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【点拨】本题组主要考查锐角三角函数的定义及简单计算．
【点拨】分别把各特殊角的三角函数值代入，进行计算即可．
答案：D
答案：A
6．计算：sin30°·cos30°－tan30°＝－(结果保留根号)．
7．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝.计算－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋()－1的值．
答案：3
一、选择题(每小题4分，共48分)
1．(2012·无锡)sin45°的值是()
A.B.C.D．1
【答案】B
4．(2012·内江)如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为()A．－B.
C.D.
【解析】
如图，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，
CO＝＝；
AC＝＝；
则sinA＝＝＝.
故选B.
【答案】B
5．已知锐角A满足关系式2sin2A－7sinA＋3＝0，则sinA的值为()
A.B．3C.或3D．4
【答案】A
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值等于()
A.B.C.D.
【答案】B
7．如果△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是()
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
【答案】C
9．在△ABC中，若|sinA－|＋(－cosB)2＝0，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数是()
A．70°B．90°C．105°D．120°
10．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是()
A.B.C.D.
11．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于()A.B.
C.D.
【解析】如图所示，连接BD.由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝BC2.∴△BDC是直角三角形且∠BDC＝90°.
∴tanC＝＝.
【答案】B
12．如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是()
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的函数值无关
【答案】A
二、填空题(每小题4分，共20分)
13．(2012·武汉)tan60°＝.
14．(2012·宁夏)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tanA＝.
15．(2012·烟台)计算：tan45°＋cos45°＝2.
16．已知正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是2或.
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A<∠B，沿△ABC的中线OC将△COA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为.
三、解答题(共32分)
18．(8分)计算：(1)cos60°＋sin45°＋tan30°·cos30°；
解：原式＝＋×＋×＝＋＋＝.
(2)sin60°·cos60°＋sin45°·cos45°－sin30°·cos30°.
解：原式＝×＋×－×＝＋－＝.
19．(6分)(2012·巴中)一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12.
∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12.
CM＝BM＝12，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝＝4，
∴CD＝CM－MD＝12－4.
20．(8分)如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合)，且点P到BA、BC的距离分别为PE、PF.
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α>β，试判断PE、PF的大小，并给出证明．
(1)解：(1)在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°，
在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°，
又sin40°>sin20°，∴PE>PF.
(2)根据(1)，得
sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ，
又∵α>β，∴sinα>sinβ，∴PE>PF.
21．(10分)(1)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
(3)比较大小：(在空格处填写“<”或“>”或“＝”)
若∠α＝45°，则sinα________cosα；若∠α<45°，则sinα________cosα；若∠α>45°，则sinα________cosα；
(1)解：(1)在图①中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1>B2C2>B3C3，∠B1AC>∠B2AC>∠B3AC.
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，
sin∠B3AC＝，
而>>.
∴sin∠B1AC>sin∠B2AC>sin∠B3AC.
(2)sin88°>sin65°>sin52°>sin34°>sin18°；
cos88°
(3)若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α<45°，则sinα45°，则sinα>cosα.
(4)cos30°>sin50°>cos70°>sin10°.
若在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝.
α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60°
例1(1)(2012·宁波)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为()
A．4B．2C.D.
(2)(2012·济南)如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A.B.C.D．3
(3)(2012·南京)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为____________cm(结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
【解答】(1)A因为cosB＝＝，又AB＝6，所以＝，从而可得BC＝4，故选A.
(2)A∠ACB是网格中两条直角边长分别为2和6的直角三角形的一个内角，根据正切的定义，可得tan∠ACB＝＝.故选A.
(3)2.7由题意得，直尺的宽度为2，所以C的读数为≈≈2.7.
例2(2012·南昌)计算：sin30°＋cos30°·tan60°.
【解答】原式＝＋×＝＋＝2.
例3(2012·铜仁)已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求A的值．
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB的值是()
A.B.
C.
D.
2．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值()
A．不变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．不能确定
4．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝____________.()
A.B.
C.D.
答案：B
【点拨】根据新定义的说明代入即可．
【解答】(1)
(2)∵tanA＝＝，∴ctanA＝＝.
5．设α为锐角，若sinα＝3k－9，则k的取值范围是()
A．k<3B．3
C．k>3或k
答案：B
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值为()
A.B.C.D.
【答案】A
3．(2012·兰州)sin60°的相反数是()
A．－B．－C．－D．－
【答案】C
8．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＋b＝3＋，则a等于()
A.B．2C.＋1D．3
【答案】D
【解析】由题意得解得
∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C＝105°.
【答案】C
【解析】如图所示，过C作CD⊥BA交BA的延长线于D.在Rt△ACD中，∠DAC＝180°－120°＝60°，AC＝2，∴AD＝1，CD＝.在Rt△BDC中，
BC＝＝＝＝＝2，∴sinB＝＝＝＝.
【答案】D
【解析】由题意可知：点P有下列两种位置关系，如图所示．
由图①所示，tan∠BPC＝＝＝2.
由图②所示，tan∠BPC＝＝＝.
【解析】在直角△ABC中，∠ACM＋∠MCB＝90°，
∵CM垂直于斜边AB，∴∠ABC＋∠MCB＝90°，
∴∠B＝∠ACM，又OC＝OA，∴∠A＝∠ACO.
又∵∠ACO＝∠OCD，∴∠A＝30°.
∴tanA＝tan30°＝.
(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°.
在图②中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3>AB2>AB1，∴<<.
即cos∠B3AC
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