上一页下一页首页基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练第32讲与圆有关的计算考点训练3．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB＝3，则扇形CDE(阴影部分)的面积是()
A.πB.
C．πD．3π
【解析】圆锥的侧面展开图是以3为半径，弧长等于圆锥底面周长的扇形，所以圆锥的侧面积＝×3×2π＝3π.
【解析】∵BC＝1，AC＝，∴BC扫过的区域面积S阴影＝－S△ABC－＋[S△AB′C′－]＝π－×1×－π＋×1×－π＝π.
5．一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆的半径是()
A.B.
C.或D.或
2．(2012·泰安)如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则的长为()
A．πB．2πC．3πD．5π
【解析】连接OC、OB，则S阴影＝S扇形BOC＝＝π.(注：等高同底的三角形的面积相等)
1．规则图形：按规则图形的面积公式求．
2．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法，把不规则图形的面积采用“割补法”、“等积变形法”、“平移法”、“旋转法”等转化为规则图形的面积．
【点拨】(1)利用菱形的性质及三角函数关系求出∠FOC，进而求出底面圆锥的周长，即可得出底面圆的半径和母线长，再利用勾股定理即可求出．
(2)首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、b之间的关系即可．
解：(1)连接O1A.
∵⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，
∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D.
∴∠AO2O1＝∠CO2D＝30°.
在Rt△O1AO2中，
sin∠AO2O1＝，
∴O1O2＝＝＝2x.
∴FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x，即扇形O2CD的半径为(24－3x)cm.
11．如图，圆柱的高线长为10cm，轴截面的面积为240cm2，则圆柱的侧面积是()
A．240cm2B．240πcm2
C．480cm2D．480πcm2
14．(2012·河南)母线长为3，底面圆的直径为2的圆锥的侧面积为3π.
18．(2012·烟台)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2.将△ABC绕顶点A按顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为π.
7.如图所示，在ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E.
(1)圆心O到CD的距离是______；
(2)求由弧AE，线段AD、DE所围成的阴影部分的面积(结果保留π和根号)．
3．如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆的直径是12,4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为()
A．48πB．24π
C．12πD．6π
【解析】∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD＝2，∠A＝90°，AB＝AD，∠ABD＝45°，
∴AB＝BD·cos∠ABD＝BD·cos45°＝2×＝2，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
由折叠的性质得：A′M＝AM，D′N＝DN，A′D′＝AD，
∴图中阴影部分的周长为：
A′M＋BM＋BC＋CN＋D′N＋A′D′＝AM＋BM＋BC＋CN＋DN＋AD＝AB＋BC＋CD＋AD＝2＋2＋2＋2＝8.
1．如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为：l＝.
2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝，或S＝lr.
(注：公式中的n表示1°的圆心角的倍数，所以不写单位．)
12．(2012·山西)如图是某公园的一角，∠AOB＝90°，的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是()
A．(12π－)米2B．(π－)米2
C．(6π－)米2D．(6π－9)米2
【解析】由l＝得R＝＝＝2.
解：(1)证明：∵BC2＋AC2＝1＋2＝3＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
∵sinA＝＝＞＝sin30°，∴∠A≠30°.
(2)所得几何体的表面积为S＝πr(l＋r)＝π××(＋)＝(＋2)π.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为π－4.(结果保留π)
8．(2012·荆门)如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()
A．8B．4C．8D．6
(2)D∵半圆的直径为a，∴半圆的弧长为，∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
∴设小圆的半径为r，则2πr＝.解得r＝.
如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，则AC2＋AB2＝BC2，即()2＋()2＝()2，
整理，得b＝a，故选D.
15．(2012·苏州)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是2.
三、解答题(共28分)
19．(9分)在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1.
(1)求证：∠A≠30°；
(2)将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
一、选择题(每小题4分，共48分)
1．(2012·湛江)一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为()
A．6cmB．12cmC．2cmD.cm
【解析】圆锥的侧面积为扇形，其半径为圆锥的母线长等于10cm，弧长为圆锥的底面周长等于2π×3＝6π，所以S扇形＝×6π×10＝30π(cm2)，即这个圆锥的侧面积为30πcm2.
9．(2012·兰州)如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为()
A．πB．1C．2D.π
10．如图①，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆，使之恰好围成图②所示的圆锥，则圆锥的高为()
A.cmB．4cm
C.cmD.cm
【答案】C
【解析】圆锥的母线长是＝5.
圆锥的侧面积是×8π×5＝20π，
圆柱的侧面积是8π×4＝32π，
几何体的下底面面积是π×42＝16π，
则该几何体的全面积(即表面积)为20π＋32π＋16π＝68π.
解：由折叠的性质，得△BCD≌△BCO.
∴CD＝CO，BD＝BO＝6.
∴AC＋CD＋BD＝AC＋CO＋BO＝
AO＋BO＝12.
又的长为π×6＝3π，
∴阴影部分的周长为12＋3π.
答案：(1)5(2)S阴影＝25＋－
6．(2012·嘉兴)已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为()
A．15πcm2B．30πcm2
C．60πcm2D．3πcm2
1．如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为()
A．17πB．32πC．49πD．80π
【解析】连接OD，则OD＝OA＝6.∵C是OA的中点，
∴OC＝3.
又CD∥OB，∠AOB＝90°，∴∠DCO＝90°，
∴cos∠DOC＝＝，∴∠DOC＝60°，
∴CD＝OD·sin∠DOC＝6×＝3.
∴S阴影＝S扇形AOD－S△DOC＝×62－×3×3＝6π－.
16.(2012·成都)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为68π(结果保留π)．
20．(9分)(2012·吉林)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
【答案】A
7．如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于()
A.πB.π
C．πD.π＋
【答案】2
(2)(2012·临沂)如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为()A．1B.C.D．2
【解析】由扇形的面积公式S＝得S扇形＝＝3π.
【解析】设圆锥的底面半径为r，则2πr＝，而△ABC是等边三角形，故AB＝4×sin60°＝6.∴r＝1.
21．(10分)(2012·南京)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B.已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF＝24cm，设⊙O1的半径为xcm.
(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；
(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
【解析】由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，即n＝60，l＝2π，根据弧长公式l＝，得2π＝，即R＝6(cm)．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是()
A．64π－12B．16π－32
C．16π－24D．16π－12
【答案】B
【解析】半径为2的“等边扇形”的面积为S＝lR＝×2×2＝2.
答案：A
二、填空题(每小题4分，共24分)
13．(2012·重庆)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为3π(结果保留π)．
17．(2012·襄阳)如图，从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为1dm.
答案：C
5．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10cm，则图中阴影部分的面积为()
A.cm2B.cm2
C．2cm2D．4cm2
【答案】A
例1(1)(2012·日照)如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为()
A．πB.C．7πD．6π
【解答】(1)A根据图示知，∠BAB′＝45°，∴的长为：＝π.
(2)C如图，连接OE，OD，AE.∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，又∵∠BED＝120°，∴∠AED＝30°，
∴∠AOD＝2∠AED＝60°.∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵点E为圆上一点且为BC的中点，∠AEB＝90°，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．
例2(1)(2012·绍兴)如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上．若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为()
A.B．2C.D.
(2)(2012·宁波)如图，用邻边分别为a，b(a
C．b＝aD．b＝a
答案：B
1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽是圆柱的母线长(或高)l，如果圆柱的底面半径是r，则S圆柱侧＝cl＝2πrl.
2．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长c，半径等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为α，则α＝·360°，S圆锥侧＝cl＝πrl，S圆锥全＝πrl＋πr2.
【点拨】(1)根据图示知∠BAB′＝45°，所以根据弧长公式l＝求得BB′的长；
(2)首先证明△ABC是等边三角形，其次证△EDC为等边三角形，而BE和弦BE围成的部分的面积等于DE和弦DE围成的部分的面积．
∴∠ABC＝∠AOD＝60°，∴OD∥BC，△BOE和△EOD均为正三角形．∵O为AB的中点，∴OD为中位线，∴OD＝BC＝EC，AD＝DC，又OD＝DE＝AD，∴EC＝DE＝DC，∴△EDC是等边三角形，其边长是BC＝AB＝2，∵∠BOE＝∠EOD＝60°，∴和弦BE围成的部分的面积＝和弦DE围成的部分的面积．∴阴影部分的面积＝S△EDC＝×22＝.故选C.
【解答】(1)D连接OB，AC，BO与AC相交于点F，由题意知CF垂直平分OB，由于OC＝，OB＝3，所以OF＝，由三角函数得∠COF＝30°，所以∠COA＝60°，的长度为：＝π，2πr＝π，所以圆锥底面半径r＝，所以圆锥的高h＝＝，故选D.
4．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是()
A．20cm2B．20πcm2
C．15cm2D．15πcm2
答案：D
【答案】B
【解析】连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°.
∵∠ABC＝120°，∴∠OBC＝30°.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴的长为＝＝2π.
【解析】大圆的周长为12π，4个小圆的周长为4×3π＝12π，∴这5个圆的周长的和为24π.
【答案】B
【解析】由题意可知，该图形关于直线AD成轴对称，所以AD⊥BC，BD＝DC.因为BC＝12，所以BD＝6，在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，所以S△ABD＝·AD·BD＝×2×6＝6.由于阴影部分的面积即为半圆ADB的面积减去△ABD面积的2倍，所以S阴影＝2×(π×42－S△ABD)＝2(8π－6)＝16π－12.
【答案】D
【解析】设圆心为O，由题意得∠B＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°.∴BC为⊙O的直径，连接OA、OD，则S阴影＝S等边△OAD＝×22＝(cm2)．
【答案】B
【答案】C
【解析】设扇形的半径为Rcm，∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长，∴×2π·R＝2π，∴R＝4，即圆锥的母线长等于4cm，∴圆锥的高为＝(cm)．
【答案】C
【解析】∵轴截面的面积为240cm2，
∴底面半径为12cm，
∴S圆柱侧＝2πr·h＝2π×12×10＝240π(cm2)．
【答案】B
如图，连接OD.∴OB＝BD＝OD，
∴△OBD为等边三角形．∴∠DBO＝60°.
∵△BCO≌△BCD，∴∠CBO＝∠CBD＝30°.
∵tan30°＝，
∴OC＝OB·tan30°＝6×＝2.
∴S△BCD＝S△BCO＝OC·OB＝×2×6＝6.
∴S阴影＝S扇形AOB－2S△BCD＝π×62－2×6＝9π－12.
(2)设该玩具的制作成本为y元，则
y＝0.45πx2＋0.06×
＝0.9πx2－7.2πx＋28.8π＝0.9π(x－4)2＋14.4π.
∴当x－4＝0，即x＝4时，y的值最小．
∴当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．
答案：A
2．如图所示，AB切⊙O于点B，OA＝2，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的弧长为()
A.πB.πC．πD.π
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