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如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
3．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
1．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
2．两角对应相等的两个三角形相似．
3．三边对应成比例的两个三角形相似．
例1(1)(2012·陕西)如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝()
A．1∶2B．2∶3C．1∶3D．1∶4
例1(1)题
(2)(2012·攀枝花)如图，△ABC≌△ADE且∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，BC，DE交于点O，则下列四个结论中，一定成立的有()
①∠1＝∠2；
②BC＝DE；
③△ABD∽△ACE；
④A，O，C，E四点在同一个圆上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
(3)(2012·乌鲁木齐)如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝8.若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
答案：B
一、选择题(每小题4分，共48分)
1．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是()
A．AB2＝BC·BD
B．AB2＝AC·BD
C．AB·AD＝BD·BC
D．AB·AD＝AD·CD
2．(2012·荆州)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()
3．(2012·遵义)如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四边形BCFE＝8，则S△ABC＝()
A．9B．10C．12D．13
4．(2012·海南)如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是()
A．∠ABD＝∠CB．∠ADB＝∠ABC
C.＝D.＝
5．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC与EF的中点，则AD∶BE的值为()
A.∶1B.∶1
C．5∶3D．不确定
6．如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有()
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则的值为()
A.B.C.D.
【答案】B
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中的相似三角形有()
A．1对B．2对C．3对D．4对
9．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m．当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高()
A．2mB．4mC．4.5mD．8m
【答案】B
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于()
A.B．1C.D．2
11．(2012·徐州)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC.图中相似的三角形共有()
A．1对B．2对
C．3对D．4对
【答案】C
12．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()A．3s或4.8sB．3s
C．4.5sD．4.5s或4.8s
【解析】根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是xs，
①若△ADE∽△ABC，则＝，
∴＝，
解得：x＝3；
②若△ADE∽△ACB，则＝，
∴＝，
解得：x＝4.8.
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3s或4.8s．故选A.
二、填空题(每小题4分，共24分)
13．(2012·重庆)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为9∶114．(2012·南京)如图，在ABCD中，AD＝10cm，CD＝6cm.E为AD上一点，且BE＝BC，CE＝CD，则DE＝3.6cm.
【解析】由题意知BE＝BC＝10，CE＝CD＝6，
∴∠BEC＝∠BCE，∠CDE＝∠CED，∵AD∥BC，
∴∠CED＝∠BCE，∴∠BEC＝∠CDE，
∴△BCE∽△CED，∴＝，∴DE＝＝＝3.6.
15．如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O.若OD＝2，则OC＝4.
【解析】∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，∴＝＝，∴OC＝2OD＝2×2＝4.
16．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝2或4.5.
【解析】分情况讨论，①当△ABC∽△AEF时，＝，∴＝，∴AF＝2；②当△ABC∽△AFE时，＝，∴＝，∴AF＝4.5.
17．如图，一束光线从点A(3,3)出发，经过y轴上的C反射后经过点B(1,0)，则光线从A点到B点经过的路线长是5.
18．如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是(结果保留根号)．
【解析】在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°.
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°.∴∠A＝∠DBC＝36°，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴＝，设AD＝x，则BD＝BC＝x.则＝，解得x＝(舍去)或，故x＝.如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD＝BD，∴E为AB的中点，即AE＝AB＝.在Rt△AED中，cosA＝＝＝.
三、解答题(共28分)
19.(5分)如图，∠DAB＝∠CAE，请你再补充一个条件________，使得△ABC∽△ADE，并说明理由．
解：∠D＝∠B(或∠AED＝∠C)
理由：∵∠DAB＝∠CAE.∴∠CAE＋∠BAE＝∠DAB＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.
又∵∠B＝∠D(或∠C＝∠AED)，∴△ABC∽△ADE.
20．(6分)(2012·长沙)如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.
(1)求证：△BDG∽△DEG；
(2)若EG·BG＝4，求BE的长．
(1)证明：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE＝∠DBG.
∵∠CBE＝∠CDF，
∴∠DBG＝∠CDF.
∵∠BGD＝∠DGE，
∴△BDG∽△DEG.
21．(9分)(2012·泰安)如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H.
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)找出与△ABH相似的三角形，并证明；
(3)若E是BC中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝∠ECF＝90°.
∴∠AEB＋∠BAE＝90°.
∵AE⊥EF，∠AEB＋∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF.
(2)解：△ABH∽△ECM.
证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，
∴∠ABH＝∠ECM.
由(1)知，∠BAH＝∠CEM，
∴△ABH∽△ECM.
(3)解：作MR⊥BC，垂足为R，
∵AB＝BE＝EC＝2，
∴AB∶BC＝MR∶RC＝1∶2，∠AEB＝45°，
∴∠MER＝45°，CR＝2MR，
∴MR＝ER＝RC＝，
∴EM＝＝.
22．(8分)(2012·徐州)如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合，小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝6m，C1E1＝3m.
(1)△FDM∽△________，△F1D1N∽△________；
(2)求电线杆AB的高度．
(1)解：(1)FBG；F1BG∵DC⊥AE，D1C1⊥AE，BA⊥AE，
∴DC∥D1C1∥BA，
∴△FDM∽△FBG，△F1D1N∽△F1BG.
(2)根据题意，∵D1C1∥BA，
∴△F1D1N∽△F1BG.∴＝.
∵DC∥BA，∴△FDM∽△FBG.∴＝.
∵D1N＝DM，∴＝，即＝.
∴GM＝16.∵＝，∴＝.
∴BG＝13.5.∴AB＝BG＋GA＝15(m)．
答：电线杆AB的高度为15m.
【解答】(1)D∵AD，BE是三角形的中线，∴DE是△ABC的中位线，DE∥AB，DE＝AB，∴△EDC∽△ABC，且对应边的相似比为1∶2，∴S△EDC∶S△ABC＝1∶4.
(2)D因为△ABC≌△ADE，所以BC＝DE，∠BAC＝∠DAE，故∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠1＝∠2，所以结论①②是正确的；又因为△ABC≌△ADE，所以AB＝AD，AC＝AE，即＝，所以△ABD∽△ACE，故结论③正确；连接AO，设AD，BO的交点是点M，易证△AMB∽△OMD，再证△BMD∽△AMO，所以∠ADB＝∠AOM，由△ABD∽△ACE得∠ADB＝∠AEC，所以∠AEC＝∠AOM，故可得∠AOC＋∠AEC＝180°，所以点A，O，C，E四点共圆，所以结论④也正确，故选D.
例2(2012·武汉)已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝6.
(1)如图①，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；
【点拨】(1)作MN∥BC交AC于点N，利用中位线定理得MN的长；作∠AMN＝∠C，利用相似得MN的长；(2)①AC为以4,8为直角边长的直角三角形的斜边，AB为以2,4为直角边的直角三角形的斜边；②以网格的对角线为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，共8个．
(2)①画出一个正确的图形即可．
②8个．画出的一个格点三角形如图所示．
例3(2012·南充)矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC.(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)求tan∠ECF的值．
【点拨】(1)由四边形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A＝∠D＝90°，∠DCE＝∠AEF，可得△AEF∽△DCE；(2)由△AEF∽△DCE，可得＝，又E为中点，可得tan∠ECF＝.即可求得答案．
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠DCE＋∠DEC＝90°.∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠DCE＝∠AEF.∴△AEF∽△DCE.
(2)由(1)可知：△AEF∽△DCE，∴＝.
在矩形ABCD中，E为AD的中点，AB＝2AD＝4AE，∴DC＝AB＝4AE，∴tan∠ECF＝＝＝＝.
1．如图所示，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是()
A.＝B.＝
C.＝D.＝
2．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()
3．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为8.
4．如图，从点A(0,2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4,3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为.
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，AE交BD于点F，如果＝，那么＝.
6．如图，在ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC，AD交于点E，F.
(1)求证：AB＝AF；
(2)当AB＝3，BC＝5时，求的值．
答案：提示：(1)证∠ABF＝∠AFB；(2)证△AEF∽△CEB，＝
(4)(2012·上海)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B.如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么边AB的长为____________．
【点拨】本题组主要考查了相似三角形的性质和判定．
(3)C可设PD＝x，则PC＝8－x，在△PAD与△PBC中，因为∠D＝∠C＝90°，①若△PAD∽△PBC，则＝，即＝，解得x＝，符合题意；
②若△PAD∽△BPC，则＝，即＝，解得x＝4±，符合题意，故符合条件的点P应有3个，故选C.
(4)3由题意得△ADE∽△ACB，由于△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，所以△ACB的面积为9，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以＝＝，因为AE＝2，所以AB＝3.
(2)如图②，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．
①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)；
②试直接写出在所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个(不需证明)．
【解答】(1)①当△AMN∽△ABC时，有＝.
∵M为AB的中点，AB＝2，∴AM＝.
∵BC＝6，∴MN＝3.
②当△ANM∽△ABC时，有＝.
∵M为AB的中点，AB＝2，∴AM＝，
∵BC＝6，AC＝4，∴MN＝.
∴MN的长为3或.
【解析】∵△ABC∽△DBA，
∴＝＝，
∴AB2＝BC·BD，AB·AD＝BD·AC.
故选A.
【答案】A
【解析】根据勾股定理得，AB＝＝2，
BC＝＝，
AC＝＝，
所以△ABC的三边之比为∶2∶＝1∶2∶，
A中三角形的三边分别为2，＝，
＝3，三边之比为2∶∶3＝∶∶3，故本选项错误；
B中三角形的三边分别为2,4，＝2，三边之比为2∶4∶2＝1∶2∶，故本选项正确；
C中三角形的三边分别为2,3，＝，三边之比为2∶3∶，故本选项错误；
D中三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为∶∶4，故本选项错误．故选B.
【答案】B
【解析】∵＝，∴＝＝，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝()2＝，
∴9S△AEF＝S△ABC，∵S四边形BCFE＝8，∴9(S△ABC－8)＝S△ABC，
解得：S△ABC＝9.故选A.
【答案】A
【解析】∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC，
故A与B正确；
当＝时，△ADB∽△ABC，故D正确；
当＝时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．故选C.
【答案】C
【解析】如图所示，连接AO、DO，则DO⊥EF，AO⊥BC，故＝，＝，∠DOA＝∠BOE，∴△AOD∽△BOE，
∴＝＝
【答案】A
【解析】∵∠C＝∠C，∠CPD＝∠B，∴△CPF∽△CBP；∵∠DPG＝∠A，∠D＝∠D，∴△DPG∽△DAP；
∵∠BPF＝∠D＋∠A，∠AGP＝∠D＋∠CPD，
又∵∠A＝∠CPD，∴∠BPF＝∠AGP.
又∵∠B＝∠A，∴△APG∽△BFP.故选C.
【答案】C
【解析】∵AF平分∠DAE，∴∠EAF＝∠DAF.
又∵∠AEF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，∴△ADF≌△AEF.∴AD＝AE.在Rt△ABE中，AE＝AD＝BC＝5，AB＝4，
∴BE＝＝＝3.∴CE＝BC－BE＝5－3＝2.由△ABE∽△ECF得＝，即＝，
∴CF＝
【答案】C
【答案】A
(2)解：∵△BDG∽△DEG，
∴＝，∴DG2＝BG·EG＝4，
∴DG＝2.
∵∠EBC＋∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEG，∠EBC＝∠EDG，
∴∠BGD＝90°.∵∠DBG＝∠FBG，BG＝BG，
∴△BDG≌△BFG.
∴FG＝DG＝2，∴DF＝4.
∵BE＝DF，∴BE＝DF＝4.
【解析】如图所示，过A作AD⊥y轴于D.设OC＝x，则DC＝3－x.由△ACD∽△BCO，得＝，∴x＝.∴BC＝＝，AC＝＝.∴AC＋BC＝5.
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