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3．如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF.将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是()
A．45°B．120°
C．60°
D．90°
3．(2012·宜昌)如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是()
A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位
【答案】D
【解析】由题意知∠C＝30°，∠CAF＝60°，∴∠CFA＝180°－30°－60°＝90°，∴∠AFB＝∠CFA＝90°.
解：(1)如图所示：
先作出关于直线l的对称图形；
再作出所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形．
(2)∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1，
∴原图形的面积为5，
∴整个图案的面积为4×5＝20.
1．平移不改变图形的形状与大小，即平移后所得的新图形与原图形全等；
2．连接各组对应点的线段长度相等；
3．对应线段所在的直线相互平行或重合；
4．对应角相等．
6．如图所示，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积等于6cm2.
【答案】B
14．(2012·青岛)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为.
1．定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
2．条件：平移运动的条件是平移的方向和距离．
5．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为2.
4．(2012·聊城)如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是()
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
【解析】由题意知，∠BAB′＝30°，AB＝AB′，∴∠B＝＝75°.又AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－75°＝105°.
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，点A1的坐标为(1,0)．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形，根据勾股定理，得A1C1＝＝，
所以，旋转过程中C1所经过的路程为＝π.
【答案】B
【答案】B
【解析】连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，
根据题意得：∠BOB′＝105°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∠AOB＝∠AOC＝∠ABC＝×120°＝60°，
15．(2012·宁夏)如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC＝3，S△PB1C＝，则BB1＝1.
三、解答题(共40分)
16．(12分)(2012·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1.
(1)画出一个格点△A1B1C1，使它与△ABC全等且A与A1是对应点；
(2)画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的．
5．(2012·青岛)如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是()
A．(6,1)
B．(0,1)
C．(0，－3)
D．(6，－3)
8．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则tanB′的值为()
A.B.
C.D.
11.(2012·泰安)如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为()
A．(，－)B．(－，)
C．(2，－2)D．(，－)
【解析】作PD⊥B1C于点D，由平移的性质知△PB1C为等边三角形，∴PD＝PB1＝B1C.又S△PB1C＝B1C·PD＝，∴B1C·B1C＝，解得B1C＝2，所以BB1＝BC－B1C＝3－2＝1.
答案：D
【答案】C
【答案】A
【解析】根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，即可得出答案．
∵AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝＝6，
图中五个小矩形的周长之和为：6＋8＋6＋8＝28.故选D.
二、填空题(每小题4分，共16分)
12．(2012·无锡)如图，△ABC中，∠C＝30°.将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB＝90°.
17．(14分)(2012·漳州)利用对称性可设计出美丽的图案，在边长为1的方格纸中，有如图所示的四边形(顶点都在格点上)．
(1)先作出与该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形；
(2)完成上述设计后，整个图案的面积等于________．
2．如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线()
A．a户最长
B．b户最长
C．c户最长
D．三户一样长
一、选择题(每小题4分，共44分)
1．(2012·本溪)下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是()
2．(2012·广元)下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有()
6．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为()
A．14B．16C．20D．28
9．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2，其中正确的是()
A．②④B．①④C．②③D．①③
解：(1)本题是开放性题目，答案不唯一．图中给出了两个满足条件的三角形，其他解答只要正确就相应给分．
(2)D点如图所示．AD是由AB绕A点逆时针旋转90°而得到的，或AD是由AB绕A点顺时针旋转270°而得到的．
答案：D
7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2cm，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A′B′C的位置，且A、C、B′三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是()A．8cmB．4cm
C.πcmD.πcm
10．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是()
A.
B.
C．1D.
13．(2012·哈尔滨)如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C＝105度．
18．(14分)(2012·六盘水)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－4,1)，点B的坐标为(－1,1)．
(1)先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1，试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1点的坐标；
(2)将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2，并计算出Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程．
例1(1)(2012·绍兴)在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的ABCD，点A的坐标是(0,2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是()
A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
(2)(2012·义乌)如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为()A．6B．8C．10D．12
(4)(2012·南京)在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是(－1，－1)，(－3，－1)，把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是__________．
【解答】(1)B由A(0,2)，A′(5，－1)，可知横坐标加5，纵坐标减3，故先向右平移5个单位，再向下平移3个单位．
(2)C由题可得AD＝1，BF＝BC＋CF＝BC＋1，DF＝AC.又∵AB＋BC＋AC＝8，∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC＝10.
(3)A∵由题可得∠AFE＝＝120°，
∴∠EFE′＝180°－∠AFE＝180°－120°＝60°.
∵将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F的位置，∴∠EFE′是旋转角，∴所转过的度数是60°.
例2(2012·福州)如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．
(1)画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B1C1；
(2)再将Rt△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B2C1，并求出旋转过程中线段A1C1所扫过的面积(结果保留π)．
【解答】(1)如图所示：
(2)如图所示：
在旋转过程中，线段A1C1所扫过的面积等于＝4π.
7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－1,3)，(－4,1)，先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0,2)，再将线段A1B1绕原点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2.
(1)画出线段A1B1，A2B2；
(2)直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．
答案：(1)线段如图所示：
(2)＋π
1．定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．
2．条件：图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角确定的．
3．性质：图形在旋转的过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角都相等；对应点到旋转中心的距离相等．
4．一个图形只要满足绕一点旋转某个角度后能与原图形重合这一条件，就是旋转对称图形．
(3)(2012·柳州)如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F的位置，所转过的度数是()
A．60°B．72°C．108°D．120°
【点拨】(1)利用平面坐标系中点的坐标平移方法，由A和A′得出横纵坐标的变化规律，即可得出平移特点．
(2)根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC，即可得出答案．
(3)由题意可求出∠AFE，由邻补角定义，可得∠EFE′，绕点F旋转可得∠EFE′是旋转角，进而可求得答案．
(4)本题考查图形的平移及规律探究，理清变化规律，9次变换点A′落在第一象限．
(4)(16,1＋)由题意知点A的坐标为(－2，－－1)，连接变换9次，则原三角形向右平移了18个单位，所以点A′的横坐标为－2＋18＝16.经过奇数次变化后其纵坐标为A点纵坐标的相反数1＋，所以点A′的坐标为(16,1＋)．
【点拨】根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段A1C1所扫过的面积等于以点C1为圆心，以A1C1为半径，圆心角为90°的扇形的面积，然后根据扇形的面积公式解答即可．
【答案】D
【解析】点A经过的最短路线是以点C为圆心，AC为半径的弧′，由弧长公式′＝＝π.
【解析】①△AED≌△AEF(SAS)，④易证∠FBE＝90°，又FB＝DC，FE＝ED，∴BE2＋FB2＝FE2可转化为BE2＋DC2＝DE2.
【答案】B
【解析】∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝2，
又∵点A′是线段AC的中点，∴A′C＝1，
∴S阴影＝×1×1＝.故选B.
【答案】B
∴△OAB是等边三角形，
∴OB＝OA＝2，
∴∠AOB′＝∠BOB′－∠AOB＝105°－60°＝45°，OB′＝OB＝2，
∴OE＝B′E＝OB′·sin45°＝2×＝，
∴点B′的坐标为(，－)．故选A.
【答案】A
【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，则BC＝＝＝.
由旋转的性质得△ACA′是正三角形，∴∠BCB′＝60°.
又CB＝CB′，∴△CBB′也是正三角形，∴BB′＝CB＝.
【答案】A
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