型】计算（法）原式
（法）原式
（法）原式
求的末三位数．
【考点】【难度】星【题型】计算原式，原式的末四位为．
求的末三位数字．
【考点】【难度】星【题型】计算原式的末三位数字和每个加数的末三位数字的和的末三位相同，这些加数的末三位中有个，个，个，，所以原式的末三位数字为．
求这10个数的和．
【考点】【难度】星【题型】计算方法一：
=
==
=
=.
方法二：先计算这10个数的个位数字和为；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为；
【答案】
从1到2009这些自然数中所有的数字和是多少？
【考点】【难度】星【题型】计算向大家介绍两种方法，（都是先算0到999）
方法一：我们把0到999全看成三位数，不足三位的在前面加0补齐．这样从0到999共1000个自然数，用了（个）数字，很显然这3000个数字中有300个0，300个1，…300个9，所以数字和为
方法二：组合法，比如0和999，1和998，…，245和754，…总之可以找到每两个数它们的和刚好是999，因为不存在进位，所以每两个数的数字和都是，共1000个数，所以可以组成500对，和就是：．
算完0到999后再看1000到1999，比较发现每个数都比0到999的多一个千位数1，所以1000到1999的和是．
最后还要算2000到2009的数字和：，所以这个题的结果是：．
模块四、基准数
下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！
【考点】【难度】星【题型】计算当我们把几个比较接近的数相加时，可以先选一个与这些数都比较接近的数作为“基准数”，把加法转化成乘法，以达到简化运算的目的，然后再把原来每个数与基准数的差距“多退少补”，修正过来．原式
计算：
【考点】【难度】星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，初赛
根据加法凑整的原则
⑴
⑵
【考点】【难度】星【题型】计算⑴①原式=
=
=
=2700
②原式=
=
=2700
⑵原式=
=
=3
【答案】⑴2700⑵3
面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！
【考点】【难度】星【题型】计算当许多大小不同，但彼此又比较接近的数相加时，可以选择一个合适的数，最好是整十、整百、整千的数作为基准数，再把大于基准数的加数分成基准数与某数的和，把小于基准数的加数写成基准数减去某数的差的形式．本题中的数都接近或等于280，所以取280为基准数，可得下面解法．原式.
下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！
【考点】【难度】星【题型】计算当许多大小不同，但彼此又比较接近的数相加时，可以选择一个合适的数，最好是整十、整百、整千的数作为基准数，再找出每个加数与基准数的差，大于基准数的差要加上，小于基准数的差要减去，使计算简便．本题中的数都接近或等于380，所以取380为基准数，可得下面解法．
原式
计算下面各题．
⑵
【考点】【难度】星【题型】计算（1）原式
（2）原式
【答案】⑴⑵1200
计算：
【考点】【难度】星【题型】计算原式
四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩(分数)如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75．求这10名同学的总分．
【考点】【难度】星【题型】计算通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错．观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大．我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，使计算简便化．这10个数与80的差如下：6，，，3，11，，12，，4，，其中“”号表示这个数比80小．于是得到：总和()．
这道题所用的方法就叫做加法的基准数法．这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况．考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百且大小在中间部分的数．
某小组有20人，他们的数学成绩分别是：87、91、94、88、93、91、89、87、92、86、90、92、88、90、91、86、89、92、95、88，求这个组的平均成绩？
【考点】【难度】星【题型】计算选90为基准数，平均成绩()．
【答案】
某农场有10块麦田，每块的产量如下(单位：千克)：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461求平均每块麦田的产量．
【考点】【难度】星【题型】计算选450为基准数，则平均每块产量()(千克)．
|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页
1-1-1-1.整数加减法速算与巧算.题库 教师版page1of14
例题精讲
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