浅谈逻辑学中的谓词与量词
宋文竹
哈尔滨师范大学(150025)
摘要：在谓词逻辑中，除研究复合命题的命题形式、命题联结词的逻辑性质和规律外，还把命题分析成个体词、谓词和量词等非命题成分，研究由这些非命题成分组成的命题形式的逻辑性质和规律谓词逻辑把命题逻辑作为子系统，在谓词逻辑部分则集中研究由非命题成分组成的命题形式和量词的逻辑性质与规律。谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词.个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。谓词是用来刻画个体词的性质或事物之间关系的词.
个体词分个体常项(用…表示)和个体变项(用…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用表示.
量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词“所有的”或“每一个”；存在量词“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：
(1)在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.
(2)在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.
(3)多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义.谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题.所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应.在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式.命题的符号化结果都是谓词公式换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.
代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.
解释(赋值)，谓词公式的个体域是非空集合，则
(1)每一个常项指定中一个元素；
(2)每一个n元函数指定到的一个函数；
(3)每一个n元谓词指定到的一个谓词；
按这个规则做的一组指派，称为的一个解释或赋值.
在有限个体域下，消除量词的规则为：如，则
谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式取真值1，公式为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式取真值，公式为永假式；至少有一个解释使公式取真值1，公式称为可满足式最简单的命题，即所谓原子命题，都可以分析为个体词和谓词两类成分。例如,在“5是素数”、“7大于3”这两个命题中，5、7和3是个体词，“是素数”、“大于”是谓词。在逻辑中，一个论域中的元素称为个体，个体词是表示个体的符号；表示某个论域中的一个特定个体的符号称为个体常项或个体常元，个体常项也就是它所表示或指称的那个个体的名字；不表示某一确定论域中的特定个体的个体词，称为个体变项或个体变元，用符号和…表示；个体变项取任一论域中的任一个体为值。谓词是表示个体的性质和个体之间关系的符号。谓词变项分为一元的、二元的,元的，等等。谓词变项的元数可以明晰地标示出来，如表示是一元的，表示是二元的，但也可以不这样做。在一公式中，一个谓词变项后面跟的个体变项的个数,就表示这个谓词变项的元数。例如,中是一元的，中是二元的，中是元的，同一符号的几处出现是同一个谓词变项。应用个体变项和谓词变项,表示原子命题的形式的公式称为原子公式。除了个体词和谓词，组成命题的成分还有量词。量词是命题中表示数量的词，它分为全称量词和存在量词。在汉语中,“所有”、“一切”、“凡”等表示全称量词,“有的”、“有”、“至少有一”等表示存在量词。全称量词是在符号后跟一个个体变项存在量词在符号后跟一个个体变项量词的辖域指一量词后的最短公式，表示一个量词在一个公式中的作用范围。
变形规则也称推理规则。变形规则的陈述，除使用语法变元，还使用语法符号。符号在一个公式的前面，表示紧接在后面的公式是定理。关于谓词演算,只涉及符号、符号序列、符号序列的变换等等，完全没有涉及符号、公式等的意义。这种不涉及符号、公式等的意义的研究，是语法的研究。定理、可证明性等概念，都是语法概念。而对符号、公式的解释,以及关于公式和它的意义的关系等等,都属于语义的研究。关于的解释称为标准解释或标准语义。在这个标准解释下,的公理图式以及公理本身都是普遍有效的，而变形规则具有保持普遍有效性的性质，即从普遍有效的公式经应用变形规则而得到的公式也是普遍有效的。所以，的定理都是普遍有效的。有许多元逻辑定理或称元定理。不过元定理并不是中的定理，而是关于的定理，是对这个系统的某些重要性质的研究的结果。重要的元定理有可靠性可靠性定理这条定理表明的定理都是普遍有效的。一致性一致性定理。这条定理表明是一致的，即不存在一个公式，和都是定理。完全性完全性定理，该定理表明在凡普遍有效的公式都是定理这一意义上是完全的。
可靠性定理表明，谓词演算对演绎推理形式的反映是可靠的。设是一个推理的前提的命题形式，是结论的命题形式，这个推理的形式就是。的定理都是普遍有效的,这就意味着只反映有效的推理形式。而完全性定理则表明,对有效推理的形式的反映是完全的。设是一个有效的推理的形式,当真时一定真,是普遍有效的，因而是的定理。这两个定理也表明,对来说，语法和语义是一致的、相符合的。也就是说,可证明性和普遍有效性是相符合的，一个公式是可证明的或是定理，当且仅当它是普遍有效的。一个公式称为普遍有效的，如果对任一解释，也就是对任一不空的个体域和任一赋值，都真。普遍有效也就是常真，记为。显然，一个公式是普遍有效的，当且仅当，它的否定是不可满足的。一个不可满足的公式是常假的，也称为矛盾的。这里所说的个体域、解释、赋值、真假、普遍有效性和可满足性等概念，都是语义概念。
除了这样的形式系统，谓词逻辑还可用另一种方式系统化，即建立自然推理系统。关于这个自然推理系统，有如下的结果：如果普遍有效,即，则；并且，如果，则普遍有效。在和这个自然推理系统之间，有如下关系：对任一公式，如果在中可证,即，则；反之，如果在自然推理中不需任何前提就能推出，即，则在中可证。这个自然推理系统也和一样具有可靠性、一致性和完全性胡世华、陆钟万：《数理逻辑基础》,科学出版社[M].北京，1981（上册），1982（下册）。莫绍揆：《数理逻辑教程》，华中工学院出版社[M].武汉，1983。OnthelogicofpredicatesandquantifiersSONGWENZHUHarbinNormalUniversity(150025)
Abstract:Inthepredicatelogic,inadditiontothepropositionalformofcomplexpropositions,propositionalconnectivesoflogicandlawsofnature,butalsoanalysisofpropositionsintoindividualwords,predicatesandquantifierssuchasnon-propositionalcomponentsofthecompositionofthesenon-propositionpropositionsformsoflogicandlawsofnature.Predicatelogictopropositionallogicasasubsysteminthepredicatelogicpartofthepropositionisfocusedonthecompositionofnon-propositionalformandthelogicofquantifiersandlawsofnature.
Keywords:mathematicallogic,predicatelogicDiscreteMathematics
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