圆与扇形
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．
圆的面积；扇形的面积；
圆的周长；扇形的弧长．
跟曲线有关的图形元素：
①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．
比如：扇形的面积所在圆的面积；
扇形中的弧长部分所在圆的周长
扇形的周长所在圆的周长2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)
②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．
一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)
③”弯角”：如图：弯角的面积正方形-扇形
④”谷子”：如图：“谷子”的面积弓形面积
常用的思想方法：
①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)
②等积变形(割补、平移、旋转等)
③借来还去(加减法)
④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)
板块一平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用
下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．
【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．
如图，在188的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？
54个，其中部分有6+6+820个，部分有6+6+820(个)，而1个和1个正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+2074(个)完整小正方形，而整个方格纸包含818144(个)完整小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的，即．
【巩固】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几？
矩形纸板共28个小正方格，其中弧线都是，非阴影部分有3个完整的小正方形，其余部分可拼成6个小正方格．因此阴影部分共286－3=19个小正方格．所以，阴影面积占纸板面积的．在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为
采用割补法．如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于平方厘米．
【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．
．
(人大附中分班考试题)如图，正方形边长为1，4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．取)
把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个的扇形的面积之和，所以，
．
图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方
如下图所示：
可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为（平方厘米），所以阴影部分的总面积为（平方厘米）．
【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是．
或
我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于．
如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？(取3)
本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
如右上图，连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为4的正方形．可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下4个圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为(平方厘米)．
【总结】在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形，从而利用面积公式进行求解．这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、
如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取)
将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为
【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为，空白部分面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取)
如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为，则，，所以．
移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．
计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．
将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形．
(平方分米)．
【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？
请计算图中阴影部分的面积．
法一：
为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了．
要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样．如此一来，就会出现一个长方形的面积．
因此，所求的面积为．
法二：
由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的辅助图形：
如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移就会得到右上图中的组合图形，而这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积．
显然图中右侧延伸出了多少面积，左侧就会缩进多少面积．
因此，所求的面积是．
求图中阴影部分的面积．
如图，连接，可知阴影部分的面积与三角形的面积相等，即为．
求如图中阴影部分的面积．(圆周率取)
可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针，则阴影部分转化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为．
【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率．
原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为：
．
四分之一大圆内的等腰直角三角形的面积为，所以阴影部分的面积为．
求下列各图中阴影部分的面积
在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为5的三角形，利用三角形面积公式可以求得；
在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b，宽为a的长方形，利用长方形面积公式可以求得．
【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为，圆周率按3计算)：
⑴⑵
⑶⑷
⑸⑹
⑴⑵⑶⑷⑸⑹
如图，是正方形，且，求阴影部分的面积)
方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现．由于对称性，我们可以发现，弓形BMF的面积和弓形BND的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形BDWC的面积．因为ABCD是正方形，且FAADDE1，则有CDDE．那么四边形BDEC为平行四边形，且∠E45°．我们再在平行四边形BDEC中来讨论，可以发现不规则图形BDWC和扇形WDE共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积平行四边形BDEC-扇形DEW．
方法二：先看总的面积为的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总面积扣除一个等腰直角三角形，一个圆，一个的扇形．那么最终效果等于一个正方形扣除一个的扇形．面积为．
【巩固】求图阴影)．
从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积，
所以阴影部分面积为．
如图，长方形长是，阴影部分的面积．()
所以左图阴影部分的面积等于平方厘米．
(2007年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为的图中有两条互相垂直的线与其它部分面积之差(大减)是．
如图，将圆对称分割后，与中的部分区域能对应，仅比少了一块矩形，所以两部分的面积差为：．
【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？
如右上图所示，④的面积与Ⅰ的面积相等，①的面积等于②与Ⅱ的面积之和．可见甲比乙多拿的部分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为：，而原本应是两人平分，所以甲应付给乙：(元)．
求右图中阴影部分的面积．(取3)
看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手．
这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．
(法1)我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为，所以阴影部分的面积为(平方厘米)．
(法2)欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积．
所以阴影部分面积为(平方厘米)．
(第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．()
根据题意可知扇形的半径恰是正方形的对角线，所以，如右图将左边的阴影翻转右边阴影下部，
板块二曲线型面积计算
如图，扇形的面积是半圆面积的倍，则角的度数是________．
设半圆的半径为1，则半圆面积为，扇形的面积为．因为扇形的面积为，所以，，得到，即角的度数是60度．
如下图，直角三角形的两条直角边分别长和，分别以为圆心，为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是，那么角是多少度()
,
三角形内两扇形面积和为，
根据扇形面积公式两扇形面积和为,
所以,.
如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的，是．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？
厘米．
有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(取3)
由右图知，绳长等于6个线段与6个弧长之和．
将图中与弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是，
所以弧所对的圆心角是，6个弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．
而线段等于塑料管的直径，
由此知绳长为：(厘米)．
如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？()
如图，点是在以为中心的扇形上，所以，同理，则是正三角形，同理，有是正三角形．有，正五边形的一个内角是，因此，也就是说圆弧的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是．
如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与部分面积的大小，得：黑色部分面积________部分面积．
图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．
如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为，空白部分面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取)
如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为，则，，所以．
移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．
用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积，
小圆面积，个小圆总面积，
边角料面积(平方厘米)．
如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．
由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．
由右图可见，阴影部分面积等于大圆面积减去一个小圆面积，再加上的小扇形面积(即小圆面积)，所以相当于大圆面积减去小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的倍，那么阴影部分面积为．
如所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．)
所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式．(平方厘米)，阴影部分的面积(平方厘米)．是半圆的直径，是圆心，，是的中点，是弦的中点．若是上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．
如下图所示，连接、、．
本题中由于、是半圆的两个三等分点，是的中点，是弦的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知与平行．由此可得的面积与的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形面积的一半，而扇形的面积又等于半圆面积的，所以阴影部分面积等于半圆面积的，为平方厘米．
【巩固】如图，、是以为直径的半圆的三等分点，是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．
如图，连接、、．
由于、是半圆的三等分点，所以和都是正三角形，那么与是平行的．所以的面积与的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形的面积，为．
如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(取3)
本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．
如右图所示，可知弓形或均与弓形相同，所以不妨割去弓形．剩下的图形中，容易看出来与是平行的，所以与的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形的面积相等，而扇形的面积为，所以图中两块阴影部分的面积之差为．
如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取)
方法一：设小正方形的边长为，则三角形与梯形的面积均为．阴影部分为：大正方形梯形三角形右上角不规则部分大正方形右上角不规则部分圆．因此阴影部分面积为：．
方法二：连接、，设与的交点为，由于四边形是梯形，根据梯形蝴蝶定理有，所以
【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(取3)
(法1)观察可知阴影部分面积等于三角形的面积减去月牙的面积，那么求出月牙的面积就成了解题的关键．
月牙的面积为正方形的面积减去四分之一圆：；
则阴影部分的面积为三角形的面积减去月牙的面积，为：
．
(法2)观察可知和是平行的，于是连接、、．
与面积相等，那么阴影部分面积等于与小弓形的面积之和，也就等于与扇形的面积之和，为：．
如图，是等腰直角三角形，是半圆周的中点，是半圆的直径．已知，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取)
连接、、，如图，平行于，则在梯形中，对角线交于点，那么与面积相等，则阴影部分的面积转化为与圆内的小弓形的面积和．
的面积为：；
弓形面积：；
阴影部分面积为：．
图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为；()
连接小正方形,有图可见
∵
∴
同理，∴
∴
，
∴
如图，图形中的曲线是用半径长度的比为的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分与未涂有阴影的部分面积的比是多少？
和．
阴影部分的面积为：，
空白部分的面积为：，
则阴影部分面积与空白部分面积的比为．
(2008年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．)
⑴每个圆环的面积为：(平方厘米)；
⑵五个圆环的面积和为：(平方厘米)；
⑶八个阴影的面积为：(平方厘米)；
⑷每个阴影的面积为：(平方厘米)．
已知正方形的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大()
如图，ABCD是边长为a的正方形，以ABBC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(取3)
【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆求阴影部分面积．(取3)
；
解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，
所以阴影部分面积．
(2008年四中考题)已知三角形是直角三角形，，，求阴影部分的面积．
个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和是平方厘米.
根据容斥原理得，所以（平方厘米）
(2008年国际小学数学竞赛)如图所示，是一边长为的正方形，是的中点，而是的中点．以为圆心、半径为的四分之一圆的圆弧交于，以为圆心、半径为的四分之一圆的圆弧交于点，若图中和两块面积之差为(其中、为正整数)，请问之值为何？
(法1)，，
，而
，
所以，，．
(法)如右上图，，
，
所以，，故2和4，求两个阴影部分的面积差．)
我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：．
如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积．(取3)
(平方厘米)，
再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积，
则有阴影部分面积为(平方厘米)．
方法二：利用容斥原理(平方厘米)
【巩固】求图中阴影部分的面积．
阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积．
【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，()
观察可知阴影部分是被以为半径的扇形、以为直径的半圆形和对角线分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形的面积减去扇形的面积，那么我们的思路就很清楚了．
因为，
所以扇形的面积为：(平方厘米)，
那么左下边空白的面积为：(平方厘米)，
又因为半圆面积为：(平方厘米)，
所以阴影部分面积为：(平方厘米)．
如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取)
图中、两部分的面积分别等于右边两幅图中的、的面积．
所以．
【巩固】图中阴影部分的面积是．(取)
如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积．
所分成的弓形的面积为：；
另一部分的面积为：；
所以阴影部分面积为：．
已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以、、为圆心，求阴影部分的面积．()
图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：
(平方厘米)，所以阴影部分的面积为(平方厘米)．
一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(取3)；
那么圆无法运动到的部分面积为
方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为
已知半圆所在的圆的面积为平方厘米，求阴影部分的面积．()
由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．
由于半圆的面积为平方厘米，所以．
因此：(平方厘米)．
由于是等腰直角三角形，所以．
因此：扇形的面积(平方厘米)．
所以，阴影部分的面积等于：(平方厘米)．
如图，等腰直角三角形ABC的腰为10；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．
题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．
等腰直角三角形的角A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．
而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即，
则圆的面积为
如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且，阴影的面积比阴影的面积大7，求BC长．()
，则直角三角形的面积为1577150，可得BC21502015．
【巩固】三角形是角形，的面积比阴影的面积小，求的长度．
由于阴影的面积比阴影的面积小，根据差不变原理，直角三角形面积减去半圆面积为，则直角三角形面积为()，
的长度为()．
【巩固】如图，三角形是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面28平方厘米，长40厘米．求的长度(取)
，所以②、③部分的面积和．
有直角三角形的面积为．所以厘米．
(2009年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为，求阴影部分的面积．
如下图，设半圆的圆心为，连接．
从图中可以看出，，，根据勾股定理可得．
阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，
为：．
如图，求阴影部分的面积．(取3)
小圆面积中圆面积三角形面积大圆面积
6
如图，直角三角形的三条边长度为，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？
，
设半圆半径为，直角三角形面积用表示为：
又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为，
所以，
所以
(华校2005～2006年度第一学期期中测试第6题)大圆半径为，，两个同心圆构成一个环形．以圆心为顶点，半径为边长作一个正方形：为顶点，以为边长作一个小正方形．平方厘米，求环形面积．)
环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是平方厘米，那么环形的面积为：
(平方厘米)．，求圆环的面积．
设大圆半径为，小圆半径为，依题有，即．
则圆环面积为：．
(2008年101中学考题)已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是．(取)
设图中大圆的半径为，正方形的边长为，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为，大圆的直径等于正方形的对角线长，即，得．
所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：，所以大圆面积为：；小圆的面积与正方形的面积之比为：，所以小圆的面积为：；两个圆的面积之和为：(平方厘米)．
【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是平方厘米．(取)
设图中大圆的半径为，正方形的边长为，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为，大圆的直径等于正方形的对角线长，即，得．
所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：，
即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为(平方厘米)．
【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为，小正方形的面积是．
设图中小正方形的边长为，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为，而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以，故，即小正方形的面积为．
【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛)一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取)
我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．
内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是．
内圆的直径为中部正方形的边长，即为，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是．
中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为，所以外圈阴影部分的面积是．
所以阴影部分的面积是(平方厘米)．
图中大正方形边长为，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？()
圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为：
∴圆的面积为：
如下图两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆哪个图中阴影部分的面积大？为什么？
设正方形的边长为，每一个圆的半径为，则正方形的每一条边上都有个圆，从而正方形内部共有个圆，于是这些圆的总面积为：．
可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就是一定的．
由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等．
如图，在方格表中，分别以、、为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是的三段圆弧与正方形的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比
如右图，仔细观察图形不难发现带形的面积等于曲边三角形的面积减去曲边三角形的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出．
所以，的面积；
同理可求得带形的面积：
带形的面积曲边三角形的面积曲边三角形的面积；
所以，．
如图中，正方形的边长是，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取)
．
如图，与是两条垂直的直径，圆的半径为15厘米，为圆心，为半径的圆弧，求阴影部分面积．
连接、．阴影部分面积等于半圆的面积减去弓形的面积，而弓形的面积又等于扇形的面积减去的面积．
的面积等于以为边的正方形的面积的，即，那么．
那么扇形的面积为，弓形的面积为，
所以阴影部分面积为．
如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，是以C为圆心，AC为半径的圆弧求阴影部分面积．
阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形ABC再减去扇形ACB的结果．
半圆面积为，
三角形ABC面积为，又因为三角形面积也等于，
所以，
那么扇形ACB的面积为．
阴影部分面积
225(平方厘米)
如下图所示，曲线和是两个半圆．平行．如果大半圆的半径是1米，那么阴影部分是平方(取)
如左下图所示，弓形的面积等于扇形的面积与三角形的面积之差，为(平方米)，
半圆的面积为(平方米)，
所以阴影部分的面积为(平方米)．
在右图所示的正方形中对角线长2厘是以为圆心，以为半径的圆的一部分求阴
如右图所示，，．
因为，
所以阴影部分的面积为：
(平方厘米)．
另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形面积之和减去正方形的面积，所以阴影部分的面积为(平方厘米)．
某仿古钱币直径为厘米，求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？
将古钱币分成个部分，外部的个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形，
中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：
．
(2006年小学生数学报竞赛)传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)那么，阴影部分的面积是平方米
等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相等．由与，与面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半．(平方米)．
【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？
根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：
阴影部分甲的扇形三角形小弓形；
阴影部分乙三角形小弓形；
由于扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：
综上所述：阴影部分甲的面积圆的面积的圆的面积的．所以甲、乙面积之比为．
【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？
、都是等边三角形，所以四边形是菱形，推知与面积相等．又因为弦所对的弓形与弦所对的弓形面积相等，所以扇形中阴影部分面积占一半．同理，在扇形、扇形中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是(平方米)．
【巩固】如图，已知三角形是边长为26厘米的正三角形，圆的半径为厘米．
．求阴影部分的面积．
直接解决．
总阴影面积每块阴影面积(大弓形小弓形)．
关键在于大弓形中三角形的面积，
设为弧的中点，则可知是菱形，是正三角形，
所以，三角形的面积．
所以大弓形的面积：
．
小弓形的面积：．
所以，总阴影面积(平方厘米)．
如图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积．
阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．
由已知条件，若分别连结，，，，，如图所示，就可以得到两个等边三角形(各边长均等于半径)，则，即．
这样就可以求出以为圆心的扇形的面积，然后再减去三角形的面积，就得到弓形的面积，三角形的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦，高是的一半．
所以，阴影部分面积
(平方厘米)．
下图中，，阴影部分的面积是
如图可知3，设大半圆半径为，小圆半径为，如右图，，根据勾股定理得，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知
如图，是平行四边形，，，，高，弧、分别以、为半径，弧、分别以、为半径，则阴影部分的面积为多少？(精确到)
因为四边形是平行四边形，，，，所以
，
．
因为平行四边形的高，所以．
由图中可看出，扇形与的面积之和，减去平行四边形的面积，等于曲边四边形的面积；平行四边形的面积减去扇形与扇形的面积，等于曲边四边形的面积．则
．
如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另端(没有离)．在圆周上设一个定点，点从圆开始滚动时是接是不接触直线的．那么，圆的半径是多少厘米？设圆周率为314，
如上图：因为在圆滚动的全部过程中点是不接触直线的，所以这个圆的运动情况有两种可能．一种是圆滚动了不足一圈，根据点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270o．另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了．
因为两条线段共长30厘米，所以270o的弧长或者630o的弧长再加上两个半径是30厘米．
(厘米)，或者(厘米)，所以圆的半径是厘米或厘米．
将一块边长为厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正
图1 图2 图3
如图所示，使(厘米)，正方形的面积为(平方厘米).如图所示，使(厘米)，的面积为()(平方厘米).如图所示，连结交曲线，使.可知(厘米).(注：的长度在()厘)于是正方形的面积为(平方厘米).
，剪成的正方形铁皮的面积最大为平正三角形的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使点再次落在这条直线上，那么点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留)
直角三角形放在一条直线上，斜边长厘米，直角边长厘米．绕点转动，到达位置，此时，点分别到达，点；再绕点转动，到达位置，此时，点分别到达，点．求到走过的路径的长．
由于为的一半，所以，则弧为大圆周长的，弧为小圆周长的，而即为点经到的路径，所以点经到走过的路径的长为(厘米)．
【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为和的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是．让这个长方形绕顶点顺时针旋转后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点到达点的位置．求点走过的路程的长．
因为长方形旋转了三次，所以点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．
这三段路程分别是：
第1段是弧，它的长度是()；
第2段是弧，它的长度是()；
第3段是弧，它的长度是()；
所以点走过的路程长为：()．
草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？)
如图所示，羊活动的范围可以分为，，三部分，其中是半径米的个圆，，分别是半径为米和米的个圆．
所以羊活动的范围是
．的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按计算)
如图所示，羊活动的范围是一个半径，圆心角300°的扇形与两个半径，圆心角120°的扇形之和．所以答案是．
如图是一个直径为的半圆，让这个半圆以点为轴沿逆时针方向旋转，此时点移动到点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为，圆周率按计算)．
面积圆心角为的扇形面积半圆空白部分面积(也是半圆)圆心角为的扇形面积．
如图所示，直角三角形的斜边长为10厘米，，此时长5厘米．以点为中心，将顺时针旋转，点、分别到达点、的位置．求边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(取3)
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，
因为，那么，
则阴影部分为一圆环的．
所以阴影部分面积为(平方厘米)．
【巩固】如右图，以为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以点为中心旋转，问：三角形扫过的面积是多少？(取3)
从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边．
因此可以求得，三角形扫过的面积为：(平方厘米)．
【巩固】(2008年“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形中，为直角，且厘米，厘米，则在将绕点顺时针旋转的过程中，边扫过图形的面积为．()
如右上图所示，假设旋转到达的位置．阴影部分为边扫过的图形．
从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形的面积与的面积之和，空白部分面积等于扇形的面积与的面积，由于的面积与的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形与扇形的面积之差，为(平方厘米)．
如图，是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米．现在以点为圆心，把三角形顺时针转90度，那么，边在旋转时所扫过的面积是平方米．()
如图，顺时针旋转后，A点沿弧转到点，B点沿弧转到点，D点沿弧转到点．因为CD是C点到AB的最短线段，所以AB扫过的面积就是图中的弧与之间的阴影图形．
(平方米)，
(平方米)，
所以，(平方米)，
我们推知
(平方米)．
(祖冲之杯竞赛试题)如图，是一个长为，宽为，对角线长为的正方形，它绕点按顺时针方向旋转，分别求出四边扫过图形的面积．
容易发现，边和边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的，如图：
因此DC边扫过图形的面积为，边扫过图形的面积为．
2、研究边的情况．
在整个边上，距离点最近的点是点，最远的点是点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：
下面来求这部分的面积．
观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：
扇形面积＋三角形面积－三角形面积一扇形面积＝扇形面积一扇形面积
3、研究边扫过的图形．
由于在整条线段上距离点最远的点是，最近的点是，所以我们可以画出边扫过的图形，如图阴影部分所示：
用与前面同样的方法可以求出面积为：
旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．
可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．
(2004年第九届华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点，观察半径，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径也运动到了与初始时相对的位置．这时沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到与初始位置重合，这时自身转了1圈，因此小铁环自身也转了1圈．
【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了1圈．
【巩固】如果半径为25厘米的沿着半径为50厘米的大铁环的侧作无滑动的滚动当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径滚动了，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．
也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了3圈．
【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的()倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？
为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“”．
⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为．
所以小圆绕自己的圆心转动了：(圈)．
⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．
因为圆心滚动的距离为．
所以小圆绕自己的圆心转动了：(圈)．
如图，枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？
当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120．
当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300o．
长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．，所以这枚硬币转动了2160o，即自身转动了6圈．
另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个即滚动了一周．
用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？
对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边”上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度自身转动圈数．结论：一样多；都是6圈．
一枚半径为1的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原点重合的点是．硬币自己转动硬币圆心的运动轨迹周长．
在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才能实施具体的计算．
在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同．
为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：
第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点的上方滚动到顶点的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以为圆心、为半径、圆心角为的扇形．在顶点、、处各有这样的一个扇形；
第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图⑶中点为圆心的圆的一部分，这个圆在以点为圆心的弧上滚动，可知此时圆心运动的轨迹是图⑶中的弧，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以为圆心、为半径、圆心角为的扇形减去半径为的的扇形；
综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．
滚动时经过的面积是：．
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